Gegeben ist die Funktion f:x↦1+7e−0,2x mit Definitionsbereich R0+ ; die Abbildung 1 zeigt ihren Graphen Gf.
a) Begründen Sie, dass die Gerade mit der Gleichung y=1 waagrechte Asymptote von Gf ist. Zeigen Sie rechnerisch, dass f streng monoton abnehmend ist.
Für jeden Wert s>0 legen die Punkte (0∣1), (s∣1), (s∣f(s)) und (0∣f(s)) ein Rechteck mit dem Flächeninhalt R(s) fest.
b) Zeichnen Sie dieses Rechteck für s=5 in die Abbildung 1 ein. Zeigen Sie, dass R(s) für einen bestimmten Wert von s maximal ist, und geben Sie den Wert von s an.
(zur Kontrolle: R(s)=7s⋅e−0,2s)
c) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von Gf, der y-Achse sowie den Geraden mit den Gleichungen y=1 und x=5 begrenzt wird. Einen Teil dieses Flächenstücks nimmt das zu s=5 gehörige Rechteck ein. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des Flächeninhalts dieses Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks.
Teilaufgabe a)
Die e-Funktion e1(x)=ex hat die x-Achse als waagrechte Asymptote. Da e2(x)=e−x sich aus e1(x) durch Spiegelung an der y-Achse ergibt, ist die x-Achse ebenfalls eine waagrechte Asymptote von e2(x) .
Der Graph Ge2 ergibt sich aus dem Graph Ge1 durch Spiegelung an der y-Achse.
Also gilt: x→∞lime−x=0 und x→∞lim(1+7⋅e−0,2⋅x)=1
Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn f′(x)<0 für alle x>0
Da e−0,2⋅x>0, ist also −1,4⋅e−0,2⋅x<0. Somit ist f streng monoton fallend.
Teilaufgabe b)
Bei dieser Aufgabe gehst du in zwei Schritten vor:
Zuerst berechnest du die Fläche des Rechtecks R(s) in Abhängigkeit von s.
Dann berechnest du mithilfe der ersten Ableitung, wann R(s) maximal wird.
Das Rechteck mit den gegebenen Punkten hat die Länge s und die Höhe
Damit gilt für den Flächeninhalt:
Dieser Wert wird maximal für den Wert von s, wenn R′(s)=0 und an der Stelle s einen Vorzeichenwechsel von + nach − hat.
Berechne nun die Nullstelle von R(s):
R′(s)
=
0
↓
Setze R'(s) ein
1−0,2⋅s
=
0
−1
−0,2⋅s
=
−1
⋅(−5)
s
=
5
Da der Faktor 7⋅e−0,2⋅s immer größer als 0 ist, wird das Vorzeichen von R′(s) bestimmt von dem zweiten Faktor 1−51⋅s
Der zweite Faktor ist eine fallende Gerade mit dem y-Achsenabschnitt 1 und der Nullstelle s=5.
Also ist R′(s)>0 für 0<s<5 : R wachsend.
Und R′(s)<0 für 5<s<∞ : R fallend.
Damit wird der Inhalt des Rechteckes für s=5 maximal. Es gilt:
Teilaufgabe c)
Für den Inhalt des vor beschriebenen Flächenstücks gilt:
A
=
∫05(f(x)−1)dx
↓
Setze f(x) ein
=
∫05(1+7⋅e−0,2x−1)dx
↓
Vereinfache
=
∫057⋅e−0,2xdx
↓
Ziehe die 7 als Skalar vor das Integral
=
7∫05e−51xdx
↓
Integriere
=
7⋅(−5)[e−51x]05
↓
Werte an den Grenzen aus
=
−35⋅(e−1−e0)=35−e35FE
Damit gilt für den Anteil des Flächenstücks des Rechtecks am Inhalt des Flächenstücks: