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Aufgaben

  1. 1

    Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen

  2. 2

    Axialschnitt eines Rotationskörpers

    Schneidet man einen Rotationskörper längs seiner Achse durch, erhält man den Axialschnitt des Körpers.

    Die folgende Tabelle zeigt die Zuordnung zwischen einem Rotationskörper und dem dazugehörenden Axialschnitt.

    Rotationskörper

    Axialschnitt

    Zylinder

    Rechteck

    Kegel

    gleichschenkliges Dreieck

    Kugel

    Kreis

    Halbkugel

    Halbkreis

    Kegelstumpf

    gleichschenkliges Trapez

    5 Rotationskörper und ihre Axialschnitte
    Bild

    Wenn du lernen willst wie man einen Rotationskörper auf das Papier zeichnet, gehe auf den Artikel Skizzieren eines Rotationskörpers - Anleitung.

  3. 3

    Für jedes a\{0} ist die Funktionenschar gegeben durch fa(x)=xeax+3a.

    Der Graph der Funktion ist Ka.

    Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter a an.

    1. Wo schneiden die Scharkurven die y-Achse?

    2. Untersuche Ka auf Hoch- und Tiefpunkte.

    3. Bestimme das Verhalten der Funktion fa(x) für x und für x und gib gegebenenfalls die Asymptote an.

    4. Skizziere für a=3 und a=1 die Graphen von K3 und von K1.

    5. Welche Scharkurve hat für x=12 ein Extremum?

    6. Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?

  4. 4

    Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden g:OX=(501)+r(411)und

    h:OX=(537)+s(212)

    Berechne ihren Abstand und die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Differentialrechnung.

  5. 5

    Bestimme den Abstand zweier Ebenen mit Hilfe einer Lotgeraden.

  6. 6

    Punkte in der Ebene

  7. 7

    Testlösungen Abitur BW

  8. 8

    Testlösungen Abitur BW (2)

  9. 9

    Spiegelung von 2 parallelen Ebenen

  10. 10

    Kowalskys Testaufgabe

    cos(α)=ab|a||b|

    1. Lösung von Gleichungen-Übersicht

    2. In einem Multiple-Choice-Test gibt es 20 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?

    3. Gegeben ist der Kreis k:x2+y2=16. Durch den Punkt P(8|0) verläuft eine Gerade g, die Tangente an den Kreis sein soll. Berechne die Funktionsgleichung der Geraden und den Berührpunkt B.

    4. Welche Punkte sind Berührpunkte (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)?

      Bild
    5. Gegeben ist ein Quader mit den Seiten a=8cm, b=6cm und c=4cm.

      Aus einer Quaderecke wird eine Pyramide herausgeschnitten. Die Schnitte verlaufen längs der Diagonalen der Seitenflächen.

      a) Berechne jeweils die Flächeninhalte der vier Dreiecke A1, A2, A3 und A4.

      Hinweis: Verwende die Bezeichnungen von Bild 1 und Bild 3 und verwende für die Berechnung des Flächeninhalts von A4 den Kosinussatz.

      b) Weise nach, dass A12+A22+A32=A42 gilt.

      Pyramide in Quader
    6. Gegeben ist eine Ebenenschar Ea:x1+ax2x3+3a=0 mit a.

      a) Die beiden Ebenen Ea1 und Ea2 sollen senkrecht aufeinander stehen.

      Welche Beziehung besteht zwischen a1 und a2?

      b) Zu welcher Ebene aus der oben angegebenen Schar gibt es keine dazu senkrechte Ebene aus dieser Schar?

      c) Es ist a+. Berechne den Abstand d(O,Ea) des Koordinatenursprungs von der Scharebene Ea und gib gegebenenfalls den Grenzwert limad(O,Ea) an.

    7. Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

      tancot

      gegeben

      gegeben

      gegeben

      cotφ

      1±1+cot2φ

      cotφ1+cot2φ

      1cotφ

      ??cotφ=

      ±1sin2φsinφ

      cosφ±1cos2φ

      1tanφ

      cotφ

      Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

      tanαcotα=1

      tanα=sinαcosα=1cotα

      cotα=cosαsinα=1tanα

      1+tan2α=1cot2α

      1+cot2α=1sin2α

    8. Bild
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  11. 11

    Entscheide anhand des Graphens, ob der gegebene Graph der Funktion

    • achsensymmetrisch zur y-Achse oder

    • punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung O(0|0)

    ist.

