Aufgaben zu einfachen gebrochen-rationalen Funktionen
In diesem Aufgabenordner werden nur Funktionen der Form
(a∈R∖{0}, b∈R, c∈R) betrachtet.
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Zeichne die Graphen zu den Termen f(x)=x−2x und g(x)=31x in ein Koordinatensystem.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Zeichnung
Bestimmung der Nullstelle
f(x)=x−2x
Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist. → Setze den Zähler gleich 0, also x=0.
⇒xN=0
Der Graph hat bei xN=0 eine Nullstelle.
x-Wert mit f(x)=−3
Setze f(x)=−3
x−2x = −3 ⋅(x−2) ↓ x = −3(x−2) ↓ Multipliziere aus.
x = −3x+6 +3x 4x = 6 :4 x = 46=1,5 Für x=1,5 nimmt f(x) den Wert −3 an.
Bestimmung der Schnittpunkte
f(x)=x−2x , g(x)=3x
Setze f(x) und g(x) gleich.
f(x) = g(x) x−2x = 3x ⋅3(x−2) ↓ 3x = x(x−2) ↓ Multipliziere aus.
3x = x2−2x −3x x2−5x = 0 ↓ Klammer x aus.
x(x−5) = 0 Ein Produkt wird 0, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
⇒ xS1=0xS2=5
Setze xS2 in eine der beiden Funktionen ein.
yS2=35
⇒S1(0∣0);S2(5∣35)
In der Definitionsmenge von f(x) muss nur 2 ausgenommen werden, bei g(x) sind alle rationalen Zahlen erlaubt.
Daher ist die Lösungsmenge: L={0;5}
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Zeichne die Graphen der Funktionen f:x↦x+23 und f1:x↦2−x1
Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Bruchgleichungen
f:x↦x+23
f1:x↦2−x1
Der Schnittpunkt liegt bei (1∣1).
Rechnung
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:
2+x3 = 2−x1 ↓ 3⋅(2−x) = 1⋅(2+x) ↓ 6−3x = 2+x −2+3x ↓ Nach x auflösen.
4 = 4x :4 x = 1 f:x↦x+23
Einsetzen von x=1 in einen der Funktionsterme:
y=2−11=11=1
Also wurde auch rechnerisch gezeigt, dass der Schnittpunkt bei (1∣1) liegt.
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Spiegeln, verschieben, stauchen
Zeichne den Graphen der Funktion f(x)=x3 und bestimme damit die Graphen von g(x)=−x3−2 , h(x)=x+1,53 und k(x)=x1,5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
f(x)=x3
Setze verschiedene Werte für x ein und zeichne das Ergebnis ein. Bsp.: x=3;→y=1
g(x)=−x3−2
g(x)=−x3−2 → Das Minus bedeutet, dass der Graph an der y-Achse gespiegelt wird. Die -2 verschieben den Graphen um 2 LE nach unten in y-Achsen Richtung.
h(x)=x+1,53
Die hinzugefügte 1,5 im Nenner, bewirkt, dass die Funktion eine senkrechte Asymptote bei x=-1,5 hat.
k(x)=x1,5
Hier wurde der Zähler halbiert, also wird der ganze Ausdruck kleiner, also gestaucht.
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x)=x+ba+c.
1) Gib zu den gegebenen Parametern a, b und c die zugehörende gebrochen-rationale Funktionsgleichung an.
2) Beschreibe, wie der Graph deiner ermittelten Funktion aus dem Graphen der Funktion f(x)=x1 hervorgeht.
3) Gib die Gleichungen der waagerechten und senkrechten Asymptoten von deiner ermittelten Funktion an und erläutere sie.
Funktion f1(x): a=1, b=0 und c=2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein ⇒f1(x)=x+01+2=x1+2
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion f1(x), die Du erhalten hast, mit dem Graphen Gf der Funktion f(x)=x1.
Antwort: Der Parameter c=2 bewirkt eine Verschiebung von Gf um zwei Einheiten in positive y-Richtung, um den Graphen der Funktion f1(x) zu erhalten. Die Parameter a=1 und b=0 führen zu keiner Veränderung von Gf.
