Aufgaben zu Definitionsmenge, Achsenschnittpunkten und Einfluss der Parameter

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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f (x) = \frac{a}{x + b} + c$ .

Verschiebe den Graphen der Funktion $g (x) = \frac{2}{x + 1} + 2,5$ um $4$ Einheiten in negative x-Richtung und um $3,5$ Einheiten in negative y-Richtung. Der neue Graph gehört zu einer Funktion $h (x)$ .

1) Gib die Funktionsgleichung von $h (x)$ an.

2) Berechne die Schnittpunkte des Graphen von $h (x)$ mit den Koordinatenachsen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen

Teilaufgabe 1

Der Graph der Funktion $g (x)$ ist im Vergleich zum Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ um $1$ Einheit in negative x-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von $g (x)$ um weitere $4$ Einheiten in negative x-Richtung verschoben werden. Der Nenner der Funktion $h (x)$ muss also nun lauten: $x + 1 + 4 = x + 5$ .

Der Graph der Funktion $g (x)$ ist im Vergleich zum Graphen der Funktion $f (x) = \frac{1}{x}$ um $2,5$ Einheiten in positive y-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von $g (x)$ um $3,5$ Einheiten in negative y-Richtung verschoben werden. Der Parameter $c$ lautet nun: $c = 2,5 - 3,5 = - 1$ .

Antwort: Die Funktionsgleichung $h (x)$ lautet somit: $h (x) = \frac{2}{x + 5} - 1$

Teilaufgabe 2

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $h (0)$ :

h (0) = \frac{2}{0 + 5} - 1 = \frac{2}{5} - 1 = - \frac{3}{5} = - 0,6

Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T (0 | - 0,6)$ geschnitten.

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$

Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $h (x) = 0$ .

\begin{array}{rcl} \frac{2}{x + 5} - 1 & = & 0 & | + 1 \\ \frac{2}{x + 5} & = & 1 & | \cdot (x + 5) \\ 2 & = & 1 \cdot (x + 5) \\ 2 & = & x + 5 & | - 5 \\ x & = & - 3 \end{array}

Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N (- 3 | 0)$ geschnitten.

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Der türkisfarbige Graph $G_{g}$ gehört zur Funktion $g (x) = \frac{2}{x + 1} + 2,5$

Der lilafarbige Graph $G_{h}$ ist der um $4$ Einheiten nach links und um $3,5$ Einheiten nach unten verschobene Graph $G_{g}$ .

Eingezeichnet sind beim verschobenen Graphen $G_{h}$ die berechneten Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen $T (0 | - 0,6)$ und $N (- 3 | 0)$ .

Teilaufgabe 1

Überlege Dir, wie sich der Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion verändern muss, wenn der Graph dieser Funktion in negative x-Richtung verschoben werden soll. Wie ändert sich der Parameter $c$ bei einer Verschiebung des Graphen in negative y-Richtung?

Teilaufgabe 2

Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $h (0)$ . Für den Schnittpunkt mit der x-Achse löse die Gleichung $h (x) = 0$ .

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Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x = 0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y = 0$