Als Rotationskörper wird in der Geometrie ein Körper bezeichnet, der durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entsteht. Dabei müssen Kurve und Rotationsachse in derselben Ebene liegen. Weitere Informationen findest du im Artikel zum Rotationskörper .
Um Mantelfläche und Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, benötigt man nur die Funktionsvorschrift der Kurve.
Erzeugende Kurve und Rotationsachse
x 2 + y 2 = r 2 bzw. y = r 2 − x 2 x^2+ y^2= r^2\;\text{bzw.}\; y=\sqrt{ r^2- x^2} x 2 + y 2 = r 2 bzw. y = r 2 − x 2 x x x
oder x = r 2 − y 2 x=\sqrt{ r^2- y^2} x = r 2 − y 2 y y y
Offener Zylinder mit Radius r r r h h h
y = r , D = [ 0 ; h ] y= r,\; D=\lbrack0; h\rbrack y = r , D = [ 0 ; h ] 0 0 0 h h h x x x
x = r , W = [ 0 ; h ] x= r,\; W=\lbrack0; h\rbrack x = r , W = [ 0 ; h ] 0 0 0 h h h y y y
Offener Zylinder mit Radius r r r h h h
y = r , D = [ 0 ; h ] y= r,\; D=\lbrack0; h\rbrack y = r , D = [ 0 ; h ] 0 0 0 h h h x x x
x = r , W = [ 0 ; h ] x= r,\; W=\lbrack0; h\rbrack x = r , W = [ 0 ; h ] 0 0 0 h h h y y y
Offener Kegel mit Radius r r r h h h
y = − r h x + r , D = [ 0 ; h ] y=-\frac{ r}{ h} x+ r,\; D=\lbrack0; h\rbrack y = − h r x + r , D = [ 0 ; h ] x x x
x = − r h y + r , D = [ 0 ; r ] x=-\frac{ r}{ h} y+ r,\; D=\lbrack0; r\rbrack x = − h r y + r , D = [ 0 ; r ] y y y
Grundsätzlich kann man aber alle Kurven um eine Achse rotieren lassen.
▸ Ein anschauliches Beispiel
Rechnen mit Rotationskörpern Im Folgenden findest du die Formeln zur Berechnung des Volumens und der Mantelfläche von Rotationskörpern. Betrachte auch das Beispiel zur Berechnung der Integrale.
Volumen Hierbei musst du unterscheiden, ob die Rotation um die x x x y y y
Rotation um die x-Achse
Für das Volumen eines Rotationskörpers, der um die x x x
V = π ⋅ ∫ a b ( f ( x ) ) 2 d x \displaystyle V=\pi\cdot\int_ a^ b\left( f\left( x\right)\right)^2\operatorname{d}x V = π ⋅ ∫ a b ( f ( x ) ) 2 d x a a a b b b f ( x ) f\left( x\right) f ( x ) x x x nicht schneiden darf.
Rotation um die y-Achse Für die Volumenberechnung bei einer Rotation um die y y y
Umkehrfunktion benötigt. Diese existiert, wenn die Funktion f ( x ) f\left( x\right) f ( x ) stetig und streng monoton ist. Die Formel lautet
V = π ⋅ ∫ min { f ( a ) ; f ( b ) } max { f ( a ) ; f ( b ) } ( f − 1 ( y ) ) 2 d y \displaystyle V=\pi\cdot\int_{\min\left\{ f\left( a\right); f\left( b\right)\right\}}^{\max\left\{ f\left( a\right); f\left( b\right)\right\}}\left( f^{-1}\left( y\right)\right)^2\operatorname{d} y V = π ⋅ ∫ m i n { f ( a ) ; f ( b ) } m a x { f ( a ) ; f ( b ) } ( f − 1 ( y ) ) 2 d y beziehungsweise
V = π ⋅ ∫ a b x 2 ⋅ ∣ f ′ ( x ) ∣ d x \displaystyle V=\pi\cdot\int_ a^ b x^2\cdot\left| f'\left( x\right)\right|\operatorname{d} x V = π ⋅ ∫ a b x 2 ⋅ ∣ f ′ ( x ) ∣ d x a a a b b b f ( a ) f(a) f ( a ) f ( b ) f(b) f ( b )
Berechnen des Rotationsvolumens
Der Graph der Funktion f ( x ) = x 2 + 1 , D f = [ − 1 ; 2 ] f\left( x\right)= x^2+1,\;\;\;{ D}_ f=\left[-1;2\right] f ( x ) = x 2 + 1 , D f = [ − 1 ; 2 ] x x x
V \displaystyle V V = = = π ⋅ ∫ a b ( f ( x ) ) 2 d x \displaystyle \pi\cdot\int_a^b\left(f\left(x\right)\right)^2dx π ⋅ ∫ a b ( f ( x ) ) 2 d x ↓ Alle Angaben in die Volumenformel einsetzen.
