Aufgaben
- 1
Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
- 2
Axialschnitt eines Rotationskörpers
Schneidet man einen Rotationskörper längs seiner Achse durch, erhält man den Axialschnitt des Körpers.
Die folgende Tabelle zeigt die Zuordnung zwischen einem Rotationskörper und dem dazugehörenden Axialschnitt.
Rotationskörper
Axialschnitt
Zylinder
Rechteck
Kegel
gleichschenkliges Dreieck
Kugel
Kreis
Halbkugel
Halbkreis
Kegelstumpf
gleichschenkliges Trapez
Wenn du lernen willst wie man einen Rotationskörper auf das Papier zeichnet, gehe auf den Artikel Skizzieren eines Rotationskörpers - Anleitung.
- 3
Für jedes ist die Funktionenschar gegeben durch .
Der Graph der Funktion ist .
Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter an.
1. Wo schneiden die Scharkurven die -Achse?
2. Untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte.
3. Bestimme das Verhalten der Funktion für und für und gib gegebenenfalls die Asymptote an.
4. Skizziere für und die Graphen von und von .
5. Welche Scharkurve hat für ein Extremum?
6. Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?
- 4
Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden und
Berechne ihren Abstand und die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Differentialrechnung.
- 5
Bestimme den Abstand zweier Ebenen mit Hilfe einer Lotgeraden.
- 6
Punkte in der Ebene
- 7
Testlösungen Abitur BW
- 8
Testlösungen Abitur BW (2)
- 9
Spiegelung von 2 parallelen Ebenen
- 10
Kowalskys Testaufgabe
Lösung von Gleichungen-Übersicht
In einem Multiple-Choice-Test gibt es Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?
Gegeben ist der Kreis . Durch den Punkt verläuft eine Gerade , die Tangente an den Kreis sein soll. Berechne die Funktionsgleichung der Geraden und den Berührpunkt .
Welche Punkte sind Berührpunkte (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)?
Gegeben ist ein Quader mit den Seiten , und .
Aus einer Quaderecke wird eine Pyramide herausgeschnitten. Die Schnitte verlaufen längs der Diagonalen der Seitenflächen.
a) Berechne jeweils die Flächeninhalte der vier Dreiecke , , und .
Hinweis: Verwende die Bezeichnungen von Bild 1 und Bild 3 und verwende für die Berechnung des Flächeninhalts von den Kosinussatz.
b) Weise nach, dass gilt.
Gegeben ist eine Ebenenschar mit .
a) Die beiden Ebenen und sollen senkrecht aufeinander stehen.
Welche Beziehung besteht zwischen und ?
b) Zu welcher Ebene aus der oben angegebenen Schar gibt es keine dazu senkrechte Ebene aus dieser Schar?
c) Es ist . Berechne den Abstand des Koordinatenursprungs von der Scharebene und gib gegebenenfalls den Grenzwert an.
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
gegeben
gegeben
gegeben
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens
- 11
Entscheide anhand des Graphens, ob der gegebene Graph der Funktion
achsensymmetrisch zur y-Achse oder
punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
ist.
- 12
Entscheide graphisch, welche der jeweils angegebenen Aussagen auf den Graphen zutrifft.
- 13
Kowalskys zweite Testaufgabe
Test
Die Koordinatenform der Geradengleichung lautet:
Wenn Punkte und auf der Geraden gegeben sind, kann man die Parameter der Koordinatenform wie folgt berechnen:
Wie kommt man auf diese Berechnung der drei Parameter und ?
- 14
Prozentrechnung im Sandkasten
Im Sandkasten sind 20% der Fläche mit Spielzeug bedeckt. Wenn der Sandkasten insgesamt eine Fläche von hat, wie groß ist die Fläche, die mit Spielzeug bedeckt ist?
- 15
Anwendung des Strahlensatzes
Ein Baum wirft einen 4,5 m langen Schatten, während ein 1,2 m hoher Pfosten im selben Licht einen 1,6 m langen Schatten wirft. Wie hoch ist der Baum?
