Aufgaben zu einfachen gebrochen-rationalen Funktionen

In diesem Aufgabenordner werden nur Funktionen der Form

\displaystyle f(x)=\frac{a}{x+b}+c

( $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , $b\in\mathbb{R}$ , $c\in \mathbb{R}$ ) betrachtet.

Zeichne die Graphen zu den Termen $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x$ in ein Koordinatensystem.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen

Zeichnung

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/8480_IDafL00uol.xml

Bestimmung der Nullstelle

$f(x)=\dfrac{x}{x-2}$

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. $\rightarrow$ Setze den Zähler gleich $0$ , also $\mathrm{x}=0$ .

$\Rightarrow {\mathrm x}_\mathrm N=0$

Der Graph hat bei $x_N=0$ eine Nullstelle.

x-Wert mit $f(x)=-3$

Setze $f(x)=-3$

$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle -3$	$\displaystyle \cdot\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3x+6$	$\displaystyle +3x$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{4}=1{,}5$

Für $x=1{,}5$ nimmt $f(x)$ den Wert $-3$ an.

Bestimmung der Schnittpunkte

$f(x)= \dfrac{x}{x-2}$ , $g(x)=\dfrac x3$

Setze $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)$ gleich.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
$\displaystyle \frac{x}{x-2}$	$=$	$\displaystyle \frac{x}{3}$	$\displaystyle \cdot3\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere über Kreuz.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x\left(x-2\right)$
	↓	Multipliziere aus.
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x^2-2x$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle x^2-5x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Klammer x aus.
$\displaystyle x\left(x-5\right)$	$=$	$\displaystyle 0$

Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.

$\Rightarrow$ ${\mathrm x}_{\mathrm S1}=0\;\;\;\;\;{\mathrm x}_{\mathrm S2}=5$

Setze ${\mathrm x}_{\mathrm S2}$ in eine der beiden Funktionen ein.

${\mathrm y}_{\mathrm S2}=\frac53$

$\;\;\Rightarrow\;\;{\mathrm S}_1\left(0|0\right);\;\;{\mathrm S}_2\left(5|\frac53\right)$

In der Definitionsmenge von $f(x)$ muss nur $2$ ausgenommen werden, bei $g(x)$ sind alle rationalen Zahlen erlaubt.

Daher ist die Lösungsmenge: $L=\{0;5\}$

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Zeichne die Graphen der Funktionen $f:\;x\mapsto\dfrac3{x+2}$ und $f_1:\;x\mapsto\dfrac1{2-x}$

Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Spiegeln, verschieben, stauchen
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=\frac3x$ und bestimme damit die Graphen von $g(x)=-\frac3x-2$ , $h(x)=\frac3{x+1{,}5}$ und $k(x)=\frac{1{,}5}x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
$\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac3{\mathrm x}$
Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein. Bsp.: $\mathrm x=3\;;\;\rightarrow\;\mathrm y=1$
$g(x)=-\frac3x-2$
$g(x)=-\frac3x-2$ $\rightarrow$ Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.
$h(x)=\dfrac {3}{x+1{,}5}$
Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.
$k(x)=\frac{1{,}5}{x}$
Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
1) Gib zu den gegebenen Parametern $a$ , $b$ und $c$ die zugehörende gebrochen-rationale Funktionsgleichung an.
2) Beschreibe, wie der Graph deiner ermittelten Funktion aus dem Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hervorgeht.
3) Gib die Gleichungen der waagerechten und senkrechten Asymptoten von deiner ermittelten Funktion an und erläutere sie.
1. Funktion $f_1(x)$ : $a=1$ , $b=0$ und $c=2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Teilaufgabe 1:
  Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_1(x)=\dfrac{1}{x+0}+2=\dfrac{1}{x}+2$
  Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
  Teilaufgabe 2:
  Vergleiche den Graphen der Funktion $f_1(x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .
  Antwort: Der Parameter $c=2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_1(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $b=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$ .
  Teilaufgabe 3:
  Die Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_1(x)$ ergeben haben.
  Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y=0$ um zwei Einheiten in positive y-Richtung verschoben.
  Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_1(x)$ hat nun die Gleichung $y=2$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_1(x)$ ist weiterhin $x=0$ , da keine Verschiebung von $G_f$ in x-Richtung erfolgt ( $b=0$ ).
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y=2$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ .
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2. Funktion $f_2(x)$ : $a=1$ , $b=0$ und $c=-3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Teilaufgabe 1:
  Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_2(x)=\dfrac{1}{x+0}-3=\dfrac{1}{x}-3$
  Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
  Teilaufgabe 2:
  Vergleiche den Graphen der Funktion $f_2(x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .
  Antwort: Der Parameter $c=-3$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um drei Einheiten in negative y-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_2(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $b=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$ .
  Teilaufgabe 3:
  Die Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_2(x)$ ergeben haben.
  Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um drei Einheiten in negative y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote $y=0$ um drei Einheiten in negative y-Richtung verschoben. Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_2(x)$ hat nun die Gleichung $y=-3$ . Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_2(x)$ ist weiterhin $x=0$ , da keine Verschiebung von $G_f$ in x-Richtung erfolgt ( $b=0$ ).
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y=-3$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ .
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3. Funktion $f_3(x)$ : $a=1$ , $b=1$ und $c=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Teilaufgabe 1:
  Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow f_3(x)=\dfrac{1}{x+1}+0=\dfrac{1}{x+1}$
  Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
  Teilaufgabe 2:
  Vergleiche den Graphen der Funktion $f_3(x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .
  Antwort: Der Parameter $b=1$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um eine Einheit in negative x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_3(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $c=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$ .
  Teilaufgabe 3:
  Die Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_3(x)$ ergeben haben.
  Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um eine Einheit in negative x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x=0$ um eine Einheit in negative x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_3(x)$ hat nun die Gleichung $x=-1$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_3(x)$ ist weiterhin $y=0$ , da keine Verschiebung von $G_f$ in y-Richtung erfolgt ( $c=0$ ).
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=-1$ .
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4. Funktion $f_4(x)$ : $a=1$ , $b=-2$ und $c=0$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
  Teilaufgabe 1
  Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein $\Rightarrow$
  Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
  Teilaufgabe 2
  Vergleiche den Graphen der Funktion $f_4(x)$ , die Du erhalten hast, mit dem Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ .
  Antwort: Der Parameter $b=-2$ bewirkt eine Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung, um den Graphen der Funktion $f_4(x)$ zu erhalten. Die Parameter $a=1$ und $c=0$ führen zu keiner Veränderung von $G_f$ .
  Teilaufgabe 3
  Die Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hat die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=0$ . Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion $f_4(x)$ ergeben haben.
