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Aufgaben

  1. 1

    Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen

  2. 2

    Axialschnitt eines Rotationskörpers

    Schneidet man einen Rotationskörper längs seiner Achse durch, erhält man den Axialschnitt des Körpers.

    Die folgende Tabelle zeigt die Zuordnung zwischen einem Rotationskörper und dem dazugehörenden Axialschnitt.

    Rotationskörper

    Axialschnitt

    Zylinder

    Rechteck

    Kegel

    gleichschenkliges Dreieck

    Kugel

    Kreis

    Halbkugel

    Halbkreis

    Kegelstumpf

    gleichschenkliges Trapez

    5 Rotationskörper und ihre Axialschnitte
    Bild

    Wenn du lernen willst wie man einen Rotationskörper auf das Papier zeichnet, gehe auf den Artikel Skizzieren eines Rotationskörpers - Anleitung.

  3. 3

    Für jedes aR\{0}a\in \mathbb R\backslash\{0\} ist die Funktionenschar gegeben durch fa(x)=xeax+3af_a(x)=x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a}.

    Der Graph der Funktion ist KaK_a.

    Gib bei allen Teilaufgaben die Ergebnisse in Abhängigkeit vom Scharparameter aa an.

    1. Wo schneiden die Scharkurven die yy-Achse?

    2. Untersuche KaK_a auf Hoch- und Tiefpunkte.

    3. Bestimme das Verhalten der Funktion fa(x)f_a(x) für xx\rightarrow -\infty und für xx\rightarrow \infty und gib gegebenenfalls die Asymptote an.

    4. Skizziere für a=3a=-3 und a=1a=1 die Graphen von K3K_{-3} und von K1K_1.

    5. Welche Scharkurve hat für x=12x=\frac{1}{2} ein Extremum?

    6. Auf welcher Ortskurve liegen die Extrema?

  4. 4

    Gegeben sind die beiden windschiefen Geraden g:  OX=(501)+r(411)g:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix}-4\\1\\1\end{pmatrix}und

    h:  OX=(537)+s(212)h:\;\overrightarrow{OX}=\begin{pmatrix}5\\3\\7\end{pmatrix}+s \cdot \begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}

    Berechne ihren Abstand und die beiden Lotfußpunkte auf den Geraden.

    Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe die Differentialrechnung.

  5. 5

    Bestimme den Abstand zweier Ebenen mit Hilfe einer Lotgeraden.

  6. 6

    Punkte in der Ebene

  7. 7

    Testlösungen Abitur BW

  8. 8

    Testlösungen Abitur BW (2)

  9. 9

    Spiegelung von 2 parallelen Ebenen

  10. 10

    Kowalskys Testaufgabe

    cos(α)=abab\cos(\alpha)=\dfrac{\vec a \circ\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}

    1. Lösung von Gleichungen-Übersicht

    2. In einem Multiple-Choice-Test gibt es 2020 Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?

    3. Gegeben ist der Kreis k:x2+y2=16k: x^2+y^2=16. Durch den Punkt P(80)P(-8|0) verläuft eine Gerade gg, die Tangente an den Kreis sein soll. Berechne die Funktionsgleichung der Geraden und den Berührpunkt BB.

    4. Welche Punkte sind Berührpunkte (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)?

      Bild
    5. Gegeben ist ein Quader mit den Seiten a=8  cma=8\;\text{cm}, b=6  cmb=6\;\text{cm} und c=4  cmc=4\;\text{cm}.

      Aus einer Quaderecke wird eine Pyramide herausgeschnitten. Die Schnitte verlaufen längs der Diagonalen der Seitenflächen.

      a) Berechne jeweils die Flächeninhalte der vier Dreiecke A1\textcolor{660099}{A_1}, A2\textcolor{006400}{A_2}, A3\textcolor{ff6600}{A_3} und A4\textcolor{009999}{A_4}.

      Hinweis: Verwende die Bezeichnungen von Bild 1 und Bild 3 und verwende für die Berechnung des Flächeninhalts von A4\textcolor{009999}{A_4} den Kosinussatz.

      b) Weise nach, dass A12+A22+A32=A42\textcolor{660099}{A_1}^2+\textcolor{006400}{A_2}^2+\textcolor{ff6600}{A_3}^2=\textcolor{009999}{A_4}^2 gilt.

      Pyramide in Quader
    6. Gegeben ist eine Ebenenschar Ea:  x1+ax2x3+3a=0E_a:\; x_1+a\cdot x_2-x_3+3\cdot a=0 mit aRa\in \mathbb{R}.

      a) Die beiden Ebenen Ea1E_{a_1} und Ea2E_{a_2} sollen senkrecht aufeinander stehen.

      Welche Beziehung besteht zwischen a1a_1 und a2a_2?

      b) Zu welcher Ebene aus der oben angegebenen Schar gibt es keine dazu senkrechte Ebene aus dieser Schar?

      c) Es ist aR+a\in \mathbb{R^+}. Berechne den Abstand d(O,Ea)d(O,E_a) des Koordinatenursprungs von der Scharebene EaE_a und gib gegebenenfalls den Grenzwert limad(O,Ea)\displaystyle \lim_{a\to\infty}d(O,E_a) an.

