Berechnung des Umfangs

Der Umfang der Figur $U_{F}U\_F$ setzt sich aus zwei geraden $6\mathrm{c}\mathrm{m}6\; \backslash mathrm\{cm\}$ langen Strecken und einem Viertel Kreisumfang zusammen.

Die Formel für den Kreisumfang lautet: $U=2\pi rU=2\backslash pi\; r$

Ein Viertel des Kreisumfangs kann dann mit $U_{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}\cdot (2\pi r)=\mathrm{0,5}\pi rU\_\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}=\backslash frac\{1\}\{4\}\backslash cdot(2\backslash pi\; r)=0\{,\}5\backslash pi\; r$ berechnet werden. Der Kreisradius $rr$ beträgt bei dieser Figur $6\mathrm{c}\mathrm{m}6\; \backslash mathrm\{cm\}$, so

dass du für $U_{\frac{1}{4}}U\_\{\backslash frac\{1\}\{4\}\}$folgenden Wert erhältst:

Damit kannst du den gesamten Umfang der Figur berechnen:

Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $\mathrm{21,42}\mathrm{c}\mathrm{m}21\{,\}42\; \backslash mathrm\{cm\}$.

Berechnung des Flächeninhaltes

Die Kreisfläche berechnest du mit der Formel $A=\pi r^{2}A=\backslash pi\; r^2$.

Die abgebildete Figur ist ein Viertel eines Kreises mit dem Radius $r=6\mathrm{c}\mathrm{m}r=6\backslash mathrm\{cm\}$. Den Flächeninhalt $A_{F}A\_F$ dieser Figur kannst du demnach mit $A_F={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot \pi \cdot r^{2}A\_F=\backslash dfrac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; \backslash pi\backslash cdot\; r^2$ berechnen:

Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $\mathrm{28,26}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}28\{,\}26\; \backslash mathrm\{cm\}^2$.

Berechnung des Umfangs

Der Umfang der Figur $U_{F}U\_F$ setzt sich aus vier Vierteln eines Kreisumfangs zusammen. Somit ist der Umfang $U_{F}U\_F$ genau der Umfang eines Kreises mit dem Radius $r=6\mathrm{c}\mathrm{m}r=6\backslash mathrm\{cm\}$.

Die Formel für den Kreisumfang lautet: $U=2\pi rU=2\backslash pi\; r$

Für den Umfang der Figur $U_{F}U\_F$ gilt:

Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $\mathrm{37,68}\mathrm{c}\mathrm{m}37\{,\}68\; \backslash mathrm\{cm\}$.

Berechnung des Flächeninhaltes

Für die Berechnung des Flächeninhaltes $A_{F}A\_F$ denke dir ein Quadrat mit der Seitenlänge $12\mathrm{c}\mathrm{m}12\backslash mathrm\{cm\}$ um die Figur gezeichnet. So wie in der folgenden Abbildung.

Die Quadratfläche $A_{Q}A\_Q$ besteht aus vier $\text{Viertelkreisfl}\ddot{\text{a}}\text{chen}\backslash text\{\backslash textcolor\{660099\}\{Viertelkreisflächen\}\}$ und der Fläche der Figur $A_{F}A\_F$. Die vier $\text{Viertelkreisfl}\ddot{\text{a}}\text{chen}\backslash text\{\backslash textcolor\{660099\}\{Viertelkreisflächen\}\}$ lassen sich zu einer ganzen Kreisfläche $A_K\backslash textcolor\{660099\}\{A\_K\}$ zusammensetzen, die du mit der Formel $A_K=\pi r^2\backslash textcolor\{660099\}\{A\_K=\backslash pi\; r^2\}$ berechnen kannst. Dabei beträgt der Radius $r=6\mathrm{c}\mathrm{m}r=6\backslash mathrm\{cm\}$. Somit erhältst du den Flächeninhalt $A_{F}A\_F$ der Figur als Differenz der Quadratfläche $A_{Q}A\_Q$ und der Kreisfläche $A_K\backslash textcolor\{660099\}\{A\_K\}$: $A_F=A_Q-A_{K}A\_F=A\_Q-\backslash textcolor\{660099\}\{A\_K\}$

Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $\mathrm{30,96}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}30\{,\}96\backslash mathrm\{cm\}^2$.