  Antwort: Durch die Verschiebung von $G_f$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote $x=0$ um zwei Einheiten in positive x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion $f_4(x)$ hat nun die Gleichung $x=2$ . Die waagerechte Asymptote der Funktion $f_4(x)$ ist weiterhin $y=0$ , da keine Verschiebung von $G_f$ in y-Richtung erfolgt ( $c=0$ ).
  Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
  Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote $y=0$ und die senkrechte Asymptote $x=2$ .
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
Verschiebe den Graphen der Funktion $g(x)=\dfrac{2}{x+1}+2{,}5$ um $4$ Einheiten in negative x-Richtung und um $3{,}5$ Einheiten in negative y-Richtung. Der neue Graph gehört zu einer Funktion $h(x)$ .
1) Gib die Funktionsgleichung von $h(x)$ an.
2) Berechne die Schnittpunkte des Graphen von $h(x)$ mit den Koordinatenachsen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Der Graph der Funktion $g(x)$ ist im Vergleich zum Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ um $1$ Einheit in negative x-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von $g(x)$ um weitere $4$ Einheiten in negative x-Richtung verschoben werden. Der Nenner der Funktion $h(x)$ muss also nun lauten: $x+1+4=x+5$ .
Der Graph der Funktion $g(x)$ ist im Vergleich zum Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ um $2{,}5$ Einheiten in positive y-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von $g(x)$ um $3{,}5$ Einheiten in negative y-Richtung verschoben werden. Der Parameter $c$ lautet nun: $c=2{,}5-3{,}5=-1$ .
Antwort: Die Funktionsgleichung $h(x)$ lautet somit: $h(x)=\dfrac{2}{x+5}-1$
Teilaufgabe 2
Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$
Der y-Wert des Schnittpunktes $T$ mit der y-Achse ist $h(0)$ :
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt $T(0\vert-0{,}6)$ geschnitten.
Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$
Den x-Wert des Schnittpunktes $N$ mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung $h(x)=0$ .
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt $N(-3\vert0)$ geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der türkisfarbige Graph $G_g$ gehört zur Funktion $g(x)=\dfrac{2}{x+1}+2{,}5$
Der lilafarbige Graph $G_h$ ist der um $4$ Einheiten nach links und um $3{,}5$ Einheiten nach unten verschobene Graph $G_g$ .
Eingezeichnet sind beim verschobenen Graphen $G_h$ die berechneten Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen $T(0\vert-0{,}6)$ und $N(-3\vert0)$ .
Teilaufgabe 1
Überlege Dir, wie sich der Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion verändern muss, wenn der Graph dieser Funktion in negative x-Richtung verschoben werden soll. Wie ändert sich der Parameter $c$ bei einer Verschiebung des Graphen in negative y-Richtung?
Teilaufgabe 2
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne $h(0)$ . Für den Schnittpunkt mit der x-Achse löse die Gleichung $h(x)=0$ .
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $g(x)=\dfrac{1}{x+b}+c$
Bestimme die Werte der Parameter $b$ und $c$ so, dass die gebrochen-rationale Funktion folgende Eigenschaften hat.
1. Der Graph der Funktion $g_1(x)$ schneidet die y-Achse im Punkt $T(0\vert3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_1(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
  Wenn du den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ in positive oder negative x-Richtung verschiebst, wird die y-Achse geschnitten, die x-Achse hingegen nicht. Der Parameter $c$ , der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow c=0$
  Der Wert für den Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss berechnet werden.
  Die Funktion $g_1(x)$ hat die Form:
  Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T(0\vert3)$ in die Funktionsgleichung von $g_1(x)$ ein und löse nach $b$ auf.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}3&=&\dfrac{1}{0+b}&\\\\3&=&\dfrac{1}{b}&\vert\cdot b\\\\3b&=&1&\vert:3\\\\b&=&\dfrac{1}{3}&\end{array}$
  Antwort: Der Graph der Funktion $g_1(x)=\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{3}}$ schneidet die y-Achse im Punkt $T(0\vert3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten.
  Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Überlege dir, wie du den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.
2. Der Graph der Funktion $g_2(x)$ schneidet die x-Achse im Punkt $N(-2\vert0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_2(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
  Wenn du den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung verschiebst, wird die x-Achse geschnitten, die y-Achse hingegen nicht. Der Parameter $b$ , der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: $\Rightarrow b=0$
  Der Wert für den Parameter $c$ , der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss berechnet werden.
  Die Funktion $g_2(x)$ hat die Form:
  Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N(-2\vert0)$ in die Funktionsgleichung von $g_2(x)$ ein und löse nach $c$ auf.
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0&=&\dfrac{1}{-2}+c&\\\\0&=&-\dfrac{1}{2}+c&\vert+\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{1}{2}&=&c&\end{array}$
  Antwort: Der Graph der Funktion $g_2(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}$ schneidet die x-Achse im Punkt $N(-2\vert0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten.
  Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  Überlege dir, wie du den Graphen $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
Überprüfe rechnerisch, welche der gegebenen Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
Hinweis: Bei der Eingabe deiner Lösung gib die Punktnummern durch Komma getrennt ein (z.B. so: 1,2,4). In diesem Fall würden die Punkte $P_1$ , $P_2$ und $P_4$ auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen, die Punkte $P_3$ und $P_5$ hingegen nicht. Es können bei jeder Teilaufgabe 1 bis 5 Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
