Visuelle Aufgaben zu Kreisumfang und Kreisfläche
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Berechne die Länge der Linien.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Du siehst einen Dreiviertelkreis. Die Länge der Linie ist demnach ein Dreiviertel eines Kreisumfangs. Der Durchmesser des Dreiviertelkreises beträgt 12cm. Sein Radius ist also r=6cm. Den Umfang eines Kreises berechnest du mit:
Für einen Dreiviertelkreis erhältst du demnach:
U43 = 43(2⋅π⋅r) ↓ Klammer auflösen und kürzen
= 23⋅π⋅r ↓ π≈3,14
≈ 1,5⋅3,14⋅6cm = 28,26cm Antwort: Die Linie hat eine Länge von etwa 28,26cm.
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Überlege dir, welcher Teil eines ganzen Kreises dargestellt ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Die Linie setzt sich aus zwei Halbkreisen mit dem gleichen Radius r=4cm zusammen. Somit erhältst du einen ganzen Kreis und kannst den Umfang dieses Kreises berechnen.
U = 2⋅π⋅r = 2⋅π⋅4cm = 8⋅πcm ↓ π≈3,14
≈ 8⋅3,14cm = 25,12cm Antwort: Die Linie hat eine Länge von etwa 25,12cm.
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Überlege dir, aus welchen Teilen eines Kreises die Linie besteht.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Die Linie setzt sich aus drei Halbkreisen zusammen. Der orange Halbkreis hat einen Radius von r=2cm.
Der rote Halbkreis hat einen Radius von r=4cm und der tu¨rkisfarbige Halbkreis hat einen Radius von r=6cm.
Den Kreisumfang berechnest du mit : U=2⋅π⋅r
Berechne nun für jeden Halbkreis den halben Umfang mit: U=π⋅r
U1 = π⋅r = π⋅2cm U2 = π⋅r = π⋅4cm U3 = π⋅r = π⋅6cm Berechne nun die Summe aus den drei halben Kreisumfängen:
U = U1+U2+U3 = π⋅2cm+π⋅4cm+π⋅6cm = π⋅12cm ↓ π≈3,14
≈ 3,14⋅12cm = 37,68cm Antwort: Die Linie hat eine Länge von etwa 37,68cm.
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Überlege dir, aus welchen Teilen eines Kreises die Linie besteht.
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Berechne den Gesamtumfang der Figur. Die Maße kannst du dem Bild unten entnehmen. Runde dein Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Kreisumfangs ist:
Die Figur setzt sich aus dem blauen Kreis und dem weißen Halbkreis zusammen. Daraus folgt für den Gesamtumfang:
Vergiss nicht den Durchmesser zum Halbkreis hinzu zu addieren für die untere Linie, des Halbkreises.
Der Durchmesser d der beiden Kreise ist in der Zeichnung gegeben. Für die Formel brauchst du aber den Radius r. Diesen kannst du wie folgt berechnen:
Nun brauchst du nur noch die gegebenen Werte einzusetzen.
Das heißt, dass der Gesamtumfang ca. 85,7 cm beträgt.
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Berechne den Gesamtumfang der unten dargestellten Figur.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
Die Figur setzt sich aus mehreren Figuren zusammen.
Sie besteht aus dem hier grünen Kreis, dem blauen Halbkreis und den beiden orangen Halbkreisen. Der Umfang der Figur setzt sich aus den Umfängen der bunten Kreisteile zusammen.
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Kreisumfangs ist:
Berechne nun die Umfänge Ugru¨n, Ublau und Uorange.
Ugru¨n ist der Umfang eines Kreises mit einem Radius von 1,5cm.
Ugru¨n=2π⋅1,5cm=π⋅3cm≈3,14⋅3cm=9,42cm
Ublau ist der Umfang eines Halbkreises, von dem die Längen der angrenzenden orangen Schnittlinien abgezogen werden müssen. Der Umfang des blauen Objekts besteht aus dem halben Umfang eines ganzen Kreises und der Länge der unteren Seite minus 2⋅1cm=2cm. Die untere Seite ist 7cm lang. Das ist außerdem auch der Durchmesser des Halbkreises. Somit ist der Radius des Halbkreises 7cm:2=3,5cm.
