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Aufgaben

  1. 1

    Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen

  2. 2

    Axialschnitt eines Rotationskörpers

    Schneidet man einen Rotationskörper längs seiner Achse durch, erhält man den Axialschnitt des Körpers.

    Die folgende Tabelle zeigt die Zuordnung zwischen einem Rotationskörper und dem dazugehörenden Axialschnitt.

    Rotationskörper

    Axialschnitt

    Zylinder

    Rechteck

    Kegel

    gleichschenkliges Dreieck

    Kugel

    Kreis

    Halbkugel

    Halbkreis

    Kegelstumpf

    gleichschenkliges Trapez

    5 Rotationskörper und ihre Axialschnitte
    Bild

    Wenn du lernen willst wie man einen Rotationskörper auf das Papier zeichnet, gehe auf den Artikel Skizzieren eines Rotationskörpers - Anleitung.

  3. 3

    Für jedes a\{0} ist die Funktionenschar gegeben durch fa(x)=xeax+3a.

    Der Graph der Funktion ist Ka.

    Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter a an.

    1. Wo schneiden die Scharkurven die y-Achse?

    2. Untersuche Ka auf Hoch- und Tiefpunkte.

    3. Bestimme das Verhalten der Funktion fa(x) für x und für x und gib gegebenenfalls die Asymptote an.

    4. Skizziere für a=3 und a=1 die Graphen von K3 und von K1.

    5. Welche Scharkurve hat für x=12 ein Extremum?

    6. Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?

  4. 4

    Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden g:OX=(501)+r(411)und

    h:OX=(537)+s(212)

    Berechne ihren Abstand und die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Differentialrechnung.

  5. 5

    Bestimme den Abstand zweier Ebenen mit Hilfe einer Lotgeraden.

  6. 6

    Punkte in der Ebene

  7. 7

    Testlösungen Abitur BW

  8. 8

    Testlösungen Abitur BW (2)

  9. 9

    Spiegelung von 2 parallelen Ebenen

  10. 10

    Kowalskys Testaufgabe

    cos(α)=ab|a||b|

    1. Lösung von Gleichungen-Übersicht

    2. In einem Multiple-Choice-Test gibt es 20 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?

    3. Gegeben ist der Kreis k:x2+y2=16. Durch den Punkt P(8|0) verläuft eine Gerade g, die Tangente an den Kreis sein soll. Berechne die Funktionsgleichung der Geraden und den Berührpunkt B.

    4. Welche Punkte sind Berührpunkte (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)?

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    5. Gegeben ist ein Quader mit den Seiten a=8cm, b=6cm und c=4cm.

      Aus einer Quaderecke wird eine Pyramide herausgeschnitten. Die Schnitte verlaufen längs der Diagonalen der Seitenflächen.

      a) Berechne jeweils die Flächeninhalte der vier Dreiecke A1, A2, A3 und A4.

      Hinweis: Verwende die Bezeichnungen von Bild 1 und Bild 3 und verwende für die Berechnung des Flächeninhalts von A4 den Kosinussatz.

      b) Weise nach, dass A12+A22+A32=A42 gilt.

      Pyramide in Quader
    6. Gegeben ist eine Ebenenschar Ea:x1+ax2x3+3a=0 mit a.

      a) Die beiden Ebenen Ea1 und Ea2 sollen senkrecht aufeinander stehen.

      Welche Beziehung besteht zwischen a1 und a2?

      b) Zu welcher Ebene aus der oben angegebenen Schar gibt es keine dazu senkrechte Ebene aus dieser Schar?

      c) Es ist a+. Berechne den Abstand d(O,Ea) des Koordinatenursprungs von der Scharebene Ea und gib gegebenenfalls den Grenzwert limad(O,Ea) an.

    7. Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

      tancot

      gegeben

      gegeben

      gegeben

      cotφ

      1±1+cot2φ

      cotφ1+cot2φ

      1cotφ

      ??cotφ=

      ±1sin2φsinφ

      cosφ±1cos2φ

      1tanφ

      cotφ

      Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

      tanαcotα=1

      tanα=sinαcosα=1cotα

      cotα=cosαsinα=1tanα

      1+tan2α=1cot2α

      1+cot2α=1sin2α

    8. Bild
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  11. 11

    Entscheide anhand des Graphens, ob der gegebene Graph der Funktion

    • achsensymmetrisch zur y-Achse oder

    • punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung O(0|0)

    ist.

