Aufgaben zur Bestimmung von Stammfunktionen

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Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f (x) = 6 \sqrt{x}$ .

Bestimme diejenige Stammfunktion, deren Graph durch den Punkt $(1 | 0)$ verläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Stammfunktionen bestimmen

Eine Stammfunktion $F (x)$ ist das unbestimmte Integral $\int_{}^{} f (x) d x = F (x)$ .

Allerdings kann zu jeder Stammfunktion $F (x)$ eine beliebige Zahl $C$ addiert werden, da diese konstante Zahl beim Ableiten wegfällt. Also gilt: $\int_{}^{} f (x) d x = F (x) + C$ mit $C \in ℝ$

Stammfunktionen von einer Potenzfunktion der Form $f (x) = k \cdot x^{n}$ sind für $n \neq - 1$ gegeben durch:

$F (x) = \frac{k}{n + 1} \cdot x^{n + 1} + C$

Die gegebene Funktion $f (x) = 6 \cdot \sqrt{x}$ ist eine Potenzfunktion.

Die $\sqrt{x}$ kann als Potenz geschrieben werden: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$

Also ist $f (x) = 6 \cdot \sqrt{x} = 6 \cdot x^{\frac{1}{2}}$

Integriere mit Hilfe der Schreibweise als Potenz.

$\int_{}^{} f (x) d x$	$=$	$\int_{}^{} 6 \cdot \sqrt{x} d x$
	↓	Setze $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ein.
	$=$	$\int_{}^{} 6 \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$
	↓	Beachte die Potenzregel. Addiere in Exponenten eine $1$ und teile durch den neuen Exponenten.
	$=$	$\frac{6}{\frac{1}{2} + 1} \cdot x^{\frac{1}{2} + 1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{6}{\frac{3}{2}} \cdot x^{\frac{3}{2}}$
	↓	Multipliziere $6$ mit dem Kehrwert von $\frac{3}{2}$ .
	$=$	$6 \cdot \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\frac{12}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}$
	↓	Kürze den Bruch.
	$=$	$4 \cdot x^{\frac{3}{2}}$

Du hast die Stammfunktion $F (x) = 4 \cdot x^{\frac{3}{2}}$ erhalten. Addiere noch die Konstante $C$ .

$F (x) = 4 \cdot x^{\frac{3}{2}} + C$

Setze nun den Punkt $(1 | 0)$ in $F (x)$ ein, um die Konstante $C$ zu bestimmen.

$F (x)$	$=$	$4 \cdot x^{\frac{3}{2}} + C$
	↓	Setze den Punkt $(1 \| 0)$ in $F (x)$ ein.
$0$	$=$	$4 \cdot 1^{\frac{3}{2}} + C$
	↓	Vereinfache $1^{\frac{3}{2}} = 1$ und $4 \cdot 1 = 4$ .
$0$	$=$	$4 + C$	$- 4$
	↓	Löse nach $C$ auf.
$- 4$	$=$	$C$

Mit $C = - 4$ lautet die gesuchte Stammfunktion $F (x) = 4 x^{\frac{3}{2}} - 4$ .

Antwort: Der Graph der Funktion $F (x) = 4 x^{\frac{3}{2}} - 4$ verläuft durch den Punkt $(1 | 0)$ .

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