- 16
Single-Choice-Aufgabe zur Kurvendiskussion des Medikamentenabbaus
Betrachten Sie die Funktion , die den Medikamentenabbau im Körper über die Zeit beschreibt. Wie groß ist die momentane Änderungsrate des Medikamentenabbaus zum Zeitpunkt ?
- 17
Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion
Bestimme die Nullstelle der Funktion .
Ermittle das lokale Extremum der Funktion .
Finde den Wendepunkt der Funktion .
Bestimme das asymptotische Verhalten der Funktion für .
Wie verhält sich der Graph der Funktion im Unendlichen?
- 18
Kurvendiskussion einer e-Funktion
Welche Art von Extrempunkt hat die Funktion bei ?
- 19
NRW 2024
Aufgabe 1
Ein Fan des VfL Bochum möchte mit einem mathematischen Modell den Besucheransturm beim nächsten Heimspiel beschreiben. Der Ansturm der Besucher wird (in Tausend Zuschauern pro Stunde) näherungsweise beschrieben durch die Funktion mit . Dabei stellt den Zeitpunkt der Öffnung des Stadions um 14.00 Uhr dar. Das Spiel wird anderthalb Stunden später angepfiffen, also bei .
Geben Sie an, wie groß der Besucheransturm um 14.15 Uhr und um 15.00 Uhr ist. Rechnen Sie das Ergebnis auch in Besucher pro Minute um.
Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Besucheransturm am größten ist.
(zur Kontrolle: )
Beschreiben Sie, mit welchen Transformationen der Graph der Ableitungsfunktion aus dem Graphen der Funktion entsteht.
- 20
NRW 2024
Aufgabe 2
Gegeben ist die ganzrationale Funktion mit , .
Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist.
Durch den Tief- und den Hochpunkt des Graphen werden Geraden gezeichnet, die parallel zu den Achsen verlaufen; diese schließen dann mit den Achsen des Koordinatensystems eine rechteckige Fläche ein. Für welchen Parameterwert ergibt sich ein Quadrat?
- 21
NRW 2024
Aufgabe 3
Die Funktion f ist gegeben durch .
Zeigen Sie, dass die Tangente im Punkt an den Graphen der Funktion durch die Gleichung beschrieben werden kann.
Zeigen Sie, dass die Tangente und der Graph von auch den Punkt gemeinsam haben.
Fertigen Sie zu a), b) eine Skizze an.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die y-Achse, die x-Achse und die Tangente eingeschlossen wird.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen von und eingeschlossen wird.
- 22
A 1.0 Die Funktion hat die Gleichung mit .
A 1.1 Bestimmen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu .
A 1.2 Der Graph der Funktion wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor
auf den Graphen der Funktion abgebildet, wobei der Punkt auf dem Graphen zu liegt.
- 23
Pflichtteil Teil A
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion mit .
Weise nach: . (2 P)
Untersuche die Funktion auf lokale Extremstellen. (3 P)
- 24
Aufgabe 1
Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in definierten Funktion modellhaft beschreiben. Dabei ist die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und die Wassertemperatur in . Die Raumtemperatur beträgt konstant .
(i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
(ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur beträgt. (2 P)
Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:
(i) (2 P)(ii) (3 P)
Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:
Es gibt eine Konstante , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)
Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:
Aus ergibt sich .
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)
- 25
Bei einem Glücksspielautomaten gewinnt man, wenn die gleichen
Symbole in der gleichen Farbe angezeigt werden.
Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist bestimmt .
Eine der folgenden Aussagen ist richtig. Kreuze an.
/1P.
Oke soll aus den gegebenen Karten eine ziehen.
Formuliere eine Spielregel für das Ziehen einer Karte, so dass die
Gewinnchance größer als ist.
/1P.
- 26
Aufgabe 1
Gegeben ist eine in definierte Funktion , wobei eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von .
Abbildung 1
Zeigen Sie, dass eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von ist.
Die beiden Tiefpunkte des Graphen von haben jeweils die y-Koordinate .
Ermitteln Sie den Wert von .
- 27
Aufgabe 2
Die Funktion ist gegeben durch .
Der Graph von ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
Interpretieren Sie die Aussage in Bezug auf den Graphen von .