    1. Funktion 4. Grades
    2. Funktion 7. Grades
    3. Funktion 6. Grades
    4. Bild
    5. Hyperbel
    6. Hyperbel
  12. 12

    Entscheide graphisch, welche der jeweils angegebenen Aussagen auf den Graphen zutrifft.

    1. Funktion 7. Grades
    2. Punktsymmetrie zu einem Punkt
    3. 8. Grades
    4. Bild
    5. 6.Grades
  13. 13

    Kowalskys zweite Testaufgabe

    1. Test

    2.  227,50:7=32,521(+117,,,14,,,,,,,,35,,,,,35,,,,,,,,,,0

    3. Die Koordinatenform der Geradengleichung lautet:

      ax+by=c

      Wenn 2 Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2) auf der Geraden gegeben sind, kann man die Parameter der Koordinatenform wie folgt berechnen:

      a=y1y2b=x2x1c=x2y1x1y2

      Wie kommt man auf diese Berechnung der drei Parameter a,b und c?

    4. Bild
  14. 14

    Prozentrechnung im Sandkasten

    Im Sandkasten sind 20% der Fläche mit Spielzeug bedeckt. Wenn der Sandkasten insgesamt eine Fläche von 100m2 hat, wie groß ist die Fläche, die mit Spielzeug bedeckt ist?

  15. 15

    Anwendung des Strahlensatzes

    Ein Baum wirft einen 4,5 m langen Schatten, während ein 1,2 m hoher Pfosten im selben Licht einen 1,6 m langen Schatten wirft. Wie hoch ist der Baum?

  16. 16

    Single-Choice-Aufgabe zur Kurvendiskussion des Medikamentenabbaus

    Betrachten Sie die Funktion f(t)=e0.5t, die den Medikamentenabbau im Körper über die Zeit t beschreibt. Wie groß ist die momentane Änderungsrate des Medikamentenabbaus zum Zeitpunkt t=2?

  17. 17

    Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion

    1. Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x)=ex3.

    2. Ermittle das lokale Extremum der Funktion f(x)=2e0.5x.

    3. Finde den Wendepunkt der Funktion f(x)=e2xx.

    4. Bestimme das asymptotische Verhalten der Funktion f(x)=exx2+1 für x.

    5. Wie verhält sich der Graph der Funktion f(x)=3ex im Unendlichen?

  18. 18

    Kurvendiskussion einer e-Funktion

    Welche Art von Extrempunkt hat die Funktion f(x)=e2x3ex bei x=ln(32)?

  19. 19

    NRW 2024

    Aufgabe 1

    Ein Fan des VfL Bochum möchte mit einem mathematischen Modell den Besucheransturm beim nächsten Heimspiel beschreiben. Der Ansturm der Besucher wird (in Tausend Zuschauern pro Stunde) näherungsweise beschrieben durch die Funktion f mit f(x)=120xe2x. Dabei stellt x=0 den Zeitpunkt der Öffnung des Stadions um 14.00 Uhr dar. Das Spiel wird anderthalb Stunden später angepfiffen, also bei x=1,5.

    1. Geben Sie an, wie groß der Besucheransturm um 14.15 Uhr und um 15.00 Uhr ist. Rechnen Sie das Ergebnis auch in Besucher pro Minute um.

    2. Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Besucheransturm am größten ist.

      (zur Kontrolle: f(x)=120(12x)e2x)

    3. Beschreiben Sie, mit welchen Transformationen der Graph der Ableitungsfunktion f aus dem Graphen der Funktion f entsteht.

  20. 20

    NRW 2024

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die ganzrationale Funktion f mit f(x)=x33bx, b>0.

    1. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion f punktsymmetrisch ist.

    2. Durch den Tief- und den Hochpunkt des Graphen werden Geraden gezeichnet, die parallel zu den Achsen verlaufen; diese schließen dann mit den Achsen des Koordinatensystems eine rechteckige Fläche ein. Für welchen Parameterwert b ergibt sich ein Quadrat?

  21. 21

    NRW 2024

    Aufgabe 3

    Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=x3.

