Wahlteil

Lösung zu a)

Zum Schaubild $C_1$ gehört die Funktion $f_1(x)=\frac{1}{2}\cdot(e^x+e^{-x})$.

Bei Achsensymmetrie zur $y$-Achse gilt: $f_1(-x)=f_1(x)$

$\Rightarrow\;f_1(-x)=\frac{1}{2}\cdot(e^{-x}+e^{-(-x}))= \frac{1}{2}\cdot(e^{-x}+e^x)=f_1(x)\;\checkmark$

Antwort: $C_1$ ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Im Tiefpunkt von $C_1$ gilt: $f_1'(x)=0$

An der Stelle $x=0$ liegt ein Extremum vor. Da im Aufgabentext von einem Tiefpunkt die Rede ist, muss die hinreichende Bedingung nicht überprüft werden.

Berechne $f(0)$: $f(0)=\frac{1}{2}\cdot(e^0+e^{-0})=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

Antwort: Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $TP(0|1)$.

Lösung zu b)

Antwort: Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt $A_k=\dfrac{1}{2k^2}\cdot (e^1-e^{-1})$.

Lösung zu c)

Lege das Koordinatensystem symmetrisch zur Hängebrücke, d.h. die $x$-Achse ist der Boden und die $y$-Achse geht durch die Brückenmitte.

Gegeben ist die Funktion $g(x)=a\cdot\dfrac{e^{kx}+e^{-kx}}{2k}$

Da die Hängebrücke für $x=0$ eine Höhe von $5\;\mathrm{m}$ hat, gilt $g(0)=5$

$\Rightarrow\; g(0)=a\cdot\dfrac{e^{k\cdot0}+e^{-k\cdot0}}{2k}=a\cdot\dfrac{1+1}{2k}=a\cdot\dfrac{2}{2k}=\dfrac{a}{k}=5$

Andererseits gilt $g(10)=8$

$\Rightarrow\;\dfrac{}{}a\cdot\dfrac{e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}}{2k}=8$

$\Rightarrow\;\dfrac{a}{k}\cdot\dfrac{e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}}{2}=8$

$\Rightarrow\;\dfrac{a}{k}\cdot(e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10})=16$

Mit $\dfrac{a}{k}=5$ folgt dann: $5\cdot(e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10})=16$ bzw. $e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}=\dfrac{16}{5}$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies dazu die Werte von p und q ab: $p=-\dfrac{16}{5}$ und $q=1$

Rücksubstitution ergibt: $0{,}351=e^{10k}$$\;\Rightarrow\;k_1=0{,}1\cdot \ln(0{,}351)\approx -0{,}105$

Die Lösung $k_1=-0{,}105$ entfällt, da $k$ laut Aufgabenstellung $>0$ sein soll.

Damit folgt aus der zweiten Lösung $2{,}849=e^{10k} \;\Rightarrow\;k=0{,}1\cdot \ln(2{,}849)\approx 0{,}105$

Mit der am Anfang ermittelten Beziehung $\dfrac{a}{k}=5\;\Rightarrow\;a=5\cdot k \;\Rightarrow\;a=5\cdot0{,}105=0{,}525$

Antwort: Die gesuchten Parameter lauten $k=0{,}105$ und $a=0{,}525$.

Lösung zu d)

Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $A(10|8)$.

Die Funktion $g(x)$ lautet:

$g(x)=\dfrac{0{,}525}{2\cdot0{,}105}\cdot (e^{0{,}105\cdot x}+e^{-0{,}105\cdot x})=2{,}5\cdot (e^{0{,}105\cdot x}+e^{-0{,}105\cdot x})$

Berechne die Ableitung, beachte dabei die Kettenregel:

$g'(x)=2{,}5\cdot0{,}105\cdot (e^{0{,}105\cdot x}-e^{-0{,}105\cdot x})$

$g'(x)=0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot x}-e^{-0{,}105\cdot x})$

An der Stelle $x=10$ erhältst du für die Ableitung:

$g'(10)=0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot 10}-e^{-0{,}105\cdot10})=0{,}2625\cdot (e^{1{,}05}-e^{-1{,}05})\approx 0{,}658$

Um den Winkel zu berechnen, setze $\tan(\alpha)=g'(10)=0{,}658\;\Rightarrow\;\alpha \approx 33{,}3^\circ$

Antwort: Die Brücke trifft unter einem Winkel von etwa $33{,}3^\circ$ im Punkt $A$ auf die waagrechte Plattform.