    1. Funktion 4. Grades
    2. Funktion 7. Grades
    3. Funktion 6. Grades
    4. Bild
    5. Hyperbel
    6. Hyperbel
  12. 12

    Entscheide graphisch, welche der jeweils angegebenen Aussagen auf den Graphen zutrifft.

    1. Funktion 7. Grades
    2. Punktsymmetrie zu einem Punkt
    3. 8. Grades
    4. Bild
    5. 6.Grades
  13. 13

    Kowalskys zweite Testaufgabe

    1. Test

    2.  227,50:7=32,521(+117,,,14,,,,,,,,35,,,,,35,,,,,,,,,,0

    3. Die Koordinatenform der Geradengleichung lautet:

      ax+by=c

      Wenn 2 Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2) auf der Geraden gegeben sind, kann man die Parameter der Koordinatenform wie folgt berechnen:

      a=y1y2b=x2x1c=x2y1x1y2

      Wie kommt man auf diese Berechnung der drei Parameter a,b und c?

    4. Bild
  14. 14

    Prozentrechnung im Sandkasten

    Im Sandkasten sind 20% der Fläche mit Spielzeug bedeckt. Wenn der Sandkasten insgesamt eine Fläche von 100m2 hat, wie groß ist die Fläche, die mit Spielzeug bedeckt ist?

  15. 15

    Anwendung des Strahlensatzes

    Ein Baum wirft einen 4,5 m langen Schatten, während ein 1,2 m hoher Pfosten im selben Licht einen 1,6 m langen Schatten wirft. Wie hoch ist der Baum?

  16. 16

    Single-Choice-Aufgabe zur Kurvendiskussion des Medikamentenabbaus

    Betrachten Sie die Funktion f(t)=e0.5t, die den Medikamentenabbau im Körper über die Zeit t beschreibt. Wie groß ist die momentane Änderungsrate des Medikamentenabbaus zum Zeitpunkt t=2?

  17. 17

    Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion

    1. Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x)=ex3.

    2. Ermittle das lokale Extremum der Funktion f(x)=2e0.5x.

    3. Finde den Wendepunkt der Funktion f(x)=e2xx.

    4. Bestimme das asymptotische Verhalten der Funktion f(x)=exx2+1 für x.

    5. Wie verhält sich der Graph der Funktion f(x)=3ex im Unendlichen?

  18. 18

    Kurvendiskussion einer e-Funktion

    Welche Art von Extrempunkt hat die Funktion f(x)=e2x3ex bei x=ln(32)?

  19. 19

    NRW 2024

    Aufgabe 1

    Ein Fan des VfL Bochum möchte mit einem mathematischen Modell den Besucheransturm beim nächsten Heimspiel beschreiben. Der Ansturm der Besucher wird (in Tausend Zuschauern pro Stunde) näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit f(x)=120xe2x. Dabei stellt x=0 den Zeitpunkt der Öffnung des Stadions um 14.00 Uhr dar. Das Spiel wird anderthalb Stunden später angepfiffen, also bei x=1,5.

    1. Geben Sie an, wie groß der Besucheransturm um 14.15 Uhr und um 15.00 Uhr ist. Rechnen Sie das Ergebnis auch in Besucher pro Minute um.

    2. Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Besucheransturm am größten ist.

      (zur Kontrolle: f(x)=120(12x)e2x)

    3. Beschreiben Sie, mit welchen Transformationen der Graph der Ableitungsfunktion f aus dem Graphen der Funktion f entsteht.

  20. 20

    NRW 2024

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die ganzrationale Funktion f mit f(x)=x33bx, b>0.

    1. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f punktsymmetrisch ist.

    2. Durch den Tief- und den Hochpunkt des Graphen werden Geraden gezeichnet, die parallel zu den Achsen verlaufen; diese schließen dann mit den Achsen des Koordinatensystems eine rechteckige Fläche ein. Für welchen Parameterwert b ergibt sich ein Quadrat?

  21. 21

    NRW 2024

    Aufgabe 3

    Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=x3.

    1. Zeigen Sie, dass die Tangente t im Punkt P(1|1) an den Graphen der Funktion f durch die Gleichung t(x)=3x2 beschrieben werden kann.

    2. Zeigen Sie, dass die Tangente t und der Graph von f auch den Punkt P(2|8) gemeinsam haben.

    3. Fertigen Sie zu a), b) eine Skizze an.

    4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die y-Achse, die x-Achse und die Tangente eingeschlossen wird.

    5. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen von f und t eingeschlossen wird.