Berechnung des Umfangs

Der Umfang der Figur $U_{F}U\_F$ setzt sich aus zwei geraden $16\mathrm{c}\mathrm{m}16\; \backslash mathrm\{cm\}$ langen Strecken und zwei Hälften eines Kreisumfangs zusammen. Das ist genau der Umfang eines Kreises mit dem Radius $r=3\mathrm{c}\mathrm{m}r=3\backslash mathrm\{cm\}$. Die Formel für den Kreisumfang lautet:

Für den Umfang der Figur $U_{F}U\_F$ gilt:

Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $\mathrm{50,84}\mathrm{c}\mathrm{m}50\{,\}84\; \backslash mathrm\{cm\}$.

Berechnung des Flächeninhaltes

Die Figur setzt sich aus zwei Teilen zusammen, einem Kreis mit dem Radius $r=3\mathrm{c}\mathrm{m}r=3\backslash mathrm\{cm\}$ (zwei Halbkreise ergeben einen ganzen Kreis) und einem Rechteck mit den Seitenlängen $a=16\mathrm{c}\mathrm{m}a=16\backslash mathrm\{cm\}$ und $b=6\mathrm{c}\mathrm{m}b=6\backslash mathrm\{cm\}$. Den Flächeninhalt $A_{F}A\_F$ dieser Figur berechnest du als Summe einer Kreisfläche und einer Rechteckfläche mit:

Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $\mathrm{124,26}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}124\{,\}26\backslash mathrm\{cm\}^2$.

Berechnung des Umfangs

Der Umfang der Figur $U_{F}U\_F$ ist die Summe aus zwei Kreisumfängen. Der eine Kreis hat einen Radius von $r_1=6\mathrm{c}\mathrm{m}r\_1=6\backslash mathrm\{cm\}$ und der andere Kreis hat einen Radius von $r_2=2\mathrm{c}\mathrm{m}r\_2=2\backslash mathrm\{cm\}$. Die Formel für den Kreisumfang lautet:

Für den Umfang der Figur $U_{F}U\_F$ ergibt sich somit:

Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $\mathrm{50,24}\mathrm{c}\mathrm{m}50\{,\}24\; \backslash mathrm\{cm\}$.

Berechnung des Flächeninhaltes

Den Flächeninhalt $A_{F}A\_F$ dieser Figur berechnest du als Differenz von zwei Kreisflächen. $A_F=A_{gro\text{ß}erKreis}-A_{kleinerKreis}A\_F=\backslash textcolor\{009999\}\{A\_\{großer\; Kreis\}\}-A\_\{kleiner\; Kreis\}$

Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $\mathrm{100,48}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}100\{,\}48\backslash mathrm\{cm\}^2$.

Berechnung des Umfangs

Der Umfang der Figur $U_{F}U\_F$ ist die Summe aus vier halben Kreisumfängen, das heißt aus insgesamt zwei Kreisumfängen. Der Kreis hat einen Radius von $r=4\mathrm{c}\mathrm{m}r=4\backslash mathrm\{cm\}$. Die Formel für den Kreisumfang lautet:

Für den Umfang der Figur $U_{F}U\_F$ ergibt sich somit:

Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $\mathrm{50,24}\mathrm{c}\mathrm{m}50\{,\}24\; \backslash mathrm\{cm\}$.

Berechnung des Flächeninhaltes

Damit es deutlich wird, kannst du dir die Mitte der Figur ohne Farbe vorstellen. Du siehst hier nun ein Quadrat mit der Seitenlänge $a=8\mathrm{c}\mathrm{m}a=8\backslash mathrm\{cm\}$. Die vier Halbkreise ergeben zwei ganze Kreise. Den Flächeninhalt $A_{F}A\_F$ dieser Figur berechnest du als Summe zweier $\text{Kreisfl}\ddot{\text{a}}\text{chen}\backslash text\{\backslash textcolor\{cc0000\}\{Kreisflächen\}\}$ und einer Quadratfläche mit: $A_F=2\cdot A_F+A_{Q}A\_F=2\backslash cdot\backslash textcolor\{cc0000\}\; \{A\_F\}+A\_Q$

Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $\mathrm{164,48}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}164\{,\}48\backslash mathrm\{cm\}^2$.

