Ein Teilstück einer Langlaufloipe verläuft von oben betrachtet geradlinig und hat im Querschnitt das abgebildete Profil, welches annähernd durch den Graphen der Funktion f:x→8⋅(31x3−29x2+18x+100) mit der Definitionsmenge Df=[0;7,5] beschrieben werden kann. Die x-Achse gibt die Länge in waagrechter Richtung an, auf der y-Achse ist die Höhe über dem Meeresspiegel aufgetragen. Die Koordinaten x und y stellen Längenangaben in der Einheit Kilometer bzw. Meter dar.
Ermitteln Sie die maximalen Teilintervalle von Df, in denen die Loipe auf- bzw. abwärts verläuft.
Anmerkung: Hier sind drei Methoden zur Lösung einer quadratischen Gleichung angeboten. Die p-q-Formel ist wohl die bekannteste Methode. Aber immer wieder werden die Werte für p und q nicht richtig in die Formel eingesetzt.
Bei der Probiermethode kommt auch das Spielen mit Zahlen zum Zuge. Sie ist aber auf quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten zu beschränken. Ansonsten kann man sich schnell im Probieren verlieren.
Die quadratische Ergänzung funktioniert immer.
Das Vorzeichen von f′ wird von x2−9x+18 bestimmt. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen x1=3 und x2=6.
Damit gilt:
x∈[0;3]⇒f′≥0 und damit ist f monoton steigend
x∈[3;6]⇒f′≤0 und damit ist f monoton fallend
x∈[6;7,5]⇒f′(x)≥0 und damit ist f monoton steigend
Um die Monotonieintervalle zu ermitteln, untersucht man das Vorzeichenverhalten der 1. Ableitung der gegebenen Funktion f.
f′(x)=8⋅(x2−9x+18);f′(x)=0⟺x2−9x+18=0
Die Nullstellen der quadratischen Funktion kann man mittels quadratischer Ergänzung oder durch Probieren ermitteln.
Mögliche Nullstellen sind die Teiler des konstanten Gliedes. Also ±1;±3;±6;±18
Versuch: xN=3:32−9⋅3+18=9−27+18=0⇒xN=3 ist Lösung.
Somit ist auch xN=6 Lösung.
Quadratische Ergänzung:
Berechnen Sie unter Verwendung von Teilaufgabe a), in welcher horizontalen Entfernung vom Beginn des Teilstückes der Loipe maximale Höhe erreicht wird. Geben Sie an, in welcher Höhe Sporttreibende sich am höchsten Punkt der Loipe befinden.