    7. Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

      tancot\tan\\\cot

      gegeben

      gegeben

      gegeben

      cotφ\cot \varphi

      1±1+cot2φ\dfrac{1}{\pm\sqrt{1+\cot^2 \varphi}}

      cotφ1+cot2φ\dfrac{\cot \varphi}{\sqrt{1+\cot^2 \varphi}}

      1cotφ\dfrac{1}{\cot \varphi}

      ??cotφ=??\cot \varphi=

      ±1sin2φsinφ\dfrac{\pm\sqrt{1-\sin^2 \varphi}}{\sin \varphi}

      cosφ±1cos2φ\dfrac{\cos \varphi}{\pm\sqrt{1-\cos^2 \varphi}}

      1tanφ\dfrac{1}{\tan \varphi}

      cotφ\cot \varphi

      Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

      tanαcotα=1\tan \alpha\cdot \cot \alpha=1

      tanα=sinαcosα=1cotα\tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{1}{\cot\alpha}

      cotα=cosαsinα=1tanα\cot \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{1}{\tan\alpha}

      1+tan2α=1cot2α1+\tan ^2\alpha=\dfrac{1}{\cot^2 \alpha}

      1+cot2α=1sin2α1+\cot^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2 \alpha}

    8. Bild
      Bild
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  11. 11

    Entscheide anhand des Graphens, ob der gegebene Graph der Funktion

    • achsensymmetrisch zur y-Achse oder

    • punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung O(00)O(0|0)

    ist.

    1. Funktion 4. Grades
    2. Funktion 7. Grades
    3. Funktion 6. Grades
    4. Bild
    5. Hyperbel
    6. Hyperbel
  12. 12

    Entscheide graphisch, welche der jeweils angegebenen Aussagen auf den Graphen zutrifft.

    1. Funktion 7. Grades
    2. Punktsymmetrie zu einem Punkt
    3. 8. Grades
    4. Bild
    5. 6.Grades
  13. 13

    Kowalskys zweite Testaufgabe

    1. Test

    2.  227,50:7=32,521(+117,,,14,,,,,,,,35,,,,,35,,,,,,,,,,0\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ 227{,}50:7=32{,}5 \\-\underline{21}\\\phantom{(+1}17\\\phantom{,,,}-\underline{14}\\\phantom{,,,,,,,,}35\\\phantom{,,,,,}-\underline{35}\\\phantom{,,,,,,,,,,}0\end{array}

    3. Die Koordinatenform der Geradengleichung lautet:

      ax+by=cax+by=c

      Wenn 22 Punkte P1(x1y1)P_1(x_1|y_1) und P2(x2y2)P_2(x_2|y_2) auf der Geraden gegeben sind, kann man die Parameter der Koordinatenform wie folgt berechnen:

      a=y1y2b=x2x1c=x2y1x1y2\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}a=y_1-y_2\\b=x_2-x_1\\c=x_2y_1-x_1y_2\end{array}

      Wie kommt man auf diese Berechnung der drei Parameter a,ba, b und cc?

    4. Bild
  14. 14

    Prozentrechnung im Sandkasten

    Im Sandkasten sind 20% der Fläche mit Spielzeug bedeckt. Wenn der Sandkasten insgesamt eine Fläche von 100m2100 m^2 hat, wie groß ist die Fläche, die mit Spielzeug bedeckt ist?

  15. 15

    Anwendung des Strahlensatzes

    Ein Baum wirft einen 4,5 m langen Schatten, während ein 1,2 m hoher Pfosten im selben Licht einen 1,6 m langen Schatten wirft. Wie hoch ist der Baum?

  16. 16

    Single-Choice-Aufgabe zur Kurvendiskussion des Medikamentenabbaus

    Betrachten Sie die Funktion f(t)=e0.5tf(t) = e^{-0.5t}, die den Medikamentenabbau im Körper über die Zeit tt beschreibt. Wie groß ist die momentane Änderungsrate des Medikamentenabbaus zum Zeitpunkt t=2t = 2?

  17. 17

    Kurvendiskussion einer Exponentialfunktion

    1. Bestimme die Nullstelle der Funktion f(x)=ex3f(x) = e^{x} - 3.

    2. Ermittle das lokale Extremum der Funktion f(x)=2e0.5xf(x) = -2e^{-0.5x}.

    3. Finde den Wendepunkt der Funktion f(x)=e2xxf(x) = e^{2x} - x.

    4. Bestimme das asymptotische Verhalten der Funktion f(x)=exx2+1f(x) = \frac{e^{x}}{x^2 + 1} für xx \to \infty.

    5. Wie verhält sich der Graph der Funktion f(x)=3exf(x) = -3e^{x} im Unendlichen?

  18. 18

    Kurvendiskussion einer e-Funktion

    Welche Art von Extrempunkt hat die Funktion f(x)=e2x3exf(x) = e^{2x} - 3e^x bei x=ln(32)x = \ln(\frac{3}{2})?

