Gegeben ist eine Ebene  $E:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+r\cdot \overrightarrow{u}+s\cdot \overrightarrow{v}$ (Parameterform mit den Parametern  $r,s\in ℝ$). Wenn man für r und s beliebige Werte einsetzt, erhält man einen Punkt in der Ebene.

Beispiel

Man betrachtet die Ebene $E:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ und wählt z.B. für die beiden Parameter $r$ und $s$ die Werte $r=-1$ und $s=2$. Diese beiden Werte beschreiben genau einen Punkt $P$ in der Ebene:

$\overrightarrow{P}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)+(-1)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -9\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 15\\ 12\end{array}\right)$

Der Punkt $P$ hat die Koordinaten: $P(-1|15|12)$ und $P\in E$.

Umgekehrt gibt es zu jedem Punkt in der Ebene passende Werte für die beiden Parameter $r$ und $s$. Will man prüfen, ob ein Punkt $P$ in der Ebene liegt, wird der Ortvektor des Punktes $P$ mit der Ebenengleichung gleichgesetzt (man setzt für den Vektor $\overrightarrow{X}$ der Ebene den Ortvektor des Punktes $P$ ein).

Anschließend stellt man ein Gleichungssystem auf und löst die einzelnen Gleichungen nach $$ $r$ und $s$ auf.

Verständlicher wird dies, wenn man sich Beispiele ansieht:

Beispiel 1

Gegeben ist die Ebenengleichung:

$E:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Es soll geprüft werden, ob der Punkt $P(7|-1|-12)$ in der Ebene liegt.

Lösung für Beispiel 1

Man setzt für den Vektor $\overrightarrow{X}$ der Ebene $E$ den Ortvektor des Punktes $P(7|-1|-12)$ ein:

$\left(\begin{array}{c}7\\ -1\\ -12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

So erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

$\begin{array}{llcrr}& (\mathrm{I}):& 7& =& 2+5\cdot r+1\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}):& -1& =& 5-6\cdot r+2\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& -12& =& -3-9\cdot r+3\cdot s\end{array}$

Umgeformt erhält man:

$\begin{array}{llcrr}& ({\mathrm{I}}^{\prime }):& 5& =& 5\cdot r+1\cdot s\\ & (\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):& -6& =& -6\cdot r+2\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):& -9& =& -9\cdot r+3\cdot s\end{array}$$$

Um eine Variable zu eliminieren rechnet man z.B. $(-2)\cdot ({\mathrm{I}}^{\prime })+(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })$

$\begin{array}{ccccccc}(-2)\cdot ({\mathrm{I}}^{\prime }):& -10& =& -10\cdot r& -& 2\cdot s& \\ +(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):& -6& =& -6\cdot r& +& 2\cdot s& \end{array}$

$\overline{-16=-16\cdot r+0}\Rightarrow r=1$

Man setzt $r=1$ in Gleichung $({\mathrm{I}}^{\prime }):5=5\cdot r+1\cdot s$ ein:

$({\mathrm{I}}^{\prime }):5=5\cdot 1+1\cdot s\Rightarrow s=0$

Mit den Werten $r=1$ und $s=0$ wird (als Probe) die Gleichung $(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):-6=-6\cdot r+2\cdot s$ überprüft:

$(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):-6=-6\cdot 1+2\cdot 0✓$ Somit wurden $r$ und $s$ richtig berechnet.

Mit den Werten $r=1$ und $s=0$ wird die Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):-9=-9\cdot r+3\cdot s$ überprüft:

$(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):-9=-9\cdot 1+3\cdot 0✓$

Damit hat das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, d.h. der Punkt $P$ liegt in der Ebene.

Beispiel 2

Gegeben ist die Ebenengleichung:

$E:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

Es soll geprüft werden, ob der Punkt $Q(4|10|-6)$ in der Ebene liegt.

Lösung für Beispiel 2

Man setzt für den Vektor $\overrightarrow{X}$ der Ebene $E$ den Ortvektor des Punktes $Q(4|10|-6)$ ein:

$\left(\begin{array}{c}4\\ 10\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 5\\ -3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -6\\ -9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$

So erhält man ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen.

$\begin{array}{llcrr}& (\mathrm{I}):& 4& =& 2+5\cdot r+1\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}):& 10& =& 5-6\cdot r+2\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I}):& -6& =& -3-9\cdot r+3\cdot s\end{array}$

Umgeformt erhält man:

$\begin{array}{llcrr}& ({\mathrm{I}}^{\prime }):& 2& =& 5\cdot r+1\cdot s\\ & (\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):& 5& =& -6\cdot r+2\cdot s\\ & (\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):& -3& =& -9\cdot r+3\cdot s\end{array}$$$

Um eine Variable zu eliminieren rechnet man z.B. $(-2)\cdot ({\mathrm{I}}^{\prime })+(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })$

$\begin{array}{ccccccc}(-2)\cdot ({\mathrm{I}}^{\prime }):& -4& =& -10\cdot r& -& 2\cdot s& \\ +(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):& 5& =& -6\cdot r& +& 2\cdot s& \end{array}$

$\overline{1=-16\cdot r+0}\Rightarrow r=-\frac{1}{16}$

Man setzt $r=-\frac{1}{16}$ in Gleichung $({\mathrm{I}}^{\prime }):2=5\cdot r+1\cdot s$ ein:

$({\mathrm{I}}^{\prime }):2=5\cdot (-\frac{1}{16})+1\cdot s\Rightarrow s=\frac{37}{16}$.

Mit den Werten $r=-\frac{1}{16}$ und $s=\frac{37}{16}$ wird (als Probe) die Gleichung $(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):5=-6\cdot r+2\cdot s$ überprüft:

$(\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):5=-6\cdot (-\frac{1}{16})+2\cdot \frac{37}{16}=\frac{6}{16}+\frac{74}{16}=\frac{80}{16}=5✓$ Somit wurden $r$ und $s$ richtig berechnet.

Mit den Werten $r=-\frac{1}{16}$ und $s=\frac{37}{16}$ wird die Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):-3=-9\cdot r+3\cdot s$ überprüft:

$(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime }):-3=-9\cdot (-\frac{1}{16})+3\cdot \frac{37}{16}=\frac{9}{16}+\frac{111}{16}=\frac{120}{16}=\mathrm{7,5}$

Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I}{\mathrm{I}}^{\prime })$ liefert ein falsches Ergebnis, da $-3\ne \mathrm{7,5}$.

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. der Punkt $Q$ liegt nicht in der Ebene.