Berechnung des Umfangs

Der Umfang $U_{F}U\_F$ der Figur besteht aus einem$\text{ orangefarbigen}\backslash textcolor\{ff6600\}\{\backslash text\{\; orangefarbigen\}\}$ großen Halbkreis mit dem Radius $r_1=5\text{cm}r\_1\; =5\; \backslash text\{cm\}$ und zwei kleinen$\text{ lilafarbigen}\backslash textcolor\{660099\}\{\backslash text\{\; lilafarbigen\}\}$ Halbkreisen mit gleichem Radius $r_2=\mathrm{2,5}\text{cm}r\_2\; =2\{,\}5\; \backslash text\{cm\}$. Die zwei$\text{ lilafarbigen}\backslash textcolor\{660099\}\{\backslash text\{\; lilafarbigen\}\}$ Halbkreise kannst du zu einem ganzen Kreis zusammensetzen. Für den Umfang $U_{F}U\_F$ der Figur gilt demnach:

Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $\mathrm{31,4}\mathrm{c}\mathrm{m}31\{,\}4\; \backslash mathrm\{cm\}$.

Berechnung des Flächeninhaltes

Die Figur kannst du geschickt zerlegen und wieder zusammensetzen. Wie es geht zeigt das nächste Bild.

Denke dir den Durchmesser im großen Halbkreis eingezeichnet. Längs dieser Linie kannst du den $\text{ lilafarbigen}\backslash textcolor\{660099\}\{\backslash text\{\; lilafarbigen\}\}$ Halbkreis abschneiden und in den unteren kleinen Halbkreis einfügen. Der Flächeninhalt $A_{F}A\_F$ der Figur ist nun genau der Flächeninhalt des großen Halbkreises.

Für diesen Flächeninhalt gilt:

Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $\mathrm{39,25}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}39\{,\}25\backslash mathrm\{cm\}^2$.

Berechnung des Umfangs

Berechnung des Flächeninhaltes

Bei der Berechnung des Flächeninhaltes kannst du die Strategie "Zerlegen" und "Ergänzen" anwenden. Denke dir den linken$\text{ lilafarbigen}\backslash textcolor\{660099\}\{\backslash text\{\; lilafarbigen\}\}$ Halbkreis abgeschnitten und auf der rechten Seite wieder eingefügt. Der Flächeninhalt $A_{F}A\_F$ der Figur ist nun genau der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a=12\text{cm}-2\text{cm}=10\text{cm}a=12\backslash text\{cm\}-2\backslash text\{cm\}=10\backslash text\{cm\}$

und $b=4\text{cm}b=4\backslash text\{cm\}$.

Für den Flächeninhalt $A_{F}A\_F$ der Figur gilt demnach:

Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von $40{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}40\backslash mathrm\{cm\}^2$.

Berechnung des Umfangs

Zur Verdeutlichung sind in der obigen Abbildung alle Strecken und Halbkreise farbig gekennzeichnet. Der Umfang der Figur $U_{F}U\_F$​ setzt sich aus $5\text{ roten}\backslash textcolor\{cc0000\}\{5\backslash text\{\; roten\}\}$ waagrechten Teilstrecken und $6\text{ roten}\backslash textcolor\{cc0000\}\{6\backslash text\{\; roten\}\}$ senkrechten Strecken sowie $5gr\ddot{u}nen\backslash textcolor\{006400\}\{5\backslash ;\; grünen\}$ halben Kreisumfängen zusammen. Den Kreisumfang berechnest du mit: $U_K=2\cdot \pi \cdot rU\_K\; =2\backslash cdot\; \backslash pi\; \backslash cdot\; r$

$5\text{ rote}\backslash textcolor\{cc0000\}\{5\backslash text\{\; rote\}\}$ waagrechte Teilstrecken: $b=(1+2+4+2+1)\mathrm{c}\mathrm{m}=10\mathrm{c}\mathrm{m}b=(1+2+4+2+1)\backslash mathrm\{cm\}=10\; \backslash mathrm\{cm\}$

$6\text{ rote}\backslash textcolor\{cc0000\}\{6\backslash text\{\; rote\}\}$ senkrechte Strecken: $h=(1+1+2+2+1+1)\text{cm}=8\text{cm}h=(1+1+2+2+1+1)\backslash text\{cm\}=8\backslash text\{cm\}$

$\text{2 kleine gr}\ddot{\text{u}}\text{ne}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash text\{2\; kleine\; grüne\}\}$ Halbkreise (Nr. 1 und 5) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r=\mathrm{0,5}\text{cm}\Rightarrow r=0\{,\}5\; \backslash text\{cm\}\backslash Rightarrow$

$U_1=2\cdot \pi \cdot \mathrm{0,5}\text{cm}=\pi \text{cm}U\_1=2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot0\{,\}5\backslash text\{cm\}=\backslash pi\backslash text\{cm\}$

