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Spiegelung von 2 parallelen Ebenen

Gegeben sind zwei (echt) parallele Ebenen in Koordinatenform:

$E : a_{1} \cdot x_{1} + b_{1} \cdot x_{2} + c_{1} \cdot x_{3} = d_{1}$ und $H : a_{1} \cdot x_{1} + b_{1} \cdot x_{2} + c_{1} \cdot x_{3} = d_{2}$ .

Die Ebene $E$ wird an der Ebene $H$ gespiegelt $\Rightarrow E^{'} : a_{1} \cdot x_{1} + b_{1} \cdot x_{2} + c_{1} \cdot x_{3} = d_{3}$

Wie wird $d_{3}$ berechnet?

Setzt man den Koordinatenursprung in die Hessesche Normalenform der Ebene ein, so erhält man den Abstand der Ebene vom Ursprung.

$E_{H N F} : \frac{a_{1} x_{1} + b_{1} x_{2} + c_{1} x_{3} - d_{1}}{| {\vec{n}}_{E} |} = 0$

$d (O, E) = | \frac{a_{1} \cdot 0 + b_{1} \cdot 0 + c_{1} \cdot 0 - d_{1}}{| {\vec{n}}_{E} |} | = \frac{d_{1}}{| {\vec{n}}_{E} |}$

Entsprechend für die Ebene $H$ :

$d (O, H) = | \frac{a_{1} \cdot 0 + b_{1} \cdot 0 + c_{1} \cdot 0 - d_{2}}{| {\vec{n}}_{H} |} | = \frac{d_{2}}{| {\vec{n}}_{H} |}$

Für den Abstand der Spiegelebene $E^{'}$ vom Koordinatenursprung gilt:

$d (O, E^{'}) = d (O, H) + d (E, H) = d (O, H) + (d (O H) - d (O, E)) = 2 \cdot d (O, H) - d (O, E)$

Da $| {\vec{n}}_{E} | = | {\vec{n}}_{H} | = | {\vec{n}}_{E}^{'} |$ gilt: $d (O, E^{'}) = \frac{d_{3}}{| {\vec{n}}_{E} |} = 2 \cdot \frac{d_{2}}{| {\vec{n}}_{E} |} - \frac{d_{1}}{| {\vec{n}}_{E} |}$

Für $d_{3}$ der Spiegelebene $E^{'}$ ergibt sich somit die Gleichung: $d_{3} = 2 \cdot d_{2} - d_{1}$

Satz

Die rechte Seite $d_{3}$ der Koordinatenform der Spiegelebene $E^{'}$ berechnet sich mit:

d_{3} = 2 \cdot d_{2} - d_{1}

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Ebenen

$E : 5 \cdot x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 3$ und $H : 5 \cdot x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 30$ .

Die Ebene $E$ wird an der Ebene $H$ gespiegelt.

$d_{3} = 2 \cdot d_{2} - d_{1}$

Setze $d_{1} = - 3$ und $d_{2} = - 30$ ein:

$d_{3} = 2 \cdot (- 30) - (- 3) = - 60 + 3 = - 57$

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene $E^{'}$ lautet: $5 \cdot x_{1} - x_{2} + 2 \cdot x_{3} = - 57$

Alternative Berechnung der Spiegelung eines Punktes $P$ an einer Ebene $E$

Die Ebene ist durch $\vec{x} \circ \vec{n} = d$ gegeben.

Setze den gegebenen Punkt $P$ in die Ebenengleichung $E$ ein und berechne die Zahl $d_{1}$ :

$\Rightarrow (I) \vec{p} \circ \vec{n} = d_{1}$

Der Spiegelpunkt $P^{'}$ liegt dann in der Ebene $\vec{x} \circ \vec{n} = 2 \cdot d - d_{1}$ (siehe Spiegelung Ebene an Ebene)

$\Rightarrow (I I) \vec{p}^{'} \circ \vec{n} = 2 \cdot d - d_{1}$

Die Verbindung der Punkte $P$ und $P^{'}$ steht senkrecht auf der Ebene $E$ .