Teilaufgabe 3:
Die Funktion f(x)=x1 hat die waagerechte Asymptote y=0 und die senkrechte Asymptote x=0. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion f1(x) ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von Gf um zwei Einheiten in positive y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote y=0 um zwei Einheiten in positive y-Richtung verschoben.
Die waagerechte Asymptote der Funktion f1(x) hat nun die Gleichung y=2. Die senkrechte Asymptote der Funktion f1(x) ist weiterhin x=0, da keine Verschiebung von Gf in x-Richtung erfolgt (b=0).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote y=2 und die senkrechte Asymptote x=0.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Funktion f2(x): a=1, b=0 und c=−3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein ⇒f2(x)=x+01−3=x1−3
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion f2(x), die Du erhalten hast, mit dem Graphen Gf der Funktion f(x)=x1.
Antwort: Der Parameter c=−3 bewirkt eine Verschiebung von Gf um drei Einheiten in negative y-Richtung, um den Graphen der Funktion f2(x) zu erhalten. Die Parameter a=1 und b=0 führen zu keiner Veränderung von Gf.
Teilaufgabe 3:
Die Funktion f(x)=x1 hat die waagerechte Asymptote y=0 und die senkrechte Asymptote x=0. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion f2(x) ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von Gf um drei Einheiten in negative y-Richtung wurde auch die waagerechte Asymptote y=0 um drei Einheiten in negative y-Richtung verschoben. Die waagerechte Asymptote der Funktion f2(x) hat nun die Gleichung y=−3 . Die senkrechte Asymptote der Funktion f2(x) ist weiterhin x=0, da keine Verschiebung von Gf in x-Richtung erfolgt (b=0).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote y=−3 und die senkrechte Asymptote x=0.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Funktion f3(x): a=1, b=1 und c=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1:
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein ⇒f3(x)=x+11+0=x+11
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
Teilaufgabe 2:
Vergleiche den Graphen der Funktion f3(x), die Du erhalten hast, mit dem Graphen Gf der Funktion f(x)=x1.
Antwort: Der Parameter b=1 bewirkt eine Verschiebung von Gf um eine Einheit in negative x-Richtung, um den Graphen der Funktion f3(x) zu erhalten. Die Parameter a=1 und c=0 führen zu keiner Veränderung von Gf.
Teilaufgabe 3:
Die Funktion f(x)=x1 hat die waagerechte Asymptote y=0 und die senkrechte Asymptote x=0. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion f3(x) ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von Gf um eine Einheit in negative x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote x=0 um eine Einheit in negative x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion f3(x) hat nun die Gleichung x=−1 . Die waagerechte Asymptote der Funktion f3(x) ist weiterhin y=0, da keine Verschiebung von Gf in y-Richtung erfolgt (c=0).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote y=0 und die senkrechte Asymptote x=−1.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Funktion f4(x): a=1, b=−2 und c=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptoten
Teilaufgabe 1
Setze die gegebenen Werte der Parameter in die allgemeine Funktionsgleichung ein ⇒
Antwort: Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgleichung:
Teilaufgabe 2
Vergleiche den Graphen der Funktion f4(x), die Du erhalten hast, mit dem Graphen Gfder Funktion f(x)=x1.
Antwort: Der Parameter b=−2 bewirkt eine Verschiebung von Gf um zwei Einheiten in positive x-Richtung, um den Graphen der Funktion f4(x) zu erhalten. Die Parameter a=1 und c=0 führen zu keiner Veränderung von Gf.
Teilaufgabe 3
Die Funktion f(x)=x1hat die waagerechte Asymptote y=0 und die senkrechte Asymptote x=0. Vergleiche nun, welche Veränderungen sich für die Funktion f4(x) ergeben haben.
