Aufgaben
- 1
Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
- 2
Axialschnitt eines Rotationskörpers
Schneidet man einen Rotationskörper längs seiner Achse durch, erhält man den Axialschnitt des Körpers.
Die folgende Tabelle zeigt die Zuordnung zwischen einem Rotationskörper und dem dazugehörenden Axialschnitt.
Rotationskörper
Axialschnitt
Zylinder
Rechteck
Kegel
gleichschenkliges Dreieck
Kugel
Kreis
Halbkugel
Halbkreis
Kegelstumpf
gleichschenkliges Trapez
Wenn du lernen willst wie man einen Rotationskörper auf das Papier zeichnet, gehe auf den Artikel Skizzieren eines Rotationskörpers - Anleitung.
- 3
Für jedes ist die Funktionenschar gegeben durch .
Der Graph der Funktion ist .
Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter an.
1. Wo schneiden die Scharkurven die -Achse?
2. Untersuche auf Hoch- und Tiefpunkte.
3. Bestimme das Verhalten der Funktion für und für und gib gegebenenfalls die Asymptote an.
4. Skizziere für und die Graphen von und von .
5. Welche Scharkurve hat für ein Extremum?
6. Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?
- 4
Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden und
Berechne ihren Abstand und die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Differentialrechnung.
- 5
Bestimme den Abstand zweier Ebenen mit Hilfe einer Lotgeraden.
- 6
Punkte in der Ebene
- 7
Testlösungen Abitur BW
- 8
Testlösungen Abitur BW (2)
- 9
Spiegelung von 2 parallelen Ebenen
- 10
Kowalskys Testaufgabe
Lösung von Gleichungen-Übersicht
In einem Multiple-Choice-Test gibt es Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?
Gegeben ist der Kreis . Durch den Punkt verläuft eine Gerade , die Tangente an den Kreis sein soll. Berechne die Funktionsgleichung der Geraden und den Berührpunkt .
Welche Punkte sind Berührpunkte (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)?
Gegeben ist ein Quader mit den Seiten , und .
Aus einer Quaderecke wird eine Pyramide herausgeschnitten. Die Schnitte verlaufen längs der Diagonalen der Seitenflächen.
a) Berechne jeweils die Flächeninhalte der vier Dreiecke , , und .
Hinweis: Verwende die Bezeichnungen von Bild 1 und Bild 3 und verwende für die Berechnung des Flächeninhalts von den Kosinussatz.
b) Weise nach, dass gilt.
Gegeben ist eine Ebenenschar mit .
a) Die beiden Ebenen und sollen senkrecht aufeinander stehen.
Welche Beziehung besteht zwischen und ?
b) Zu welcher Ebene aus der oben angegebenen Schar gibt es keine dazu senkrechte Ebene aus dieser Schar?
c) Es ist . Berechne den Abstand des Koordinatenursprungs von der Scharebene und gib gegebenenfalls den Grenzwert an.
Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
gegeben
gegeben
gegeben
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens
- 11
Entscheide anhand des Graphens, ob der gegebene Graph der Funktion
achsensymmetrisch zur y-Achse oder
punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
ist.
- 12
Entscheide graphisch, welche der jeweils angegebenen Aussagen auf den Graphen zutrifft.
- 13
Kowalskys zweite Testaufgabe
Test
Die Koordinatenform der Geradengleichung lautet:
Wenn Punkte und auf der Geraden gegeben sind, kann man die Parameter der Koordinatenform wie folgt berechnen:
Wie kommt man auf diese Berechnung der drei Parameter und ?
- 14
Prozentrechnung im Sandkasten
Im Sandkasten sind 20% der Fläche mit Spielzeug bedeckt. Wenn der Sandkasten insgesamt eine Fläche von hat, wie groß ist die Fläche, die mit Spielzeug bedeckt ist?