Lösung zu e)

Gesucht ist zunächst die Gleichung der Normalen vom Punkt $B(10|0)$ an den Graphen von $g(x)$.

Allgemein lautet die Normalengleichung im Punkt $P(x_0|g(x_0)$:

$n(x)=-\dfrac{1}{g'(x_0)}\cdot(x-x_0)+g(x_0)$

Setze $g'(x_0)$ in $n(x)$ ein:

$\;\Rightarrow\;n(x)=-\dfrac{1}{0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}-e^{-0{,}105\cdot x_0})}\cdot(x-x_0)+g(x_0)$

$\;\Rightarrow\;n(x)=-\dfrac{1}{0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}-e^{-0{,}105\cdot x_0})}\cdot(x-x_0)+2{,}5\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}+e^{-0{,}105\cdot x_0})$

Der Punkt $B(10|0)$ muss die Normalengleichung erfüllen. $B$ eingesetzt ergibt die folgende Gleichung:

$0=-\dfrac{1}{0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}-e^{-0{,}105\cdot x_0})}\cdot(10-x_0)+2{,}5\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}+e^{-0{,}105\cdot x_0})$

Umgeformt erhältst du:

$10-x_0=2{,}5\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}+e^{-0{,}105\cdot x_0})\cdot 0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}-e^{-0{,}105\cdot x_0})$

Beachte die $3$. binomische Formel:

$10-x_0=0{,}65625\cdot (e^{0{,}21\cdot x_0}-e^{-0{,}21\cdot x_0})$

Die Gleichung kannst du mit der SOLVE - Funktion deines Taschenrechners lösen.

Du erhältst: $x_0\approx 7{,}18$

Eingesetzt in $g(x)$ folgt: $g(7{,}18)=2{,}5\cdot (e^{0{,}105\cdot 7{,}18}+e^{-0{,}105\cdot 7{,}18})\approx 6{,}49$

Antwort: Der Befestigungspunkt $P$ hat die Koordinaten $P(7{,}18|6{,}49)$.

-

Lösung

Antwort: Für das Kegelvolumen gilt die Formel $V_K=\dfrac{1}{3}\cdot\pi r^2 h$

Lösung zu a)

Die Ebene $E_1$ hat die Gleichung $E_1:\;x_1+x_2=2\;\Rightarrow\;\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_2}{2}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) abgelesen werden:

$S_{x_1}(2|0|0)$ (Punkt $A$ in der Zeichnung) und $S_{x_2}(0|2|0)$ (Punkt $P$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_1$ verläuft parallel zur $x_3$-Achse.

Nachweis, dass der Spiegel in der Ebene $E_1$ liegt

Prüfe, ob die vier Punkte des Spiegels in der Ebene $E_1$ liegen:

$A=S_{x_1}$, damit ist $A\in E_1$

$B(-2|4|0) \in E_1?\;\Rightarrow\;-2+4=2\checkmark$

$C(-2|4|4) \in E_1?\;\Rightarrow\;-2+4=2\checkmark$

$D(2|0|4) \in E_1?\;\Rightarrow\;2+0=2\checkmark$

Damit liegt der Spiegel in der Ebene $E_1$.

Die Ebene $E_3$ hat die Gleichung $E_3:\;x_1+3\cdot x_2=6\;\Rightarrow\;\dfrac{x_1}{6}+\dfrac{x_2}{2}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte abgelesen werden:

$S_{x_1}(6|0|0)$ und $S_{x_2}(0|2|0)$ (Punkt $P$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_3$ verläuft parallel zur $x_3$-Achse.