    1. Zeigen Sie, dass die Tangente t im Punkt P(1|1) an den Graphen der Funktion f durch die Gleichung t(x)=3x2 beschrieben werden kann.

    2. Zeigen Sie, dass die Tangente t und der Graph von f auch den Punkt P(2|8) gemeinsam haben.

    3. Fertigen Sie zu a), b) eine Skizze an.

    4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die y-Achse, die x-Achse und die Tangente eingeschlossen wird.

    5. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen von f und t eingeschlossen wird.

  22. 22

    A 1.0 Die Funktion f1 hat die Gleichung y=log3(x1,5)+0,5 mit 𝔾=×.

    A 1.1 Bestimmen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu 1.

    A 1.2 Der Graph der Funktion f1 wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor

    v=(vx0)(vx) auf den Graphen der Funktion f2 abgebildet, wobei der Punkt P(3|2,5) auf dem Graphen zu f2 liegt.

  23. 23

    Pflichtteil Teil A

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=(12x212x74)e2x+1,x.

    1. Weise nach: f(x)=(x24)e2x+1. (2 P)

    2. Untersuche die Funktion f auf lokale Extremstellen. (3 P)

  24. 24

    Aufgabe 1

    Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in definierten Funktion f:t2520e0,014t modellhaft beschreiben. Dabei ist t die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und f(t) die Wassertemperatur in C. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25C.

    1. (i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)

      (ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12C beträgt. (2 P)

    2. Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:

      (i) f(30) (2 P)                        (ii) f(30)f(0)300 (3 P)

    3. Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:

      Es gibt eine Konstante c, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das c-fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)

    4. Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:

      Aus f(t)=f(0)+252 ergibt sich t49,5.

      Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)

  25. 25

    Bei einem Glücksspielautomaten gewinnt man, wenn die gleichen

    Symbole in der gleichen Farbe angezeigt werden.

    Bild

    Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist bestimmt 14.

    1. Eine der folgenden Aussagen ist richtig. Kreuze an.

      /1P.

    2. Oke soll aus den gegebenen Karten eine ziehen.

      Bild

      Formuliere eine Spielregel für das Ziehen einer Karte, so dass die

      Gewinnchance größer als 14 ist.

      /1P.

  26. 26

    Aufgabe 1

    Gegeben ist eine in definierte Funktion f(x)=x4kx2, wobei k eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von f.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    1. Zeigen Sie, dass f(x)=2x(2x2k) eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von f ist.

    2. Die beiden Tiefpunkte des Graphen von f haben jeweils die y-Koordinate 1.

      Ermitteln Sie den Wert von k.

  27. 27

    Aufgabe 2

    Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=x3+9x223x+15,x.

    Der Graph von f ist in Abbildung 2 dargestellt.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    1. Interpretieren Sie die Aussage F(5)F(1)=0 in Bezug auf den Graphen von f.

      (2 P)

    2. Berechnen Sie 01f(x)dx. (3 P)

  28. 28

    Begründe, dass x=1 die einzige Nullstelle von f ist

    Gegeben ist f(x)=10(x1)ex.

    Für die Nullstellen löse die Gleichung f(x)=0.

    0=10(x1)ex

    Weil ex0 für alle x folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

    x1=0x=1

    Demnach ist x=1 die einzige Nullstelle.

    1. Untersuche f rechnerisch auf lokale Extremstellen

      Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist f(x)=0.

      Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

      f(x)=10(1ex+(x1)ex(1))=10(2x)ex

      f(x)=00=10(2x)ex

      Weil ex0 für alle x folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

      2x=0x=2

      Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist f(x)0.

      Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:

      f(x)=10((1)ex+(2x)ex(1))=10(x3)ex

      f(2)=10(23)e2=10e2<0

      Die Funktion f hat genau eine lokale Extremstelle.

      Der Graph von f hat bei x=2 ein lokales Maximum.

    2. Zeige rechnerisch, dass der Punkt (12|2160) ein Hochpunkt des Graphen von f ist

      Gegeben ist f(x)=516x4+5x3.

      Berechne f(x) und f(x):

      f(x)=54x3+15x2

      f(x)=154x2+30x

      Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist f(x)=0.

