Linearform

Tipp: Achte vor allem auf die Vorzeichen in den Klammern

Variante 1

Die gesuchte Gleichung hat folgende Form:

$f(x)=a⋅(x−x_1)⋅(x−x_2)$

Hierbei sind $x_2$ und $x_2$ die Nullstellen von $f$ und $a$ ist der Öffnungsfaktor.

Du kannst also die Werte einsetzen und erhältst:

$f\left(x\right)=3\cdot\left(x-\left(-5\right)\right)\cdot\left(x-3\right)=3\cdot\left(x+5\right)\cdot\left(x-3\right)$

Beachte vor allem die Vorzeichen in den Klammern. Bei einer negativen Nullstelle ändert sich das Minus in der Klammer zu einem Plus.

Deswegen ist

$f(x)=3⋅(x+5)⋅(x−3)$

die gesuchte Funktion.

Variante 2

Du kannst alternativ auch die Werte der verschiedenen Funktionen bei $−5$ und $3$ ausrechnen.

Nur bei der Funktion

$f(x)=3⋅(x+5)⋅(x−3)$

gilt:

$f\left(-5\right)=3\cdot\left(-5+5\right)\cdot\left(-5-3\right)=3\cdot0\cdot\left(-8\right)=0$

$$

$f(3)=3*(3+5)*(3-3)=3*8*0=0$

Also ist die richtige Lösung

$f(x)=3*(x+5)*(x-3)$

Zuerst bestimmst du die Nullstellen: Setze die Funktion gleich 0 und bestimme die Lösung der Gleichung.

$f\left(x\right)=0$

$\left(x-1\right)^2-4=0\ \ \ \ \ \ |+4$

$(x−1)^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ =4\ \ \ \ \ \ |\sqrt{\ }$

$x-1=\pm\sqrt{4\ \ }\ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ +1$

$x=\pm2+1$

Die Nullstellen sind also gegeben durch $x_1=2+1=3$ und $x_2=−2+1=−1$

​

Jetzt bestimmst du den Öffnungsfaktor $a$. Die Funktion ist in Scheitelpunktform gegeben. Daher lässt sich der Öffnungsfaktor $a$ direkt ablesen, denn:

 $f(x)=1⋅(x−1)^2−4$

Also ist $a=1$.

Untersuche jetzt, welcher der oben genannten Fälle vorliegt. Wegen $x_1=3$ und $x_2=−1$ hat $f$ zwei verschiedene Nullstellen und es handelt sich um den 1. Fall. Einsetzen in die vorgegebene Form liefert die Nullstellenform:

$f\left(x\right)=a\cdot\left(x-x_1\right)\cdot\left(x-x_2\right)=1\cdot\left(x-3\right)\cdot\left(x-\left(-1\right)\right)=\left(x-3\right)\cdot\left(x+1\right)$