Lösung zu a)

$A:\; P(X=6)=\binom {10} 6\cdot 0{,}6^6\cdot (1-0{,}6)^{10-6}=\binom {10} 6\cdot 0{,}6^6\cdot 0{,}4^{4}\approx 0{,}2508$

$B:\; P(X\geq6)=1-P(x\leq5)=1-F(10;0{,}6;5)=1-0{,}3669=0{,}6331$

$C:\;p=0{,}4^3\cdot0{,}6^7\approx 0{,}0018$

Lösung zu b)

$P(X\geq50)=1-P(x\leq49)\geq0{,}95\;\Rightarrow\;F(100;p;49)\leq0{,}05$

Mithilfe des TR erhältst du $p\approx 0{,}577$.

Lösung zu c)

Intervallbestimmung

$p_{Übergewicht}=0{,}54$; $n=500$

Die Zufallsvariable $X$ ist $B_{500;0{,}54}$ verteilt.

Den Mittelwert berechnest du mit $\mu=n\cdot p=500\cdot 0{,}54=270$

Die Standardabweichung berechnest du mit $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{500\cdot0{,}54\cdot0{,}46}\approx11{,}14$

Für ein Intervall mit $95$%-iger Wahrscheinlichkeit gilt: $[\mu-1{,}96 \sigma;\; \mu+1{,}96 \sigma]$

$\Rightarrow\;[270-1{,}96\cdot11{,}14;\; \mu+1{,}96\cdot11{,}14]=[270-21{,}83;\; 270+21{,}83]=[248{,}17;\; 291{,}83]$

Antwort: Die Anzahl der Übergewichtigen in dem Dorf liegt mit $95$%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen $248$ und $292$ Personen.

Hypothesentest

Gegeben sind $H_0:\:p\geq0{,}54$, $n=90$ und das Signifikanzniveau $\alpha=10$%

Es handelt sich um einen linksseitigen Test:

$\alpha\text{-Fehler}:\;P(X\leq k)\leq 0{,}1$

$\Rightarrow\;F(90;0{,}54;k)\leq0{,}1$

Mit dem TR findest du:

$F(90;0{,}54;43)\approx 0{,}1404 \geq 0{,}1\;\text{und}\;F(90;0{,}54;42)\approx 0{,}0986 \leq 0{,}1$

Also gilt $k=42$.

Antwort: Haben höchstens $42$ Mitglieder im Sportverein einen BMI$\;>25$, dann wird $H_0$ verworfen. Haben mehr als $42$ Mitglieder im Sportverein einen BMI$\;>25$, dann wird $H_0$ beibehalten.