Aufgaben zu Definitionsmenge, Achsenschnittpunkten und Einfluss der Parameter

Gegeben sind gebrochen-rationale Funktionen der Form $f(x)=\dfrac{a}{x+b}+c$ .

Überprüfe rechnerisch, welche der gegebenen Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.

Hinweis: Bei der Eingabe deiner Lösung gib die Punktnummern durch Komma getrennt ein (z.B. so: 1,2,4). In diesem Fall würden die Punkte $P_{1}$ , $P_{2}$ und $P_{4}$ auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen, die Punkte $P_{3}$ und $P_{5}$ hingegen nicht. Es können bei jeder Teilaufgabe 1 bis 5 Punkte auf dem Graphen der Funktion $f$ liegen.

$f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$
$P_1(-2\vert0{,}6);P_2(-1\vert0{,}4);P_3(1\vert0);P_4(4\vert3);P_5(3{,}5\vert4)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Setze $P_1(\textcolor{ff6600}{-2}\vert\textcolor{009999}{0{,}6})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{0{,}6}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{-2}-3}+1&\\\\0{,}6&=&\dfrac{2}{-5}+1&\\\\0{,}6&=&-0{,}4+1&\\\\0{,}6&=&0{,}6&\checkmark\end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{1}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_2(\textcolor{ff6600}{-1}\vert\textcolor{009999}{0{,}4})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{0{,}4}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{-1}-3}+1&\\\\0{,}4&=&\dfrac{2}{-4}+1&\\\\0{,}4&=&-0{,}5+1&\\\\0{,}4&=&0{,}5&\end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{2}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_3(\textcolor{ff6600}{1}\vert\textcolor{009999}{0})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{0}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{1}-3}+1&\\\\0&=&\dfrac{2}{-2}+1&\\\\0&=&-1+1&\\\\0&=&0&\checkmark\end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{3}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_4(\textcolor{ff6600}{4}\vert\textcolor{009999}{3})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{3}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{4}-3}+1&\\\\3&=&\dfrac{2}{1}+1&\\\\3&=&2+1&\\\\3&=&3&\checkmark\end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{4}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_5(\textcolor{ff6600}{3{,}5}\vert\textcolor{009999}{4})$ in $f(x) = \dfrac{2}{x-3}+1$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{4}&=&\dfrac{2}{\textcolor{ff6600}{3{,}5}-3}+1&\\\\4&=&\dfrac{2}{0{,}5}+1&\\\\4&=&4+1&\\\\4&=&5&\end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{5}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $1,3, 4$
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Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
$f(x)=\dfrac{-3}{x+1}-2$
$P_1(-5\vert-1{,}1);P_2(-4\vert-1);P_3(-2\vert1);P_4(1\vert-3{,}5);P_5(4\vert-2{,}6)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Setze $P_1(\textcolor{ff6600}{-5}\vert\textcolor{009999}{-1{,}1})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-1{,}1}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{-5}+1}-2&\\\\-1{,}1&=&\dfrac{-3}{-4}-2&\\\\-1{,}1&=&0{,}75-2&\\\\-1{,}1&=&-1{,}25&\end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{1}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_2(\textcolor{ff6600}{-4}\vert\textcolor{009999}{-1})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-1}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{-4}+1}-2&\\\\-1&=&\dfrac{-3}{-3}-2&\\\\-1&=&1-2&\\\\-1&=&-1&\checkmark\end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{2}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_3(\textcolor{ff6600}{-2}\vert\textcolor{009999}{1})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{1}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{-2}+1}-2&\\\\1&=&\dfrac{-3}{-1}-2&\\\\1&=&3-2&\\\\1&=&1&\checkmark\end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{3}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_4(\textcolor{ff6600}{1}\vert\textcolor{009999}{-3{,}5})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-3{,}5}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{1}+1}-2&\\\\-3{,}5&=&\dfrac{-3}{2}-2&\\\\-3{,}5&=&-1{,}5-2&\\\\-3{,}5&=&-3{,}5&\checkmark\end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{4}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_5(\textcolor{ff6600}{4}\vert\textcolor{009999}{-2{,}6})$ in $f(x) = \dfrac{-3}{x+1}-2$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-2{,}6}&=&\dfrac{-3}{\textcolor{ff6600}{4}+1}-2&\\\\-2{,}6&=&\dfrac{-3}{5}-2&\\\\-2{,}6&=&-0{,}6-2&\\\\-2{,}6&=&-2{,}6&\checkmark\end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{5}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $2,3, 4,5$
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Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.
$f(x)=\dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$
$P_1(-4\vert-2{,}5);P_2(-3\vert-3);P_3(-2\vert-5{,}5);P_4(-1\vert1);P_5(1\vert-1{,}3)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen
Setze $P_1(\textcolor{ff6600}{-4}\vert\textcolor{009999}{-2{,}5})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-2{,}5}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-4}+1{,}5}-2&\\\\-2{,}5&=&\dfrac{1{,}5}{-2{,}5}-2&\\\\-2{,}5&=&-0{,}6-2&\\\\-2{,}5&=&-2{,}6&\end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{1}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Weil f(-4) = -2,6 < -2,5 gilt, liegt der Punkt unterhalb des Graphen von f.
Setze $P_2(\textcolor{ff6600}{-3}\vert\textcolor{009999}{-3})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-3}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-3}+1{,}5}-2&\\\\-3&=&\dfrac{1{,}5}{-1{,}5}-2&\\\\-3&=&-1-2&\\\\-3&=&-3&\checkmark\end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{2}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_3(\textcolor{ff6600}{-2}\vert\textcolor{009999}{-5{,}5})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-5{,}5}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-2}+1{,}5}-2&\\\\-5{,}5&=&\dfrac{1{,}5}{-0{,}5}-2&\\\\-5{,}5&=&-3-2&\\\\-5{,}5&=&-5&\end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{3}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Weil f(-2) = -5 > -5,5 gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
Setze $P_4(\textcolor{ff6600}{-1}\vert\textcolor{009999}{1})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{1}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{-1}+1{,}5}-2&\\\\1&=&\dfrac{1{,}5}{0{,}5}-2&\\\\1&=&3-2&\\\\1&=&1&\checkmark\end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, der Punkt $P_{4}$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Setze $P_5(\textcolor{ff6600}{1}\vert\textcolor{009999}{-1{,}3})$ in $f(x) = \dfrac{1{,}5}{x+1{,}5}-2$ ein:
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{-1{,}3}&=&\dfrac{1{,}5}{\textcolor{ff6600}{1}+1{,}5}-2&\\\\-1{,}3&=&\dfrac{1{,}5}{2{,}5}-2&\\\\-1{,}3&=&0{,}6-2&\\\\-1{,}3&=&-1{,}4&\end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, der Punkt $P_{5}$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .
Weil $f (1) = - 1,4 < - 1,3$ gilt, liegt der Punkt oberhalb des Graphen von f.
Antwort: Deine Eingabe im Lösungsfeld muss also lauten: $2,4$
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Setze nacheinander die Koordinaten der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung ein und prüfe, ob sich eine wahre Aussage ergibt.

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