Teil 2 Analysis II

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Ein Teilstück einer Langlaufloipe verläuft von oben betrachtet geradlinig und hat im Querschnitt das abgebildete Profil, welches annähernd durch den Graphen der Funktion $f : x \to 8 \cdot (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{9}{2} x^{2} + 18 x + 100)$ mit der Definitionsmenge $𝔻_{𝕗} = [0; 7,5]$ beschrieben werden kann. Die $x$ -Achse gibt die Länge in waagrechter Richtung an, auf der $y$ -Achse ist die Höhe über dem Meeresspiegel aufgetragen. Die Koordinaten $x$ und $y$ stellen Längenangaben in der Einheit Kilometer bzw. Meter dar.
1. Ermitteln Sie die maximalen Teilintervalle von $𝔻_{𝕗}$ , in denen die Loipe auf- bzw. abwärts verläuft.
  
  $\begin{array}{l} x^{2} - 9 \cdot x + (\frac{9}{2})^{2} = - 18 + \frac{81}{4} ⟺ (x - \frac{9}{2})^{2} = - \frac{72}{4} + \frac{81}{4} \\ ⟺ (x - \frac{9}{2})^{2} = \frac{9}{4} ⟺ x - \frac{9}{2} = \pm \frac{3}{2} ⟺ x_{1} = 3 \lor x_{2} = 6 \end{array}$
  Als weitere Alternativlösung, die p-q-Formel
  $x^{2} + p x + q = 0 \Rightarrow x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^{2} - q}$
  Hier gilt $p = - 9$ und $q = 18$ .
  Somit
  $x_{1.2} = \frac{9}{2} \pm \sqrt{(\frac{9}{2})^{2} - 18} ⟺ x_{1,2} = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{81}{4} - \frac{72}{4}} ⟺ x_{1,2} = \frac{9}{2} \pm \sqrt{\frac{9}{4}} ⟺ x_{1,2} = \frac{9}{2} \pm \frac{3}{2} ⟺ x_{1} = 3 \lor x_{2} = 6$
  Anmerkung: Hier sind drei Methoden zur Lösung einer quadratischen Gleichung angeboten. Die p-q-Formel ist wohl die bekannteste Methode. Aber immer wieder werden die Werte für $p$ und $q$ nicht richtig in die Formel eingesetzt.
  Bei der Probiermethode kommt auch das Spielen mit Zahlen zum Zuge. Sie ist aber auf quadratische Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten zu beschränken. Ansonsten kann man sich schnell im Probieren verlieren.
  Die quadratische Ergänzung funktioniert immer.
  Das Vorzeichen von $f^{'}$ wird von $x^{2} - 9 x + 18$ bestimmt. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen $x_{1} = 3$ und $x_{2} = 6$ .
  Damit gilt:
  $x \in [0; 3] \Rightarrow$ $f^{'} \geq 0$ und damit ist $f$ monoton steigend
  $x \in [3; 6] \Rightarrow f^{'} \leq 0$ und damit ist $f$ monoton fallend
  $x \in [6; 7,5] \Rightarrow f^{'} (x) \geq 0$ und damit ist $f$ monoton steigend
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  Um die Monotonieintervalle zu ermitteln, untersucht man das Vorzeichenverhalten der 1. Ableitung der gegebenen Funktion $f .$
  $f^{'} (x) = 8 \cdot (x^{2} - 9 x + 18); f^{'} (x) = 0 ⟺ x^{2} - 9 x + 18 = 0$
  Die Nullstellen der quadratischen Funktion kann man mittels quadratischer Ergänzung oder durch Probieren ermitteln.
  Mögliche Nullstellen sind die Teiler des konstanten Gliedes. Also $\pm 1; \pm 3; \pm 6; \pm 18$
  Versuch: $x_{N} = 3 : 3^{2} - 9 \cdot 3 + 18 = 9 - 27 + 18 = 0 \Rightarrow x_{N} = 3$ ist Lösung.
  Somit ist auch $x_{N} = 6$ Lösung.
  Quadratische Ergänzung:
  $x^{2} - 9 \cdot x = - 18 ⟺$
2. Berechnen Sie unter Verwendung von Teilaufgabe a), in welcher horizontalen Entfernung vom Beginn des Teilstückes der Loipe maximale Höhe erreicht wird. Geben Sie an, in welcher Höhe Sporttreibende sich am höchsten Punkt der Loipe befinden.
  