(2 P)
Berechnen Sie . (3 P)
- 28
Begründe, dass die einzige Nullstelle von ist
Gegeben ist .
Für die Nullstellen löse die Gleichung .
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Demnach ist die einzige Nullstelle.
Untersuche rechnerisch auf lokale Extremstellen
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
Die Funktion hat genau eine lokale Extremstelle.
Der Graph von hat bei ein lokales Maximum.
Zeige rechnerisch, dass der Punkt ein Hochpunkt des Graphen von ist
Gegeben ist .
Berechne und :
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
Lokale Extremstellen sind also oder .
Nach Aufgabenstellung muss nur beachtet werden.
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
Maximum
Berechne .
Der Punkt ist ein Hochpunkt des Graphen von .
Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von im Punkt parallel zur -Achse verläuft
Es ist und .
Im Punkt verläuft die Tangente an den Graphen von parallel zur -Achse.
Bestimme eine Gleichung der Geraden , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von verläuft
Berechne die Wendepunkte:
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
Wendestellen liegen bei oder vor, wenn die hinreichende Bedingung erfüllt ist.
Berechne und
Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei oder vor.
Berechne und .
Die Wendepunkte haben die Koordinaten und .
Für die Geradengleichung benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:
Die Gleichung der Geraden , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von verläuft, lautet .
Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu ist und für mit dem Graphen von genau einen Punkt gemeinsam hat
Berechne alle Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen
Gegeben ist .
Schnittpunkte mit der x-Achse:
Die Nullstelle der Funktion ist bekannt .
Führe eine Polynomdivision durch.
Löse nun die Gleichung mit der pq-Formel:
↓ Setze und ein.
Somit lauten die Schnittpunkte von mit der x-Achse und .
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Setze in ein .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist .
Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von
Aufg. 1 Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
a) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von und die Nullstelle von an.
(2 BE)
b) Weisen Sie nach, dass die Funktion in ihrer Definitionsmenge umkehrbar ist, und ermitteln Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von . (6 BE)
c) Der Graph von und die zur x-Achse senkrechte Gerade bei schließen zusammen mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück ein.
Berechnen Sie die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)
d) Gegeben ist nun die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge . Ermitteln Sie die Definitionsmenge und die exakte Nullstelle von . (5 BE)
Aufg. 2 Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis
Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer in stetigen Funktion . Die x-Achse ist Asymptote . Außerdem gilt: für .
Zudem ist die Funktion mit der Definitionsmenge gegeben.
Entscheiden Sie für die beiden folgenden Aussagen jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
A: „Der Graph von besitzt bei einen Extrempunkt.“
B: „Der Graph von hat bei eine Tangente mit einem positiven y-Achsenabschnitt.“
(5 BE)
Teil 1: ohne Hilfsmittel – Stochastik
A und B sind vereinbare Ereignisse des Ergebnisraums .
a) Geben Sie das im nebenstehenden Venn-Diagramm grau markierte Ereignis möglichst einfach als Verknüpfung der Ereignisse und an.
b) Veranschaulichen Sie das Ereignis in einem Venn-Diagramm.
(3 BE) ERLEDIGT mit Lösung
Teil 1: ohne Hilfsmittel – Stochastik
2 Ein Handballspieler trainiert Siebenmeter-Würfe, wobei der Torhüter seines Vereins im Tor steht.
Erfahrungsgemäß trifft er bei seiner Würfe ins Tor.
a) Der Spieler führt zwei Siebenmeter-Würfe aus.
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
: „Der Spieler trifft jedes Mal.“
: „Der Spieler trifft mindestens einmal.“
(3 BE)
b) Formulieren Sie zwei Ereignisse und im Sachzusammenhang, deren Wahrscheinlichkeiten sich wie folgt berechnen lassen:
(2 BE) ERLEDIGT mit Lösung
Teil 1: ohne Hilfsmittel – Stochastik
3 Einer Gruppe von fünf Jugendlichen werden zwei Freikarten für ein Rockkonzert zur
Verfügung gestellt. Um diese zu verteilen, werden nacheinander Lose gezogen, ohne
diese zurückzulegen. Jeder Jugendliche zieht dabei genau einmal. Neben den zwei
Gewinnlosen für die Freikarten befinden sich drei Nieten in der Lostrommel.