      0=54x3+15x2=5x2(14x+3)

      Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

      x=014x+3=0x=12

      Lokale Extremstellen sind also x=0 oder x=12.

      Nach Aufgabenstellung muss nur x=12 beachtet werden.

      Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist f(x)0.

      f(12)=154122+3012=180<0 Maximum

      Berechne f(12)=516124+5123=2160.

      Der Punkt (12|2160) ist ein Hochpunkt des Graphen von f.

      Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von f im Punkt (0|0) parallel zur x-Achse verläuft

      Es ist f(0)=0 und f(0)=0.

      Im Punkt (0|0) verläuft die Tangente an den Graphen von f parallel zur x-Achse.

    3. Bestimme eine Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von f verläuft

      Berechne die Wendepunkte:

      Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f(x)=0.

      0=154x2+30x=15x(14x+2)

      Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

      x=014x+2=0x=8

      Wendestellen liegen bei x=0 oder x=8 vor, wenn die hinreichende Bedingung f(x)0 erfüllt ist.

      Berechne f(x)=152x+30f(0)=300 und f(8)=1528+30=300

      Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei x=0 oder x=8 vor.

      Berechne f(0)=0 und f(8)=51684+583=1280.

      Die Wendepunkte haben die Koordinaten WP1(0|0) und WP2(8|1280).

      Für die Geradengleichung g benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:

      y=y2y1x2x1(xx1)+y1y=1280080(x0)+0

      g:y=160x

      Die Gleichung der Geraden g, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von f verläuft, lautet y=160x.

      Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu g ist und für 0x8 mit dem Graphen von f genau einen Punkt gemeinsam hat

    4. Berechne alle Schnittpunkte des Graphen Gf mit den Koordinatenachsen

      Gegeben ist f(x)=110(x3+15x256x+12).

      Schnittpunkte mit der x-Achse:

      f(x)=0110(x3+15x256x+12)=0x3+15x256x+12=0

      Die Nullstelle der Funktion g(x)=x3+15x256x+12 ist bekannt xN=6.

      Führe eine Polynomdivision durch.

       (x3+15x256x+12):(x6)=x2+9x2(x3+6x2)(x319x256x(x3+(9x254x)(x3+3x22x+12(x3+3x2(2x+12)(x3+3x24x120

      Löse nun die Gleichung x2+9x2=0x29x+2=0 mit der pq-Formel:

      x2,3==p2±(p2)2q

      Setze p=9 und q=2 ein.

      =(9)2±(92)22
      =4,5±20,252
      =4,5±18,25

      Somit lauten die Schnittpunkte von Gf mit der x-Achse N1(6|0),N2(4,518,25|0)N2(0,23|0) und N3(4,5+18,25|0)N3(8,77|0).

      Schnittpunkt mit der y-Achse:

      Setze x=0 in f(x) ein f(0)=12Sy(0|12).

      Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist Sy(0|12).

    5. Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von Gf

    6. Aufg. 1 Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis

      Gegeben ist die Funktion f:x2x4x2 mit der Definitionsmenge Df=]2;2[.

      Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gf bezeichnet.

      a) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von Gf und die Nullstelle von f an.

      (2 BE)

      b) Weisen Sie nach, dass die Funktion f in ihrer Definitionsmenge Df umkehrbar ist, und ermitteln Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von f. (6 BE)

      c) Der Graph von f und die zur x-Achse senkrechte Gerade bei x=1 schließen zusammen mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück ein.

      Berechnen Sie die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)

      d) Gegeben ist nun die Funktion g:xln(f(x)) mit der maximalen Definitionsmenge DgDf. Ermitteln Sie die Definitionsmenge Dg und die exakte Nullstelle von g. (5 BE)

    7. Aufg. 2 Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis

      Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen Gh einer in stetigen Funktion h. Die x-Achse ist Asymptote vonGh. Außerdem gilt: h(x)0 für x.

      Bild

      Zudem ist die Funktion H:x2xh(t)dt mit der Definitionsmenge DH= gegeben.

      Entscheiden Sie für die beiden folgenden Aussagen jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

      A: „Der Graph von H besitzt bei x=4 einen Extrempunkt.“

      B: „Der Graph von H hat bei x=1 eine Tangente mit einem positiven y-Achsenabschnitt.“

      (5 BE)

    8. Teil 1: ohne Hilfsmittel – Stochastik

      A und B sind vereinbare Ereignisse des Ergebnisraums Ω.

