Aufgaben zu einfachen gebrochen-rationalen Funktionen

In diesem Aufgabenordner werden nur Funktionen der Form

\displaystyle f(x)=\frac{a}{x+b}+c

( $a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ , $b\in\mathbb{R}$ , $c\in \mathbb{R}$ ) betrachtet.

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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Zeichne die Graphen zu den Termen $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=\frac{\mathrm x}{\mathrm x-2}$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)\;=\;\frac13\mathrm x$ in ein Koordinatensystem.
Bestimme rechnerisch die Nullstelle von f, denjenigen x-Wert mit $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=-3$ und die Schnittpunkte von f und g.
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Zeichne die Graphen der Funktionen $f:\;x\mapsto\dfrac3{x+2}$ und $f_1:\;x\mapsto\dfrac1{2-x}$
Lies die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen aus der Zeichnung ab und überprüfe dein Ergebnis rechnerisch. Trage dein Ergebnis gerne in das Eingabefeld unten in der Form ( | ), also z.B. (5|2), ein, bevor du dann in die Lösung schaust ;)
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strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Spiegeln, verschieben, stauchen
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=\frac3x$ und bestimme damit die Graphen von $g(x)=-\frac3x-2$ , $h(x)=\frac3{x+1{,}5}$ und $k(x)=\frac{1{,}5}x$
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
1) Gib zu den gegebenen Parametern $a$ , $b$ und $c$ die zugehörende gebrochen-rationale Funktionsgleichung an.
2) Beschreibe, wie der Graph deiner ermittelten Funktion aus dem Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ hervorgeht.
3) Gib die Gleichungen der waagerechten und senkrechten Asymptoten von deiner ermittelten Funktion an und erläutere sie.
1. Funktion $f_1(x)$ : $a=1$ , $b=0$ und $c=2$
2. Funktion $f_2(x)$ : $a=1$ , $b=0$ und $c=-3$
3. Funktion $f_3(x)$ : $a=1$ , $b=1$ und $c=0$
4. Funktion $f_4(x)$ : $a=1$ , $b=-2$ und $c=0$
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
Verschiebe den Graphen der Funktion $g(x)=\dfrac{2}{x+1}+2{,}5$ um $4$ Einheiten in negative x-Richtung und um $3{,}5$ Einheiten in negative y-Richtung. Der neue Graph gehört zu einer Funktion $h(x)$ .
1) Gib die Funktionsgleichung von $h(x)$ an.
2) Berechne die Schnittpunkte des Graphen von $h(x)$ mit den Koordinatenachsen.
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $g(x)=\dfrac{1}{x+b}+c$
Bestimme die Werte der Parameter $b$ und $c$ so, dass die gebrochen-rationale Funktion folgende Eigenschaften hat.
1. Der Graph der Funktion $g_1(x)$ schneidet die y-Achse im Punkt $T(0\vert3)$ . Die x-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_1(x)$ ?
2. Der Graph der Funktion $g_2(x)$ schneidet die x-Achse im Punkt $N(-2\vert0)$ . Die y-Achse wird nicht geschnitten. Welche Funktionsgleichung hat $g_2(x)$ ?
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
Überprüfe rechnerisch, welche der gegebenen Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
Hinweis: Bei der Eingabe deiner Lösung gib die Punktnummern durch Komma getrennt ein (z.B. so: 1,2,4). In diesem Fall würden die Punkte $P_1$ , $P_2$ und $P_4$ auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen, die Punkte $P_3$ und $P_5$ hingegen nicht. Es können bei jeder Teilaufgabe 1 bis 5 Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.
1. $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$
  $P_1(-2\vert0{,}6);P_2(-1\vert0{,}4);P_3(1\vert0);P_4(4\vert3);P_5(3{,}5\vert4)$
2. $f(x)=\dfrac{-3}{x+1}-2$
  $P_1(-5\vert-1{,}1);P_2(-4\vert-1);P_3(-2\vert1);P_4(1\vert-3{,}5);P_5(4\vert-2{,}6)$
3. $f(x)=\dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}+2$
  $P_1(-4\vert-2{,}5);P_2(-3\vert-3);P_3(-2\vert-5{,}5);P_4(-1\vert1);P_5(1\vert-1{,}3)$
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Die folgenden Bilder zeigen die Funktionsgraphen einer Funktion der Form
Bestimme die Parameter $a$ , $b$ und $c$ .
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Zeichne die Graphen der folgenden gebrochen-rationalen Funktionen, indem du deren Asymptoten in ein Koordinatensystem zeichnest und eine passende Wertetabelle anfertigst.
1. $f(x)=\frac{1}{x}-3$