Entscheiden Sie unter Zuhilfenahme einer geeigneten Rechnung, ob der Zweite, der zieht, die gleiche Chance auf eine Freikarte hat wie der Erste.
(4 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I
1 Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge.
Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
a) Berechnen Sie die Nullstelle von . Bestimmen Sie außerdem das Verhalten der
Funktionswerte von an den Rändern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichung der Asymptote von an. (7 BE)
b) Ermitteln Sie das Steigungsverhalten von und geben Sie die Wertemenge von an. (5 BE)
c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von .
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I
2 Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
a) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion u streng monoton fallend ist. (4 BE)
b) Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von . (3 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I
3 Gegeben sind die Funktionen und mit den jeweils maximalen Definitionsmengen und .
a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von , sowie jeweils Art und
x-Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von . (7 BE)
b) Zeigen Sie, dass auch in der Form dargestellt werden kann. Ermitteln Sie anschließend eine integralfreie Darstellung von . (8 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I
4 Weinkenner sind davon überzeugt, dass je nach Weinsorte die passende Weintemperatur wichtig für den Genuss des Weins ist. So soll zum Beispiel Rotwein bei Raumtemperatur genossen werden. Mit einem Wein-Thermometer wird in einem Raum die Temperatur des Weins gemessen, die niedriger als die Raumtemperatur ist. In dieser Aufgabe zeigt das Wein-Thermometer unmittelbar vor dem Eintauchen in den Wein die Raumtemperatur von an. Nach dem Eintauchen in den Wein wird es erst allmählich die Weintemperatur anzeigen. Sowohl die Raumtemperatur als auch die Weintemperatur sind während der Messung als konstant zu betrachten.
Die vom Wein-Thermometer in der Einheit angezeigte Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit (gemessen in Sekunden ab dem Zeitpunkt des Eintauchens) lässt sich durch die Differenzialgleichung beschreiben, wobei ein reeller Parameter ist. Auf das Mitführen der Einheiten wird im Folgenden verzichtet.
Zeigen Sie, dass die Funktion für jeden Wert von eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist, und begründen Sie, warum in der vorliegenden Situation gelten muss. (4 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II
1 Gegeben ist die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge .
Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
a) Zeigen Sie, dass ist, und berechnen Sie die Nullstellen von auf eine
Nachkommastelle genau. (6 BE)
b) Ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten von . (5 BE)
c) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von und bestimmen Sie damit Art und Koordinaten des Extrempunkts von .
(8 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II
2 Nun wird die Funktion mit der Definitionsmenge betrachtet.
a) Ermitteln Sie ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung von die Anzahl und die Lage der Nullstellen von . (3 BE)
b) Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von h. (6 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II
3.0 Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
a) Begründen Sie für die folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind.
A: „Der Graph von hat bei einen absoluten Extrempunkt.“
B: „Die Gerade mit der Gleichung ist Asymptote von .“
(6 BE)
b) Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Die Tangente berührt den Graphen der Umkehrfunktion von im Punkt . Ermitteln Sie die Steigung der Tangente . (5 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II
4 Auf einen bestimmten Körper wirkt zu jedem Zeitpunkt seit Beobachtungsbeginn eine konstante Kraft. Außerdem wirkt auf den Körper eine Reibungskraft, die proportional zum Quadrat der Momentangeschwindigkeit des Körpers ist. Es gilt modellhaft die Differenzialgleichung . Die Geschwindigkeit wird in , die Zeit in angegeben. Bei den folgenden Berechnungen darf auf das Mitführen der Einheiten verzichtet werden.