$\text{2 mittlere gr}\ddot{\text{u}}\text{ne}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash text\{2\; mittlere\; grüne\}\}$ Halbkreise (Nr. 2 und 4) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r=1\text{cm}\Rightarrow r=1\; \backslash text\{cm\}\backslash Rightarrow$

$U_2=2\cdot \pi \cdot 1\text{cm}=2\pi \text{cm}U\_2=2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot1\backslash text\{cm\}=2\backslash pi\backslash text\{cm\}$

$\text{1 großer gr}\ddot{\text{u}}\text{ner}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash text\{1\; großer\; grüner\}\}$ Halbkreis (Nr. 3) mit dem Radius $r=2\text{cm}\Rightarrow r=2\; \backslash text\{cm\}\backslash Rightarrow$

$U_3={\displaystyle \frac{1}{2}}(2\cdot \pi \cdot 2\text{cm})=2\pi \text{cm}U\_3=\backslash dfrac\{1\}\{2\}(2\backslash cdot\backslash pi\backslash cdot2\backslash text\{cm\})=2\backslash pi\backslash text\{cm\}$

Damit erhältst du für den gesamten Umfang der Figur:

Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa $\mathrm{33,7}\mathrm{c}\mathrm{m}33\{,\}7\; \backslash mathrm\{cm\}$.

Berechnung des Flächeninhaltes

Zur Verdeutlichung sind in der obigen Abbildung die 5 Quadrate nicht mehr farbig gekennzeichnet. Der Flächeninhalt der Figur setzt sich aus der Fläche der 5 weißen Quadrate und der Fläche von $\text{5 gr}\ddot{\text{u}}\text{nen}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash text\{5\; grünen\}\}$ Halbkreisen zusammen. Bei den Quadraten sind jeweils 2 gleich groß. Je 2 Halbkreise lassen sich zu einem ganzen Kreis ergänzen.

Den Flächeninhalt eines Quadrates berechnest du mit $A_Q=a^{2}A\_Q=a^2$. Berechne nun den Flächeninhalt der 5 weißen Quadrate:

Den Flächeninhalt eines Kreises kannst du mit $A_K=\pi \cdot r^{2}A\_K=\backslash pi\backslash cdot\; r^2$ berechnen. Berechne nun den Flächeninhalt der $\text{5 gr}\ddot{\text{u}}\text{nen}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash text\{5\; grünen\}\}$ Halbkreise:

$\text{2 kleine gr}\ddot{\text{u}}\text{ne}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash text\{2\; kleine\; grüne\}\}$ Halbkreise (Nr. 1 und 5) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r=\mathrm{0,5}\text{cm}\Rightarrow r=0\{,\}5\; \backslash text\{cm\}\backslash Rightarrow$

$A_{K1}=\pi \cdot (\mathrm{0,5}\text{cm}{)}^2=\mathrm{0,25}\pi {\text{cm}}^{2}A\_\{K1\}=\backslash pi\backslash cdot(0\{,\}5\backslash text\{cm\})^2=0\{,\}25\backslash pi\backslash text\{cm\}^2$

$\text{2 mittlere gr}\ddot{\text{u}}\text{ne}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash text\{2\; mittlere\; grüne\}\}$ Halbkreise (Nr. 2 und 4) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius $r=1\text{cm}\Rightarrow r=1\; \backslash text\{cm\}\backslash Rightarrow$

$A_{K2}=\pi \cdot (1\text{cm}{)}^2=\pi {\text{cm}}^{2}A\_\{K2\}=\backslash pi\backslash cdot(1\backslash text\{cm\})^2=\backslash pi\backslash text\{cm\}^2$

$\text{1 großer gr}\ddot{\text{u}}\text{ner}\backslash textcolor\{006400\}\{\backslash text\{1\; großer\; grüner\}\}$ Halbkreis (Nr. 3) mit dem Radius $r=2\text{cm}\Rightarrow r=2\; \backslash text\{cm\}\backslash Rightarrow$

$A_{K3}={\displaystyle \frac{1}{2}}(\pi \cdot (2\text{cm}{)}^2)=2\pi {\text{cm}}^{2}A\_\{K3\}=\backslash dfrac\{1\}\{2\}(\backslash pi\backslash cdot(2\backslash text\{cm\})^2)=2\backslash pi\backslash text\{cm\}^2$

Damit erhältst du für den gesamten Flächeninhalt der Figur:

Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa $\mathrm{36,21}{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{2}36\{,\}21\backslash mathrm\{cm\}^2$.