Darstellung des Spiegels $ABCD$ in der Ebene $E_1$ (orange). Gedrehter Spiegel in der Ebene $E_3$ (grün). Drehachse [PQ].

Spiegeldrehung

Drehung des Spiegels um den Winkel $\alpha$, um die Achse $[PQ]$. Der Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen $E_1$ und $E_3$.

Aus den Koordinatendarstellungen der beiden Ebenen kannst du die Normalenvektoren ablesen:

$\vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$und $\vec n_{E_3}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}$

Damit gilt für den Winkel: $\cos \alpha=\dfrac{\vec n_{E_1}\circ\vec n_{E_3} }{|\vec n_{E_1}|\cdot|\vec n_{E_3}|}$

$\Rightarrow\;\cos \alpha=\dfrac{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix} }{\Big\vert\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\Big\vert\cdot\Big\vert\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\Big\vert}=\dfrac{1+3+0}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+3^2+0^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{10}}=\dfrac{4}{\sqrt{20}}$

$\alpha=\arccos\left(\dfrac{4}{\sqrt{20}}\right)\approx26{,}57^{\circ}$

Antwort: Der Spiegel wurde um etwa $26{,}57^\circ$ gedreht.

Lage der Ebene $E_t$ in Abhängigkeit von $t$

$E_t:\;x_1+t\cdot x_2=2\cdot t$

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_t$ verläuft parallel zur $x_3$-Achse.

Für $t=0$ ist $x_1=0$, d.h. die Ebene $E_0$ liegt in der $x_2x_3$-Ebene. Wenn der Betrag von $t$ größer wird, wird die $x_1$-Achse bei größeren $x_1$-Werten geschnitten $(S_{x_1}(2t|0|0))$, während der Schnittpunkt mit der $x_2$-Achse immer gleich bleibt $(S_{x_2}(0|2|0))$. Die Ebene (und damit auch der Spiegel) dreht sich weiter um die Drehachse $[PQ]$.

Liegt die Ebene (und damit auch der Spiegel) parallel zur $x_1x_3$-Ebene, dann lautet die Ebenengleichung $x_2=2$. Für kein $t$ kann aber die Ebene $E_t$ die Gleichung $x_2=2$ annehmen.

Lösung zu b)

$E_3:\;x_1+3\cdot x_2=6$

Der Punkt $A'$ hat die Koordinaten $A'(a|b|0)$.

Im Dreieck $S_{x_1}OP$ kann dann der Strahlensatz angewendet werden.

$\dfrac{b}{2}=\dfrac{\sqrt{40}-\sqrt{8}}{\sqrt{40}}\;\Rightarrow\;b=2\cdot\left((1-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\approx1{,}11$

Weiterhin gilt: $\dfrac{a}{6}=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{40}}\;\Rightarrow\;a=\dfrac{6}{\sqrt{5}}\approx2{,}68$

Der Punkt $A'$ hat die Koordinaten $A'(2{,}68|1{,}11|0)$.

Durch Symmetrieüberlegungen findest du die anderen Koordinaten des gedrehten Spiegels.

Die $x_1$-Koordinate vom Punkt $B'$ ist die negative $x_1$-Koordinate des Punktes $A'$.

Die $x_2$-Koordinate von $A'$ ist $1{,}11$. Aus der Zeichnung kannst du entnehmen, dass die $x_2$-Koordinate vom Punkt $B'$ gleich $2+(2-1{,}11)=2{,}89$ ist.

Der Punkt $B'$ hat die Koordinaten $B'(-2{,}68|2{,}89|0)$.

Der Punkt $C'$ liegt $4$ Einheiten oberhalb des Punktes $B'$. Somit hat $C'$ die Koordinaten $C'(-2{,}68|2{,}89|4)$.

Der Punkt $D'$ liegt $4$ Einheiten oberhalb des Punktes $A'$. Somit hat $D'$ die Koordinaten $D'(2{,}68|1{,}11|4)$.