  22. 22

    A 1.0 Die Funktion f1 hat die Gleichung y=log3(x1,5)+0,5 mit 𝔾=×.

    A 1.1 Bestimmen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu 1.

    A 1.2 Der Graph der Funktion f1 wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor

    v=(vx0)(vx) auf den Graphen der Funktion f2 abgebildet, wobei der Punkt P(3|2,5) auf dem Graphen zu f2 liegt.

  23. 23

    Pflichtteil Teil A

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=(12x212x74)e2x+1,x.

    1. Weise nach: f(x)=(x24)e2x+1. (2 P)

    2. Untersuche die Funktion f auf lokale Extremstellen. (3 P)

  24. 24

    Aufgabe 1

    Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in definierten Funktion f:t2520e0,014t modellhaft beschreiben. Dabei ist t die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und f(t) die Wassertemperatur in C. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25C.

    1. (i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)

      (ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12C beträgt. (2 P)

    2. Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:

      (i) f(30) (2 P)                        (ii) f(30)f(0)300 (3 P)

    3. Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:

      Es gibt eine Konstante c, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das c-fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)

    4. Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:

      Aus f(t)=f(0)+252 ergibt sich t49,5.

      Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)

  25. 25

    Bei einem Glücksspielautomaten gewinnt man, wenn die gleichen

    Symbole in der gleichen Farbe angezeigt werden.

    Bild

    Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist bestimmt 14.

    1. Eine der folgenden Aussagen ist richtig. Kreuze an.

      /1P.

    2. Oke soll aus den gegebenen Karten eine ziehen.

      Bild

      Formuliere eine Spielregel für das Ziehen einer Karte, so dass die

      Gewinnchance größer als 14 ist.

      /1P.

  26. 26

    Aufgabe 1

    Gegeben ist eine in definierte Funktion f(x)=x4kx2, wobei k eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von f.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    1. Zeigen Sie, dass f(x)=2x(2x2k) eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von f ist.

    2. Die beiden Tiefpunkte des Graphen von f haben jeweils die y-Koordinate 1.

      Ermitteln Sie den Wert von k.

  27. 27

    Aufgabe 2

    Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=x3+9x223x+15,x.

    Der Graph von f ist in Abbildung 2 dargestellt.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    1. Interpretieren Sie die Aussage F(5)F(1)=0 in Bezug auf den Graphen von f.

      (2 P)

    2. Berechnen Sie 01f(x)dx. (3 P)

  28. 28

    Begründe, dass x=1 die einzige Nullstelle von f ist

    Gegeben ist f(x)=10(x1)ex.

    Für die Nullstellen löse die Gleichung f(x)=0.

    0=10(x1)ex

    Weil ex0 für alle x folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

    x1=0x=1

    Demnach ist x=1 die einzige Nullstelle.

    1. Untersuche f rechnerisch auf lokale Extremstellen

      Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist f(x)=0.

      Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

      f(x)=10(1ex+(x1)ex(1))=10(2x)ex

      f(x)=00=10(2x)ex

      Weil ex0 für alle x folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

      2x=0x=2

      Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist f(x)0.

      Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:

      f(x)=10((1)ex+(2x)ex(1))=10(x3)ex

      f(2)=10(23)e2=10e2<0

      Die Funktion f hat genau eine lokale Extremstelle.

      Der Graph von f hat bei x=2 ein lokales Maximum.

    2. Zeige rechnerisch, dass der Punkt (12|2160) ein Hochpunkt des Graphen von f ist

      Gegeben ist f(x)=516x4+5x3.

      Berechne f(x) und f(x):

      f(x)=54x3+15x2

      f(x)=154x2+30x

      Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist f(x)=0.

      0=54x3+15x2=5x2(14x+3)

      Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

      x=014x+3=0x=12

      Lokale Extremstellen sind also x=0 oder x=12.

      Nach Aufgabenstellung muss nur x=12 beachtet werden.

      Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist f(x)0.

      f(12)=154122+3012=180<0 Maximum

      Berechne f(12)=516124+5123=2160.

      Der Punkt (12|2160) ist ein Hochpunkt des Graphen von f.

      Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt (0|0) parallel zur x-Achse verläuft

      Es ist f(0)=0 und f(0)=0.

      Im Punkt (0|0) verläuft die Tangente an den Graphen von f parallel zur x-Achse.

    3. Bestimme eine Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von f verläuft

      Berechne die Wendepunkte:

      Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f(x)=0.