Untersuchen Sie, ob die Funktion v mit der Gleichung eine spezielle
Lösung der Differenzialgleichung ist. (4 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2022
Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
1.0 Ein Telekommunikationsunternehmen bietet verschiedene Internetverträge an. Die Kunden können beim Vertragsabschluss zwischen den Tarifen „Basic“ () und
„Highspeed“ () wählen. Zudem können sie beschließen, ob sie einen neuen Router bei diesem Unternehmen mitbestellen () oder sich anderweitig einen Router organisieren wollen (). Falls sie sich für die Router-Bestellung entscheiden, können sie noch zusätzlich bestimmen, ob sie den Router selbst installieren (), einen Techniker hiermit beauftragen () oder sogar einen Komplettservice () wählen, bei dem auch die Endgeräte der Kunden durch Mitarbeiter des Unternehmens gleich angebunden werden.
Erfahrungsgemäß nehmen der Kunden den „Basic“-Tarif. Unabhängig von der
Tarifwahl entscheiden sich der Kunden dafür, einen Router mitzubestellen. Von
diesen Kunden will stets die Hälfte den Router selbst installieren. Kunden, die den „Basic“-Tarif mit Router wählen, möchten zu gleichen Anteilen einen Techniker kommen lassen oder den Komplettservice. Von den Kunden mit „Highspeed“-Tarif und Router möchten den Komplettservice.
Die zufällige Auswahl eines Kunden mit der Analyse seiner Vertragsoptionen wird als
Zufallsexperiment aufgefasst.
a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
[Teilergebnis: ] (5 BE)
b) Gegeben sind folgende Ereignisse:
: „Ein zufällig ausgewählter Kunde ordert keinen firmeneigenen Router oder verlangt beim Wunsch nach einem firmeneigenen Router keinen Komplettservice.“
Geben Sie in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend .
(3 BE)
c) Beim Telekommunikationsunternehmen gehen von einigen Kunden Beschwerden ein, dass die Internetverbindung oft unterbrochen wird. Bei einer Problemanalyse der
Internetverbindung bei allen Kunden des Unternehmens soll untersucht werden, ob die Verbindungsabbrüche mit dem verwendeten Router zusammenhängen (mitbestellter Router () oder anderweitig organisierter Router). Aus Unternehmensdaten geht hervor, dass die Internetverbindung bei aller Kunden ohne Unterbrechungen () funktioniert. Die Hälfte aller Kunden hat eine unterbrechungsfreie Internetverbindung und einen beim Telekommunikationsunternehmen mitbestellten Router.
Es gilt weiterhin .
Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeiten und , z. B. mithilfe einer Vierfeldertafel. Formulieren Sie im Sinne des vorliegenden Sachzusammenhangs eine Aussage in Worten, in der Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten und miteinander vergleichen. (5 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2022
2 In einer bestimmten Region Deutschlands sind vier verschiedene Arten von DSL-
Internetanschlüssen verfügbar, wobei pro Haushalt nur genau eine der vier möglichen Anschlussarten gewählt werden kann. Die Tabelle veranschaulicht die Verteilung der verschiedenen Anschlüsse unter denjenigen Haushalten mit DSL-Anschluss:
Haushalte mit
DSL 2000
Haushalte mit
DSL 6000
Haushalte mit
DSL 16000
Haushalte mit
DSL 50000
17,3 % 17,9 % 19,8 % 15,0 % Tabelle
Im Auftrag eines Internetdienstanbieters soll eine Umfrage zur Internetnutzung durchgeführt werden. Zu diesem Zweck werden Haushalte der Region zufällig ausgewählt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
: „Genau drei der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 2000-Anschluss.“
: „Mindestens sechs, aber weniger als zehn der ausgewählten Haushalte besitzen
einen DSL 50000-Anschluss.“
: „Weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte verfügen über einen DSL-
Internetanschluss.“
(6 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2022
3 Für ein Glücksspiel wird eine gezinkte Münze verwendet, bei der „Kopf“ mit der
Wahrscheinlichkeit fällt. Man zahlt 4 € Einsatz und wirft dreimal die Münze. Fällt dreimal Kopf, werden 20 € ausbezahlt. Wenn immer abwechselnd Kopf und Zahl
auftreten, erhält man 10 €. Sonst erfolgt keine Auszahlung.