- 15
Anwendung des Strahlensatzes
Ein Baum wirft einen 4,5 m langen Schatten, während ein 1,2 m hoher Pfosten im selben Licht einen 1,6 m langen Schatten wirft. Wie hoch ist der Baum?
- 16
Single-Choice-Aufgabe zur Kurvendiskussion des Medikamentenabbaus
Betrachten Sie die Funktion , die den Medikamentenabbau im Körper über die Zeit beschreibt. Wie groß ist die momentane Änderungsrate des Medikamentenabbaus zum Zeitpunkt ?
- 17
Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion
Bestimme die Nullstelle der Funktion .
Ermittle das lokale Extremum der Funktion .
Finde den Wendepunkt der Funktion .
Bestimme das asymptotische Verhalten der Funktion für .
Wie verhält sich der Graph der Funktion im Unendlichen?
- 18
Kurvendiskussion einer e-Funktion
Welche Art von Extrempunkt hat die Funktion bei ?
- 19
NRW 2024
Aufgabe 1
Ein Fan des VfL Bochum möchte mit einem mathematischen Modell den Besucheransturm beim nächsten Heimspiel beschreiben. Der Ansturm der Besucher wird (in Tausend Zuschauern pro Stunde) näherungsweise beschrieben durch die Funktion mit . Dabei stellt den Zeitpunkt der Öffnung des Stadions um 14.00 Uhr dar. Das Spiel wird anderthalb Stunden später angepfiffen, also bei .
Geben Sie an, wie groß der Besucheransturm um 14.15 Uhr und um 15.00 Uhr ist. Rechnen Sie das Ergebnis auch in Besucher pro Minute um.
Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Besucheransturm am größten ist.
(zur Kontrolle: )
Beschreiben Sie, mit welchen Transformationen der Graph der Ableitungsfunktion aus dem Graphen der Funktion entsteht.
- 20
NRW 2024
Aufgabe 2
Gegeben ist die ganzrationale Funktion mit , .
Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion punktsymmetrisch ist.
Durch den Tief- und den Hochpunkt des Graphen werden Geraden gezeichnet, die parallel zu den Achsen verlaufen; diese schließen dann mit den Achsen des Koordinatensystems eine rechteckige Fläche ein. Für welchen Parameterwert ergibt sich ein Quadrat?
- 21
NRW 2024
Aufgabe 3
Die Funktion f ist gegeben durch .
Zeigen Sie, dass die Tangente im Punkt an den Graphen der Funktion durch die Gleichung beschrieben werden kann.
Zeigen Sie, dass die Tangente und der Graph von auch den Punkt gemeinsam haben.
Fertigen Sie zu a), b) eine Skizze an.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die y-Achse, die x-Achse und die Tangente eingeschlossen wird.
Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen von und eingeschlossen wird.
- 22
A 1.0 Die Funktion hat die Gleichung mit .
A 1.1 Bestimmen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu .
A 1.2 Der Graph der Funktion wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor
auf den Graphen der Funktion abgebildet, wobei der Punkt auf dem Graphen zu liegt.
- 23
Pflichtteil Teil A
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion mit .
Weise nach: . (2 P)
Untersuche die Funktion auf lokale Extremstellen. (3 P)
- 24
Aufgabe 1
Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in definierten Funktion modellhaft beschreiben. Dabei ist die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und die Wassertemperatur in . Die Raumtemperatur beträgt konstant .
(i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)
(ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur beträgt. (2 P)
Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:
(i) (2 P)(ii) (3 P)
Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:
Es gibt eine Konstante , sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das -fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)
Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:
Aus ergibt sich .
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)
- 25
Bei einem Glücksspielautomaten gewinnt man, wenn die gleichen
Symbole in der gleichen Farbe angezeigt werden.
Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist bestimmt .
Eine der folgenden Aussagen ist richtig. Kreuze an.
/1P.
Oke soll aus den gegebenen Karten eine ziehen.
