Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
Wenn man eine Gerade und eine Ebene betrachtet, gibt es 3 verschiedene Möglichkeiten der gegenseitigen
Lage zueinander.
1. Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt.
2. Die Gerade ist echt parallel zur Ebene.
3. Die Gerade liegt in der Ebene.
Vorgehensweise bei der Lagebestimmung
1. Um die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene zu bestimmen, ist es empfehlenswert wenn man eine Parametergleichung der Geraden und eine Koordinatengleichung der Ebene verwendet.
2. Die Geradengleichung wird in die Koordinatenform der Ebene eingesetzt.
3. Die Gleichung wird nach der Variablen aufgelöst. Dabei sind verschiedene Ergebnisse möglich, die einen Rückschluss auf die Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene erlauben.
Mögliche Ergebnisse, die bei der Gleichungsauflösung auftreten können:
Ergebnis | Beispiel für Lösung | Lagebeziehung |
|---|---|---|
genau eine Lösung | r=1oder r=−3 | Die Gerade schneidet die Ebene in einem Punkt S. Den Schnittpunkt erhält man durch Einsetzen des errechneten Wertes von r in die Geradengleichung. |
keine Lösung | 3=5oder 8=0 | Die Gerade und die Ebene sind echt parallel und haben keinen gemeinsamen Punkt. |
unendlich viele Lösungen | 1=1 oder 0=0 | Die Gerade liegt in der Ebene und alle Punkte auf der Geraden liegen in der Ebene. |
Um zu verdeutlichen, wie das Ganze genau funktionieren soll, folgt hier zu jeder Möglichkeit jeweils ein Beispiel zum Ausklappen.
Im Spoiler findet man Lösungen für andere Formen der Ebenengleichung.