Prüfen Sie, ob das Spiel für den Spieler günstig, fair oder ungünstig ist. (4 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik II 2022
Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
1.0 In einer Gärtnerei werden drei Blumenarten gezüchtet und verkauft. Es handelt sich dabei um Tulpen (), Osterglocken () und Krokusse (). Während Krokusse ausschließlich aus Blumenzwiebeln () und Osterglocken ausschließlich aus Samen () gezüchtet werden, werden Tulpen sowohl aus Blumenzwiebeln als auch aus Samen erzeugt. Von allen drei Blumenarten werden gelbe () und weiße () zum Verkauf angeboten.
Die Hälfte aller verkauften Blumen sind Tulpen. Die beiden anderen Blumensorten
werden jeweils zu gleichen Anteilen verkauft. Die aus Samen wachsenden Tulpen haben unter dieser Blumenart einen Verkaufsanteil von . Unabhängig von Blumensorte und Züchtungsform werden aller verkauften Blumen mit der Farbe Gelb gewählt.
Der Kauf einer Blume hinsichtlich ihrer Eigenschaften Blumenart, Züchtungsform und Farbe wird im Folgenden als Zufallsexperiment mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten betrachtet.
a) Erstellen Sie für das vorliegende Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und ermitteln Sie alle acht Elementarereignisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten.
[ Teilergebnis: ] (5 BE)
b) Nun werden folgende Ereignisse betrachtet:
: „Die verkaufte Blume ist gelb und ist keine Tulpe.“
Geben Sie in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend .
(3 BE)
2.0 Im Gewächshaus der Gärtnerei werden in einem neu angelegten Beet Tulpenzwiebeln nebeneinander eingesetzt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von geht eine eingesetzte Tulpenzwiebel tatsächlich auf und es wächst daraus eine Tulpe.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass aus genau der eingesetzten Zwiebeln Tulpen entstehen. (2 BE)
b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses : „Genau zwei der Zwiebeln gehen nicht auf und diese wurden direkt nebeneinander eingesetzt.“(2 BE)
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass aus mindestens der eingesetzten Zwiebeln Tulpen entstehen. Entscheiden Sie begründet, ob die folgende Aussage für alle Werte von mit wahr ist:
„Die Wahrscheinlichkeit, dass aus eingesetzten Tulpenzwiebeln mindestens Tulpen entstehen, liegt nicht unter 4 %.“ (4 BE)
3.0 Für eine Zufallsgröße ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit durch folgende Tabelle vollständig gegeben:
0 1 2 3 4 5
a 2b b 0,1 0,1 0,04
a) Bestimmen Sie die Werte der Parameter und , wenn der Erwartungswert von X gleich ist. [Teilergebnis: ] (3 BE)
b) Die Blumensorte Tulpe erzeugt während ihres Wachstums sogenannte Tochterzwiebeln, die ihrerseits wieder zur Entstehung weiterer Tulpen führen. Die oben aufgeführte Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit den unter Aufgabe a) bestimmten Werten für und gibt an, welche Anzahl von Tochterzwiebeln mit welcher Wahrscheinlichkeit auftritt.
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte von innerhalb der
einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen. (4 BE)
- 29
Herr Malinowski sieht auf seiner App der Gasverbrauch pro Tag in innerhalb einer Woche.
Er denkt darüber nach, welche mathematische Funktion den Gasverbrauch beschreiben kann und vermutet, dass es sich um eine e-Funktion handeln könnte.
Abbildung
Die zur Abbildung gehörenden Daten findest Du in der folgenden Tabelle.
x in
Tagen
y in
0
6,1
1
6,1
2
4,8
3
4
4
2,2
5
1,8
6
1,5
Erstelle mit dem TR oder mit Geogebra eine Regressionsfunktion mit dem Ansatz .
Herr Malinowski zeigt das Ergebnis seiner Analyse seinem Nachbarn. Der ist der Meinung, dass auch andere Regressionsfunktionen zu den Daten passen würden.
Überprüfe mit dem TR oder mit Geogebra, welche Regressionsfunktionen auch möglich sind. Was ist die beste Regressionsfunktion?
- 30
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge
Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von mit den Koordinatenachsen an.
Widerlegen Sie die folgende Aussage: „Die Funktion ist umkehrbar.“
Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von
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