Formuliere eine Spielregel für das Ziehen einer Karte, so dass die
Gewinnchance größer als ist.
/1P.
- 26
Aufgabe 1
Gegeben ist eine in definierte Funktion , wobei eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von .
Abbildung 1
Zeigen Sie, dass eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von ist.
Die beiden Tiefpunkte des Graphen von haben jeweils die y-Koordinate .
Ermitteln Sie den Wert von .
- 27
Aufgabe 2
Die Funktion ist gegeben durch .
Der Graph von ist in Abbildung 2 dargestellt.
Abbildung 2
Interpretieren Sie die Aussage in Bezug auf den Graphen von .
(2 P)
Berechnen Sie . (3 P)
- 28
Begründe, dass die einzige Nullstelle von ist
Gegeben ist .
Für die Nullstellen löse die Gleichung .
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Demnach ist die einzige Nullstelle.
Untersuche rechnerisch auf lokale Extremstellen
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
Die Funktion hat genau eine lokale Extremstelle.
Der Graph von hat bei ein lokales Maximum.
Zeige rechnerisch, dass der Punkt ein Hochpunkt des Graphen von ist
Gegeben ist .
Berechne und :
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
Lokale Extremstellen sind also oder .
Nach Aufgabenstellung muss nur beachtet werden.
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
Maximum
Berechne .
Der Punkt ist ein Hochpunkt des Graphen von .
Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von im Punkt parallel zur -Achse verläuft
Es ist und .
Im Punkt verläuft die Tangente an den Graphen von parallel zur -Achse.
Bestimme eine Gleichung der Geraden , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von verläuft
Berechne die Wendepunkte:
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
Wendestellen liegen bei oder vor, wenn die hinreichende Bedingung erfüllt ist.
Berechne und
Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei oder vor.
Berechne und .
Die Wendepunkte haben die Koordinaten und .
Für die Geradengleichung benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:
Die Gleichung der Geraden , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von verläuft, lautet .
Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu ist und für mit dem Graphen von genau einen Punkt gemeinsam hat
Berechne alle Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen
Gegeben ist .
Schnittpunkte mit der x-Achse:
Die Nullstelle der Funktion ist bekannt .
Führe eine Polynomdivision durch.
Löse nun die Gleichung mit der pq-Formel:
↓ Setze und ein.
Somit lauten die Schnittpunkte von mit der x-Achse und .
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Setze in ein .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist .
Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von
Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis
1.0 Gegeben ist die Funktion f mit der
Definitionsmenge . Der
Graph von schneidet die x-Achse genau
einmal, ist im Intervall streng
monoton fallend und wird mit
bezeichnet. Ein Ausschnitt von ist in
der nebenstehenden Abbildung zu sehen.
Betrachtet wird nun die Funktion
mit der Definitionsmenge .
a) Geben Sie die Nullstellen von an. Runden Sie auf eine Nachkommastelle, sofern nötig.
b) Bestimmen Sie mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von .
c) Begründen Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:
„ ist im Intervall rechtsgekrümmt.“
2.0 Gegeben ist die streng monotone Funktion mit der Definitionsmenge .
Die Umkehrfunktion von wird bezeichnet.
a) Geben Sie die Wertemenge von an und ermitteln Sie die Definitionsmenge von , ohne dabei einen Funktionsterm von zu verwenden.
b) Bestimmen Sie nun einen Funktionsterm von .
c) Die Funktion mit der Definitionsmenge ist eine Stammfunktion von . Der Graph der Funktion schneidet die y-Achse bei . Ermitteln Sie einen
möglichen Term der Funktion .
Teil 1: ohne Hilfsmittel – Stochastik
Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
a) Bei der Befragung von zufällig ausgewählten Kunden eines Lebensmittelmarkts wird unter
anderem untersucht, ob sie Vegetarier () sind bzw. ob sie in bar () bezahlen. Das Ergebnis der
Befragung ist in der nebenstehenden Vierfeldertafel dargestellt.
