Die waagerechte Asymptote hat die Funktionsgleichung $y=\mathrm{2,5}$. Der Parameter $c$ beschreibt die Verschiebung des Graphen der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ in positive oder negative y-Richtung. Demnach muss $c=\mathrm{2,5}$ sein. Die Funktionsgleichung sieht somit folgendermaßen aus:

Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung $x=-3$. Der Parameter $b$, der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert $3$ haben: $\Rightarrow b=3\Rightarrow f(x)={\displaystyle \frac{a}{x+3}}+\mathrm{2,5}$

Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T(0|\mathrm{3,5})$ in die Funktionsgleichung von $f(x)$ ein und löse nach $a$ auf.

$\begin{array}{rcll}\mathrm{3,5}& =& {\displaystyle \frac{a}{0+3}}+\mathrm{2,5}& |-\mathrm{2,5}\\ & & & \\ 1& =& {\displaystyle \frac{a}{3}}& |\cdot 3\\ & & & \\ a& =& 3& \end{array}$

Antwort: Der Graph der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{3}{x+3}}+\mathrm{2,5}$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y=\mathrm{2,5}$, eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x=-3$ und geht durch den Punkt $T(0|\mathrm{3,5})$.

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Wenn die y-Achse nicht geschnitten werden soll, darf der Graph $G_f$ der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ nicht in positive oder negative x-Richtung verschoben werden. Der Parameter $b$, der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert $0$ haben:

$\Rightarrow b=0\Rightarrow f(x)={\displaystyle \frac{a}{x}}+c$.

Die waagerechte Asymptote hat die Funktionsgleichung $y=\mathrm{1,5}$. Der Parameter $c$ beschreibt die Verschiebung des Graphen der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ in positive oder negative y-Richtung. Demnach muss $c=\mathrm{1,5}$ sein. Die Funktionsgleichung sieht somit folgendermaßen aus:

Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N(-2|0)$ in die Funktionsgleichung von $f(x)$ ein und löse nach $a$ auf.

$\begin{array}{rcll}0& =& {\displaystyle \frac{a}{-2}}+\mathrm{1,5}& |+{\displaystyle \frac{a}{2}}\\ & & & \\ {\displaystyle \frac{a}{2}}& =& \mathrm{1,5}& |\cdot 2\\ & & & \\ a& =& 3& \end{array}$

Antwort: Der Graph der Funktion $f(x)={\displaystyle \frac{3}{x}}+\mathrm{1,5}$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y=\mathrm{1,5}$, schneidet die y-Achse nicht und geht durch den Punkt $N(-2|0)$.

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.