      0=154x2+30x=15x(14x+2)

      Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

      x=014x+2=0x=8

      Wendestellen liegen bei x=0 oder x=8 vor, wenn die hinreichende Bedingung f(x)0 erfüllt ist.

      Berechne f(x)=152x+30f(0)=300 und f(8)=1528+30=300

      Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei x=0 oder x=8 vor.

      Berechne f(0)=0 und f(8)=51684+583=1280.

      Die Wendepunkte haben die Koordinaten WP1(0|0) und WP2(8|1280).

      Für die Geradengleichung g benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:

      y=y2y1x2x1(xx1)+y1y=1280080(x0)+0

      g:y=160x

      Die Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von f verläuft, lautet y=160x.

      Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu g ist und für 0x8 mit dem Graphen von f genau einen Punkt gemeinsam hat

    4. Berechne alle Schnittpunkte des Graphen Gf mit den Koordinatenachsen

      Gegeben ist f(x)=110(x3+15x256x+12).

      Schnittpunkte mit der x-Achse:

      f(x)=0110(x3+15x256x+12)=0x3+15x256x+12=0

      Die Nullstelle der Funktion g(x)=x3+15x256x+12 ist bekannt xN=6.

      Führe eine Polynomdivision durch.

       (x3+15x256x+12):(x6)=x2+9x2(x3+6x2)(x319x256x(x3+(9x254x)(x3+3x22x+12(x3+3x2(2x+12)(x3+3x24x120

      Löse nun die Gleichung x2+9x2=0x29x+2=0 mit der pq-Formel:

      x2,3==p2±(p2)2q

      Setze p=9 und q=2 ein.

      =(9)2±(92)22
      =4,5±20,252
      =4,5±18,25

      Somit lauten die Schnittpunkte von Gf mit der x-Achse N1(6|0),N2(4,518,25|0)N2(0,23|0) und N3(4,5+18,25|0)N3(8,77|0).

      Schnittpunkt mit der y-Achse:

      Setze x=0 in f(x) ein f(0)=12Sy(0|12).

      Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist Sy(0|12).

    5. Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von Gf

    6. Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis

      1.0 Gegeben ist die Funktion f mit der

      Definitionsmenge Df=[1;+[. Der

      Graph von f schneidet die x-Achse genau

      einmal, ist im Intervall [4;+[ streng

      monoton fallend und wird mit Gf

      bezeichnet. Ein Ausschnitt von Gf ist in

      der nebenstehenden Abbildung zu sehen.

      Betrachtet wird nun die Funktion

      F:xf(t)dt mit der Definitionsmenge DF[1;[.

      a) Geben Sie die Nullstellen von F an. Runden Sie auf eine Nachkommastelle, sofern nötig.

      b) Bestimmen Sie mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von GF.

      c) Begründen Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:

      GF ist im Intervall [4;+[ rechtsgekrümmt.“

      2.0 Gegeben ist die streng monotone Funktion g:x2exex+4 mit der Definitionsmenge Dg=.

      Die Umkehrfunktion von g wird g1 bezeichnet.

      a) Geben Sie die Wertemenge von g1 an und ermitteln Sie die Definitionsmenge von g1, ohne dabei einen Funktionsterm von g1 zu verwenden.

      b) Bestimmen Sie nun einen Funktionsterm von g1.

      c) Die Funktion G mit der Definitionsmenge DG= ist eine Stammfunktion von g. Der Graph der Funktion G schneidet die y-Achse bei y0=ln(10). Ermitteln Sie einen

      möglichen Term der Funktion G.

      Bild

    7. Teil 1: ohne Hilfsmittel – Stochastik

      Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

      a) Bei der Befragung von zufällig ausgewählten Kunden eines Lebensmittelmarkts wird unter

      anderem untersucht, ob sie Vegetarier (V) sind bzw. ob sie in bar (B) bezahlen. Das Ergebnis der

      Befragung ist in der nebenstehenden Vierfeldertafel dargestellt.

      Untersuchen Sie, ob der Anteil der Barzahler unter den Vegetariern höher ist als der Anteil der Barzahler unter den Nicht-Vegetariern.

      Bild

      b) Die durchgeführte Umfrage hat ebenfalls ergeben, dass 80% aller Befragten beim

      Einkaufen im Supermarkt eine eigene Einkaufstasche dabei haben. Betrachtet werden nun hintereinander anstehende Kunden an einer Supermarktkasse.