Untersuchen Sie, ob der Anteil der Barzahler unter den Vegetariern höher ist als der Anteil der Barzahler unter den Nicht-Vegetariern.
b) Die durchgeführte Umfrage hat ebenfalls ergeben, dass aller Befragten beim
Einkaufen im Supermarkt eine eigene Einkaufstasche dabei haben. Betrachtet werden nun hintereinander anstehende Kunden an einer Supermarktkasse.
Geben Sie für die nachfolgenden Ereignisse jeweils einen Term an, der die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das beschriebene Ereignis ermöglicht.
: „Von zehn Kunden haben genau vier eine eigene Einkaufstasche mitgebracht.“
: „Von acht Kunden kaufen nur genau die ersten zwei und der letzte Kunde ohne eigene Einkaufstasche ein.“
c) Ein zufällig ausgewählter Kunde nutzt unabhängig davon, ob er eine Einkaufstasche dabei hat oder nicht, mit der Wahrscheinlichkeit einen Einkaufswagen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von zwei Kunden, die nacheinander den Supermarkt betreten, genau einer einen Einkaufswagen nutzt, beträgt .
Geben Sie den Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit an.
Die Berechnung von ist nicht erforderlich.
d) Im Supermarkt befinden sich insgesamt drei Kassen. Die Zufallsgröße beschreibt die Anzahl der gleichzeitig besetzten Kassen während der Öffnungszeiten. Die folgende Tabelle zeigt die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung von :
1. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße und interpretieren Sie den Wert im beschriebenen Sachzusammenhang.
Die Varianz der Zufallsgröße hat den Wert .
2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Werte der Zufallsgröße innerhalb der einfachen Standardabweichung um ihren Erwartungswert liegen.
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I 2024
1.0 Gegeben ist die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge . Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
a) Zeigen Sie, dass keine Nullstellen besitzt, und geben Sie für jede Asymptote von jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an. (4 BE)
b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von .
(7 BE)
c) Zeichnen Sie den Graphen von zusammen mit seinen Asymptoten für unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. (1 LE = 1 cm) (4 BE)
d) Gegeben ist die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge .
1. Begründen Sie, dass gilt: . Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der
Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion. (4 BE)
2. Berechnen Sie den exakten Wert von .
(7 BE)
2.0 Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
a) Ermitteln Sie die Nullstelle von und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von g für x → . (4 BE)
b) Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie einen Term der Umkehrfunktion von . (5 BE)
3.0 Die Gammaeule ist ein Schmetterling aus der Familie der Eulenfalter, welcher ganzjährig in Deutschland anzutreffen ist.
Wanderungsbewegungen und wechselnde klimatische Einflüsse
sorgen bei der Populationsdichte (Anzahl der Gammaeulen pro
Hektar) dieser Art für starke Schwankungen.
Aufgrund von Beobachtungen in dem heißen und trockenen Jahr 2003 in einem süddeutschen Untersuchungsgebiet vermuteten Biologen, dass die Entwicklung der
Populationsdichte der Gammaeule der Differenzialgleichung gerecht wird. Dabei gibt den Messzeitpunkt im Jahr 2003 (in Monaten ab dem 1. Januar) und die Anzahl der gezählten Gammaeulen pro Hektar an. Auf das Mitführen von Einheiten wird verzichtet.
a) Im Jahr 2003 wurden durchgehend mehr als Gammaeulen pro Hektar beobachtet.
Folgern Sie unmittelbar aus der Differenzialgleichung den Zeitpunkt im Beobachtungszeitraum, an dem die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet maximal war. (4 BE)
b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der obigen Differenzialgleichung für . (4 BE)
1.0 Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung und der Definitionsmenge
. Der Graph von wird mit bezeichnet.
