In den vergangenen Monaten kam es vermehrt zu Reklamationen von Seiten der Großabnehmer. Durchschnittlich gingen bei 10 % der Lieferungen Beanstandungen ein. Daher wurden Maßnahmen zur Qualitätsverbesserung der Schokoladen durchgeführt. Um zu überprüfen, ob der Anteil der reklamierten Lieferungen nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gesunken ist (Gegenhypothese), werden 200 Lieferungen im Hinblick auf Reklamationen untersucht. Die Fabrikleitung sieht folgendes Testverfahren vor: Sollten bei höchstens 14 der Lieferungen Beanstandungen eingehen, so geht man davon aus, dass die Qualitätsverbessernden Maßnahmen erfolgreich waren und will die dafür zuständigen Mitarbeiter mit einer Bonuszahlung belohnen.
Berechnen Sie für diesen Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art und deuten Sie diese im Sachzusammenhang.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Angaben aus der Aufgabenstellung auslesen
Zuerst überträgt man die Informationen aus der Angabe aus dem gegebenen Sachzusammenhang in ein Bernoulli-Experiment:
Zugrunde liegendes Bernoulli-Experiment:
Lieferung an Großabnehmer
"Treffer":
Reklamation
Hypothesen im Sachzusammenhang:
Nullhypothese: "Der Anteil der reklamierten Lieferungen ist nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gleich geblieben."
Gegenhypothese: "Der Anteil der reklamierten Lieferungen ist nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gesunken."
Hypothesen im Bezug auf die Wahrscheinlichkeit (p):
Nullhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist gleich geblieben."
Gegenhypothese: "Die Trefferwahrscheinlichkeit p ist gesunken."
Fehler 1. Art:
Der Anteil der reklamierten Lieferungen ist nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gleich geblieben, es wird aber fälschlicherweise davon ausgegangen, das er gesunken ist.
Danach überträgt man die gegebenen Werte:
Nullhypothese
H0:p=10%
Gegenhypothese
H1:p<10%
Stichprobenlänge:
200
Testgröße:
Anzahl der Reklamationen
Und schließlich bestimmt man den Annahme- und den Ablehnungsbereich. In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass "bei höchstens 14" Treffern davon ausgegangen wird, dass die Trefferwahrscheinlichkeit gesunken ist. Also liegt der Annahmebereich zwischen 0 und 14 Treffern, da die Trefferanzahl dann kleiner oder gleich 14 ist. Der Ablehnungsbereich umfasst dann alles, was größer ist als 14:
Annahmebereich:
A={0,1,2,3,...,12,13,14}
Ablehnungsbereich:
A={15,16,17,18,...,198,199,200}
Berechnen der Wahrscheinlichkeit des Fehlers erster Art
Wie oben festgestellt bedeutet ein Fehler der 1. Art bei diesem Beispiel, dass sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht verändert hat, also immer noch 10% beträgt, man aber aufgrund des Ergebnisses des Testverfahrens davon ausgeht, dass sie gesunken ist. Um diese Annahme zu treffen, müsste die Trefferanzahl im Annahmebereich liegen. Man muss also die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass unter 200 Versuchen mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von 10% nur höchstens 14 Treffer sind.
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art beträgt also ungefähr 9,29%.
Deutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang
Die Wahrscheinlichkeit, dass fälschlicherweise davon ausgegangen wird, das der Anteil der reklamierten Lieferungen ist nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gesunken ist, ist also mit ca. 9,29% ziemlich gering.
lese die Angaben aus der Aufgabenstellung aus und übertrage sie in ein Bernoulli-Experiment
berechne die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, lies hier nochmal nach wenn du dir unsicher bist: Binomialverteilung
erkläre, was das Ergebnis im Sachzusammenhang bedeutet
Die Verbesserungsmaßnahmen haben dazu geführt, dass der Anteil p der Beanstandungen auf einen Wert von 5 % gesunken ist. Bestimmen Sie hierfür die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art und erläutern Sie den Zusammenhang zwischen dem Fehler 2. Art und der Bonuszahlung für die betroffenen Mitarbeiter.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hypothesentest
Berechnen des Fehlers 2. Art
Der Fehler zweiter Art bedeutet, dass die Nullhypothese zu Unrecht verworfen wird. In diesem Fall bedeutet das, dass die Trefferwahrscheinlichkeit auf 5% gesunken ist, man aber aufgrund des Tests davon ausgeht, dass sie gleichgeblieben ist.
Die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art beträgt also ungefähr 7,81%.
Erläuterung des Zusammenhangs zwischen dem Fehler 2. Art und der Bonuszahlung für die betroffenen Mitarbeiter
Die Mitarbeiter bekommen ihre Bonuszahlungen nur, wenn festgestellt wird, dass der Anteil der reklamierten Lieferungen gesunken ist. Wird der Fehler 2. Art gemacht, so bekommen die Mitarbeiter unrechtmäßig keine Bonuszahlungen.