      Geben Sie für die nachfolgenden Ereignisse jeweils einen Term an, der die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das beschriebene Ereignis ermöglicht.

      E1: „Von zehn Kunden haben genau vier eine eigene Einkaufstasche mitgebracht.“

      E2: „Von acht Kunden kaufen nur genau die ersten zwei und der letzte Kunde ohne eigene Einkaufstasche ein.“

      c) Ein zufällig ausgewählter Kunde nutzt unabhängig davon, ob er eine Einkaufstasche dabei hat oder nicht, mit der Wahrscheinlichkeit p einen Einkaufswagen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von zwei Kunden, die nacheinander den Supermarkt betreten, genau einer einen Einkaufswagen nutzt, beträgt 32%.

      Geben Sie den Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit p an.

      Die Berechnung von p ist nicht erforderlich.

      d) Im Supermarkt befinden sich insgesamt drei Kassen. Die Zufallsgröße X beschreibt die Anzahl der gleichzeitig besetzten Kassen während der Öffnungszeiten. Die folgende Tabelle zeigt die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung von X:

      Bild

      1. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße X und interpretieren Sie den Wert im beschriebenen Sachzusammenhang.

      Die Varianz der Zufallsgröße X hat den Wert 0,64.

      2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Werte der Zufallsgröße X innerhalb der einfachen Standardabweichung um ihren Erwartungswert liegen.

    8. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I 2024

      1.0 Gegeben ist die Funktion f:xx2+6x+12(x+2)(x+4) mit der maximalen Definitionsmenge Df=\{4;2}. Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gf bezeichnet.

      a) Zeigen Sie, dass f keine Nullstellen besitzt, und geben Sie für jede Asymptote von Gf jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an. (4 BE)

      b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f.

      [Mögliches Teilergebnis:f(x)=8(x+3)(x+2)2(x+4)2] (7 BE)

      c) Zeichnen Sie den Graphen von f zusammen mit seinen Asymptoten für 7x3 unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. (1 LE = 1 cm) (4 BE)

      d) Gegeben ist die Funktion F:x1xf(t)dt mit der maximalen Definitionsmenge DFDf.

      1. Begründen Sie, dass gilt: DF=]2;+[. Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der

      Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion. (4 BE)

      2. Berechnen Sie den exakten Wert von F(2).

      [Mögliches Teilergebnis:f(x)dx=x+2ln(|x+2x+4|)]+C (7 BE)

      2.0 Gegeben ist die Funktion g:xarctan(x29x5) mit der Definitionsmenge Dg=];1[.

      Der Graph von g in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gg bezeichnet.

      a) Ermitteln Sie die Nullstelle von g und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von g für x → . (4 BE)

      b) Die Funktion g ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie einen Term der Umkehrfunktion von g. (5 BE)

      3.0 Die Gammaeule ist ein Schmetterling aus der Familie der Eulenfalter, welcher ganzjährig in Deutschland anzutreffen ist.

      Wanderungsbewegungen und wechselnde klimatische Einflüsse

      sorgen bei der Populationsdichte (Anzahl der Gammaeulen pro

      Hektar) dieser Art für starke Schwankungen.

      Bild

      Aufgrund von Beobachtungen in dem heißen und trockenen Jahr 2003 in einem süddeutschen Untersuchungsgebiet vermuteten Biologen, dass die Entwicklung der

      Populationsdichte a(t) der Gammaeule der Differenzialgleichung 10a˙=(2t11)(a2) gerecht wird. Dabei gibt t[0;11] den Messzeitpunkt im Jahr 2003 (in Monaten ab dem 1. Januar) und a(t) die Anzahl der gezählten Gammaeulen pro Hektar an. Auf das Mitführen von Einheiten wird verzichtet.

      a) Im Jahr 2003 wurden durchgehend mehr als 5 Gammaeulen pro Hektar beobachtet.

      Folgern Sie unmittelbar aus der Differenzialgleichung den Zeitpunkt tmax im Beobachtungszeitraum, an dem die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet maximal war. (4 BE)

      b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung a(t) der obigen Differenzialgleichung für a(t)>2. (4 BE)

    9. 1.0 Gegeben ist die Funktion g mit der Gleichung g(x)=x2+6x+9x2+3 und der Definitionsmenge

      Dg=[5;+[. Der Graph von g wird mit Gg bezeichnet.

      Ein Ausschnitt von Gg ist in der

      nebenstehenden Abbildung zu sehen.