      Bild

      a) Geben Sie das im nebenstehenden Venn-Diagramm grau markierte Ereignis E1 möglichst einfach als Verknüpfung der Ereignisse A und B an.

      b) Veranschaulichen Sie das Ereignis E2=AB in einem Venn-Diagramm.

      (3 BE) ERLEDIGT mit Lösung

    9. Teil 1: ohne Hilfsmittel – Stochastik

      2 Ein Handballspieler trainiert Siebenmeter-Würfe, wobei der Torhüter seines Vereins im Tor steht.

      Erfahrungsgemäß trifft er bei 80% seiner Würfe ins Tor.

      a) Der Spieler führt zwei Siebenmeter-Würfe aus.

      Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:

      E3 : „Der Spieler trifft jedes Mal.“

      E4 : „Der Spieler trifft mindestens einmal.“

      (3 BE)

      b) Formulieren Sie zwei Ereignisse E5 und E6 im Sachzusammenhang, deren Wahrscheinlichkeiten sich wie folgt berechnen lassen:

      P(E5)=0,820

      P(E6)=(5030)0,8300,220

      (2 BE) ERLEDIGT mit Lösung

    10. Teil 1: ohne Hilfsmittel – Stochastik

      3 Einer Gruppe von fünf Jugendlichen werden zwei Freikarten für ein Rockkonzert zur

      Verfügung gestellt. Um diese zu verteilen, werden nacheinander Lose gezogen, ohne

      diese zurückzulegen. Jeder Jugendliche zieht dabei genau einmal. Neben den zwei

      Gewinnlosen für die Freikarten befinden sich drei Nieten in der Lostrommel.

      Entscheiden Sie unter Zuhilfenahme einer geeigneten Rechnung, ob der Zweite, der zieht, die gleiche Chance auf eine Freikarte hat wie der Erste.

      (4 BE)

    11. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I

      1 Gegeben ist die Funktion f:xarctan(125x) mit der DefinitionsmengeDf=\{0}.

      Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gf bezeichnet.

      a) Berechnen Sie die Nullstelle von f. Bestimmen Sie außerdem das Verhalten der

      Funktionswerte von f an den Rändern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichung der Asymptote von Gf an. (7 BE)

      b) Ermitteln Sie das Steigungsverhalten von Gf und geben Sie die Wertemenge von f an. [Mögliches Teilergebnis:f(x)=15x22x+0,4] (5 BE)

      c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von Gf.

    12. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I

      2 Gegeben ist die Funktion u:x2ln(x)ln(x)1 mit der Definitionsmenge Du=]e;+[.

      a) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion u streng monoton fallend ist. (4 BE)

      b) Die Funktion u ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von u. (3 BE)

    13. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I

      3 Gegeben sind die Funktionen h(x)=12x214x(2x3)(3x+1) und H:x0xh(t)dt mit den jeweils maximalen Definitionsmengen Dh und DH.

      a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von H, sowie jeweils Art und

      x-Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von H. (7 BE)

      b) Zeigen Sie, dass h(x) auch in der Form 6(2x3)(3x+1)+2 dargestellt werden kann. Ermitteln Sie anschließend eine integralfreie Darstellung von H. (8 BE)

    14. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I

      4 Weinkenner sind davon überzeugt, dass je nach Weinsorte die passende Weintemperatur wichtig für den Genuss des Weins ist. So soll zum Beispiel Rotwein bei Raumtemperatur genossen werden. Mit einem Wein-Thermometer wird in einem Raum die Temperatur des Weins gemessen, die niedriger als die Raumtemperatur ist. In dieser Aufgabe zeigt das Wein-Thermometer unmittelbar vor dem Eintauchen in den Wein die Raumtemperatur von 20C an. Nach dem Eintauchen in den Wein wird es erst allmählich die Weintemperatur TW anzeigen. Sowohl die Raumtemperatur als auch die Weintemperatur sind während der Messung als konstant zu betrachten.