  19. 19

    NRW 2024

    Aufgabe 1

    Ein Fan des VfL Bochum möchte mit einem mathematischen Modell den Besucheransturm beim nächsten Heimspiel beschreiben. Der Ansturm der Besucher wird (in Tausend Zuschauern pro Stunde) näherungsweise beschrieben durch die Funktion ff mit f(x)=120xe2xf (x) = 120 x\cdot e^{−2 x}. Dabei stellt x=0x = 0 den Zeitpunkt der Öffnung des Stadions um 14.00 Uhr dar. Das Spiel wird anderthalb Stunden später angepfiffen, also bei x=1,5x = 1{,}5.

    1. Geben Sie an, wie groß der Besucheransturm um 14.15 Uhr und um 15.00 Uhr ist. Rechnen Sie das Ergebnis auch in Besucher pro Minute um.

    2. Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Besucheransturm am größten ist.

      (zur Kontrolle: f(x)=120(12x)e2xf'(x) = 120\cdot(1 − 2 x)\cdot e^{− 2 x})

    3. Beschreiben Sie, mit welchen Transformationen der Graph der Ableitungsfunktion ff' aus dem Graphen der Funktion ff entsteht.

  20. 20

    NRW 2024

    Aufgabe 2

    Gegeben ist die ganzrationale Funktion ff mit f(x)=x33bxf(x) = x^3 − 3 b x, b>0b > 0.

    1. Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion ff punktsymmetrisch ist.

    2. Durch den Tief- und den Hochpunkt des Graphen werden Geraden gezeichnet, die parallel zu den Achsen verlaufen; diese schließen dann mit den Achsen des Koordinatensystems eine rechteckige Fläche ein. Für welchen Parameterwert bb ergibt sich ein Quadrat?

  21. 21

    NRW 2024

    Aufgabe 3

    Die Funktion f ist gegeben durch f(x)=x3f (x) = x^3.

    1. Zeigen Sie, dass die Tangente tt im Punkt P(11)P (1 | 1) an den Graphen der Funktion ff durch die Gleichung t(x)=3x2t(x) = 3 x − 2 beschrieben werden kann.

    2. Zeigen Sie, dass die Tangente tt und der Graph von ff auch den Punkt P(28)P (− 2 | − 8) gemeinsam haben.

    3. Fertigen Sie zu a), b) eine Skizze an.

    4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die y-Achse, die x-Achse und die Tangente eingeschlossen wird.

    5. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen von ff und tt eingeschlossen wird.

  22. 22

    A 1.0 Die Funktion f1\mathrm{f}_{1} hat die Gleichung y=log3(x1,5)+0,5\mathrm{y}=\log _{3}(\mathrm{x}-1{,}5)+0{,}5 mit G=R×R\mathbb{G}=\mathbb{R} \times \mathbb{R}.

    A 1.1 Bestimmen Sie die nach y aufgelöste Gleichung der Umkehrfunktion zu 1{1}.

    A 1.2 Der Graph der Funktion f1\mathrm{f}_{1} wird durch Parallelverschiebung mit dem Vektor

    v=(vx0)(vxR)\overrightarrow{\mathrm{v}}=\binom{\mathrm{v}_{\mathrm{x}}}{0} \quad\left(\mathrm{v}_{\mathrm{x}} \in \mathbb{R}\right) auf den Graphen der Funktion f2\mathrm{f}_{2} abgebildet, wobei der Punkt P(32,5)P(-3 \mid 2{,}5) auf dem Graphen zu f2f_{2} liegt.

  23. 23

    Pflichtteil Teil A

    Aufgabe 1

    Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=(12x212x74)e2x+1,xRf(x)=\left(\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{2} x-\frac{7}{4}\right) \cdot \mathrm{e}^{2 x+1}, x \in \mathbb{R}.

    1. Weise nach: f(x)=(x24)e2x+1f'(x)=\left(x^{2}-4\right) \cdot \mathrm{e}^{2 x+1}. (2 P)

    2. Untersuche die Funktion ff auf lokale Extremstellen. (3 P)

  24. 24

    Aufgabe 1

    Ein mit Wasser befülltes Glas wird aus einem Kühlschrank genommen. Die anschließende Entwicklung der Wassertemperatur infolge der höheren Raumtemperatur lässt sich mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion f:t2520e0,014tf: t \mapsto 25-20 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}014 \cdot t} modellhaft beschreiben. Dabei ist tt die Zeit in Minuten, die seit der Entnahme aus dem Kühlschrank vergangen ist, und f(t)f(t) die Wassertemperatur in C{ }^{\circ} \mathrm{C}. Die Raumtemperatur beträgt konstant 25C25^{\circ} \mathrm{C}.