= = = π ⋅ ∫ − 1 2 ( x 2 + 1 ) 2 d x \displaystyle \pi\cdot\int_{-1}^2\left(x^2+1\right)^2dx π ⋅ ∫ − 1 2 ( x 2 + 1 ) 2 d x = = = π ⋅ ∫ − 1 2 x 4 + 2 x 2 + 1 d x \displaystyle \pi\cdot\int_{-1}^2 x^4+2 x^2+1\operatorname{d} x π ⋅ ∫ − 1 2 x 4 + 2 x 2 + 1 d x ↓ Stammfunktion finden und Integral berechnen.
= = = π ⋅ [ 1 5 x 5 + 2 3 x 3 + x ] − 1 2 \displaystyle \pi \cdot \left[\frac{1}{5}x^5 + \frac{2}{3} x^3 + x\right]_{-1}^2 π ⋅ [ 5 1 x 5 + 3 2 x 3 + x ] − 1 2 = = = π ⋅ [ 1 5 ⋅ 2 5 + 2 3 2 3 + 2 − ( 1 5 ⋅ ( − 1 ) 5 + 2 3 ( − 1 ) 3 − 1 ) ] \displaystyle \pi \cdot \left[\frac{1}{5} \cdot 2^5 + \frac{2}{3} 2^3 + 2 - \left( \frac{1}{5} \cdot (-1)^5 + \frac{2}{3} (-1)^3 -1\right) \right] π ⋅ [ 5 1 ⋅ 2 5 + 3 2 2 3 + 2 − ( 5 1 ⋅ ( − 1 ) 5 + 3 2 ( − 1 ) 3 − 1 ) ] = = = π ⋅ [ 32 5 + 16 3 + 2 − ( − 1 5 − 2 3 − 1 ) ] \displaystyle \pi \cdot \left[ \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2 - \left( -\frac{1}{5} - \frac{2}{3} -1\right)\right] π ⋅ [ 5 32 + 3 16 + 2 − ( − 5 1 − 3 2 − 1 ) ] = = = 78 5 π \displaystyle \frac{78}{5} \pi 5 78 π
Mantelfläche Auch für die Mantelfläche ergeben sich unterschiedliche Formeln für die Rotation, um die x x x y y y
Rotation um x x x Die Formel für die Mantelfläche M eines Körpers bei Rotation um die x x x
M = 2 π ⋅ ∫ a b f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x \displaystyle M=2\pi\cdot\int_a^bf\left(x\right)\sqrt{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2}dx M = 2 π ⋅ ∫ a b f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x
Rotation um y y y Für die Rotation um die y y y
M = 2 π ⋅ ∫ m i n { f ( a ) ; f ( b ) } m a x { f ( a ) ; f ( b ) } f − 1 ( y ) 1 + ( ( f − 1 ( y ) ) ′ ) 2 d y \displaystyle M=2\pi\cdot\int_{min\left\{f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}}^{max\left\{f\left(a\right);f\left(b\right)\right\}}f^{-1}\left(y\right)\sqrt{1+\left(\left(f^{-1}\left(y\right)\right)'\right)^2}\operatorname{d}y M = 2 π ⋅ ∫ min { f ( a ) ; f ( b ) } ma x { f ( a ) ; f ( b ) } f − 1 ( y ) 1 + ( ( f − 1 ( y ) ) ′ ) 2 d y Auch hier muss die Umkehrfunktion existieren. a a a b b b
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