      Die vom Wein-Thermometer in der Einheit C angezeigte Temperatur T(t) in Abhängigkeit von der Zeit t (gemessen in Sekunden ab dem Zeitpunkt t=0 des Eintauchens) lässt sich durch die Differenzialgleichung T˙=λ(TTW) beschreiben, wobei λ>0 ein reeller Parameter ist. Auf das Mitführen der Einheiten wird im Folgenden verzichtet.

      Zeigen Sie, dass die Funktion TD:tDeλt für jeden Wert von D eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist, und begründen Sie, warum in der vorliegenden Situation D=20TW gelten muss. (4 BE)

    15. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II

      1 Gegeben ist die Funktion f:xln(48xx2+1) mit der maximalen Definitionsmenge Df.

      Der Graph von f in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gf bezeichnet.

      a) Zeigen Sie, dass Df=\{1} ist, und berechnen Sie die Nullstellen von f auf eine

      Nachkommastelle genau. (6 BE)

      b) Ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten von Gf. (5 BE)

      c) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von Gf und bestimmen Sie damit Art und Koordinaten des Extrempunkts von Gf.

      [Mögliches Teilergebnis:f(x)=2(x+1)(x1)(x2+1)] (8 BE)

      Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II

      2 Nun wird die Funktion h:x0,6x3(5t1)2+4dt mit der Definitionsmenge Dh= betrachtet.

      a) Ermitteln Sie ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung von h die Anzahl und die Lage der Nullstellen von h. (3 BE)

      b) Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von h. (6 BE)

      Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II

      3.0 Gegeben ist die Funktion g:x22ex+11 mit der Definitionsmenge Dg=[0;+[. Der Graph von g in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit Gg bezeichnet.

      a) Begründen Sie für die folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind.

      A: „Der Graph von g hat bei x=0 einen absoluten Extrempunkt.“

      B: „Die Gerade mit der Gleichung y=1 ist Asymptote von Gg.“

      [Mögliches Teilergebnis:g(x)=4ex(2ex+1)2] (6 BE)

      b) Die Funktion g ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Die Tangente t berührt den Graphen der Umkehrfunktion von g im Punkt P(12|?). Ermitteln Sie die Steigung der Tangente t. (5 BE)

      Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II

      4 Auf einen bestimmten Körper wirkt zu jedem Zeitpunkt t0 seit Beobachtungsbeginn (t=0) eine konstante Kraft. Außerdem wirkt auf den Körper eine Reibungskraft, die proportional zum Quadrat der Momentangeschwindigkeit v(t) des Körpers ist. Es gilt modellhaft die Differenzialgleichung 5v˙=502v2. Die Geschwindigkeit wird in ms, die Zeit in s angegeben. Bei den folgenden Berechnungen darf auf das Mitführen der Einheiten verzichtet werden.

      Untersuchen Sie, ob die Funktion v mit der Gleichung v(t)=5e4t1e4t+1 eine spezielle

      Lösung der Differenzialgleichung ist. (4 BE)

    16. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2022

      Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

      1.0 Ein Telekommunikationsunternehmen bietet verschiedene Internetverträge an. Die Kunden können beim Vertragsabschluss zwischen den Tarifen „Basic“ (B) und

      „Highspeed“ (H) wählen. Zudem können sie beschließen, ob sie einen neuen Router bei diesem Unternehmen mitbestellen (R) oder sich anderweitig einen Router organisieren wollen (R). Falls sie sich für die Router-Bestellung entscheiden, können sie noch zusätzlich bestimmen, ob sie den Router selbst installieren (S), einen Techniker hiermit beauftragen (T) oder sogar einen Komplettservice (K) wählen, bei dem auch die Endgeräte der Kunden durch Mitarbeiter des Unternehmens gleich angebunden werden.

      Erfahrungsgemäß nehmen 60% der Kunden den „Basic“-Tarif. Unabhängig von der

      Tarifwahl entscheiden sich 80% der Kunden dafür, einen Router mitzubestellen. Von

      diesen Kunden will stets die Hälfte den Router selbst installieren. Kunden, die den „Basic“-Tarif mit Router wählen, möchten zu gleichen Anteilen einen Techniker kommen lassen oder den Komplettservice. Von den Kunden mit „Highspeed“-Tarif und Router möchten 40% den Komplettservice.