      Bild

      a) Außerdem ist die Funktion q:xg(x) mit der Definitionsmenge Dq=[3;1]

      gegeben. Weisen Sie nach, dass die Funktion q umkehrbar ist.

      [Mögliches Teilergebnis:g(x)=6(x2+2x3)(x2+3)2] (7 BE)

      b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden t, die den Graphen der Umkehrfunktion von q in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt. (4 BE)

      c) Betrachtet wird die Funktion G:x3xg(t)dt mit der Definitionsmenge GG=Dg. Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von G(x).

      [Mögliches Teilergebnis:g(x)dx=x+3ln(x2+3)+63arctan(x3)+C,mitC](6 BE)

      d) Gegeben ist nun die Funktion h:xln(g(x)) mit der maximalen Definitionsmenge DhDg.

      Ermitteln Sie Dh, die Nullstelle von h und das Verhalten der Funktionswerte von h für x+. (7 BE)

    10. 2.0 Aus einem kompakten, hinreichend langen Zylinder (sog.

      „zylindrische Welle“) aus Messing sollen für die Schubladen einer

      Designerkommode rotationssymmetrische Knäufe hergestellt werden (siehe nebenstehende, nicht maßstäbliche Abbildung). Die Symmetrieachse entspricht dabei der x-Achse in einem kartesischen Koordinatensystem.

      Der Graph Gf der Funktion f:xx13e3x10 mit der Definitionsmenge Df=[1;4] beschreibt die obere Konturlinie der Knäufe (siehe Abbildung).

      Bild

      Die x- und y-Koordinaten stellen Längenangaben in der Einheit Zentimeter dar. Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

      a) Berechnen Sie den Durchmesser d0, den die zylindrische Welle mindestens haben muss. (5 BE)

      b) Bestimmen Sie die Masse m eines Knaufs (auf ganze Gramm gerundet), wenn das verwendete Messing die Dichte ρ=8,50gcm3 besitzt. (6 BE)

    11. 3.0 Im Laufe der Wachstumsphase von April bis Anfang Oktober vergrößert sich der Durchmesser eines Baumes.

      Dieser Zuwachs kann mithilfe von

      sogenannten „Dendrometern“ sehr

      genau gemessen werden. Mit diesen

      Ergebnissen können Rückschlüsse

      über Wachstumsbedingungen und

      klimatische Änderungen gezogen

      werden.

      Die Dendrometer sind vor April

      installiert worden und haben seit

      dem 1. April den Zuwachs des Baum-

      durchmessers gemessen.

      Eine Messreihe ist im Diagramm (oben rechts) dargestellt.

      Bild

      Auf der Abszisse sind die vergangenen Tage ab dem Beobachtungsstart am 1. April angegeben, auf der Ordinate ist der entsprechend gemessene Zuwachs des Durchmessers in mm vermerkt.

      Die Ergebnisse können mithilfe einer mathematischen Funktion d mit der Funktionsgleichung d(t)=31+e4,50,05t mit t]0;180] modelliert werden.

      Dabei beschreibt t die Zeit in Tagen ab dem 1. April und d(t) den Zuwachs des Durch-

      messers in mm ab Beobachtungsbeginn (t=0).

      a) Weisen Sie nach, dass die Funktion d die Differenzialgleichung d˙=160(3d)d erfüllt. (4 BE)

      b) Ermitteln Sie mithilfe der Differenzialgleichung aus a) den maximalen Wert, d˙(t) annehmen kann, und erläutern Sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.

      (4 BE)

    12. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2024

      Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

      1.0 Im Juni und Juli 2024 findet die Fußball-Europameisterschaft in Deutschland statt. Ein Tourismusunternehmen bietet für fußballbegeisterte Kunden diverse Möglichkeiten, an der Veranstaltung in Deutschland teilzunehmen. Im Nachfolgenden werden nur Kunden betrachtet, welche sich für die Fußball-Europameisterschaft interessieren.

      Fußballbegeisterte Kunden können bei dem Tourismusunternehmen Anreise (A),

      Unterkunft (U) und Eintritt zu einem Spiel (S) buchen. 50% aller Fans buchen die Anreise. Von diesen buchen 80% gleichzeitig eine Unterkunft. Von den Fans, die eigenständig anreisen, buchen 60% eine Unterkunft. Unabhängig davon, ob die Anreise bzw. die Unterkunft beim Tourismusunternehmen gebucht oder nicht gebucht wurde, bucht ein fester Anteil aller Fans den Eintritt für den Besuch eines Spieles. Von allen Fans entscheiden sich 36% für das Komplettangebot aus Anreise mit Unterkunft und Eintritt.