Damit ist $(I I I) \vec{p}^{'} = \vec{p} + t \cdot \vec{n}$ .

Zur Berechnung des Spiegelpunktes muss also der Parameter $t$ berechnet werden:

Setze $(I I I)$ in $(I I)$ ein:

$\vec{p}^{'} \circ \vec{n}$	$=$	$2 \cdot d - d_{1}$
	↓	Setze $\vec{p}^{'} = \vec{p} + t \cdot \vec{n}$ ein.
$(\vec{p} + t \cdot \vec{n}) \circ \vec{n}$	$=$	$2 \cdot d - d_{1}$
$\vec{p} \circ \vec{n} + t \cdot \vec{n} \circ \vec{n}$	$=$	$= 2 \cdot d - d_{1}$

Die Gleichung $(I V)$ lautet: $\vec{p} \circ \vec{n} + t \cdot \vec{n} \circ \vec{n} = 2 \cdot d - d_{1}$

Setze $(I)$ in $(I V)$ ein:

$\vec{p} \circ \vec{n} + t \cdot \vec{n} \circ \vec{n}$	$=$	$2 \cdot d - d_{1}$
	↓	Setze $\vec{p} \circ \vec{n} = d_{1}$ ein.
$d_{1} + t \cdot \vec{n} \circ \vec{n}$	$=$	$2 \cdot d - d_{1}$	$- d_{1}$
$t \cdot \vec{n} \circ \vec{n}$	$=$	$2 \cdot d - 2 \cdot d_{1}$
$t \cdot \vec{n} \circ \vec{n}$	$=$	$2 \cdot (d - d_{1})$	$: \vec{n} \circ \vec{n}$
$t$	$=$	$\frac{2 \cdot (d - d_{1})}{\vec{n} \circ \vec{n}}$

Mit diesem Parameter $t$ kann nun der Spiegelpunkt $P^{'}$ berechnet werden:

\vec{p}^{'} = \vec{p} + t \cdot \vec{n} ﻿

Beispiel

Gegeben sind der Punkt $P (3 | 2 | 1)$ und die Ebene $E : \vec{x} \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = 6$ . Spiegele den Punkt $P$ an der Ebene $E$ .

Lösung

Gegeben sind der zu spiegelnde Punkt $P (3 | 2 | 1)$ , der Normalenvektor $\vec{n}$ der Ebene $E$

$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array})$ und $d = 6$ .

1. Setze den gegebenen Punkt $P$ in die Ebenengleichung $E : \vec{x} \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = 6$ ein und berechne die Zahl $d_{1}$ :

$(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = d_{1} \Rightarrow d_{1} = 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (- 1) = 3 + 0 - 1 = 2$

2. Berechne $\vec{n} \circ \vec{n}$ :

$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + (- 1) \cdot (- 1) = 1 + 0 + 1 = 2$

3. Berechne den Parameter $t$ mit $d = 6$ , $d_{1} = 2$ und $\vec{n} \circ \vec{n} = 2$ :

$t = \frac{2 \cdot (d - d_{1})}{\vec{n} \circ \vec{n}} = \frac{2 \cdot (6 - 2)}{2} = 4$

4. Berechne $\vec{p}^{'}$ :

$\vec{p}^{'} = \vec{p} + t \cdot \vec{n} = (\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + 4 \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 + 4 \\ 2 + 0 \\ 1 - 4 \end{array}) = (\begin{array}{c} 7 \\ 2 \\ - 3 \end{array})$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{'} (7 | 2 | - 3)$ .

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Wie wird d3 berechnet?

Beispiel zu Fall 1

Alternative Berechnung der Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E

Beispiel

Lösung

Wie wird $d_{3}$ berechnet?

Alternative Berechnung der Spiegelung eines Punktes $P$ an einer Ebene $E$