Ein Ausschnitt von ist in der
nebenstehenden Abbildung zu sehen.
a) Außerdem ist die Funktion mit der Definitionsmenge
gegeben. Weisen Sie nach, dass die Funktion umkehrbar ist.
(7 BE)
b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden , die den Graphen der Umkehrfunktion von in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt. (4 BE)
c) Betrachtet wird die Funktion mit der Definitionsmenge . Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von .
(6 BE)
d) Gegeben ist nun die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge .
Ermitteln Sie , die Nullstelle von und das Verhalten der Funktionswerte von für . (7 BE)
2.0 Aus einem kompakten, hinreichend langen Zylinder (sog.
„zylindrische Welle“) aus Messing sollen für die Schubladen einer
Designerkommode rotationssymmetrische Knäufe hergestellt werden (siehe nebenstehende, nicht maßstäbliche Abbildung). Die Symmetrieachse entspricht dabei der x-Achse in einem kartesischen Koordinatensystem.
Der Graph der Funktion mit der Definitionsmenge beschreibt die obere Konturlinie der Knäufe (siehe Abbildung).
Die x- und y-Koordinaten stellen Längenangaben in der Einheit Zentimeter dar. Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.
a) Berechnen Sie den Durchmesser , den die zylindrische Welle mindestens haben muss. (5 BE)
b) Bestimmen Sie die Masse eines Knaufs (auf ganze Gramm gerundet), wenn das verwendete Messing die Dichte besitzt. (6 BE)
3.0 Im Laufe der Wachstumsphase von April bis Anfang Oktober vergrößert sich der Durchmesser eines Baumes.
Dieser Zuwachs kann mithilfe von
sogenannten „Dendrometern“ sehr
genau gemessen werden. Mit diesen
Ergebnissen können Rückschlüsse
über Wachstumsbedingungen und
klimatische Änderungen gezogen
werden.
Die Dendrometer sind vor April
installiert worden und haben seit
dem 1. April den Zuwachs des Baum-
durchmessers gemessen.
Eine Messreihe ist im Diagramm (oben rechts) dargestellt.
Auf der Abszisse sind die vergangenen Tage ab dem Beobachtungsstart am 1. April angegeben, auf der Ordinate ist der entsprechend gemessene Zuwachs des Durchmessers in vermerkt.
Die Ergebnisse können mithilfe einer mathematischen Funktion mit der Funktionsgleichung mit modelliert werden.
Dabei beschreibt die Zeit in Tagen ab dem 1. April und den Zuwachs des Durch-
messers in ab Beobachtungsbeginn .
a) Weisen Sie nach, dass die Funktion die Differenzialgleichung erfüllt. (4 BE)
b) Ermitteln Sie mithilfe der Differenzialgleichung aus a) den maximalen Wert, annehmen kann, und erläutern Sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.
(4 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2024
Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
1.0 Im Juni und Juli 2024 findet die Fußball-Europameisterschaft in Deutschland statt. Ein Tourismusunternehmen bietet für fußballbegeisterte Kunden diverse Möglichkeiten, an der Veranstaltung in Deutschland teilzunehmen. Im Nachfolgenden werden nur Kunden betrachtet, welche sich für die Fußball-Europameisterschaft interessieren.
Fußballbegeisterte Kunden können bei dem Tourismusunternehmen Anreise (),
Unterkunft () und Eintritt zu einem Spiel () buchen. aller Fans buchen die Anreise. Von diesen buchen gleichzeitig eine Unterkunft. Von den Fans, die eigenständig anreisen, buchen eine Unterkunft. Unabhängig davon, ob die Anreise bzw. die Unterkunft beim Tourismusunternehmen gebucht oder nicht gebucht wurde, bucht ein fester Anteil aller Fans den Eintritt für den Besuch eines Spieles. Von allen Fans entscheiden sich für das Komplettangebot aus Anreise mit Unterkunft und Eintritt.