Antwort: Durch die Verschiebung von Gf um zwei Einheiten in positive x-Richtung wurde auch die senkrechte Asymptote x=0 um zwei Einheiten in positive x-Richtung verschoben. Die senkrechte Asymptote der Funktion f4(x) hat nun die Gleichung x=2. Die waagerechte Asymptote der Funktion f4(x) ist weiterhin y=0, da keine Verschiebung von Gf in y-Richtung erfolgt (c=0).
Die nebenstehende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Grün gestrichelt dargestellt sind die waagerechte Asymptote y=0 und die senkrechte Asymptote x=2.
Hast du eine Frage oder Feedback?
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x)=x+ba+c.
Verschiebe den Graphen der Funktion g(x)=x+12+2,5 um 4 Einheiten in negative x-Richtung und um 3,5 Einheiten in negative y-Richtung. Der neue Graph gehört zu einer Funktion h(x).
1) Gib die Funktionsgleichung von h(x) an.
2) Berechne die Schnittpunkte des Graphen von h(x) mit den Koordinatenachsen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Teilaufgabe 1
Der Graph der Funktion g(x) ist im Vergleich zum Graphen der Funktion f(x)=x1 um 1 Einheit in negative x-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von g(x) um weitere 4 Einheiten in negative x-Richtung verschoben werden. Der Nenner der Funktion h(x) muss also nun lauten: x+1+4=x+5.
Der Graph der Funktion g(x) ist im Vergleich zum Graphen der Funktion f(x)=x1 um 2,5 Einheiten in positive y-Richtung verschoben. Nun soll der Graph von g(x) um 3,5 Einheiten in negative y-Richtung verschoben werden. Der Parameter c lautet nun: c=2,5−3,5=−1.
Antwort: Die Funktionsgleichung h(x) lautet somit: h(x)=x+52−1
Teilaufgabe 2
Schnittpunkt mit der y-Achse: x=0
Der y-Wert des Schnittpunktes T mit der y-Achse ist h(0):
Antwort: Die y-Achse wird im Punkt T(0∣−0,6) geschnitten.
Schnittpunkt mit der x-Achse: y=0
Den x-Wert des Schnittpunktes N mit der x-Achse erhält man durch Lösen der Gleichung h(x)=0.
Antwort: Die x-Achse wird im Punkt N(−3∣0) geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Der türkisfarbige Graph Gg gehört zur Funktion g(x)=x+12+2,5
Der lilafarbige Graph Gh ist der um 4 Einheiten nach links und um 3,5 Einheiten nach unten verschobene Graph Gg.
Eingezeichnet sind beim verschobenen Graphen Gh die berechneten Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen T(0∣−0,6) und N(−3∣0).
Teilaufgabe 1
Überlege Dir, wie sich der Nenner einer gebrochen-rationalen Funktion verändern muss, wenn der Graph dieser Funktion in negative x-Richtung verschoben werden soll. Wie ändert sich der Parameter c bei einer Verschiebung des Graphen in negative y-Richtung?
Teilaufgabe 2
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse berechne h(0). Für den Schnittpunkt mit der x-Achse löse die Gleichung h(x)=0.
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form g(x)=x+b1+c
Bestimme die Werte der Parameter b und c so, dass die gebrochen-rationale Funktion folgende Eigenschaften hat.
Der Graph der Funktion g1(x) schneidet die y-Achse im Punkt T(0∣3). Die x-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat g1(x)?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Wenn du den Graphen Gf der Funktion f(x)=x1 in positive oder negative x-Richtung verschiebst, wird die y-Achse geschnitten, die x-Achse hingegen nicht. Der Parameter c, der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: ⇒c=0
Der Wert für den Parameter b, der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss berechnet werden.
Die Funktion g1(x) hat die Form:
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes T(0∣3) in die Funktionsgleichung von g1(x) ein und löse nach b auf.
333bb====0+b1b1131∣⋅b∣:3
Antwort: Der Graph der Funktion g1(x)=x+311schneidet die y-Achse im Punkt T(0∣3). Die x-Achse wird nicht geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Überlege dir, wie du den Graphen Gf der Funktion f(x)=x1 verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.
