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Gegeben ist die Funktion f:x1+7e0,2x f: x \mapsto 1+7e^{-0{,}2x} mit Definitionsbereich R0+\R^+_0 ; die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen GfG_f.

Bild

a) Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y=1 y = 1 waagrechte Asymptote von GfG_f ist. Zeigen Sie rechnerisch, dass ff streng monoton abnehmend ist.

Für jeden Wert s>0s>0 legen die Punkte (01)(0|1), (s1) (s|1), (sf(s))(s| f (s) ) und (0f(s))(0|f (s) ) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt R(s)R(s) fest.

b) Zeichnen Sie dieses Rechteck für s=5s = 5 in die Abbildung 1 ein. Zeigen Sie, dass R(s)R(s) für einen bestimmten Wert von ss maximal ist, und geben Sie den Wert von ss an.

(zur Kontrolle: R(s)=7se0,2sR(s) = 7s \cdot e^{-0{,}2s})

c) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von Gf G_f, der y-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen y=1y = 1 und x=5x=5 begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu s=5s = 5 gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.