      Die zufällige Auswahl eines Kunden mit der Analyse seiner Vertragsoptionen wird als

      Zufallsexperiment aufgefasst.

      a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

      [Teilergebnis: P({(H;R;K)})=0,128] (5 BE)

      b) Gegeben sind folgende Ereignisse:

      E1: „Ein zufällig ausgewählter Kunde ordert keinen firmeneigenen Router oder verlangt beim Wunsch nach einem firmeneigenen Router keinen Komplettservice.“

      E2:{(B;R;K);(B;R);(H;R;K);(H;R)}

      E3=E1E2

      Geben Sie E1 in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie E3 möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend P(E3).

      (3 BE)

      c) Beim Telekommunikationsunternehmen gehen von einigen Kunden Beschwerden ein, dass die Internetverbindung oft unterbrochen wird. Bei einer Problemanalyse der

      Internetverbindung bei allen Kunden des Unternehmens soll untersucht werden, ob die Verbindungsabbrüche mit dem verwendeten Router zusammenhängen (mitbestellter Router (R) oder anderweitig organisierter Router). Aus Unternehmensdaten geht hervor, dass die Internetverbindung bei 60% aller Kunden ohne Unterbrechungen (U) funktioniert. Die Hälfte aller Kunden hat eine unterbrechungsfreie Internetverbindung und einen beim Telekommunikationsunternehmen mitbestellten Router.

      Es gilt weiterhin P(R)=0,8.

      Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeiten PR(U) und PR(U), z. B. mithilfe einer Vierfeldertafel. Formulieren Sie im Sinne des vorliegenden Sachzusammenhangs eine Aussage in Worten, in der Sie die beiden Wahrscheinlichkeiten PR(U) und PR(U)miteinander vergleichen. (5 BE)

      Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2022

      2 In einer bestimmten Region Deutschlands sind vier verschiedene Arten von DSL-

      Internetanschlüssen verfügbar, wobei pro Haushalt nur genau eine der vier möglichen Anschlussarten gewählt werden kann. Die Tabelle veranschaulicht die Verteilung der verschiedenen Anschlüsse unter denjenigen Haushalten mit DSL-Anschluss:

      Haushalte mit

      DSL 2000

      Haushalte mit

      DSL 6000

      Haushalte mit

      DSL 16000

      Haushalte mit

      DSL 50000

      17,3 % 17,9 % 19,8 % 15,0 % Tabelle

      Im Auftrag eines Internetdienstanbieters soll eine Umfrage zur Internetnutzung durchgeführt werden. Zu diesem Zweck werden 25 Haushalte der Region zufällig ausgewählt.

      Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

      E4: „Genau drei der ausgewählten Haushalte besitzen einen DSL 2000-Anschluss.“

      E5: „Mindestens sechs, aber weniger als zehn der ausgewählten Haushalte besitzen

      einen DSL 50000-Anschluss.“

      E6: „Weniger als die Hälfte der ausgewählten Haushalte verfügen über einen DSL-

      Internetanschluss.“

      (6 BE)

      Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2022

      3 Für ein Glücksspiel wird eine gezinkte Münze verwendet, bei der „Kopf“ mit der

      Wahrscheinlichkeit 40% fällt. Man zahlt 4 € Einsatz und wirft dreimal die Münze. Fällt dreimal Kopf, werden 20 € ausbezahlt. Wenn immer abwechselnd Kopf und Zahl

      auftreten, erhält man 10 €. Sonst erfolgt keine Auszahlung.

      Prüfen Sie, ob das Spiel für den Spieler günstig, fair oder ungünstig ist. (4 BE)

    17. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik II 2022

      Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

      1.0 In einer Gärtnerei werden drei Blumenarten gezüchtet und verkauft. Es handelt sich dabei um Tulpen (T), Osterglocken (O) und Krokusse (K). Während Krokusse ausschließlich aus Blumenzwiebeln (B) und Osterglocken ausschließlich aus Samen (S) gezüchtet werden, werden Tulpen sowohl aus Blumenzwiebeln als auch aus Samen erzeugt. Von allen drei Blumenarten werden gelbe (g) und weiße (w) zum Verkauf angeboten.