1. $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$
  $P_1(-2\vert0{,}6);P_2(-1\vert0{,}4);P_3(1\vert0);P_4(4\vert3);P_5(3{,}5\vert4)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Setze $P_1(\textcolor{ff6600}{-2}\vert\textcolor{009999}{0{,}6})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{0{,}6}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{-2}-3}+1&\\\\0{,}6&=&\dfrac{2}{-5}+1&\\\\0{,}6&=&-0{,}4+1&\\\\0{,}6&=&0{,}6&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_1$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_2(\textcolor{ff6600}{-1}\vert\textcolor{009999}{0{,}4})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{0{,}4}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{-1}-3}+1&\\\\0{,}4&=&\dfrac{2}{-4}+1&\\\\0{,}4&=&-0{,}5+1&\\\\0{,}4&=&0{,}5&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_2$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_3(\textcolor{ff6600}{1}\vert\textcolor{009999}{0})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{0}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{1}-3}+1&\\\\0&=&\dfrac{2}{-2}+1&\\\\0&=&-1+1&\\\\0&=&0&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_3$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_4(\textcolor{ff6600}{4}\vert\textcolor{009999}{3})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{3}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{4}-3}+1&\\\\3&=&\dfrac{2}{1}+1&\\\\3&=&2+1&\\\\3&=&3&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_5(\textcolor{ff6600}{3{,}5}\vert\textcolor{009999}{4})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{4}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{3{,}5}-3}+1&\\\\4&=&\dfrac{2}{0{,}5}+1&\\\\4&=&4+1&\\\\4&=&5&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_5$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $1{,}3,4$
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  Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
2. $f(x)=\dfrac{-3}{x+1}-2$
  $P_1(-5\vert-1{,}1);P_2(-4\vert-1);P_3(-2\vert1);P_4(1\vert-3{,}5);P_5(4\vert-2{,}6)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Setze $P_1(\textcolor{ff6600}{-5}\vert\textcolor{009999}{-1{,}1})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-1{,}1}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{-5}+1}-2&\\\\-1{,}1&=&\dfrac{-3}{-4}-2&\\\\-1{,}1&=&0{,}75-2&\\\\-1{,}1&=&-1{,}25&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_1$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_2(\textcolor{ff6600}{-4}\vert\textcolor{009999}{-1})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-1}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{-4}+1}-2&\\\\-1&=&\dfrac{-3}{-3}-2&\\\\-1&=&1-2&\\\\-1&=&-1&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_2$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_3(\textcolor{ff6600}{-2}\vert\textcolor{009999}{1})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{1}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{-2}+1}-2&\\\\1&=&\dfrac{-3}{-1}-2&\\\\1&=&3-2&\\\\1&=&1&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_3$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_4(\textcolor{ff6600}{1}\vert\textcolor{009999}{-3{,}5})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-3{,}5}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{1}+1}-2&\\\\-3{,}5&=&\dfrac{-3}{2}-2&\\\\-3{,}5&=&-1{,}5-2&\\\\-3{,}5&=&-3{,}5&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_5(\textcolor{ff6600}{4}\vert\textcolor{009999}{-2{,}6})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-2{,}6}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{4}+1}-2&\\\\-2{,}6&=&\dfrac{-3}{5}-2&\\\\-2{,}6&=&-0{,}6-2&\\\\-2{,}6&=&-2{,}6&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_5$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $2{,}3,4{,}5$
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  Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
3. $f(x)=\dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$
  $P_1(-4\vert-2{,}5);P_2(-3\vert-3);P_3(-2\vert-5{,}5);P_4(-1\vert1);P_5(1\vert-1{,}3)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
  Setze $P_1(\textcolor{ff6600}{-4}\vert\textcolor{009999}{-2{,}5})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-2{,}5}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-4}+1{,}5}-2&\\\\-2{,}5&=&\dfrac{1{,}5}{-2{,}5}-2&\\\\-2{,}5&=&-0{,}6-2&\\\\-2{,}5&=&-2{,}6&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_1$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Weil f(-4) = -2,6 < -2,5 gilt, liegt der Punkt unterhalb des Graphen von f.
  Setze $P_2(\textcolor{ff6600}{-3}\vert\textcolor{009999}{-3})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-3}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-3}+1{,}5}-2&\\\\-3&=&\dfrac{1{,}5}{-1{,}5}-2&\\\\-3&=&-1-2&\\\\-3&=&-3&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_2$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_3(\textcolor{ff6600}{-2}\vert\textcolor{009999}{-5{,}5})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-5{,}5}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-2}+1{,}5}-2&\\\\-5{,}5&=&\dfrac{1{,}5}{-0{,}5}-2&\\\\-5{,}5&=&-3-2&\\\\-5{,}5&=&-5&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_3$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Weil f(-2) = -5 > -5,5 gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
  Setze $P_4(\textcolor{ff6600}{-1}\vert\textcolor{009999}{1})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{1}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-1}+1{,}5}-2&\\\\1&=&\dfrac{1{,}5}{0{,}5}-2&\\\\1&=&3-2&\\\\1&=&1&\checkmark\end{array}$
  Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_4$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
