Linearform

Tipp: Achte vor allem auf die Vorzeichen in den Klammern

Variante 1

Die gesuchte Gleichung hat folgende Form:

$f(x)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)$

Hierbei sind $x_2$ und $x_2$ die Nullstellen von $f$ und $a$ ist der Öffnungsfaktor.

Du kannst also die Werte einsetzen und erhältst:

$f\left(x\right)=3\cdot (x-(-5))\cdot (x-3)=3\cdot (x+5)\cdot (x-3)$

Beachte vor allem die Vorzeichen in den Klammern. Bei einer negativen Nullstelle ändert sich das Minus in der Klammer zu einem Plus.

Deswegen ist

$f(x)=3\cdot (x+5)\cdot (x-3)$

die gesuchte Funktion.

Variante 2

Du kannst alternativ auch die Werte der verschiedenen Funktionen bei $-5$ und $3$ ausrechnen.

Nur bei der Funktion

$f(x)=3\cdot (x+5)\cdot (x-3)$

gilt:

$f(-5)=3\cdot (-5+5)\cdot (-5-3)=3\cdot 0\cdot (-8)=0$

$\text{}$

$f(3)=3\ast (3+5)\ast (3-3)=3\ast 8\ast 0=0\text{}$

Also ist die richtige Lösung

$f(x)=3\ast (x+5)\ast (x-3)$

Zuerst bestimmst du die Nullstellen: Setze die Funktion gleich 0 und bestimme die Lösung der Gleichung.

$f\left(x\right)=0$

${(x-1)}^2-4=0|+4$

$(x-1{)}^2=4|\sqrt{}$

$x-1=\pm \sqrt{4}|+1$

$x=\pm 2+1$

Die Nullstellen sind also gegeben durch $x_1=2+1=3$ und $x_2=-2+1=-1$

​

Jetzt bestimmst du den Öffnungsfaktor $a$. Die Funktion ist in Scheitelpunktform gegeben. Daher lässt sich der Öffnungsfaktor $a$ direkt ablesen, denn:

 $f(x)=1\cdot (x-1{)}^2-4$

Also ist $a=1$.

Untersuche jetzt, welcher der oben genannten Fälle vorliegt. Wegen $x_1=3$ und $x_2=-1$ hat $f$ zwei verschiedene Nullstellen und es handelt sich um den 1. Fall. Einsetzen in die vorgegebene Form liefert die Nullstellenform:

$f\left(x\right)=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=1\cdot (x-3)\cdot (x-(-1))=(x-3)\cdot (x+1)$