Ublau=21⋅2π⋅3,5cm+(7cm−2cm)=π⋅3,5cm+(7cm−2cm)≈3,14⋅3,5cm+5cm=10,99cm+5cm=15,99cm
Uorange sind zwei Halbkreise mit dem gleichen Durchmesser von 1cm. Deren Umfang ist der gleiche wie der eines ganzen Kreises mit Durchmesser 1cm. Der Radius beträgt hier 0,5cm. Die obere Seite der Halbkreise müssen wir nicht berechnen, da sie an den blauen Halbkreis angrenzen.
Uorange=2π⋅0,5cm=π⋅1cm≈3,14⋅1cm=3,14cm
Der Gesamtumfang setzt sich nun aus der Summe der Umfänge Ugru¨n, Ublau und Uorange zusammen.
UGesamt=≈=Ugru¨n9,42cm28,55cm+Ublau+15,99cm+Uorange+3,14cm
Der Gesamtumfang der Figur beträgt in etwa 28,55cm.
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Du siehst eine Abbildung von Pacman. Berechne den Umfang dieser Figur. Ein Kästchen entspricht dabei 0,5cm. Außerdem kannst du annehmen, dass der Mund von Pacman ein Viertel des Kreises ausmacht. Runde das Ergebnis auf 2 Nachkommastellen.
cmFür diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung des Umfangs eines Kreises
Den Umfang eines Kreises berechnest du mit der Formel:
U=2⋅π⋅r=d⋅π
Du kannst den Durchmesser d durch Zählen der Kästchen herausfinden Der Durchmesser ist 10 Kästchen lang, also d=0,5cm⋅10=5cm.
U=d⋅π=5cm⋅π≈15,71cm
Um nur den Umfang von dem 43-Kreis zu berechnen, multiplizierst du den Umfang mit 43:
Ukreis pacman=43⋅5cm⋅π=43⋅15,71cm≈11,78cm
Als letzten Schritt darfst du nicht vergessen den Umfang des Mundes zu berechnen. Die obere und untere Linie entsprechen jeweils dem Radius des Kreises, also der Hälfte des Durchmessers:
r=25cm=2,5cm
Die Länge der beiden Linien rechnest du noch zum vorher berechneten Umfang dazu:
Upacman=11,78cm+2,5cm+2,5cm=16,78cm
Der Umfang von Pacman beträgt also 16,78cm.
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Lisa hat ein Pferd, eine Kuh, ein Schaf und einen Esel. Sie möchte jedem ein eigenes Stück Wiese zur Verfügung stellen. Dafür wird ein Zaun, um die Felder herum benötigt. Berechne wie viel Zaun Lisa braucht. Ein Kästchen in der Abbildung entspricht 10m in der Realität. Runde dein Ergebnis auf 2 Nachkommastellen.
Fällt dir ein einfacher und schneller Lösungsweg auf?
mFür diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung des Umfangs eines Kreises
Den Umfang eines Kreises berechnest du mit der Formel:
U=2⋅π⋅r=d⋅π
Der Radius des Kreises ist 4 Kästchen lang. Das entspricht 40m. Nun kannst du den Wert in die Formel einsetzen:
UKreis=2⋅π⋅r=2⋅π⋅40m=80m⋅π≈251,33m
Das ist die Länge der 4 Kreisbögen. Nun musst du noch die Länge des Zauns um die 4 Felder herum berechnen. Du hast 4 gleich lange Seiten von je 8 Kästchen, also 80m:
Uaußen=4⋅80m=320m
Der Gesamtumfang ist die Summe aus dem Umfang der Kreisbögen und dem Umfang um die Felder herum.
Ugesamt=UKreis+Uaußen=251,33m+320m=571,33m
Lisa braucht also einen Zaun mit einer Länge von 571,33m.