    1. (i) Geben Sie die Wassertemperatur zum Zeitpunkt der Entnahme aus dem Kühlschrank an. (1 P)

      (ii) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Wassertemperatur 12C12^{\circ} \mathrm{C} beträgt. (2 P)

    2. Berechnen Sie die Werte der folgenden Terme und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang:

      (i) f(30) f^{\prime}(30) (2 P)                        ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(ii) f(30)f(0)300\dfrac{f(30)-f(0)}{30-0} (3 P)

    3. Zeigen Sie, dass in diesem Modell gilt:

      Es gibt eine Konstante cc, sodass zu jedem Zeitpunkt die Differenz zwischen der Raumtemperatur und der Wassertemperatur das cc-fache der momentanen Änderungsrate der Wassertemperatur ist. (4 P)

    4. Die folgende Rechnung stellt die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang dar:

      Aus f(t)=f(0)+252f(t)=\frac{f(0)+25}{2} ergibt sich t49,5t \approx 49{,}5.

      Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung. (3 P)

  25. 25

    Bei einem Glücksspielautomaten gewinnt man, wenn die gleichen

    Symbole in der gleichen Farbe angezeigt werden.

    Bild

    Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, ist bestimmt 14\displaystyle \dfrac{1}{4}.

    1. Eine der folgenden Aussagen ist richtig. Kreuze an.

      /1P.

    2. Oke soll aus den gegebenen Karten eine ziehen.

      Bild

      Formuliere eine Spielregel für das Ziehen einer Karte, so dass die

      Gewinnchance größer als 14\displaystyle \dfrac{1}{4} ist.

      /1P.

  26. 26

    Aufgabe 1

    Gegeben ist eine in R\mathbb{R} definierte Funktion f(x)=x4kx2f(x)=x^4-k\cdot x^2, wobei kk eine positive reelle Zahl ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen von ff.

    Abbildung 1

    Abbildung 1

    1. Zeigen Sie, dass f(x)=2x(2x2k)f'(x)=2x\cdot(2x^2-k) eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von ff ist.

    2. Die beiden Tiefpunkte des Graphen von ff haben jeweils die y-Koordinate 1-1.

      Ermitteln Sie den Wert von kk.

  27. 27

    Aufgabe 2

    Die Funktion ff ist gegeben durch f(x)=x3+9x223x+15,xRf(x)=-x^3+9x^2-23x+15, x \in \mathbb{R}.

    Der Graph von ff ist in Abbildung 2 dargestellt.

    Abbildung 2

    Abbildung 2

    1. Interpretieren Sie die Aussage F(5)F(1)=0F(5)-F(1)=0 in Bezug auf den Graphen von ff.

      (2 P)

    2. Berechnen Sie 01f(x)  dx\displaystyle\int_0^1 f(x)\;\mathrm{d}x. (3 P)

  28. 28

    Begründe, dass x=1x=1 die einzige Nullstelle von ff ist

    Gegeben ist f(x)=10(x1)exf(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}.

    Für die Nullstellen löse die Gleichung f(x)=0f(x)=0.

    0=10(x1)ex0=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}

    Weil ex0\mathrm{e}^{-x}\neq 0 für alle xRx \in \mathbb{R} folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

      x1=0    x=1\Rightarrow\;x-1=0\;\Rightarrow\;x=1

    Demnach ist x=1x=1 die einzige Nullstelle.

    1. Untersuche ff rechnerisch auf lokale Extremstellen

      Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist f(x)=0f'(x)=0.

      Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

      f(x)=10(1ex+(x1)ex(1))=10(2x)exf'(x)=10\cdot(1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}

      f(x)=0    0=10(2x)exf'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}

      Weil ex0\mathrm{e}^{-x}\neq 0 für alle xRx \in \mathbb{R} folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

      2x=0    x=22-x=0\;\Rightarrow\;x=2

      Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist f(x)0f''(x)\neq 0.

      Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:

      f(x)=10((1)ex+(2x)ex(1))=10(x3)exf''(x)=10\cdot\left((-1)\cdot e^{-x}+(2-x)\cdot e^{-x}\cdot (-1)\right)=10\cdot(x-3)\cdot e^{-x}

      f(2)=10(23)e2=10e2<0f''(2)=10\cdot(2-3)\cdot e^{-2}=-10\cdot e^{-2}<0

      Die Funktion ff hat genau eine lokale Extremstelle.

      Der Graph von ff hat bei x=2x=2 ein lokales Maximum.

    2. Zeige rechnerisch, dass der Punkt (122160)(12|2160) ein Hochpunkt des Graphen von ff ist

      Gegeben ist f(x)=516x4+5x3f(x)=-\frac{5}{16} x^{4}+5 x^{3}.

      Berechne f(x)f'(x) und f(x)f''(x):

      f(x)=54x3+15x2f'(x)=-\frac{5}{4} x^{3}+15 x^{2}

      f(x)=154x2+30xf''(x)=-\frac{15}{4} x^{2}+30 x

      Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist f(x)=0f'(x)=0.