2. $g(x)=\frac{1}{x+4}$
3. $h(x)=\frac{1}{x-5}$
4. $i(x)=\frac{1}{x}+3{,}5$
5. $j(x)=\frac{2}{x}$
6. $k(x)=\frac{-3}{x}$
7. $l(x)=\frac{3}{x-4}+2$
8. $m(x)=\frac{-1}{x+1{,}5}-2$
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Gegeben sind gebrochen-rationalen Funktionen der Form:
1 Gib an und begründe, welche Gleichung die waagerechte Asymptote und die senkrechte Asymptote der gebrochen-rationalen Funktion hat.
2 Zeichne die Asymptoten in ein Koordinatensystem ein.
3 Erstelle eine Wertetabelle im Bereich $x =-5$ bis $x=5$ für die gebrochen-rationale Funktion. Zeichne dann den Graphen der gebrochen-rationalen Funktion in das Koordinatensystem ein.
1. $f_1(x) = \dfrac{2}{x-1}-1$
2. $f_2(x) = \dfrac{-3}{x+2}+1$
3. $f_3(x) = \dfrac{1{,}5}{x-1{,}5}+3$
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Gib eine gebrochen-rationalen Funktion der Form $f(x)=\frac{a}{x+b}+c$ an, die die angegebenen Asymptoten besitzt.
Achtung: Hier gibt es viele Lösungsmöglichkeiten. Finde mindestens zwei.
1. Die Funktion $g(x)$ hat die senkrechte Asymptote $x=-3$ und die waagerechte Asymptote $y=1{,}5$ .
2. Die Funktion $h(x)$ hat die senkrechte Asymptote $x=4{,}5$ und die waagerechte Asymptote $y=-1$ .
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Bestimme bei den gegebenen Funktionen die Definitionslücke und gib den maximalen Definitionsbereich an. Deine Grundmenge sind die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ .
1. $f(x)=\frac{3}{x-2}$
2. $g(x)=\dfrac{5}{x+3}-2$
3. $h(x)=-\dfrac{3}{x-\dfrac{1}{3}}-1$
4. $k(x)=\dfrac{1}{2x+2}-3$
5. $l(x)=\dfrac{1{,}5}{5x-2}+3$
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Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
Ermittle die Funktionsgleichung einer gebrochen-rationale Funktion mit folgenden Eigenschaften.
1. Der Graph der gesuchten Funktion $f$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y=2{,}5$ , eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x=-3$ und verläuft durch den Punkt $T(0\vert3{,}5)$ .
2. Der Graph der gesuchten Funktion $f$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y=1{,}5$ , schneidet die x-Achse im Punkt $N(-2|0)$ und schneidet die y-Achse nicht.
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Lies aus den abgebildeten Graphen jeweils die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ab. Überprüfe rechnerisch deine Werte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung.
1. $f(x)=\dfrac{2}{x+2}+4$
2. $g(x)=\dfrac{4}{x-2}+4$
3. $h(x)=-\dfrac{3}{x-3}-3$
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Ordne dem Graphen $f$ einer gebrochen-rationalen Funktion die entsprechende Funktionsgleichung zu.
1. $f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}-1$
  $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1}+1$
  $f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+1$
  $f\left(x\right)=-\frac{1}{x-1}+1$
2. $f\left(x\right)=\frac{1}{x+2}-3$
  $f\left(x\right)=\frac{1}{x+2}+3$
  $f\left(x\right)=\frac{1}{x-3}+2$
  $f\left(x\right)=\frac{1}{x+3}-2$
3. $f\left(x\right)=\frac{1}{x-1{,}5}+2$
  $f\left(x\right)=\frac{3}{x-1{,}5}+2$
  $f\left(x\right)=\frac{1}{x+1{,}5}+2$
  $f\left(x\right)=\frac{3}{x-2}+1{,}5$
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Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der gegebenen Funktionen mit den Koordinatenachsen.
1. $g(x)=\dfrac{2{,}5}{x+2{,}5}+5$
2. $h(x)=\dfrac{2}{x+1}+2$
3. $k(x)=\dfrac{2}{x+2}-4$
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Gegeben sind Graphen von gebrochen-rationalen Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .
Ermittle mit Hilfe des Applets die entsprechenden Werte der Parameter $a, b$ und $c$ für den jeweiligen Graphen.
Gib die Werte in der Form $a$ Leertaste $b$ Leertaste $c$ ein (z.B. so: -3 4,5 2; positive Werte ohne Vorzeichen)
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Ordne jedem der Funktionsgraphen die passende Funktion zu.
- $f:f(x)=x ; \quad D_f=\mathbb{Q}$
- $f: f(x)=\dfrac{2}{x}; \quad D_f=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$
- $f: f(x)=-\dfrac{2}{x}; \quad D_f=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$
- $f: f(x)=\dfrac{0{,}3}{x};\quad D_f=\mathbb{Q}\setminus \{0\}$
- $f: f(x)=-5x; \quad D_f=\mathbb{Q}$

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