Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Dafür konnten sich die Kinder in zwei Listen eintragen. 45% der Kinder haben sich sowohl für das Torwandschießen als auch für das Elfmeterschießen eingetragen, 15% haben sich nur für das Elfmeterschießen eingetragen. 90% der Kinder, die sich für das Torwandschießen eingetragen haben, haben sich auch für das Elfmeterschießen eingetragen. Aus den Kindern wird eines zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

T: „Das Kind hat sich für das Torwandschießen eingetragen.“

E:„Das Kind hat sich für das Elfmeterschießen eingetragen.“

a) Untersuchen Sie die Ereignisse T und E auf stochastische Unabhängigkeit.

b) Drücken Sie jedes der beiden folgenden Ereignisse unter Verwendung der Mengenschreibweise durch T und E aus.

A: „Das Kind hat sich in keine der Listen eingetragen.“

B: „Das Kind hat sich in genau eine Liste eingetragen.“

Beim Torwandschießen treten zwei Schützen gegeneinander an. Zunächst gibt der eine sechs Schüsse ab, anschließend der andere. Wer dabei mehr Treffer erzielt, hat gewonnen; andernfalls geht das Torwandschießen unentschieden aus.

a) Stochastische Unabhängigkeit

Um zu prüfen, ob die zwei Ereignisse T und E stochastisch unabhängig sind, musst du überprüfen, ob folgende Gleichung gilt:

$P\left(E\right)\cdot P\left(T\right)=P\left(E\cap T\right)$

P(E) bestimmen:

Erstelle zuerst eine Vierfeldertafel und trage alle gegebenen Größen ein und die, die du leicht aus dem Text bestimmen kannst.

Die fertige Vierfeldertafel aus der Angabe sieht wie folgt aus:

	$T$	$\overline T$
$E$	45%	15%	60%
$\overline E$			40%
			100%

Es ist also $P\left(E\right)=60\%$ .

P(T) bestimmen:

Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass 90% der Kinder, die sich für das Torwandschießen eingetragen haben, auch für das Elfmeterschießen eingetragen haben. Dies ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_T\left(E\right).$ Die 1. Pfadregel hilft dir dabei, aus dieser Angabe und der ebenfalls gegebenen Wahrscheinlichkeit $P\left(E\cap T\right)$ die Wahrscheinlichkeit $P\left(T\right)$ zu bestimmen.

Verwende die erste Pfadregel als Ansatz
	↓
$\displaystyle P\left(T\cap E\right)$	$=$	$\displaystyle P\left(T\right)\cdot P_T\left(E\right)$	$\displaystyle :P_T\left(E\right)$
	↓	Isoliere P(T)
$\displaystyle P\left(T\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{P\left(T\cap E\right)}{P_T\left(E\right)}$
	↓	Setze die gegebenen Werte ein
$\displaystyle P\left(T\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{45\%}{90\%}$
$\displaystyle P\left(T\right)$	$=$	$\displaystyle 50\%$

Beispiel bedingte Wahrscheinlichkeit im Baumdiagramm

Mit $P\left(T\right)$ kannst du die Vierfeldertafel ergänzen (nicht gefragt!)

	$T$	$\overline T$
$E$	45%	15%	60%
$\overline E$	5%	35%	40%
	50%	50%	100%

stochastische Unabhängigkeit prüfen

$P(T\cap E)=45\%=0{,}45$

$P(T)=50\%=0{,}5$

$P(E)=60\%=0{,}6$

$P(T)\cdot P(E)=0{,}5\cdot0{,}6=0{,}3$ und $P(T\cap E)=0{,}45$ , also ist

\displaystyle P(T\cap E)\ne P(T)\cdot P(E)

$\Rightarrow$ $T$ und $E$ sind stochastisch abhängig.

b) Mengenschreibweise

A: Kind in keine Liste eingetragen $\overline{T}\cap\overline{E}$

B: Kind nur in einer Liste eingetragen: $(\overline{T}\cap E)\cup (T\cap\overline{E})$

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.