Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 2

Gegeben ist die Funktion $f: x \mapsto 1+7e^{-0{,}2x}$ mit Definitionsbereich $R_{0}^{+}$ ; die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen $G_{f}$ .

a) Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung $y = 1$ waagrechte Asymptote von $G_{f}$ ist. Zeigen Sie rechnerisch, dass $f$ streng monoton abnehmend ist.

Für jeden Wert $s > 0$ legen die Punkte $(0 ∣ 1)$ , $(s ∣ 1)$ , $(s ∣ f (s))$ und $(0 ∣ f (s))$ ein Rechteck mit dem Flächeninhalt $R (s)$ fest.

b) Zeichnen Sie dieses Rechteck für $s = 5$ in die Abbildung 1 ein. Zeigen Sie, dass $R (s)$ für einen bestimmten Wert von $s$ maximal ist, und geben Sie den Wert von $s$ an.

(zur Kontrolle: $R(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s}$ )

c) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von $G_{f}$ , der y-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen $y = 1$ und $x = 5$ begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu $s = 5$ gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.

Teilaufgabe a)

Die e-Funktion $e_{1} (x) = e^{x}$ hat die x-Achse als waagrechte Asymptote. Da $e_2(x)=e^{-x}$ sich aus $e_{1} (x)$ durch Spiegelung an der y-Achse ergibt, ist die x-Achse ebenfalls eine waagrechte Asymptote von $e_{2} (x)$ .

Der Graph $G_{e_2}$ ergibt sich aus dem Graph $G_{e_1}$ durch Spiegelung an der y-Achse.

Also gilt: $\lim\limits_{x\to\infty}e^{-x}$ =0 und $\lim\limits_{x\to\infty}(1+7\cdot e^{-{0{,}2\cdot x}})=1$

Die Funktion $f$ ist streng monoton fallend, wenn $f^{'} (x) < 0$ für alle $x > 0$

\displaystyle f'(x)=7\cdot(-0{,}2)\cdot e^{-0{,}2\cdot x}=-1{,}4\cdot e^{-0{,}2\cdot x}<0

Da $e^{-0{,}2\cdot x}>0$ , ist also $-1{,}4\cdot e^{-0{,}2\cdot x}<0$ . Somit ist $f$ streng monoton fallend.

Teilaufgabe b)

Bei dieser Aufgabe gehst du in zwei Schritten vor:

Zuerst berechnest du die Fläche des Rechtecks R(s) in Abhängigkeit von $s$ .
Dann berechnest du mithilfe der ersten Ableitung, wann R(s) maximal wird.

Das Rechteck mit den gegebenen Punkten hat die Länge $s$ und die Höhe

\displaystyle h=f(s)-1=7\cdot e^{-0{,}2\cdot s}.

Damit gilt für den Flächeninhalt:

\displaystyle R(s)=s\cdot7\cdot e^{-0{,}2\cdot s}=7\cdot s\cdot e^{-0{,}2\cdot s}.

Dieser Wert wird maximal für den Wert von $s$ , wenn $R^{'} (s) = 0$ und an der Stelle $s$ einen Vorzeichenwechsel von $+$ nach $-$ hat.

\displaystyle R'(s)=7\cdot[e^{-0{,}2\cdot s}+s\cdot(e^{-0{,}2\cdot s}\cdot(-0{,}2))]=7\cdot e^{-0{,}2\cdot s}\cdot(1-0{,}2\cdot s)

Berechne nun die Nullstelle von R(s):

$\displaystyle R'\left(s\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze R'(s) ein
$\displaystyle 1-0{,}2\ \cdot s$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -0{,}2\cdot s$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot\left(-5\right)$
$\displaystyle s$	$=$	$\displaystyle 5$

Da der Faktor $7\cdot e^{-0{,}2\cdot s}$ immer größer als 0 ist, wird das Vorzeichen von $R^{'} (s)$ bestimmt von dem zweiten Faktor $1-\frac{1}{5}\cdot s$

Der zweite Faktor ist eine fallende Gerade mit dem y-Achsenabschnitt 1 und der Nullstelle $s = 5$ .

Also ist $R^{'} (s) > 0$ für $0 < s < 5$ : $R$ wachsend.

Und $R^{'} (s) < 0$ für $5<s<\infty$ : $R$ fallend.

Damit wird der Inhalt des Rechteckes für $s = 5$ maximal. Es gilt:

\displaystyle R(5)=5\cdot7\cdot e^{-0{,}2\cdot 5}=35\cdot e^{-\frac{1}{5}\cdot 5}=35\cdot e^{-1}=\frac{35}{e} \ \text{FE}

Teilaufgabe c)

Für den Inhalt des vor beschriebenen Flächenstücks gilt:

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \int_0^5(f(x)-1)\,dx$	$\displaystyle$
	↓	Setze f(x) ein
	$=$	$\displaystyle \int_0^5(1+7\cdot e^{-0{,}2x}-1)\,dx$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle \int_0^57\cdot e^{-0{,}2x}dx\$
	↓	Ziehe die 7 als Skalar vor das Integral
	$=$	$\displaystyle 7\int_0^5e^{-\frac{1}{5}x}dx$
	↓	Integriere
	$=$	$\displaystyle 7\cdot(-5)[e^{-\frac{1}{5}x}]_0^5$
	↓	Werte an den Grenzen aus
	$=$	$\displaystyle -35\cdot(e^{-1}-e^0)=35-\frac{35}{e} \ \text{FE}$

Damit gilt für den Anteil des Flächenstücks des Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks:

\displaystyle \frac{R(5)}{A}=\frac{\frac{35}{e}}{35-\frac{35}{e}}=\frac{\frac{35}{e}}{\frac{35e-35}{e}}=\frac{35}{35e-35}=\frac{35}{35}\cdot\frac{1}{e-1}=\frac{1}{e-1}=0{,}58

Also ist der prozentuale Anteil gerade 58 %.

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