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Wahlteil

  1. 1

    Analysis A1.1

    Für jedes k>0k > 0 ist eine Funktion fkf_k festgelegt durch

    Ihr Schaubild sei CkC_k.

    a) Skizzieren Sie für k=0,5,    k=1k = 0{,}5,\;\; k = 1 und k=2k =2 die Schaubilder CkC_k in ein gemeinsames Koordinatensystem.

    Zeigen Sie, dass C1C_1 achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

    Bestimmen Sie den Tiefpunkt von C1C_1.

    b) Das Schaubild CkC_k schließt mit der xx-Achse und den Geraden x=0x = 0 und x=1/kx = 1/k eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche.

    Eine Hängebrücke in einem Klettergarten wird durch die untere Skizze dargestellt.

    Bild

    c) Das Profil der Brücke soll durch den Graphen der Funktion g(x)=aekx+ekx2kg(x)=a\cdot \dfrac{e^{kx}+e^{-kx}}{2k} (xx und yy in mm) beschrieben werden. Bestimmen Sie aa und kk.

    d) Bestimmen Sie unter welchem Winkel die Brücke im Punkt AA auf die waagrechte Plattform trifft.

    e) Zur Stabilisierung der Brücke wird im Punkt BB ein Halteseil am Boden befestigt und senkrecht im Punkt PP an die Brücke angebracht. Bestimmen Sie die Koordinaten des Befestigungspunktes PP.

  2. 2

    Analysis A1.2

    Ein Kegel mit dem Radius rr und der Höhe hh entsteht, indem das Schaubild einer Funktion kk um die xx-Achse rotiert.

    Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von kk.

    Berechnen Sie das Volumen VV des Kegels mithilfe eines geeigneten Integrals und weisen Sie so die Richtigkeit der Formel V=13πr2hV=\dfrac{1}{3}\cdot\pi r^2 h nach.

  3. 3

    Analytische Geometrie B1

    Ein rechteckiger Spiegel hat die Eckpunkte A(200),A(2|0|0), B(240)B(-2|4|0), C(244)C(-2|4|4) und D(204)D(2|0|4). Er lässt sich um die Strecke PQPQ durch die Punkte P(020)P(0|2|0) und Q(024)Q(0|2|4) drehen.

    Weiterhin ist für jedes tRt \in \mathbb{R} eine Ebene EtE_t durch die Gleichung Et:x1+tx2=2tE_t:x_1+tx_2=2t gegeben. Für jedes tt wird durch die Ebene EtE_t eine mögliche Lage des Spiegels dargestellt.

    a) Zeichnen Sie den Spiegel und die Strecke PQPQ in ein Koordinatensystem.

    Zeigen Sie, dass der Spiegel in der Ebene E1E_1 liegt.

    Zeichnen Sie die Ebene E3E_3 ein.

    Der Spiegel dreht sich nun so, dass er in der Ebene E3E_3 liegt. Berechnen Sie, um wieviel Grad er sich dabei gedreht hat.

    Beschreiben Sie, wie sich die Stellung des Spiegels in Abhängigkeit von tt ändert.

    Bestimmen Sie, welche Stellung des Spiegels durch keine Ebene EtE_t dargestellt wird.

    b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Spiegels, wenn der Spiegel in der Ebene E3E_3 liegt und zeichnen Sie den Spiegel für diese Lage ein.

    c) Im Punkt L(681)L(6|8|1) befindet sich eine Lichtquelle, welche einen Lichtstrahl in Richtung (331)\begin{pmatrix}-3\\-3\\1\end{pmatrix} aussendet.

    Zeigen Sie, dass der Lichtstrahl den Spiegel unabhängig von dessen Stellung immer im gleichen Punkt trifft.

  4. 4

    Stochastik C1

    Der Body-Mass-Index ist eine Maßzahl für die Bewertung des Körpergewichts eines Menschen in Relation zu seiner Körpergröße.

    Menschen mit einem BMI > 25 gelten laut diesem Index bereits als übergewichtig.

    a) Laut statistischem Bundesamt waren im Jahr 2017 60 % der männlichen Bevölkerung übergewichtig (BMI >25).

    Berechnen Sie, die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

    A: „Unter 10 zufällig ausgewählten Männern sind genau 6 Männer übergewichtig.“

    B: „Unter 10 zufällig ausgewählten Männern sind mehr als die Hälfte übergewichtig.“

    C: „Unter 10 zufällig ausgewählten Männern sind nur die ersten drei nicht übergewichtig.“

    b) Wie hoch müsste der Anteil der Übergewichtigen in der weiblichen Bevölkerung mindestens sein, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % unter 100 zufällig ausgewählten Frauen mindestens 50 Übergewichtige sind.

    c) In der Gesamtbevölkerung Deutschlands betrug der Anteil der Übergewichtigen im Jahr 2017 laut statistischem Bundesamt 54 %.

    Ein Dorf hat 500 Einwohner. Bestimmen Sie ein Intervall, in dem die Anzahl der Übergewichtigen in dem Dorf mit 95 %-iger Sicherheit liegen wird.

    Ein Sportverein in dem Dorf hat 90 Mitglieder. Der Vereinsvorsitzende behauptet, dass der Anteil der Übergewichtigen in seinem Verein geringer als in der sonstigen Bevölkerung ist.

    Um dies zu überprüfen, wird die Nullhypothese H0:p0,54H_0:p\ge0{,}54 auf dem Signifikanzniveau 10 % getestet und das BMI der 90 Mitglieder ermittelt.

    Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.


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