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  Nach den Berechnungen in 1.1 liegt an der Stelle $x_{1} = 3$ ein Maximum. Der Hochpunkt hat damkit die Koordinaten $H (3 | f (3))$ .
  $f (3) = 8 \cdot (\frac{27}{3} - \frac{9}{2} \cdot 9 + 18 \cdot 3 + 100)$
  $f (3) = 8 \cdot (9 - \frac{81}{2} + 18 \cdot 3 + 100)$
  $f (3) = 8 \cdot 122,5 = 980 m$
  $f (7,5) = 980 m$
3. Ermitteln Sie, nach wie vielen Kilometern in horizontaler Entfernung vom Ausgangspunkt die Loipe am steilsten abwärts verläuft.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung
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  Die Loipe verläuft am steilsten abwärts an der Stelle $x_{S}$ , an der die Ableitung der 1. Ableitung den kleinsten Wert hat.
  Man ermittelt die Minimumstelle der 1. Ableitung $f^{'} (x) = 8 \cdot (x^{2} - 9 x + 18)$ .
  Also $f^{''} (x) = 8 \cdot (2 x - 9); f^{''} (x) = 0 ⟺ x_{s} = \frac{9}{2}$ .
  Das Vorzeichen von $f^{''}$ wechselt an der Stelle $x_{s}$ von Minus nach Plus. Somit ist $x_{s}$ Minimumstelle von $f^{''}$ , und hier geht es am steilsten abwärts.
4. Bestimmen Sie die durchschnittliche Steigung der Loipe in Prozent auf den ersten drei Kilometern.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradensteigung
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  In den ersten drei Kilometern steigt die Loipe von 800 m auf 980 m. Also steigt die Loipe um 180 m auf 3000m.
  Damit ist $m = \frac{180}{3000} = \frac{6}{100} = 0,06$ . Das sind $6$ % Steigung.
5. Die Steigung der Loipe bei Kilometer 2 tritt im weiteren Verlauf der Loipe noch einmal auf. Berechnen Sie die Stelle, an der dies der Fall ist.
  
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  Wir berechnen zunächst die Steigung bei Kilometer 2:
  $f^{'} (2) = 8 \cdot (2^{2} - 9 \cdot 2 + 18) = 8 \cdot 4 = 32$
  Jetzt bestimmen wir alle $x$ -Werte, an denen die Ableitung denselben Wert hat:
  $f^{'} (x) = 32 ⟺ 8 \cdot (x^{2} - 9 x + 18) = 32 ⟺ x^{2} - 9 x + 18 = 4$
  $⟺ x^{2} - 9 x + 14 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) \cdot (x - 7) = 0$
  Also hat die Loipe am Kilometer $7$ dieselbe Steigung wie an Kilometer 2.
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Gegeben ist die Funktion $g : x \to 2 - 5 e^{- 0,1 x^{2}}$ mit der Definitionsmenge $D_{g} = ℝ$ . Der Graph von g in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}$ bezeichnet.
1. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen $G_{g}$ bezüglich des Koordinatensystems sowie das Verhalten der Funktionswerte von g für $| x | \to \infty$ . Geben Sie die Gleichung der Asymptote des Graphen $G_{g}$ an.
  
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  Man vergleicht $f (x)$ mit $f (- x)$ und $x \in ℝ$
  $f (x) = 2 - 5 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{10}}$
  $f (- x) = 2 - 5 \cdot e^{\frac{(- x)^{2}}{10}} = 2 - 5 \cdot e^{\frac{x^{2}}{10}} = f (x)$
  Der Graph $G_{g}$ ist achsensymmetrisch.
  Es gilt: $\lim_{x \to \infty} e^{- x} = 0 \Rightarrow \lim_{| x | \to \infty} [2 - 5 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{10}}] = 2$
  Die Asymptotengleichung lautet: $a (x) = 2$
2. Berechnen Sie die Nullstellen von g. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.
  