Das Buchungsverhalten eines beliebig herausgegriffenen fußballbegeisterten Kunden des Tourismusunternehmens wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.
Teilergebnis: (5 BE)
b) Gegeben sind folgende Ereignisse:
: „Ein zufällig ausgewählter Kunde bucht die Anreise oder den Eintritt zu einem Spiel.“
:
:
Ermitteln Sie eine aufzählende Mengenschreibweise für . (3 BE)
2 Ein Hotel, welches zur Europameisterschaft ausschließlich mit Fans belegt ist, bietet neben den gewöhnlichen Services zwei zusätzliche Dienste an, welche die Gäste wählen können. Diese sind ein Fahrdienst zum Spiel im örtlichen Stadion () sowie ein Besuch des Trainingsgeländes der ansässigen Nationalmannschaft (). Von früheren Großereignissen ist bekannt, dass drei von fünf Gästen den Fahrdienst wählen. Insgesamt entscheiden sich aller Gäste für genau einen der beiden zusätzlichen Dienste. Außerdem gilt: .
Bestimmen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel, wie viele der insgesamt Gäste des
Hotels keinen der beiden zusätzlichen Dienste wünschen.
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I
3 Bei der Zusammenstellung der sechs Gruppen für die Gruppenphase wurden zunächst die vermeintlich sechs stärksten Mannschaften zufällig per Los auf die sechs Gruppen verteilt.
Diese sechs Mannschaften werden als „Gruppenköpfe“ bezeichnet. Die
Wahrscheinlichkeit, dass ein Gruppenkopf unter den Mannschaften, die ins
Achtelfinale einziehen, vertreten ist, beträgt .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:
: „Nicht alle Gruppenköpfe erreichen das Achtelfinale.“ (2 BE)
4 Ein Fanshop vor einem Stadion bietet den Fans genau die folgenden drei Artikel zum Kauf:
Bild
Im Folgenden werden nur Fans betrachtet, die mindestens einen der obigen drei Artikel kaufen, wobei kein Fan denselben Artikel mehrfach kauft.
Die Zufallsgröße X beschreibt die Ausgaben in Euro eines Fans im Fanshop.
Die folgende Tabelle zeigt die unvollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung der
Zufallsgröße X.
Bild
a) Vervollständigen Sie die Tabelle, indem Sie die fehlenden Zufallswerte x von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile eintragen. Berechnen Sie anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich Fans an einem Spieltag zu rechnen ist. (3 BE)
b) Aufgrund der zunehmenden Anzahl an umweltbewussten Fans überlegt der Inhaber des Fanshops nur noch GREEN-Label zertifizierte Trikots und Hosen anzubieten. Er müsste dafür aber die Verkaufspreise dieser Artikel deutlich erhöhen. Ein befreundeter Geschäftsmann behauptet, dass erfahrungsgemäß mindestens der Fans den Preisanstieg akzeptieren würden und dadurch eine deutliche Gewinnsteigerung zu erwarten sei. Sollte dies der Fall sein, will der Inhaber des Fanshops die Umstellung wagen. Allerdings glaubt er, dass deren Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese).
Um eine Entscheidung zu treffen, befragt er zufällig ausgewählte Fans, ob diese
höhere Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte in Kauf nehmen würden.
Entwickeln Sie für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von . Geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden. (5 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik II
Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.
1 An einer Fachoberschule wird eine Umfrage zu den Zukunftsplänen der Schülerinnen und Schüler durchgeführt. Laut dieser Umfrage möchte nach dem Fachabitur ein Fünftel aller Befragten ein sogenanntes „Gap Year“ (G) machen. davon haben vor, in diesem Jahr ins Ausland zu gehen (D), alle anderen verbringen die Zeit lieber in Deutschland (D). Von denjenigen, die ins Ausland gehen, machen dort Work & Travel (W), ein Praktikum (P) und der Rest andere Tätigkeiten (T) wie zum Beispiel Sprachreisen, Urlaub oder arbeiten als Au-pair. Die Hälfte derer, die während ihres Gap Years in Deutschland bleiben, nutzt die Zeit für ein Praktikum und die andere Hälfte für einen Freiwilligendienst (F). Von den Befragten, die sich gegen eine Auszeit (G) nach dem Fachabitur entscheiden, planen zu studieren (S). Der Rest wird zu gleichen Teilen die dreizehnte Klasse (K) besuchen oder eine Ausbildung beginnen (A).