        0=54x3+15x2=5x2(14x+3)\Rightarrow\;0=-\frac{5}{4} x^{3}+15 x^{2}=5x^2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}x+3\right)

      Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

      x=014x+3=0    x=12x=0\vee -\dfrac{1}{4}x+3=0\;\Rightarrow\;x=12

      Lokale Extremstellen sind also x=0x=0 oder x=12x=12.

      Nach Aufgabenstellung muss nur x=12x=12 beachtet werden.

      Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist f(x)0f''(x)\neq 0.

        f(12)=154122+3012=180<0    \Rightarrow\;f''(12)=-\frac{15}{4}\cdot 12^{2}+30 \cdot 12=-180<0\;\Rightarrow\; Maximum

      Berechne f(12)=516124+5123=2160f(12)=-\frac{5}{16} \cdot 12^{4}+5\cdot 12^{3}=2160.

      Der Punkt (122160)(12|2160) ist ein Hochpunkt des Graphen von ff.

      Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von ff im Punkt (00)(0 \mid 0) parallel zur xx-Achse verläuft

      Es ist f(0)=0f'(0)=0 und f(0)=0f(0)=0.

      Im Punkt (00)(0\mid 0) verläuft die Tangente an den Graphen von ff parallel zur xx-Achse.

    3. Bestimme eine Gleichung der Geraden gg, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von ff verläuft

      Berechne die Wendepunkte:

      Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist f(x)=0f''(x)=0.

        0=154x2+30x=15x(14x+2)\Rightarrow\;0=-\frac{15}{4} x^{2}+30 x=15\cdot x\left(-\dfrac{1}{4}\cdot x +2\right)

      Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

      x=014x+2=0    x=8x=0\vee -\dfrac{1}{4}x+2=0\;\Rightarrow\;x=8

      Wendestellen liegen bei x=0x=0 oder x=8x=8 vor, wenn die hinreichende Bedingung f(x)0f'''(x)\neq 0 erfüllt ist.

      Berechne f(x)=152x+30    f(0)=300f'''(x)=-\frac{15}{2} x+30 \;\Rightarrow\;f''(0)=30\neq 0 und f(8)=1528+30=300f'''(8)=-\frac{15}{2} \cdot 8+30=-30\neq 0

      Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei x=0x=0 oder x=8x=8 vor.

      Berechne f(0)=0f(0)=0 und f(8)=51684+583=1280f(8)=-\frac{5}{16}\cdot 8^{4}+5\cdot 8^{3}=1280.

      Die Wendepunkte haben die Koordinaten WP1(00)WP_1(0\mid 0) und WP2(81280)WP_2(8\mid 1280).

      Für die Geradengleichung gg benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:

      y=y2y1x2x1(xx1)+y1    y=1280080(x0)+0y=\dfrac{ y_2 - y_1 }{ x_2 - x_1 }\cdot(x - x_1) + y_1\;\Rightarrow\;y=\dfrac{1280-0}{8-0}\cdot(x - 0) + 0

        g:y=160x\Rightarrow\;g: y=160\cdot x

      Die Gleichung der Geraden gg, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von ff verläuft, lautet y=160xy=160\cdot x.

      Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu gg ist und für 0x80 \leq x \leq 8 mit dem Graphen von ff genau einen Punkt gemeinsam hat

    4. Berechne alle Schnittpunkte des Graphen GfG_f mit den Koordinatenachsen

      Gegeben ist f(x)=110(x3+15x256x+12)f(x)=\dfrac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12).

      Schnittpunkte mit der x-Achse:

      f(x)=0    110(x3+15x256x+12)=0    x3+15x256x+12=0f(x)=0\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)=0\;\Rightarrow\;-x^3+15x^2-56x+12=0

      Die Nullstelle der Funktion g(x)=x3+15x256x+12g(x)=-x^3+15x^2-56x+12 ist bekannt xN=6x_N=6.

      Führe eine Polynomdivision durch.

       (x3+15x256x+12):(x6)=x2+9x2(x3+6x2)(x319x256x(x3+(9x254x)(x3+3x22x+12(x3+3x2(2x+12)(x3+3x24x120\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (-x^3+15x^2-56x+12):(x-6)=-x^2+9x-2 \\-\underline{(-x^3+6x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}9x^2-56x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(9x^2-54x)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-}-2x+12\\\phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(-2x+12)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}

      Löse nun die Gleichung x2+9x2=0    x29x+2=0-x^2+9x-2=0\;\Rightarrow\;x^2-9x+2=0 mit der pq-Formel:

      x2,3=\displaystyle x_{2{,}3}= ==p2±(p2)2q\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}

      Setze p=9p=-9 und q=2q=2 ein.