      Die Hälfte aller verkauften Blumen sind Tulpen. Die beiden anderen Blumensorten

      werden jeweils zu gleichen Anteilen verkauft. Die aus Samen wachsenden Tulpen haben unter dieser Blumenart einen Verkaufsanteil von 40%. Unabhängig von Blumensorte und Züchtungsform werden 75% aller verkauften Blumen mit der Farbe Gelb gewählt.

      Der Kauf einer Blume hinsichtlich ihrer Eigenschaften Blumenart, Züchtungsform und Farbe wird im Folgenden als Zufallsexperiment mit entsprechenden Wahrscheinlichkeiten betrachtet.

      a) Erstellen Sie für das vorliegende Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und ermitteln Sie alle acht Elementarereignisse mit ihren Wahrscheinlichkeiten.

      [ Teilergebnis: P({(T;B;g)})=0,225] (5 BE)

      b) Nun werden folgende Ereignisse betrachtet:

      E1: „Die verkaufte Blume ist gelb und ist keine Tulpe.“

      E2:{(T;S;g);(T;S;w);(O;S;g);(O;S;w)}

      Geben Sie E1 in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie E2 möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend P(E2).

      (3 BE)

      2.0 Im Gewächshaus der Gärtnerei werden in einem neu angelegten Beet 30 Tulpenzwiebeln nebeneinander eingesetzt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,85 geht eine eingesetzte Tulpenzwiebel tatsächlich auf und es wächst daraus eine Tulpe.

      a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass aus genau 25 der eingesetzten Zwiebeln Tulpen entstehen. (2 BE)

      b) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E3: „Genau zwei der Zwiebeln gehen nicht auf und diese wurden direkt nebeneinander eingesetzt.“(2 BE)

      c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass aus mindestens 29 der eingesetzten Zwiebeln Tulpen entstehen. Entscheiden Sie begründet, ob die folgende Aussage für alle Werte von k mit 1k29 wahr ist:

      „Die Wahrscheinlichkeit, dass aus 30 eingesetzten Tulpenzwiebeln mindestens k Tulpen entstehen, liegt nicht unter 4 %.“ (4 BE)

      3.0 Für eine Zufallsgröße X ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit a,b durch folgende Tabelle vollständig gegeben:

      0 1 2 3 4 5

      a 2b b 0,1 0,1 0,04

      a) Bestimmen Sie die Werte der Parameter a und b, wenn der Erwartungswert von X gleich 1,7 ist. [Teilergebnis: b=0,2] (3 BE)

      b) Die Blumensorte Tulpe erzeugt während ihres Wachstums sogenannte Tochterzwiebeln, die ihrerseits wieder zur Entstehung weiterer Tulpen führen. Die oben aufgeführte Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit den unter Aufgabe a) bestimmten Werten für a und b gibt an, welche Anzahl von Tochterzwiebeln mit welcher Wahrscheinlichkeit auftritt.

      Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte von X innerhalb der

      einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen. (4 BE)

  29. 29

    Herr Malinowski sieht auf seiner App der Gasverbrauch pro Tag in m3 innerhalb einer Woche.

    Er denkt darüber nach, welche mathematische Funktion den Gasverbrauch beschreiben kann und vermutet, dass es sich um eine e-Funktion handeln könnte.

    Abbildung

    Abbildung

    Die zur Abbildung gehörenden Daten findest Du in der folgenden Tabelle.

    x in

    Tagen

    y in

    m3

    0

    6,1

    1

    6,1

    2

    4,8

    3

    4

    4

    2,2

    5

    1,8

    6

    1,5

    1. Erstelle mit dem TR oder mit Geogebra eine Regressionsfunktion mit dem Ansatz f(x)=AeBx.

    2. Herr Malinowski zeigt das Ergebnis seiner Analyse seinem Nachbarn. Der ist der Meinung, dass auch andere Regressionsfunktionen zu den Daten passen würden.

      Überprüfe mit dem TR oder mit Geogebra, welche Regressionsfunktionen auch möglich sind. Was ist die beste Regressionsfunktion?

  30. 30

    Gegeben ist die Funktion g:xe3x(3x2) mit der Definitionsmenge Dg=.

    1. Geben Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von g mit den Koordinatenachsen an.

    2. Widerlegen Sie die folgende Aussage: „Die Funktion g ist umkehrbar.“

    3. Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von g(x)dx.


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