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Aufgaben zu einfachen gebrochen-rationalen Funktionen

In diesem Aufgabenordner werden nur Funktionen der Form

(aR{0}a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, bRb\in\mathbb{R}, cRc\in \mathbb{R}) betrachtet.

  1. 1

    Zeichne die Graphen zu den Termen  f(x)=xx2\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}  und  g(x)  =  13x\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x  in ein Koordinatensystem.

    Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit  f(x)=3\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3  und die Schnittpunkte von f und g.

  2. 2

    Zeichne die Graphen der Funktionen f:  x3x+2f:\;x\mapsto\dfrac3{x+2} und f1:  x12xf_1:\;x\mapsto\dfrac1{2-x}

    Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)


  3. 3

    Spiegeln, verschieben, stauchen

    Zeichne den Graphen der Funktion f(x)=3xf(x)=\frac3x und bestimme damit die Graphen von g(x)=3x2g(x)=-\frac3x-2 , h(x)=3x+1,5h(x)=\frac3{x+1{,}5} und k(x)=1,5xk(x)=\frac{1{,}5}x

  4. 4

    Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x)=ax+b+cf(x)=\dfrac{a}{x+b}+c.

    1) Gib zu den gegebenen Parametern aa, bb und cc die zugehörende gebrochen-rationale Funktionsgleichung an.

    2) Beschreibe, wie der Graph deiner ermittelten Funktion aus dem Graphen der Funktion f(x)=1x f(x)=\dfrac{1}{x} hervorgeht.

    3) Gib die Gleichungen der waagerechten und senkrechten Asymptoten von deiner ermittelten Funktion an und erläutere sie.

    1. Funktion f1(x)f_1(x): a=1a=1, b=0b=0 und c=2c=2

    2. Funktion f2(x)f_2(x): a=1a=1, b=0b=0 und c=3c=-3

    3. Funktion f3(x) f_3(x): a=1a=1, b=1b=1 und c=0c=0

    4. Funktion f4(x) f_4(x): a=1a=1, b=2b=-2 und c=0c=0

  5. 5

    Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x)=ax+b+cf(x)=\dfrac{a}{x+b}+c.

    Verschiebe den Graphen der Funktion g(x)=2x+1+2,5g(x)=\dfrac{2}{x+1}+2{,}5 um 44 Einheiten in negative x-Richtung und um 3,53{,}5 Einheiten in negative y-Richtung. Der neue Graph gehört zu einer Funktion h(x)h(x).

    1) Gib die Funktionsgleichung von h(x) h(x) an.

    2) Berechne die Schnittpunkte des Graphen von h(x) h(x) mit den Koordinatenachsen.

  6. 6

    Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form g(x)=1x+b+cg(x)=\dfrac{1}{x+b}+c

    Bestimme die Werte der Parameter bb und cc so, dass die gebrochen-rationale Funktion folgende Eigenschaften hat.

    1. Der Graph der Funktion g1(x)g_1(x) schneidet die y-Achse im Punkt T(03)T(0\vert3). Die x-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat g1(x)g_1(x) ?

    2. Der Graph der Funktion g2(x)g_2(x) schneidet die x-Achse im Punkt N(20)N(-2\vert0). Die y-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat g2(x)g_2(x) ?

  7. 7

    Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x)=ax+b+cf(x)=\dfrac{a}{x+b}+c.

    Überprüfe rechnerisch, welche der gegebenen Punkte auf dem Graphen der Funktion ff liegen.

    Hinweis: Bei der Eingabe deiner Lösung gib die Punktnummern durch Komma getrennt ein (z.B. so: 1,2,4). In diesem Fall würden die Punkte P1 P_1,P2P_2 und P4P_4 auf dem Graphen der Funktion f f liegen, die Punkte P3P_3 und P5P_5 hingegen nicht. Es können bei jeder Teilaufgabe 1 bis 5 Punkte auf dem Graphen der Funktion ff liegen.

    1. f(x)=2x3+1f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1

      P1(20,6);P2(10,4);P3(10);P4(43);P5(3,54)P_1(-2\vert0{,}6);P_2(-1\vert0{,}4);P_3(1\vert0);P_4(4\vert3);P_5(3{,}5\vert4)


    2. f(x)=3x+12f(x)=\dfrac{-3}{x+1}-2

      P1(51,1);P2(41);P3(21);P4(13,5);P5(42,6)P_1(-5\vert-1{,}1);P_2(-4\vert-1);P_3(-2\vert1);P_4(1\vert-3{,}5);P_5(4\vert-2{,}6)


    3. f(x)=1,5x+1,5+2f(x)=\dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}+2

      P1(42,5);P2(33);P3(25,5);P4(11);P5(11,3)P_1(-4\vert-2{,}5);P_2(-3\vert-3);P_3(-2\vert-5{,}5);P_4(-1\vert1);P_5(1\vert-1{,}3)


  8. 8

    Die folgenden Bilder zeigen die Funktionsgraphen einer Funktion der Form

    Bestimme die Parameter aa, bb und cc.

    1. Bild
    2. Bild
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    5. Bild
    6. Bild
  9. 9

    Zeichne die Graphen der folgenden gebrochen-rationalen Funktionen, indem du deren Asymptoten in ein Koordinatensystem zeichnest und eine passende Wertetabelle anfertigst.

