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Teil 2 Stochastik I

🎓 PrĂŒfungsbereich fĂŒr Bayern

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Im Folgenden werden relative HĂ€ufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Nach Ihrem Studium arbeiten Sie in einer SĂŒĂŸwarenfabrik, in der Sie unter anderem fĂŒr die QualitĂ€tssicherung zustĂ€ndig sind. In der Fabrik werden auch Schokoladentafeln Ă  100 g hergestellt.

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    In der QualitĂ€tskontrolle wird eine Tafel auf ihr Sollgewicht hin ĂŒberprĂŒft. Die ZufallsgrĂ¶ĂŸe X gibt das gemessene Gewicht in Gramm an. In folgender Tabelle ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X dargestellt. Durchschnittlich wiegt eine Tafel 99,94 g.

    Tabelle

    Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Gewicht einer zufÀllig herausgegriffenen Tafel Schokolade innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.

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    Ein Defekt in der AbfĂŒllanlage der Schokoladenmasse erhöht die Gewichtsschwankungen bei den Tafeln. Die ZufallsgrĂ¶ĂŸe Y gibt an, um wie viel Gramm das Gewicht einer Tafel von ihrem Sollgewicht abweicht. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y ist in folgender Tabelle dargestellt:

    Tabelle

    Bis zur Reparatur der Anlage soll die Maschine so eingestellt werden, dass das Durchschnittsgewicht einer Tafel 100 g betrĂ€gt. Berechnen Sie den Wert fĂŒr die einzustellende Gewichtsvorgabe der AbfĂŒllanlage.

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    Die Schokoladentafeln gibt es in herkömmlicher QualitĂ€t sowie in BioqualitĂ€t. Der Hersteller bietet Nussschokoladen (N) und nussfreie Tafeln an. Aus langjĂ€hriger Erfahrung ist bekannt, dass von den KĂ€ufern der Nussschokolade 32 % BioqualitĂ€t wĂ€hlen und sich 22 % der KĂ€ufer der nussfreien Sorte fĂŒr das Bioprodukt entscheiden. Im Verkauf betrĂ€gt der Bioanteil (B) insgesamt 25 %.

    1. Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms den prozentualen Anteil der Nussschokoladen im Verkauf.

    2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 24 verkauften Schokoladentafeln genau 25 % BioqualitÀt haben.

  4. 4

    In den vergangenen Monaten kam es vermehrt zu Reklamationen von Seiten der Großabnehmer. Durchschnittlich gingen bei 10 % der Lieferungen Beanstandungen ein. Daher wurden Maßnahmen zur QualitĂ€tsverbesserung der Schokoladen durchgefĂŒhrt. Um zu ĂŒberprĂŒfen, ob der Anteil der reklamierten Lieferungen nach Abschluss der Verbesserungsmaßnahmen gesunken ist (Gegenhypothese), werden 200 Lieferungen im Hinblick auf Reklamationen untersucht. Die Fabrikleitung sieht folgendes Testverfahren vor: Sollten bei höchstens 14 der Lieferungen Beanstandungen eingehen, so geht man davon aus, dass die QualitĂ€tsverbessernden Maßnahmen erfolgreich waren und will die dafĂŒr zustĂ€ndigen Mitarbeiter mit einer Bonuszahlung belohnen.

    1. Berechnen Sie fĂŒr diesen Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art und deuten Sie diese im Sachzusammenhang.

    2. Die Verbesserungsmaßnahmen haben dazu gefĂŒhrt, dass der Anteil p der Beanstandungen auf einen Wert von 5 % gesunken ist. Bestimmen Sie hierfĂŒr die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art und erlĂ€utern Sie den Zusammenhang zwischen dem Fehler 2. Art und der Bonuszahlung fĂŒr die betroffenen Mitarbeiter.


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