Die waagerechte Asymptote hat die Funktionsgleichung $y=2{,}5$. Der Parameter $c$ beschreibt die Verschiebung des Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung. Demnach muss $c=2{,}5$ sein. Die Funktionsgleichung sieht somit folgendermaßen aus:

Die senkrechte Asymptote hat die Gleichung $x=-3$. Der Parameter $b$, der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert $3$ haben: $\Rightarrow b=3\;\;\;\Rightarrow f(x)=\dfrac{a}{x+3}+2{,}5$

Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $T(\textcolor{ff6600}0\vert\textcolor{009999}{3{,}5})$ in die Funktionsgleichung von $f(x)$ ein und löse nach $a$ auf.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}{3{,}5}&=&\dfrac{a}{\textcolor{ff6600}0+3}+2{,}5&\vert-2{,}5\\\\1&=&\dfrac{a}{3}&\vert\cdot3\\\\a&=&3&\end{array}$

Antwort: Der Graph der Funktion $f(x)=\dfrac{3}{x+3}+2{,}5$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y=2{,}5$, eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x=-3$ und geht durch den Punkt $T(0\vert3{,}5)$.

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

Wenn die y-Achse nicht geschnitten werden soll, darf der Graph $G_f$ der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ nicht in positive oder negative x-Richtung verschoben werden. Der Parameter $b$, der die Verschiebung in positive oder negative x-Richtung angibt, muss also den Wert $0$ haben:

$\Rightarrow b=0\;\;\;\Rightarrow f(x)=\dfrac{a}{x}+c$.

Die waagerechte Asymptote hat die Funktionsgleichung $y=1{,}5$. Der Parameter $c$ beschreibt die Verschiebung des Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{x}$ in positive oder negative y-Richtung. Demnach muss $c=1{,}5$ sein. Die Funktionsgleichung sieht somit folgendermaßen aus:

Setze die Koordinaten des gegebenen Punktes $N(\textcolor{ff6600}{-2}\vert\textcolor{009999}0)$ in die Funktionsgleichung von $f(x)$ ein und löse nach $a$ auf.

$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}\textcolor{009999}0&=&\dfrac{a}{\textcolor{ff6600}{-2}}+1{,}5&\vert+\dfrac{a}{2}\\\\\dfrac{a}{2}&=&1{,}5&\vert\cdot2\\\\a&=&3&\end{array}$

Antwort: Der Graph der Funktion $f(x)=\dfrac{3}{x}+1{,}5$ hat eine waagerechte Asymptote mit der Funktionsgleichung $y=1{,}5$, schneidet die y-Achse nicht und geht durch den Punkt $N(-2\vert0)$.

Die Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.