Die Befragung einer zufällig ausgewählten Schülerin oder eines zufällig ausgewählten Schülers nach den Zukunftsplänen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.
a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des Zufallsexperiments. (5 BE)
b) Gegeben sind die folgenden Ereignisse:
: „Eine zufällig ausgewählte befragte Person plant ein Gap Year im Ausland.“
Geben Sie in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend .
2 Die Schülerin Lena entscheidet sich für ein Gap Year mit Auslandsaufenthalt in Asien. Sie findet einen Job bei einer Auffangstation für Meerestiere. Im Durchschnitt sind 65 von 100 behandelten Tieren in der Station Meeresschildkröten (S). Insgesamt sind aller Verletzungen und Krankheiten bei Meerestieren die Folge von Plastikmüll (M) in den Ozeanen, zwei Drittel davon treten bei Meeresschildkröten auf.
Erstellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständig ausgefüllte
Vierfeldertafel. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (5 BE)
3 Eine von Lenas Lieblingsaufgaben in der Auffangstation ist das Freilassen von Baby-Schildkröten an möglichst sicheren Stränden. Sie weiß jedoch, dass die Überlebenschance der Baby-Schildkröten in den ersten paar Tagen aufgrund der hohen Anzahl an Fressfeinden nur bei liegt.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 20 freigelassenen Schildkrötenbabys mindestens drei, aber höchstens sieben Tiere überleben. (2 BE)
4 Lena möchte die Reisezeit ihres Work & Travel Aufenthalts nutzen, um Tauchen zu
lernen. Eine Tauchschule in Thailand macht Werbung mit der Behauptung, dass bei
mindestens aller Tauchgänge Meeresschildkröten beobachtet werden können.
Lena vermutet allerdings, dass der Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese). Um ihren Verdacht mit einem Hypothesentest zu überprüfen, befragt sie jeweils einen Teilnehmer bzw. eine Teilnehmerin von verschiedenen Tauchgängen, ob Schildkröten gesehen wurden. Lena möchte sich bei der Annahme ihrer Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens irren.
a) Geben Sie für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an. Ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese und geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn auf genau Tauchgängen keine Meeresschildkröten gesehen werden. (5 BE)
b) Berechnen Sie für den in Teilaufgabe a) entwickelten Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich nur auf der Hälfte aller Tauchgänge mit der Tauchschule Meeresschildkröten gesehen werden. (2 BE)
- 29
Herr Malinowski sieht auf seiner App der Gasverbrauch pro Tag in innerhalb einer Woche.
Er denkt darüber nach, welche mathematische Funktion den Gasverbrauch beschreiben kann und vermutet, dass es sich um eine e-Funktion handeln könnte.
Abbildung
Die zur Abbildung gehörenden Daten findest Du in der folgenden Tabelle.
x in
Tagen
y in
0
6,1
1
6,1
2
4,8
3
4
4
2,2
5
1,8
6
1,5
Erstelle mit dem TR oder mit Geogebra eine Regressionsfunktion mit dem Ansatz .
Herr Malinowski zeigt das Ergebnis seiner Analyse seinem Nachbarn. Der ist der Meinung, dass auch andere Regressionsfunktionen zu den Daten passen würden.
Überprüfe mit dem TR oder mit Geogebra, welche Regressionsfunktionen auch möglich sind. Was ist die beste Regressionsfunktion?
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