Da du 4 gleiche Viertelkreise hast, kannst du diese zu einem vollständigen Kreis ergänzen. Deshalb kannst du in der Aufgabe gleich den Umfang eines ganzen Kreises berechnen.
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Berechne bei den einzelnen Figuren jeweils den Umfang und den Flächeninhalt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur UF setzt sich aus zwei geraden 6cm langen Strecken und einem Viertel Kreisumfang zusammen.
Die Formel für den Kreisumfang lautet: U=2πr
Ein Viertel des Kreisumfangs kann dann mit U41=41⋅(2πr)=0,5πr berechnet werden. Der Kreisradius r beträgt bei dieser Figur 6cm, so
dass du für U41folgenden Wert erhältst:
U41 = 0,5⋅π⋅r ↓ π≈3,14
≈ 0,5⋅3,14⋅6cm = 9,42 cm Damit kannst du den gesamten Umfang der Figur berechnen:
UF = 2⋅Radius+U41 = 2⋅6cm+9,42cm = 21,42cm Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa 21,42cm.
Berechnung des Flächeninhaltes
Die Kreisfläche berechnest du mit der Formel A=πr2.
Die abgebildete Figur ist ein Viertel eines Kreises mit dem Radius r=6cm. Den Flächeninhalt AF dieser Figur kannst du demnach mit AF=41⋅π⋅r2 berechnen:
AF = =41⋅π⋅r2 ↓ π≈3,14
≈ 41⋅3,14⋅(6cm)2 = 28,26cm2 Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa 28,26cm2.
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur UF setzt sich aus vier Vierteln eines Kreisumfangs zusammen. Somit ist der Umfang UF genau der Umfang eines Kreises mit dem Radius r=6cm.
Die Formel für den Kreisumfang lautet: U=2πr
Für den Umfang der Figur UF gilt:
UF = 2⋅π⋅r ↓ π≈3,14
≈ 2⋅3,14⋅6cm = 37,68 cm Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa 37,68cm.
Berechnung des Flächeninhaltes
Für die Berechnung des Flächeninhaltes AF denke dir ein Quadrat mit der Seitenlänge 12cm um die Figur gezeichnet. So wie in der folgenden Abbildung.
Die Quadratfläche AQ besteht aus vier Viertelkreisfla¨chen und der Fläche der Figur AF. Die vier Viertelkreisfla¨chen lassen sich zu einer ganzen Kreisfläche AK zusammensetzen, die du mit der Formel AK=πr2 berechnen kannst. Dabei beträgt der Radius r=6cm. Somit erhältst du den Flächeninhalt AF der Figur als Differenz der Quadratfläche AQ und der Kreisfläche AK: AF=AQ−AK
AF = (12cm)2−π⋅r2 ↓ π≈3,14
≈ 144cm2−3,14⋅(6cm)2 = 144cm2−113,04cm2 = 30,96cm2 Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa 30,96cm2.
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur UF setzt sich aus zwei geraden 16cm langen Strecken und zwei Hälften eines Kreisumfangs zusammen. Das ist genau der Umfang eines Kreises mit dem Radius r=3cm. Die Formel für den Kreisumfang lautet:
Für den Umfang der Figur UF gilt:
UF = 2⋅16cm+2⋅π⋅3cm ↓ π≈3,14
≈ 2⋅16cm+2⋅3,14⋅3cm = 50,84 cm Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa 50,84cm.
Berechnung des Flächeninhaltes
Die Figur setzt sich aus zwei Teilen zusammen, einem Kreis mit dem Radius r=3cm (zwei Halbkreise ergeben einen ganzen Kreis) und einem Rechteck mit den Seitenlängen a=16cm und b=6cm. Den Flächeninhalt AF dieser Figur berechnest du als Summe einer Kreisfläche und einer Rechteckfläche mit:
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa 124,26cm2.