Antwort: $A'(2{,}68|1{,}11|0);\;B'(-2{,}68|2{,}89|0);\;C'(-2{,}68|2{,}89|4);\;D'(2{,}68|1{,}11|4)$

Lösung zu c)

Geradengleichung für den Lichtstrahl

$g_{Licht}:\;\vec x=\begin{pmatrix}6\\8\\1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-3\\-3\\1\end{pmatrix}$

Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g_{Licht}$ mit der Ebene $E_t$:

Fallunterscheidung:

Fall 1: $t\neq-1$

Die letzte Gleichung kann nach r aufgelöst werden.

Fall 2: $t=-1$

Setzt du $t=-1$ in die Gleichung $r(3+3t)=6+6t$ ein, dann erhältst du eine wahre Aussage $0=0$, d.h. die Gerade liegt für $t=-1$ in der Ebene $E_t$.

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $r=2$ in $g_{Licht}$ ein:

$\vec x_S=\begin{pmatrix}6\\8\\1\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-3\\-3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}$

Der Schnittpunkt $S$ ist unabhängig von $t$, d.h. der Spiegel wird immer im gleichen Punkt $S$ getroffen. Der Punkt $S(0|2|3)$ liegt auf der Drehachse [PQ] des Spiegels.

Lösung zu a)

$A:\; P(X=6)=\binom {10} 6\cdot 0{,}6^6\cdot (1-0{,}6)^{10-6}=\binom {10} 6\cdot 0{,}6^6\cdot 0{,}4^{4}\approx 0{,}2508$

$B:\; P(X\geq6)=1-P(x\leq5)=1-F(10;0{,}6;5)=1-0{,}3669=0{,}6331$

$C:\;p=0{,}4^3\cdot0{,}6^7\approx 0{,}0018$

Lösung zu b)

$P(X\geq50)=1-P(x\leq49)\geq0{,}95\;\Rightarrow\;F(100;p;49)\leq0{,}05$

Mithilfe des TR erhältst du $p\approx 0{,}577$.

Lösung zu c)

Intervallbestimmung

$p_{Übergewicht}=0{,}54$; $n=500$

Die Zufallsvariable $X$ ist $B_{500;0{,}54}$ verteilt.

Den Mittelwert berechnest du mit $\mu=n\cdot p=500\cdot 0{,}54=270$

Die Standardabweichung berechnest du mit $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{500\cdot0{,}54\cdot0{,}46}\approx11{,}14$

Für ein Intervall mit $95$%-iger Wahrscheinlichkeit gilt: $[\mu-1{,}96 \sigma;\; \mu+1{,}96 \sigma]$

$\Rightarrow\;[270-1{,}96\cdot11{,}14;\; \mu+1{,}96\cdot11{,}14]=[270-21{,}83;\; 270+21{,}83]=[248{,}17;\; 291{,}83]$

Antwort: Die Anzahl der Übergewichtigen in dem Dorf liegt mit $95$%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen $248$ und $292$ Personen.

Hypothesentest

Gegeben sind $H_0:\:p\geq0{,}54$, $n=90$ und das Signifikanzniveau $\alpha=10$%

Es handelt sich um einen linksseitigen Test:

$\alpha\text{-Fehler}:\;P(X\leq k)\leq 0{,}1$

$\Rightarrow\;F(90;0{,}54;k)\leq0{,}1$

Mit dem TR findest du:

$F(90;0{,}54;43)\approx 0{,}1404 \geq 0{,}1\;\text{und}\;F(90;0{,}54;42)\approx 0{,}0986 \leq 0{,}1$

Also gilt $k=42$.

Antwort: Haben höchstens $42$ Mitglieder im Sportverein einen BMI$\;>25$, dann wird $H_0$ verworfen. Haben mehr als $42$ Mitglieder im Sportverein einen BMI$\;>25$, dann wird $H_0$ beibehalten.