    1. f(x)=1x3f(x)=\frac{1}{x}-3

    2. g(x)=1x+4g(x)=\frac{1}{x+4}

    3. h(x)=1x5h(x)=\frac{1}{x-5}

    4. i(x)=1x+3,5i(x)=\frac{1}{x}+3{,}5

    5. j(x)=2xj(x)=\frac{2}{x}

    6. k(x)=3xk(x)=\frac{-3}{x}

    7. l(x)=3x4+2l(x)=\frac{3}{x-4}+2

    8. m(x)=1x+1,52m(x)=\frac{-1}{x+1{,}5}-2

  10. 10

    Gegeben sind gebrochen-rationalen Funktionen der Form:

    1 Gib an und begründe, welche Gleichung die waagerechte Asymptote und die senkrechte Asymptote der gebrochen-rationalen Funktion hat.

    2 Zeichne die Asymptoten in ein Koordinatensystem ein.

    3 Erstelle eine Wertetabelle im Bereich x=5x =-5 bis x=5 x=5 für die gebrochen-rationale Funktion. Zeichne dann den Graphen der gebrochen-rationalen Funktion in das Koordinatensystem ein.

    1. f1(x)=2x11f_1(x) = \dfrac{2}{x-1}-1

    2. f2(x)=3x+2+1f_2(x) = \dfrac{-3}{x+2}+1

    3. f3(x)=1,5x1,5+3f_3(x) = \dfrac{1{,}5}{x-1{,}5}+3

  11. 11

    Gib eine gebrochen-rationalen Funktion der Form f(x)=ax+b+cf(x)=\frac{a}{x+b}+c an, die die angegebenen Asymptoten besitzt.

    Achtung: Hier gibt es viele Lösungsmöglichkeiten. Finde mindestens zwei.

    1. Die Funktion g(x)g(x) hat die senkrechte Asymptote x=3x=-3 und die waagerechte Asymptote y=1,5y=1{,}5.

    2. Die Funktion h(x)h(x) hat die senkrechte Asymptote x=4,5x=4{,}5 und die waagerechte Asymptote y=1y=-1.

  12. 12

    Bestimme bei den gegebenen Funktionen die Definitionslücke und gib den maximalen Definitionsbereich an. Deine Grundmenge sind die rationalen Zahlen Q\mathbb{Q}.

    1. f(x)=3x2f(x)=\frac{3}{x-2}

    2. g(x)=5x+32g(x)=\dfrac{5}{x+3}-2

    3. h(x)=3x131h(x)=-\dfrac{3}{x-\dfrac{1}{3}}-1

    4. k(x)=12x+23k(x)=\dfrac{1}{2x+2}-3

    5. l(x)=1,55x2+3l(x)=\dfrac{1{,}5}{5x-2}+3

  13. 13

    Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x)=ax+b+cf(x)=\dfrac{a}{x+b}+c .

    Ermittle die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationale Funktion mit folgenden Eigenschaften.

    1. Der Graph der gesuchten Funktion ff hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung y=2,5y=2{,}5, eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung x=3x=-3 und verläuft durch den Punkt T(03,5)T(0\vert3{,}5).

    2. Der Graph der gesuchten Funktion ff hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung y=1,5y=1{,}5, schneidet die x-Achse im Punkt N(20)N(-2|0) und schneidet die y-Achse nicht.

  14. 14

    Lies aus den abgebildeten Graphen jeweils die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ab. Überprüfe rechnerisch deine Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.

    1. f(x)=2x+2+4f(x)=\dfrac{2}{x+2}+4

      Graph einer elementaren, gebrochen rationalen Funktion
    2. g(x)=4x2+4g(x)=\dfrac{4}{x-2}+4

      Graph einer elementaren, gebrochen rationalen Funktion
    3. h(x)=3x33h(x)=-\dfrac{3}{x-3}-3

      Graph einer elementaren, gebrochen rationalen Funktion
  15. 15

    Ordne dem Graphen ff einer gebrochen-rationalen Funktion die entsprechende Funktionsgleichung zu.

    1. gebrochen-rationale Funktion 1
    2. gebrochen-rationale Funktion 2
    3. gebrochen-rationale Funktion 3
  16. 16

    Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der gegebenen Funktionen mit den Koordinatenachsen.

    1. g(x)=2,5x+2,5+5g(x)=\dfrac{2{,}5}{x+2{,}5}+5

    2. h(x)=2x+1+2h(x)=\dfrac{2}{x+1}+2

    3. k(x)=2x+24k(x)=\dfrac{2}{x+2}-4

  17. 17

    Gegeben sind Graphen von gebrochen-rationalen Funktionen der Form f(x)=ax+b+cf(x)=\dfrac{a}{x+b}+c.

    Ermittle mit Hilfe des Applets die entsprechenden Werte der Parameter a,ba, b und cc für den jeweiligen Graphen.

    Gib die Werte in der Form aa Leertaste bb Leertaste cc ein (z.B. so: -3 4,5 2; positive Werte ohne Vorzeichen)

    1. gebrochen-rationale Funktion 1

    2. gebrochen-rationale Funktion 2

    3. gebrochen-rationale Funktion 3


  18. 18

    Ordne jedem der Funktionsgraphen die passende Funktion zu.

    Funktionen der indirekten Proportionalität
    • f:f(x)=x;Df=Qf:f(x)=x ; \quad D_f=\mathbb{Q}

    • f:f(x)=2x;Df=Q{0}f: f(x)=\dfrac{2}{x}; \quad D_f=\mathbb{Q}\setminus \{0\}

    • f:f(x)=2x;Df=Q{0}f: f(x)=-\dfrac{2}{x}; \quad D_f=\mathbb{Q}\setminus \{0\}

    • f:f(x)=0,3x;Df=Q{0}f: f(x)=\dfrac{0{,}3}{x};\quad D_f=\mathbb{Q}\setminus \{0\}

    • f:f(x)=5x;Df=Qf: f(x)=-5x; \quad D_f=\mathbb{Q}


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