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur UF ist die Summe aus zwei Kreisumfängen. Der eine Kreis hat einen Radius von r1=6cm und der andere Kreis hat einen Radius von r2=2cm. Die Formel für den Kreisumfang lautet:
Für den Umfang der Figur UF ergibt sich somit:
UF = UgroßerKreis+UkleinerKreis = 2⋅π⋅6cm+2⋅π⋅2cm ↓ π ≈ 3,14
≈ 2⋅3,14⋅6 cm +2⋅3,14⋅2 cm = 37,68cm+12,56cm = 50,24cm Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa 50,24cm.
Berechnung des Flächeninhaltes
Den Flächeninhalt AF dieser Figur berechnest du als Differenz von zwei Kreisflächen. AF=AgroßerKreis−AkleinerKreis
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa 100,48cm2.
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Beachte: Bei dieser Figur geht es nur um den gefärbten Bereich.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang der Figur UF ist die Summe aus vier halben Kreisumfängen, das heißt aus insgesamt zwei Kreisumfängen. Der Kreis hat einen Radius von r=4cm. Die Formel für den Kreisumfang lautet:
Für den Umfang der Figur UF ergibt sich somit:
UF = 2⋅UK = 2⋅(2⋅π⋅4cm) ↓ π ≈ 3,14
≈ 4⋅3,14⋅4 cm = 50,24cm Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa 50,24cm.
Berechnung des Flächeninhaltes
Damit es deutlich wird, kannst du dir die Mitte der Figur ohne Farbe vorstellen. Du siehst hier nun ein Quadrat mit der Seitenlänge a=8cm. Die vier Halbkreise ergeben zwei ganze Kreise. Den Flächeninhalt AF dieser Figur berechnest du als Summe zweier Kreisfla¨chen und einer Quadratfläche mit: AF=2⋅AF+AQ
Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa 164,48cm2.
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang UF der Figur besteht aus einem orangefarbigen großen Halbkreis mit dem Radius r1=5cm und zwei kleinen lilafarbigen Halbkreisen mit gleichem Radius r2=2,5cm. Die zwei lilafarbigen Halbkreise kannst du zu einem ganzen Kreis zusammensetzen. Für den Umfang UF der Figur gilt demnach:
UF = 21⋅U+ U = 21⋅(2⋅π⋅r1)+2⋅π⋅r2 = 21⋅(2⋅π⋅5cm)+2⋅π⋅2,5cm = π⋅5cm+π⋅5cm = 10⋅πcm ↓ π≈3,14
≈ 10⋅3,14cm = 31,4cm Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa 31,4cm.
Berechnung des Flächeninhaltes
Die Figur kannst du geschickt zerlegen und wieder zusammensetzen. Wie es geht zeigt das nächste Bild.
Denke dir den Durchmesser im großen Halbkreis eingezeichnet. Längs dieser Linie kannst du den lilafarbigen Halbkreis abschneiden und in den unteren kleinen Halbkreis einfügen. Der Flächeninhalt AF der Figur ist nun genau der Flächeninhalt des großen Halbkreises.
Für diesen Flächeninhalt gilt:
AF = 21⋅AK = 21⋅π⋅r12 = 21⋅π⋅(5cm)2 = 21⋅π⋅25cm2 = 12,5⋅πcm2 ↓ π≈3,14
≈ 12,5⋅3,14cm2 = 39,25cm2 Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa 39,25cm2.
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes nutze die Strategie "Zerlegen" und "Ergänzen"
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Der Umfang UF der Figur besteht aus zwei gru¨nen Halbkreisen mit dem Radius r=2cm und zwei lilafarbigen Strecken der Länge b=10cm. Die zweigru¨nen Halbkreise kannst du zu einem ganzen Kreis zusammensetzen.
Für den Umfang UF der Figur gilt demnach:
UF = UK+2⋅b = 2⋅π⋅r+2⋅b = 2⋅π⋅2cm+2⋅10cm = 4⋅πcm+20cm ↓ π≈3,14
≈ 4⋅3,14cm+20cm = 12,56cm+20cm = 32,56cm Berechnung des Flächeninhaltes
Bei der Berechnung des Flächeninhaltes kannst du die Strategie "Zerlegen" und "Ergänzen" anwenden. Denke dir den linken lilafarbigen Halbkreis abgeschnitten und auf der rechten Seite wieder eingefügt. Der Flächeninhalt AF der Figur ist nun genau der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a=12cm−2cm=10cm
und b=4cm.
