🎓 Ui, fast schon PrĂŒfungszeit? Hier geht's zur Mathe-PrĂŒfungsvorbereitung.
Springe zum Inhalt oder Footer
SerloDie freie Lernplattform

Wahlteil

  1. 1

    Analysis A1.1

    FĂŒr jedes k>0k > 0 ist eine Funktion fkf_k festgelegt durch

    Ihr Schaubild sei CkC_k.

    a) Skizzieren Sie fĂŒr k=0,5,    k=1k = 0{,}5,\;\; k = 1 und k=2k =2 die Schaubilder CkC_k in ein gemeinsames Koordinatensystem.

    Zeigen Sie, dass C1C_1 achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

    Bestimmen Sie den Tiefpunkt von C1C_1.

    b) Das Schaubild CkC_k schließt mit der xx-Achse und den Geraden x=0x = 0 und x=1/kx = 1/k eine FlĂ€che ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser FlĂ€che.

    Eine HĂ€ngebrĂŒcke in einem Klettergarten wird durch die untere Skizze dargestellt.

    Bild

    c) Das Profil der BrĂŒcke soll durch den Graphen der Funktion g(x)=a⋅ekx+e−kx2kg(x)=a\cdot \dfrac{e^{kx}+e^{-kx}}{2k} (xx und yy in mm) beschrieben werden. Bestimmen Sie aa und kk.

    d) Bestimmen Sie unter welchem Winkel die BrĂŒcke im Punkt AA auf die waagrechte Plattform trifft.

    e) Zur Stabilisierung der BrĂŒcke wird im Punkt BB ein Halteseil am Boden befestigt und senkrecht im Punkt PP an die BrĂŒcke angebracht. Bestimmen Sie die Koordinaten des Befestigungspunktes PP.

  2. 2

    Analysis A1.2

    Ein Kegel mit dem Radius rr und der Höhe hh entsteht, indem das Schaubild einer Funktion kk um die xx-Achse rotiert.

    Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von kk.

    Berechnen Sie das Volumen VV des Kegels mithilfe eines geeigneten Integrals und weisen Sie so die Richtigkeit der Formel V=13⋅πr2hV=\dfrac{1}{3}\cdot\pi r^2 h nach.

  3. 3

    Analytische Geometrie B1

    Ein rechteckiger Spiegel hat die Eckpunkte A(2∣0∣0),A(2|0|0), B(−2∣4∣0)B(-2|4|0), C(−2∣4∣4)C(-2|4|4) und D(2∣0∣4)D(2|0|4). Er lĂ€sst sich um die Strecke PQPQ durch die Punkte P(0∣2∣0)P(0|2|0) und Q(0∣2∣4)Q(0|2|4) drehen.

    Weiterhin ist fĂŒr jedes t∈Rt \in \mathbb{R} eine Ebene EtE_t durch die Gleichung Et:x1+tx2=2tE_t:x_1+tx_2=2t gegeben. FĂŒr jedes tt wird durch die Ebene EtE_t eine mögliche Lage des Spiegels dargestellt.

    a) Zeichnen Sie den Spiegel und die Strecke PQPQ in ein Koordinatensystem.

    Zeigen Sie, dass der Spiegel in der Ebene E1E_1 liegt.

    Zeichnen Sie die Ebene E3E_3 ein.

    Der Spiegel dreht sich nun so, dass er in der Ebene E3E_3 liegt. Berechnen Sie, um wieviel Grad er sich dabei gedreht hat.

    Beschreiben Sie, wie sich die Stellung des Spiegels in AbhÀngigkeit von tt Àndert.

    Bestimmen Sie, welche Stellung des Spiegels durch keine Ebene EtE_t dargestellt wird.

    b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Spiegels, wenn der Spiegel in der Ebene E3E_3 liegt und zeichnen Sie den Spiegel fĂŒr diese Lage ein.

    c) Im Punkt L(6∣8∣1)L(6|8|1) befindet sich eine Lichtquelle, welche einen Lichtstrahl in Richtung (−3−31)\begin{pmatrix}-3\\-3\\1\end{pmatrix} aussendet.

    Zeigen Sie, dass der Lichtstrahl den Spiegel unabhÀngig von dessen Stellung immer im gleichen Punkt trifft.

  4. 4

    Stochastik C1

    Der Body-Mass-Index ist eine Maßzahl fĂŒr die Bewertung des Körpergewichts eines Menschen in Relation zu seiner KörpergrĂ¶ĂŸe.

    Menschen mit einem BMI > 25 gelten laut diesem Index bereits als ĂŒbergewichtig.

    a) Laut statistischem Bundesamt waren im Jahr 2017 60 % der mĂ€nnlichen Bevölkerung ĂŒbergewichtig (BMI >25).

    Berechnen Sie, die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

    A: „Unter 10 zufĂ€llig ausgewĂ€hlten MĂ€nnern sind genau 6 MĂ€nner ĂŒbergewichtig.“

    B: „Unter 10 zufĂ€llig ausgewĂ€hlten MĂ€nnern sind mehr als die HĂ€lfte ĂŒbergewichtig.“

    C: „Unter 10 zufĂ€llig ausgewĂ€hlten MĂ€nnern sind nur die ersten drei nicht ĂŒbergewichtig.“

    b) Wie hoch mĂŒsste der Anteil der Übergewichtigen in der weiblichen Bevölkerung mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % unter 100 zufĂ€llig ausgewĂ€hlten Frauen mindestens 50 Übergewichtige sind.

    c) In der Gesamtbevölkerung Deutschlands betrug der Anteil der Übergewichtigen im Jahr 2017 laut statistischem Bundesamt 54 %.

    Ein Dorf hat 500 Einwohner. Bestimmen Sie ein Intervall, in dem die Anzahl der Übergewichtigen in dem Dorf mit 95 %-iger Sicherheit liegen wird.

    Ein Sportverein in dem Dorf hat 90 Mitglieder. Der Vereinsvorsitzende behauptet, dass der Anteil der Übergewichtigen in seinem Verein geringer als in der sonstigen Bevölkerung ist.

    Um dies zu ĂŒberprĂŒfen, wird die Nullhypothese H0:p≄0,54H_0:p\ge0{,}54 auf dem Signifikanzniveau 10 % getestet und das BMI der 90 Mitglieder ermittelt.

    Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.


Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?