      ==(9)2±(92)22\displaystyle -\dfrac{(-9)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2-2}
      ==4,5±20,252\displaystyle 4{,}5 \pm\sqrt{20{,}25-2}
      ==4,5±18,25\displaystyle 4{,}5 \pm\sqrt{18{,}25}

      Somit lauten die Schnittpunkte von GfG_f mit der x-Achse N1(60),N2(4,518,250)N_1(6\mid 0), N_2(4{,}5 -\sqrt{18{,}25}\mid 0)\approxN2(0,230)N_2(0{,}23\mid 0) und N3(4,5+18,250)N3(8,770)N_3(4{,}5 +\sqrt{18{,}25}\mid 0)\approx N_3(8{,}77\mid 0).

      Schnittpunkt mit der y-Achse:

      Setze x=0x=0 in f(x)f(x) ein     f(0)=12    Sy(012)\;\Rightarrow\;f(0)=12\;\Rightarrow\;S_y(0\mid 12).

      Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist Sy(012)S_y(0\mid 12).

    5. Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von GfG_f

    6. Gegeben ist die Funktion h:xarctan(1x)2h:x\mapsto \arctan( 1- x)^2 in der Definitionsmenge Dh=RD_h=\mathbb{R}. Ihr Graph wird mit GhG_h bezeichnet.

      a) Legen Sie jeweils mittels aussagekräftiger Rechnung für die Aussagen A, B und C dar, weshalb diese falsch sind:

      A: „Der Graph GhG_h ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.“

      B: „Der Graph GhG_h weist den Tiefpunkt T(0π4)T\left(0|\dfrac{\pi}{4}\right) auf.“

      C: „Für die Wertemenge der Funktion hh gilt Wh=]2;π4]W_h=\left] -2;\dfrac{\pi}{4}\right]. “

      b) Zeichnen Sie den Graphen G_h der Funktion h unter Verwendung der Erkenntnisse aus Teilaufgabe a) und weiterer geeigneter Funktionswerte für 3x3-3\leq x \leq 3 in ein kartesisches Koordinatensystem.

      c) Die Funktion gg mit g(x)=h(x)g(x)=h(x) und Dg=[0;2]D_g= [0;2] ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Ihre Umkehrfunktion wird mit g1g^{-1} bezeichnet. Ermitteln Sie eine mögliche Funktionsgleichung von g1g^{-1}. Bestimmen Sie außerdem die Definitionsmenge und die Wertemenge von g1g^{-1}.

      3.0 Eine spezielle Rakete mit der Masse m=500 Tonnen befindet sich in Ruhe in einem Bezugssystem, in welchem sie keine Kraft von einem anderen Körper erfährt. Ab dem Zeitpunkt t=0 wird die Rakete nach dem Rückstoßprinzip in Flugrichtung beschleunigt, indem kontinuierlich ein Teil ihrer Masse in Form von Treibstoff mit einer Ausströmgeschwindigkeit 4,0kms4{,}0 \mathrm{\dfrac{km}{s}} relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird. Folglich hängt die Geschwindigkeit uu der Rakete von der abnehmenden Masse mm der Rakete ab und kann also durch einen Term u(m)u(m) beschrieben werden.

      Unter Berücksichtigung, dass mm in Tonnen, u(m)u(m) in Kilometern pro Sekunde und tt in

      Sekunden gemessen wird, wird im Folgenden auf das Mitführen der Einheiten verzichtet.

      a) Aus dem Impulserhaltungssatz kann man die Differenzialgleichung mu(m)=4m\cdot u'(m)=-4 folgern.

      Ermitteln Sie die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende

      Anfangswertproblem.

      [Mo¨gliches Ergebnis:u(m)=4ln(500m)]\left[\text{Mögliches Ergebnis}: u(m)=4\cdot \ln\left(\dfrac{500}{m}\right)\right]

      b) Die Masse mm der Rakete hängt von der Beschleunigungszeit tt ab und wird deshalb durch den Term m(t)m(t) beschrieben. Während der ersten 900900 Sekunden nimmt die Masse der Rakete pro Sekunde um 0,50{,}5 Tonnen ab, also gilt:

      m(t)=5000,5tm(t)=500- 0{,}5\cdot t für 0t9000\leq t \leq 900.

      Die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit tt wird mit v(t)v(t) bezeichnet, wobei für die ersten 900900 Sekunden gilt: v(t)=u(m(t))v(t)= u \left(m(t)\right).

      c) Zeigen Sie, dass gilt: v(t)=4ln(10,001t)v(t)=- 4\cdot\ln(1- 0{,}001 \cdot t). Ermitteln Sie zudem den Zeitpunkt t1t_1, zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von 8kms8 \mathrm{\dfrac{km}{s}} hat. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl.

      d) Berechnen Sie das Integral 0900v(t)  dt\displaystyle \int_0^{900} v(t)\;\mathrm{d}t aus Teilaufgabe c) z. B. mithilfe einer

      geeigneten Substitution. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang

      Gegeben ist die Funktion h:x4+4ln(x+1)x+1h:x\mapsto \dfrac{4+4\cdot \ln(x+1)}{x+1} mit der Definitionsmenge Dh=]1;+[D_h= ]-1; +\infty[.

      a) Berechnen Sie die Nullstelle von hh. Bestimmen Sie außerdem das Verhalten der

      Funktionswerte h(x)h(x) für x    1x\;\rightarrow\;-1.

      b) Ermitteln Sie die Wertemenge von hh.