  $g (x) = 0 \Rightarrow$
  $2 - 5 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{10}} = 0 ⟺ 2 = 5 \cdot e^{- \frac{x^{2}}{10}} ⟺ \frac{2}{5} = e^{- \frac{x^{2}}{10}} ⟺ l n \frac{2}{5} = - \frac{x^{2}}{10}$
  $10 \cdot l n \frac{2}{5} = - x^{2} ⟺ x_{1} = - \sqrt{- 10 \cdot l n \frac{2}{5}}$ und $x_{2} = \sqrt{- 10 \cdot l n \frac{2}{5}}$
  $x_{1} = - 3,03$ und $x_{2} = 3,03$
  Man beachte, dass $l n \frac{2}{5} < 0,$ weil $\frac{2}{5} < 1$
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  $g (x) = 0$
3. Ermitteln Sie Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes von $G_{g}$ . Begründen Sie, warum dieser absolut ist und geben Sie die Wertemenge $W_{g}$ der Funktion g an.
  [Teilergebnis: $g^{'} (x) = x \cdot e^{- 0,1 x^{2}}$ ]
4. Stellen Sie die Gleichung der Tangente an $G_{g}$ an der Stelle $x = 3$ in allgemeiner Form auf.
  
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  Der Berührpunkt $B$ hat die Koordinaten $B (3 | (f (3)) |)$ mit $f (3) = 2 - 5 \cdot e^{- \frac{9}{10}}$ .
  Es ist $f^{'} (x) = 5 \cdot \frac{1}{10} \cdot 2 \cdot x \cdot e^{- \frac{x^{2}}{10}} = x e^{- \frac{x^{2}}{10}}$
  Die Tangente $t$ an den Graph $G_{f}$ im Berührpunkt $B$ hat die Steigung
  $m = f^{'} (3) = 3 e^{- \frac{9}{10}}$
  Die allgemeine Form einer Geraden ist $y = m \cdot x + b$
  Somit gilt für die Tangente $t : y = 3 e^{- \frac{9}{10}} \cdot x + b$
  Da der Punkt $B$ auf der Tangente liegt, folgt
  $2 - 5 \cdot e^{- \frac{9}{10}} = 3 \cdot e^{- \frac{9}{10}} \cdot 3 + b \Rightarrow b = 2 - 14 \cdot e^{- \frac{9}{10}}$
  Also ist die Tangentengleichung $t : y = 3 e^{- \frac{9}{10}} \cdot x + (2 - 14 \cdot e^{- \frac{9}{10}})$
  In Dezimalzahlen ist das etwa $t : y = 1,22 \cdot x - 3,69$ .
5. Art und Koordinaten des relativen Extrempunktes von $G_{g}$ können auch ohne Verwendung der Ableitungsfunktion bestimmt werden. Begründen Sie dies mithilfe bekannter Ergebnisse. Verwenden Sie dabei die Tatsache, dass nur höchstens ein Extrempunkt von $G_{g}$ existiert.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Monotonie
  Die Funktion $g$ ist gerade.
  Die Zuordnung $x \mapsto - 0,1 x^{2}$ ist für positive $x$ streng monoton fallend. Wegen der strengen Monotonie der Exponentialfunktion gilt dies auch für $x \mapsto 5 e^{- 0,1 x^{2}}$ und damit ist $g$ für positive $x$ streng monoton steigend und für negative $x$ streng monoton fallend.
  Daher wissen wir, dass $g$ für $x = 0$ ein Minimum haben muss und erhalten als Koordinaten des Tiefpunkts $T (0 | g (0)) = (0 | - 3)$ .
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6. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisheriger Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte den Graphen der Funktion g im Bereich $- 7 \leq x \leq 7$ in ein kartesisches Koordinatensystem.
  Maßstab für beide Achsen: 1 LE = 1 cm
  
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