Der Graph der Funktion g2(x) schneidet die x-Achse im Punkt N(−2∣0). Die y-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat g2(x)?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktion
Wenn du den Graphen Gf der Funktion f(x)=x1 in positive oder negative y-Richtung verschiebst, wird die x-Achse geschnitten, die y-Achse hingegen nicht. Der Parameter b, der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert Null haben: ⇒b=0
Der Wert für den Parameter c, der die Verschiebung in positive oder negative y-Richtung angibt, muss berechnet werden.
Die Funktion g2(x) hat die Form:
Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes N(−2∣0) in die Funktionsgleichung von g2(x) ein und löse nach c auf.
0021===−21+c−21+cc∣+21
Antwort: Der Graph der Funktion g2(x)=x1+21 schneidet die x-Achse im Punkt N(−2∣0). Die y-Achse wird nicht geschnitten.
Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Überlege dir, wie du den Graphen Gf der Funktion f(x)=x1 verschieben musst, damit nur die y-Achse bzw. nur die x-Achse geschnitten wird.
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form f(x)=x+ba+c.
Überprüfe rechnerisch, welche der gegebenen Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen.
Hinweis: Bei der Eingabe deiner Lösung gib die Punktnummern durch Komma getrennt ein (z.B. so: 1,2,4). In diesem Fall würden die Punkte P1,P2 und P4 auf dem Graphen der Funktion f liegen, die Punkte P3 und P5 hingegen nicht. Es können bei jeder Teilaufgabe 1 bis 5 Punkte auf dem Graphen der Funktion f liegen.
f(x)=x−32+1
P1(−2∣0,6);P2(−1∣0,4);P3(1∣0);P4(4∣3);P5(3,5∣4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Setze P1(−2∣0,6) in f(x)=x−32+1 ein:
0,60,60,60,6====−2−32+1−52+1−0,4+10,6✓
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt P1 liegt auf dem Graphen von f.
Setze P2(−1∣0,4) in f(x)=x−32+1 ein:
0,40,40,40,4====−1−32+1−42+1−0,5+10,5
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt P2 liegt nicht auf dem Graphen von f.
Setze P3(1∣0) in f(x)=x−32+1 ein:
0000====1−32+1−22+1−1+10✓
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt P3 liegt auf dem Graphen von f.
Setze P4(4∣3) in f(x)=x−32+1 ein:
3333====4−32+112+12+13✓
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt P4 liegt auf dem Graphen von f.
Setze P5(3,5∣4) in f(x)=x−32+1 ein:
4444====3,5−32+10,52+14+15
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt P5 liegt nicht auf dem Graphen von f.
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: 1,3,4
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
f(x)=x+1−3−2
P1(−5∣−1,1);P2(−4∣−1);P3(−2∣1);P4(1∣−3,5);P5(4∣−2,6)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Setze P1(−5∣−1,1) in f(x)=x+1−3−2 ein:
−1,1−1,1−1,1−1,1====−5+1−3−2−4−3−20,75−2−1,25
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt P1 liegt nicht auf dem Graphen von f.
Setze P2(−4∣−1) in f(x)=x+1−3−2 ein:
−1−1−1−1====−4+1−3−2−3−3−21−2−1✓
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt P2 liegt auf dem Graphen von f.
Setze P3(−2∣1) in f(x)=x+1−3−2 ein:
1111====−2+1−3−2−1−3−23−21✓
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt P3 liegt auf dem Graphen von f.
Setze P4(1∣−3,5) in f(x)=x+1−3−2 ein:
−3,5−3,5−3,5−3,5====1+1−3−22−3−2−1,5−2−3,5✓
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt P4 liegt auf dem Graphen von f.
Setze P5(4∣−2,6) in f(x)=x+1−3−2 ein:
−2,6−2,6−2,6−2,6====4+1−3−25−3−2−0,6−2−2,6✓
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt P5 liegt auf dem Graphen von f.
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: 2,3,4,5
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
f(x)=x+1,51,5−2
P1(−4∣−2,5);P2(−3∣−3);P3(−2∣−5,5);P4(−1∣1);P5(1∣−1,3)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Setze P1(−4∣−2,5) in f(x)=x+1,51,5−2 ein:
−2,5−2,5−2,5−2,5====−4+1,51,5−2−2,51,5−2−0,6−2−2,6
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt P1 liegt nicht auf dem Graphen von f.