      [Mo¨gliches Teilergebnis:h(x)=4ln(x+1)(x+1)2]\left[\text{Mögliches Teilergebnis}: h'(x)=\dfrac{-4\cdot \ln(x+1)}{(x+1)^2}\right]

      c) Gegeben ist nun die Funktion H:x0xh(t)  dtH:x\mapsto \displaystyle \int_0^{x} h(t)\;\mathrm{d}t mit der Definitionsmenge DH=DhD_H=D_h.

      Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von H(x)H(x).

      Hinweis: Die Substitution z=ln(t+1)z=\ln(t+1) kann hilfreich sein.

      Die Funktion SS sei eine Stammfunktion von HH mit der Definitionsmenge DS=DHD_S=D_H.

      Begründen Sie, dass der Graph von SS einen Extrempunkt bei x=0x=0 besitzt.

      neue Aufgabe 2

      Nun wird die Funktion f:xx2112xf: x\mapsto \dfrac{x^2-1}{1-2x} mit der Definitionsmenge Df=];0,5[D_f= ]-\infty; 0{,}5[ betrachtet. Ein Ausschnitt des Graphen von ff ist nebenstehend abgebildet.

      a) Die Funktion ff ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Ermitteln Sie eine Gleichung der Umkehrfunktion von ff.

      b) Zeigen Sie, dass gilt: f(x)=12x1434(2x+1)f(x)=-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{4\cdot(-2x+1)}

      c) Der Graph von ff schließt zusammen mit den beiden Koordinatenachsen im

      III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks.

      Bild

      neue Aufgabe 3

      Bei der Erforschung von speziellen Zellen haben Untersuchungen gezeigt, dass sich das Zellvolumen V(t)V(t) (in  mm3\;\mathrm{mm}^3) in Abhängigkeit von der seit Beobachtungsbeginn (t=0)(t=0) verstrichenen Zeit t (in Tagen) mit der Differenzialgleichung V˙(t)=0,5e0,2tV(t)\dot V(t)=0{,}5\cdot e^{-0{,}2\cdot t}\cdot V(t) beschreiben lässt.

      Auf das Mitführen von Einheiten kann in den Rechnungen verzichtet werden.

      a) Zeigen Sie, dass die Funktion VV mit der Gleichung V(t)=ke2,5(1e0,2t)V(t)=k\cdot e^{2{,}5\cdot (1-e^{-0{,}2\cdot t}) } für beliebige Werte von kR+k\in \mathbb{R}^+ eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist. Erläutern Sie außerdem die Bedeutung des Parameters kk im Sachzusammenhang.

      b) Berechnen Sie unter Verwendung von V(t)V(t) aus Teilaufgabe a), auf das Wievielfache das Volumen der Zellen auf lange Sicht anwächst, und ermitteln Sie den Zeitpunkt (auf 22 Nachkommastellen gerundet), zu dem sich das Volumen der Zellen verdoppelt hat.

    7. Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2023

      Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

      1.0 Bei einem Hersteller von Elektroautos (E-Autos) können die Kunden beim Kauf eines Autos zwischen den Modellen A,BA, B und CC wählen. 30  %30\;\% der Kunden entscheiden sich für Modell CC. Die restlichen Kunden wählen zu gleichen Teilen AA bzw. BB.

      Die Modelle BB und CC werden mit einer kleinen (K)(K) oder einer großen (G)(G) Batterie

      angeboten. Das Modell AA kann nur mit einer kleinen Batterie bestellt werden. Bei

      Modell BB entscheiden sich vier von zehn Kunden für die große Batterie, während sich beim Modell CC nur 15  %15\;\% der Kunden für die kleine Batterie entscheiden.

      Zusätzlich können alle Modelle noch mit einem Autopilot (P)(P) ausgestattet werden. Bei

      Modell BB und CC erfolgt die Wahl unabhängig von der Batteriegröße. Dieses Zusatzangebot wählen beim Modell AA 20  %20\;\% der Kunden und beim Modell BB jeweils 30  %30\;\%. Insgesamt werden 41,5  %41{,}5\;\% aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht.