  Setze $P_5(\textcolor{ff6600}{1}\vert\textcolor{009999}{-1{,}3})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
  $\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-1{,}3}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{1}+1{,}5}-2&\\\\-1{,}3&=&\dfrac{1{,}5}{2{,}5}-2&\\\\-1{,}3&=&0{,}6-2&\\\\-1{,}3&=&-1{,}4&\end{array}$
  Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_5$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
  Weil $f(1) = -1{,}4 < -1{,}3$ gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
  Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $2{,}4$
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  Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
8
Die folgenden Bilder zeigen die Funktionsgraphen einer Funktion der Form
Bestimme die Parameter $a$ , $b$ und $c$ .
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
  Parameter b und c bestimmen
  Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y=0$ liegt. Die Hyperbel wurde also nicht nach oben oder unten verschoben.
  $\Rightarrow c=0$
  Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x=0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
  $\Rightarrow b=0$
  Parameter a bestimmen
  Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
  Parameter $a$ ablesen
  Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 Längeneinheit nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
  Hier ist $a=1$ .
  Parameter $a$ berechnen
  Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
  $f\left(x\right)=\frac{a}{x+0}+0 =\frac ax$
  Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}P(1|1) \Rightarrow f(1)&=&1\\\frac a1&=&1\\a&=&1\end{array}$
  Lösung
  $a=1$ , $b= 0$ und $c=0$
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  Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $-b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
  Parameter b und c bestimmen
  Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y=2$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 2 Längeneinheiten nach oben verschoben.
  $\Rightarrow c=2$
  Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x=0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
  $\Rightarrow b=0$
  Parameter a bestimmen
  Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
  Parameter $a$ ablesen
  Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 Längeneinheit nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
  Hier ist $a=4$ .
  Parameter $a$ berechnen
  Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
  $f\left(x\right)=\frac{a}{x+0}+2 =\frac ax +2$
  Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}P(1|6) \Rightarrow &f(1)&=&6\\&\frac a1+2&=&6&|-2\\&a &=&4\end{array}$
  Lösung
  $a=4$ , $b= 0$ und $c=2$
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  Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $-b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
  Parameter b und c bestimmen
  Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y=-2$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 2 nach unten verschoben.
  $\Rightarrow c=-2$
  Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x=-3$ . Die Hyperbel wurde also um 3 nach links verschoben.
  $\Rightarrow b=3$
  Parameter a bestimmen
  Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
  Parameter $a$ ablesen
  Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
  Hier ist $a=1$ .
  Parameter $a$ berechnen
  Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
  $f\left(x\right)=\frac{a}{x+3}-2$
  Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}P(-2|-1) \Rightarrow f(-2)&=&-1\\\frac {a}{-2+3}-2&=&-1\\\frac a1&=&1\\a&=&1\end{array}$
  Lösung
  $a=1$ , $b=3$ und $c=-2$
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  Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $-b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
  Parameter b und c bestimmen
  Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y=0$ liegt. Die Hyperbel wurde also nicht nach oben oder unten verschoben.
  $\Rightarrow c=0$
  Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x=0$ . Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
  $\Rightarrow b=0$
  Parameter a bestimmen
  Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
  Parameter $a$ ablesen
  Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
  Hier ist $a=2$ .
  Parameter $a$ berechnen
  Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
  $f\left(x\right)=\frac{a}{x+0}+0 =\frac ax$
  Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}P(1|2) \Rightarrow f(1)&=&2\\\frac a1&=&2\\a&=&2\end{array}$
  Lösung
  $a=2$ , $b=0$ und $c=0$
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  Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $-b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
5. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
  Parameter b und c bestimmen
  Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei $y=1$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 1 nach oben verschoben.
  $\Rightarrow c=1$
  Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x=-5$ . Die Hyperbel wurde also um 5 nach links verschoben.
  $\Rightarrow b=5$
  Parameter a bestimmen
  Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
  Parameter $a$ ablesen
  Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
  Hier ist $a=-1$ .
  Parameter $a$ berechnen
  Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
  $f\left(x\right)=\frac{a}{x+5}+1$
  Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}P(-4|0) \Rightarrow &f(-4)&=&0\\&\frac {a}{-4+5}+1&=&0&|-1\\&\frac a1&=&-1\\&a&=&-1\end{array}$
  Lösung
  $a=-1$ , $b=5$ und $c=1$
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  Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $-b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
6. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
  Parameter b und c bestimmen
  Im Bild siehst du, dass die waagerechte Asymptote bei $y=3$ liegt. Die Hyperbel wurde also um 3 nach oben verschoben.
  $\Rightarrow c=3$
  Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei $x=6$ . Die Hyperbel wurde also um 6 nach rechts verschoben.
  $\Rightarrow b=-6$
  Parameter a bestimmen
  Den Parameter $a$ kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
  Parameter $a$ ablesen
  Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
  Hier ist $a=2$ .
  Parameter $a$ berechnen
  Setze $b$ und $c$ in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
  $f\left(x\right)=\frac{a}{x-6}+3$
  Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrcl}P(7|5) \Rightarrow &f(7)&=&5\\&\frac {a}{7-6}+3&=&5&|-3\\&\frac a1&=&2\\&a&=&2\end{array}$
  Lösung
  $a=2$ , $b=-6$ und $c=3$
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  Der Graph einer Funktion der Form $f\left(x\right)=\frac{a}{x+b}+c$ entspricht einer Hyperbel, welche um $c$ nach oben/unten verschoben und um $-b$ nach rechts/links verschoben wurde. Der Parameter $a$ entscheidet über die Öffnung der Hyperbel.
9
Zeichne die Graphen der folgenden gebrochen-rationalen Funktionen, indem du deren Asymptoten in ein Koordinatensystem zeichnest und eine passende Wertetabelle anfertigst.
1. $f(x)=\frac{1}{x}-3$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
  Asymptoten bestimmen
  Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $f(x)=\frac{1}{x}\textcolor{ff6600}{-3}$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $g(x)=\frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von g um $\textcolor{ff6600}{3}$ nach unten verschiebst.
  Die waagrechte Asymptote ist also $\textcolor{ff6600}{y=-3}$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $\textcolor{009999}{x=0}$ .
  Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
  Wertetabelle erstellen
  Um den Verlauf des Graphen von $f$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x=0$ muss angeschaut werden.
  Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
  $x$
  -5
  -3
  -1
  0
  1
  3
  5
  $f(x)$
  -3,2
  $\approx$ -3,3
  -4
  undefiniert
  -2
  $\approx$ -2,7
  -2,8
  Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.
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2. $g(x)=\frac{1}{x+4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
  Asymptoten bestimmen
  Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $g(x)=\frac{1}{x+\textcolor{009999}{4}}$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f(x)=\frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von f um $\textcolor{009999}{4}$ nach links verschiebst.
  Die waagrechte Asymptote ist also $\textcolor{ff6600}{y=0}$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $\textcolor{009999}{x=-4}$ .
  Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
  Wertetabelle erstellen
  Um den Verlauf des Graphen von $g$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x=-4$ muss angeschaut werden.
  Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
  $x$
  -9
  -7
  -5
  -4
  -3
  -1
  1
  $g(x)$
  -0,2
  $\approx$ -0,3
  -1
  undefiniert
  1
  $\approx$ 0,3
  0,2
  Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.
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3. $h(x)=\frac{1}{x-5}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
  Asymptoten bestimmen
  Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $h(x)=\frac{1}{x\textcolor{009999}{-5}}$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f(x)=\frac 1x$ hervor, indem du den Graph von f um $\textcolor{009999}{5}$ nach rechts verschiebst.
  Die waagrechte Asymptote ist also $\textcolor{ff6600}{y=0}$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $\textcolor{009999}{x=5}$ .
  Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
  Wertetabelle erstellen
  Um den Verlauf des Graphen von $h$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x=5$ muss angeschaut werden.
  Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
  $x$
  0
  2
  4
  5
  6
  8
  10
  $h(x)$
  -0,2
  $\approx$ -0,3
  -1
  undefiniert
  1
  $\approx$ 0,3
  0,2
  Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.
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4. $i(x)=\frac{1}{x}+3{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
  Asymptoten bestimmen
  Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $i(x)=\frac{1}{x}\textcolor{ff6600}{+3{,}5}$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f(x)=\frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von f um $\textcolor{ff6600}{3{,}5}$ nach oben verschiebst.
  Die waagrechte Asymptote ist also $\textcolor{ff6600}{y=3{,}5}$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $\textcolor{009999}{x=0}$ .
  Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
  Wertetabelle erstellen
  Um den Verlauf des Graphen von $i$ nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um $x=0$ muss angeschaut werden.
  Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
  $x$
  -5
  -3
  -1
  0
  1
  3
  5
  $i(x)$
  3,3
  $\approx$ 3,2
  2,5
  undefiniert
  4,5
  $\approx$ 3,8
  3,7
  Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.
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5. $j(x)=\frac{2}{x}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
  Asymptoten bestimmen
  Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion $j(x)=\frac{2}{x}$ ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von $f(x)=\frac{1}{x}$ hervor, indem du den Graph von $f$ weitest. Die Asymptoten entsprechen somit denen von $f$ .
  Die waagrechte Asymptote ist also $\textcolor{ff6600}{y=0}$ . Die senkrechte Asymptote liegt bei $\textcolor{009999}{x=0}$ .