      Das Buchungsverhalten eines beliebig herausgegriffenen fußballbegeisterten Kunden des Tourismusunternehmens wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

      a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

      [ Teilergebnis: P({(A;U;S)})=0,01] (5 BE)

      b) Gegeben sind folgende Ereignisse:

      E1: „Ein zufällig ausgewählter Kunde bucht die Anreise oder den Eintritt zu einem Spiel.“

      E2: {(A;U;S);(A;U;S);(A;U;S)}

      E3: E1E2

      Ermitteln Sie eine aufzählende Mengenschreibweise für E3. (3 BE)

      2 Ein Hotel, welches zur Europameisterschaft ausschließlich mit Fans belegt ist, bietet neben den gewöhnlichen Services zwei zusätzliche Dienste an, welche die Gäste wählen können. Diese sind ein Fahrdienst zum Spiel im örtlichen Stadion (F) sowie ein Besuch des Trainingsgeländes der ansässigen Nationalmannschaft (N). Von früheren Großereignissen ist bekannt, dass drei von fünf Gästen den Fahrdienst wählen. Insgesamt entscheiden sich 50% aller Gäste für genau einen der beiden zusätzlichen Dienste. Außerdem gilt: PF(N)=0,25.

      Bestimmen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel, wie viele der insgesamt 400 Gäste des

      Hotels keinen der beiden zusätzlichen Dienste wünschen.

    13. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I

      3 Bei der Zusammenstellung der sechs Gruppen für die Gruppenphase wurden zunächst die vermeintlich sechs stärksten Mannschaften zufällig per Los auf die sechs Gruppen verteilt.

      Diese sechs Mannschaften werden als „Gruppenköpfe“ bezeichnet. Die

      Wahrscheinlichkeit, dass ein Gruppenkopf unter den 16 Mannschaften, die ins

      Achtelfinale einziehen, vertreten ist, beträgt p=0,8.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:

      E4: „Nicht alle Gruppenköpfe erreichen das Achtelfinale.“ (2 BE)

      4 Ein Fanshop vor einem Stadion bietet den Fans genau die folgenden drei Artikel zum Kauf:

      Bild

      Im Folgenden werden nur Fans betrachtet, die mindestens einen der obigen drei Artikel kaufen, wobei kein Fan denselben Artikel mehrfach kauft.

      Die Zufallsgröße X beschreibt die Ausgaben in Euro eines Fans im Fanshop.

      Die folgende Tabelle zeigt die unvollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung der

      Zufallsgröße X.

      Bild

      a) Vervollständigen Sie die Tabelle, indem Sie die fehlenden Zufallswerte x von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile eintragen. Berechnen Sie anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich 250 Fans an einem Spieltag zu rechnen ist. (3 BE)

      b) Aufgrund der zunehmenden Anzahl an umweltbewussten Fans überlegt der Inhaber des Fanshops nur noch GREEN-Label zertifizierte Trikots und Hosen anzubieten. Er müsste dafür aber die Verkaufspreise dieser Artikel deutlich erhöhen. Ein befreundeter Geschäftsmann behauptet, dass erfahrungsgemäß mindestens 80% der Fans den Preisanstieg akzeptieren würden und dadurch eine deutliche Gewinnsteigerung zu erwarten sei. Sollte dies der Fall sein, will der Inhaber des Fanshops die Umstellung wagen. Allerdings glaubt er, dass deren Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese).

      Um eine Entscheidung zu treffen, befragt er 100 zufällig ausgewählte Fans, ob diese

      höhere Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte in Kauf nehmen würden.

      Entwickeln Sie für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 5%. Geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn 75 Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden. (5 BE)

    14. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik II

      Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

      1 An einer Fachoberschule wird eine Umfrage zu den Zukunftsplänen der Schülerinnen und Schüler durchgeführt. Laut dieser Umfrage möchte nach dem Fachabitur ein Fünftel aller Befragten ein sogenanntes „Gap Year“ (G) machen. 70% davon haben vor, in diesem Jahr ins Ausland zu gehen (D), alle anderen verbringen die Zeit lieber in Deutschland (D). Von denjenigen, die ins Ausland gehen, machen dort 35% Work & Travel (W), 30% ein Praktikum (P) und der Rest andere Tätigkeiten (T) wie zum Beispiel Sprachreisen, Urlaub oder arbeiten als Au-pair. Die Hälfte derer, die während ihres Gap Years in Deutschland bleiben, nutzt die Zeit für ein Praktikum und die andere Hälfte für einen Freiwilligendienst (F). Von den Befragten, die sich gegen eine Auszeit (G) nach dem Fachabitur entscheiden, planen 40% zu studieren (S). Der Rest wird zu gleichen Teilen die dreizehnte Klasse (K) besuchen oder eine Ausbildung beginnen (A).