Weil f(-4) = -2,6 < -2,5 gilt, liegt der Punkt unterhalb des Graphen von f.
Setze P2(−3∣−3) in f(x)=x+1,51,5−2 ein:
−3−3−3−3====−3+1,51,5−2−1,51,5−2−1−2−3✓
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt P2 liegt auf dem Graphen von f.
Setze P3(−2∣−5,5) in f(x)=x+1,51,5−2 ein:
−5,5−5,5−5,5−5,5====−2+1,51,5−2−0,51,5−2−3−2−5
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt P3 liegt nicht auf dem Graphen von f.
Weil f(-2) = -5 > -5,5 gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
Setze P4(−1∣1) in f(x)=x+1,51,5−2 ein:
1111====−1+1,51,5−20,51,5−23−21✓
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt P4 liegt auf dem Graphen von f.
Setze P5(1∣−1,3) in f(x)=x+1,51,5−2 ein:
−1,3−1,3−1,3−1,3====1+1,51,5−22,51,5−20,6−2−1,4
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt P5 liegt nicht auf dem Graphen von f.
Weil f(1)=−1,4<−1,3 gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: 2,4
Hast du eine Frage oder Feedback?
Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
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Die folgenden Bilder zeigen die Funktionsgraphen einer Funktion der Form
Bestimme die Parameter a, b und c.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei y=0 liegt. Die Hyperbel wurde also nicht nach oben oder unten verschoben.
⇒c=0
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei x=0. Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
⇒b=0
Parameter a bestimmen
Den Parameter a kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter a ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 Längeneinheit nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist a=1.
Parameter a berechnen
Setze b und c in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
f(x)=x+0a+0=xa
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
P(1∣1)⇒f(1)1aa===111
Lösung
a=1, b=0 und c=0
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei y=2 liegt. Die Hyperbel wurde also um 2 Längeneinheiten nach oben verschoben.
⇒c=2
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei x=0. Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
⇒b=0
Parameter a bestimmen
Den Parameter a kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter a ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 Längeneinheit nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist a=4.
Parameter a berechnen
Setze b und c in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
f(x)=x+0a+2=xa+2
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
P(1∣6)⇒f(1)1a+2a===664∣−2
Lösung
a=4, b=0 und c=2
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei y=−2 liegt. Die Hyperbel wurde also um 2 nach unten verschoben.
⇒c=−2
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei x=−3. Die Hyperbel wurde also um 3 nach links verschoben.
⇒b=3
Parameter a bestimmen
Den Parameter a kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter a ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist a=1.
Parameter a berechnen
Setze b und c in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
f(x)=x+3a−2
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
P(−2∣−1)⇒f(−2)−2+3a−21aa====−1−111
Lösung
a=1, b=3 und c=−2
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei y=0 liegt. Die Hyperbel wurde also nicht nach oben oder unten verschoben.
⇒c=0
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei x=0. Die Hyperbel wurde also nicht nach rechts oder links verschoben.
⇒b=0
Parameter a bestimmen
Den Parameter a kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter a ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist a=2.
Parameter a berechnen
Setze b und c in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
f(x)=x+0a+0=xa
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
P(1∣2)⇒f(1)1aa===222
Lösung
a=2, b=0 und c=0
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagrechte Asymptote bei y=1 liegt. Die Hyperbel wurde also um 1 nach oben verschoben.
⇒c=1
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei x=−5. Die Hyperbel wurde also um 5 nach links verschoben.
⇒b=5
Parameter a bestimmen
Den Parameter a kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter a ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist a=−1.
Parameter a berechnen
Setze b und c in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
f(x)=x+5a+1
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
P(−4∣0)⇒f(−4)−4+5a+11aa====00−1−1∣−1
Lösung
a=−1, b=5 und c=1
Hast du eine Frage oder Feedback?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: gebrochen-rationale Funktionen
Parameter b und c bestimmen
Im Bild siehst du, dass die waagerechte Asymptote bei y=3 liegt. Die Hyperbel wurde also um 3 nach oben verschoben.