$\displaystyle \dfrac{3}{2+x}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2-x}$
	↓	Über Kreuz multiplizieren.
$\displaystyle 3\cdot(2-x)$	$=$	$\displaystyle 1\cdot(2+x)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle 6-3x$	$=$	$\displaystyle 2+x$	$\displaystyle -2+3x$
	↓	Nach $x$ auflösen.
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle : 4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$x$	-5	-3	-1	0	1	3	5
$f(x)$	-3,2	$\approx$ -3,3	-4	undefiniert	-2	$\approx$ -2,7	-2,8

$x$	-9	-7	-5	-4	-3	-1	1
$g(x)$	-0,2	$\approx$ -0,3	-1	undefiniert	1	$\approx$ 0,3	0,2

$x$	0	2	4	5	6	8	10
$h(x)$	-0,2	$\approx$ -0,3	-1	undefiniert	1	$\approx$ 0,3	0,2

$x$	-5	-3	-1	0	1	3	5
$i(x)$	3,3	$\approx$ 3,2	2,5	undefiniert	4,5	$\approx$ 3,8	3,7

Aufgaben zu einfachen gebrochen-rationalen Funktionen

Zeichnung

Bestimmung der Nullstelle

x-Wert mit f(x)=−3f(x)=-3f(x)=−3

Bestimmung der Schnittpunkte

Rechnung

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe 1:

Teilaufgabe 2:

Teilaufgabe 3:

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Teilaufgabe 3

Hast du eine Frage oder Feedback?

Teilaufgabe 1

Teilaufgabe 2

Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0x=0x=0

Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0y=0y=0

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Hast du eine Frage oder Feedback?

Parameter b und c bestimmen

Parameter a bestimmen

Parameter aaa ablesen

Parameter aaa berechnen

Lösung

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Parameter b und c bestimmen

Parameter a bestimmen

Parameter aaa ablesen

Parameter aaa berechnen

Lösung

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Parameter b und c bestimmen

Parameter a bestimmen

Parameter aaa ablesen

Parameter aaa berechnen

Lösung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Parameter b und c bestimmen

Parameter a bestimmen

Parameter aaa ablesen

Parameter aaa berechnen

Lösung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Parameter b und c bestimmen

Parameter a bestimmen

Parameter aaa ablesen

Parameter aaa berechnen

Lösung

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Parameter b und c bestimmen

Parameter a bestimmen

Parameter aaa ablesen

Parameter aaa berechnen

Lösung

Hast du eine Frage oder Feedback?

Asymptoten bestimmen

Wertetabelle erstellen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Asymptoten bestimmen

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Asymptoten bestimmen

Wertetabelle erstellen

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Asymptoten bestimmen

Wertetabelle erstellen

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Asymptoten bestimmen

x-Wert mit $f(x)=-3$

Schnittpunkt mit der y-Achse: $x=0$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $y=0$

Parameter $a$ ablesen

Parameter $a$ berechnen

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Parameter $a$ berechnen

Parameter $a$ ablesen

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Parameter $a$ ablesen

Parameter $a$ berechnen

Parameter $a$ ablesen

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