      Die Befragung einer zufällig ausgewählten Schülerin oder eines zufällig ausgewählten Schülers nach den Zukunftsplänen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

      a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des Zufallsexperiments. (5 BE)

      b) Gegeben sind die folgenden Ereignisse:

      E1: „Eine zufällig ausgewählte befragte Person plant ein Gap Year im Ausland.“

      E2:{(G;D;P);(G;D;P)}

      E3=E1E2

      Geben Sie E1 in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie E2 möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend P(E3).

      2 Die Schülerin Lena entscheidet sich für ein Gap Year mit Auslandsaufenthalt in Asien. Sie findet einen Job bei einer Auffangstation für Meerestiere. Im Durchschnitt sind 65 von 100 behandelten Tieren in der Station Meeresschildkröten (S). Insgesamt sind 60% aller Verletzungen und Krankheiten bei Meerestieren die Folge von Plastikmüll (M) in den Ozeanen, zwei Drittel davon treten bei Meeresschildkröten auf.

      Erstellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständig ausgefüllte

      Vierfeldertafel. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E4=MS und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (5 BE)

      3 Eine von Lenas Lieblingsaufgaben in der Auffangstation ist das Freilassen von Baby-Schildkröten an möglichst sicheren Stränden. Sie weiß jedoch, dass die Überlebenschance der Baby-Schildkröten in den ersten paar Tagen aufgrund der hohen Anzahl an Fressfeinden nur bei 10% liegt.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 20 freigelassenen Schildkrötenbabys mindestens drei, aber höchstens sieben Tiere überleben. (2 BE)

      4 Lena möchte die Reisezeit ihres Work & Travel Aufenthalts nutzen, um Tauchen zu

      lernen. Eine Tauchschule in Thailand macht Werbung mit der Behauptung, dass bei

      mindestens 70% aller Tauchgänge Meeresschildkröten beobachtet werden können.

      Lena vermutet allerdings, dass der Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese). Um ihren Verdacht mit einem Hypothesentest zu überprüfen, befragt sie jeweils einen Teilnehmer bzw. eine Teilnehmerin von 50 verschiedenen Tauchgängen, ob Schildkröten gesehen wurden. Lena möchte sich bei der Annahme ihrer Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 3% irren.

      a) Geben Sie für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an. Ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese und geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn auf genau 20 Tauchgängen keine Meeresschildkröten gesehen werden. (5 BE)

      b) Berechnen Sie für den in Teilaufgabe a) entwickelten Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich nur auf der Hälfte aller Tauchgänge mit der Tauchschule Meeresschildkröten gesehen werden. (2 BE)

  29. 29

    Herr Malinowski sieht auf seiner App der Gasverbrauch pro Tag in m3 innerhalb einer Woche.

    Er denkt darüber nach, welche mathematische Funktion den Gasverbrauch beschreiben kann und vermutet, dass es sich um eine e-Funktion handeln könnte.

    Abbildung

    Abbildung

    Die zur Abbildung gehörenden Daten findest Du in der folgenden Tabelle.

    x in

    Tagen

    y in

    m3

    0

    6,1

    1

    6,1

    2

    4,8

    3

    4

    4

    2,2

    5

    1,8

    6

    1,5

    1. Erstelle mit dem TR oder mit Geogebra eine Regressionsfunktion mit dem Ansatz f(x)=AeBx.

    2. Herr Malinowski zeigt das Ergebnis seiner Analyse seinem Nachbarn. Der ist der Meinung, dass auch andere Regressionsfunktionen zu den Daten passen würden.

      Überprüfe mit dem TR oder mit Geogebra, welche Regressionsfunktionen auch möglich sind. Was ist die beste Regressionsfunktion?

  30. 30

    Gegeben ist die Funktion g:xe3x(3x2) mit der Definitionsmenge Dg=.

    1. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von g mit den Koordinatenachsen an.

    2. Widerlegen Sie die folgende Aussage: „Die Funktion g ist umkehrbar.“

    3. Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von g(x)dx.


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