⇒c=3
Die senkrechte Asymptote des Graphen liegt bei x=6. Die Hyperbel wurde also um 6 nach rechts verschoben.
⇒b=−6
Parameter a bestimmen
Den Parameter a kannst du entweder ablesen oder rechnerisch bestimmen.
Parameter a ablesen
Wenn du vom Schnittpunkt der beiden eingezeichneten Asymptoten um 1 nach rechts gehst, musst du um a nach oben gehen um den Graph zu treffen.
Hier ist a=2.
Parameter a berechnen
Setze b und c in die allgemeine Funktionsgleichung ein.
f(x)=x−6a+3
Lies die Koordinaten des eingezeichneten Punkts ab und setz den Punkt in den Funktionsterm ein.
P(7∣5)⇒f(7)7−6a+31aa====5522∣−3
Lösung
a=2, b=−6 und c=3
Hast du eine Frage oder Feedback?
- 9
Zeichne die Graphen der folgenden gebrochen-rationalen Funktionen, indem du deren Asymptoten in ein Koordinatensystem zeichnest und eine passende Wertetabelle anfertigst.
f(x)=x1−3
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion f(x)=x1−3 ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von g(x)=x1 hervor, indem du den Graph von g um 3 nach unten verschiebst.
Die waagrechte Asymptote ist also y=−3. Die senkrechte Asymptote liegt bei x=0.
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von f nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um x=0 muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
x
-5
-3
-1
0
1
3
5
f(x)
-3,2
≈-3,3
-4
undefiniert
-2
≈-2,7
-2,8
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.
Hast du eine Frage oder Feedback?
g(x)=x+41
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion g(x)=x+41 ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von f(x)=x1 hervor, indem du den Graph von f um 4 nach links verschiebst.
Die waagrechte Asymptote ist also y=0. Die senkrechte Asymptote liegt bei x=−4.
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von g nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um x=−4 muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
x
-9
-7
-5
-4
-3
-1
1
g(x)
-0,2
≈-0,3
-1
undefiniert
1
≈0,3
0,2
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.
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h(x)=x−51
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion h(x)=x−51 ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von f(x)=x1 hervor, indem du den Graph von f um 5 nach rechts verschiebst.
Die waagrechte Asymptote ist also y=0. Die senkrechte Asymptote liegt bei x=5.
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von h nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um x=5 muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
x
0
2
4
5
6
8
10
h(x)
-0,2
≈-0,3
-1
undefiniert
1
≈0,3
0,2
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.
Hast du eine Frage oder Feedback?
i(x)=x1+3,5
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion i(x)=x1+3,5 ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von f(x)=x1 hervor, indem du den Graph von f um 3,5 nach oben verschiebst.
Die waagrechte Asymptote ist also y=3,5. Die senkrechte Asymptote liegt bei x=0.
Zeichne nun die Asymptoten in ein Koordinatensystem.
Wertetabelle erstellen
Um den Verlauf des Graphen von i nun einzeichnen zu können, hilft eine Wertetabelle. Vor allem der Bereich um x=0 muss angeschaut werden.
Deine Tabelle kann zum Beispiel so aussehen:
x
-5
-3
-1
0
1
3
5
i(x)
3,3
≈3,2
2,5
undefiniert
4,5
≈3,8
3,7
Mithilfe der Tabelle kannst du nun den Graphen skizzieren.
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j(x)=x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: einfache gebrochen-rationale Funktionen
Asymptoten bestimmen
Der Graph der gebrochen-rationalen Funktion j(x)=x2 ist eine Hyperbel. Sie geht aus dem Graphen von f(x)=x1 hervor, indem du den Graph von f weitest. Die Asymptoten entsprechen somit denen von f.
Die waagrechte Asymptote ist also y=0. Die senkrechte Asymptote liegt bei x=0.