Für den Flächeninhalt AF der Figur gilt demnach:
AF = a⋅b = 10cm⋅4cm = 40cm2 Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von 40cm2.
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Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Berechnung des Umfangs
Zur Verdeutlichung sind in der obigen Abbildung alle Strecken und Halbkreise farbig gekennzeichnet. Der Umfang der Figur UF setzt sich aus 5 roten waagrechten Teilstrecken und 6 roten senkrechten Strecken sowie 5gru¨nen halben Kreisumfängen zusammen. Den Kreisumfang berechnest du mit: UK=2⋅π⋅r
5 rote waagrechte Teilstrecken: b=(1+2+4+2+1)cm=10cm
6 rote senkrechte Strecken: h=(1+1+2+2+1+1)cm=8cm
2 kleine gru¨ne Halbkreise (Nr. 1 und 5) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius r=0,5cm⇒
U1=2⋅π⋅0,5cm=πcm
2 mittlere gru¨ne Halbkreise (Nr. 2 und 4) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius r=1cm⇒
U2=2⋅π⋅1cm=2πcm
1 großer gru¨ner Halbkreis (Nr. 3) mit dem Radius r=2cm⇒
U3=21(2⋅π⋅2cm)=2πcm
Damit erhältst du für den gesamten Umfang der Figur:
UF = b+h+U1+U2+U3 = 10cm+8cm+(π+2π+2π)cm = 18cm+5πcm ↓ π≈3,14
≈ 18cm+5⋅3,14cm = 33,7cm Antwort: Die Figur hat einen Umfang von etwa 33,7cm.
Berechnung des Flächeninhaltes
Zur Verdeutlichung sind in der obigen Abbildung die 5 Quadrate nicht mehr farbig gekennzeichnet. Der Flächeninhalt der Figur setzt sich aus der Fläche der 5 weißen Quadrate und der Fläche von 5 gru¨nen Halbkreisen zusammen. Bei den Quadraten sind jeweils 2 gleich groß. Je 2 Halbkreise lassen sich zu einem ganzen Kreis ergänzen.
Den Flächeninhalt eines Quadrates berechnest du mit AQ=a2. Berechne nun den Flächeninhalt der 5 weißen Quadrate:
AQ = A1+A2+A3+A4+A5 ↓ A1=A5 und A2=A4
= 2⋅(1cm)2+2⋅(2cm)2+(4cm)2 = (2+8+16)cm2 = 26cm2 Den Flächeninhalt eines Kreises kannst du mit AK=π⋅r2 berechnen. Berechne nun den Flächeninhalt der 5 gru¨nen Halbkreise:
2 kleine gru¨ne Halbkreise (Nr. 1 und 5) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius r=0,5cm⇒
AK1=π⋅(0,5cm)2=0,25πcm2
2 mittlere gru¨ne Halbkreise (Nr. 2 und 4) ergeben einen ganzen Kreis mit dem Radius r=1cm⇒
AK2=π⋅(1cm)2=πcm2
1 großer gru¨ner Halbkreis (Nr. 3) mit dem Radius r=2cm⇒
AK3=21(π⋅(2cm)2)=2πcm2
AK = AK1+AK2+AK3 = (0,25π+π+2π)cm2 = 3,25πcm2 ↓ π≈3,14
≈ 3,25⋅3,14cm2 = 10,205cm2 ≈ 10,21cm2 Damit erhältst du für den gesamten Flächeninhalt der Figur:
AF = AQ+AK = 26cm2+10,21cm2 = 36,21cm2 Antwort: Die Figur hat einen Flächeninhalt von etwa 36,21cm2.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Beachte bei der Berechnung des Umfangs, aus welchen Teilen er sich zusammensetzt. Bei der Berechnung des Flächeninhaltes suche nach bekannten geometrischen Figuren.
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