      Die Wahl des Modells, der Batteriegröße und der Zusatzfunktion Autopilot eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

      a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

      [[ Teilergebnis: P({(C;K;P)})=0,036]P\left(\{(C;K;P)\}\right)=0{,}036]

      b) Gegeben sind folgende Ereignisse:

      E1E_1: „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell AA oder CC jeweils mit Autopilot.“

      E2E_2: „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den

      Autopilot.“

      Berechnen Sie nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für E1E_1 und für E2E_2.

      neue Aufgabe 2

      In einer Kleinstadt sind 30  %30\;\% aller zugelassenen Elektroautos der Oberklasse (O)(O)

      zuzuordnen, die restlichen werden der Mittelklasse (M)(M) zugeordnet. Die Akkus aller hier betrachteten Elektroautos werden zu 39,5  %39{,}5\;\% regelmäßig über eine Photovoltaik-Anlage (V)(V) des jeweiligen Fahrzeugeigners geladen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig aus all diesen Fahrzeugen ausgewähltes Elektroauto ein Modell der Oberklasse ist und regelmäßig über eine Photovoltaik-Anlage aufgeladen wird, beträgt 25,5  %25{,}5\;\%.

      a) Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und berechnen Sie die

      Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E3=MVE_3=\overline{M\cap V}.

      b) Untersuchen Sie, ob der Anteil der Fahrzeuge, die über eine Photovoltaik-Anlage des Fahrzeugeigners geladen werden, bei den Oberklasse-Modellen höher ist als bei den Mittelklasse-Modellen. Entscheiden Sie anschließend, ob die Ereignisse MM und VVstochastisch unabhängig sind.

      Neue Aufgabe

      T13 – Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I (Fortsetzung) 2023

      Am Parkplatz eines großen Einkaufszentrums wurde im Rahmen einer Bachelor-Arbeit eine lang angelegte Studie zum Laden von E-Autos an den dort vorhandenen Ladesäulen durchgeführt. Diese lieferte folgende Ergebnisse: 80  %80\;\% der Ladevorgänge erfolgen während der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen. Alle anderen Besitzer verbringen die Ladezeit in den umliegenden kleineren Geschäften, Bars, Cafés oder im Biergarten. Zudem wurde festgestellt, dass 5  %5\;\% aller auf dem Parkplatz parkenden Pkw E-Autos sind.

      Bestimmen Sie, basierend auf den Ergebnissen der Studie, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

      E4E_4: „Unter elf Ladevorgängen erfolgen genau neun in der Zeit, in der die Besitzer der

      Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen.“

      E5E_5: „Unter 5050 Ladevorgängen erfolgen mehr als neun, aber weniger als 1818 in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen.“

      E6E_6: „Unter 100100 auf dem Parkplatz parkenden Pkw sind mehr E-Autos als nach der Studie zu erwarten wären.“

      T13 – Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik II 2023

      Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

      Am Pausenverkauf einer großen Mädchenschule kaufen an einem Tag erfahrungsgemäß 30  %30\;\% aller Schülerinnen eine Breze. Es werden 20 Schülerinnen an einem bestimmten Tag zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße XX gibt an, wie viele von diesen am betrachteten Tag eine Breze kaufen.

      a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

      E1E_1: „Nur die letzten beiden Schülerinnen kaufen eine Breze.“

      E2E_2: „Genau zehn der Schülerinnen kaufen keine Breze.“

      b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße XX und interpretieren Sie diesen im Sachzusammenhang.

      c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallswerte von XX innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.

      d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:

      E3E_3: „Mehr als doppelt so viele Schülerinnen wie erwartet kaufen eine Breze.“

      neue Aufgabe 2

      In einer Urne befinden sich sechs grüne, eine rote und eine blaue Kugel. Ein

      Zufallsexperiment besteht darin, nacheinander jeweils zufällig eine Kugel ohne

      Zurücklegen zu ziehen und deren Farbe festzustellen. Es wird so lange gezogen, bis die blaue Kugel erscheint, höchstens jedoch dreimal.

      a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

      b) Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet:

      AA: „Es werden alle drei Farben gezogen.“

      BB: „Das Zufallsexperiment endet mit der blauen Kugel.“

      Berechnen Sie nachvollziehbar die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse AA und BB.

      [[Teilergebnis: P(B)=38]P(B)=\frac{3}{8}]

      c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass insgesamt drei Kugeln gezogen werden unter der Bedingung, dass das Zufallsexperiment mit der blauen Kugel endet.

  29. 29

    Herr Malinowski sieht auf seiner App der Gasverbrauch pro Tag in m3m^3 innerhalb einer Woche.

    Er denkt darüber nach, welche mathematische Funktion den Gasverbrauch beschreiben kann und vermutet, dass es sich um eine e-Funktion handeln könnte.

    Abbildung

    Abbildung

    Die zur Abbildung gehörenden Daten findest Du in der folgenden Tabelle.

    x in

    Tagen

    y in

    m3m^3

    0

    6,1

    1

    6,1

    2

    4,8

    3

    4

    4

    2,2

    5

    1,8

    6

    1,5

    1. Erstelle mit dem TR oder mit Geogebra eine Regressionsfunktion mit dem Ansatz f(x)=AeBxf(x)=A\cdot e^{Bx}.

    2. Herr Malinowski zeigt das Ergebnis seiner Analyse seinem Nachbarn. Der ist der Meinung, dass auch andere Regressionsfunktionen zu den Daten passen würden.

      Überprüfe mit dem TR oder mit Geogebra, welche Regressionsfunktionen auch möglich sind. Was ist die beste Regressionsfunktion?


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