Zuerst bestimmst du die Nullstellen: Setze die Funktion gleich 0 und bestimme die Lösung der Gleichung.

$f\left(x\right)=0f\backslash left(x\backslash right)=0$

${(x-1)}^2-4=0\mathrm{\mid }+4\backslash left(x-1\backslash right)^2-4=0\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; |+4$

$(x-1{)}^2=4\mathrm{\mid }\sqrt{}(x-1)^2\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; =4\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; |\backslash sqrt\{\backslash \; \}$

$x-1=\pm \sqrt{4}\mathrm{\mid }+1x-1=\backslash pm\backslash sqrt\{4\backslash \; \backslash \; \}\backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; |\backslash \; +1$

$x=\pm 2+1x=\backslash pm2+1$

Die Nullstellen sind also gegeben durch $x_1=2+1=3x\_1=2+1=3$ und $x_2=-2+1=-1x\_2=-2+1=-1$

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Jetzt bestimmst du den Öffnungsfaktor $aa$. Die Funktion ist in Scheitelpunktform gegeben. Daher lässt sich der Öffnungsfaktor $aa$ direkt ablesen, denn:

 $f(x)=1\cdot (x-1{)}^2-4f(x)=1\cdot (x-1)^2-4$

Also ist $a=1a=1$.

Untersuche jetzt, welcher der oben genannten Fälle vorliegt. Wegen $x_1=3x\_1=3$ und $x_2=-1x\_2=-1$ hat $ff$ zwei verschiedene Nullstellen und es handelt sich um den 1. Fall. Einsetzen in die vorgegebene Form liefert die Nullstellenform:

$f\left(x\right)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=1\cdot (x-3)\cdot (x-(-1))=(x-3)\cdot (x+1)f\backslash left(x\backslash right)=a\backslash cdot\backslash left(x-x\_1\backslash right)\backslash cdot\backslash left(x-x\_2\backslash right)=1\backslash cdot\backslash left(x-3\backslash right)\backslash cdot\backslash left(x-\backslash left(-1\backslash right)\backslash right)=\backslash left(x-3\backslash right)\backslash cdot\backslash left(x+1\backslash right)$