Gegeben sind zwei (echt) parallele Ebenen in Koordinatenform:

$E:a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_{1}E:\backslash ;\; a\_1\backslash cdot\; x\_1+b\_1\backslash cdot\; x\_2+c\_1\backslash cdot\; x\_3=d\_1$ und $H:a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_{2}H:\backslash ;\; a\_1\backslash cdot\; x\_1+b\_1\backslash cdot\; x\_2+c\_1\backslash cdot\; x\_3=d\_2$.

Die Ebene $EE$ wird an der Ebene $HH$ gespiegelt$\Rightarrow E^{\mathrm{\prime }}:a_1\cdot x_1+b_1\cdot x_2+c_1\cdot x_3=d_3\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;E\text{'}:\backslash ;a\_1\backslash cdot\; x\_1+b\_1\backslash cdot\; x\_2+c\_1\backslash cdot\; x\_3=d\_3$

Wie wird $d_{3}d\_3$ berechnet?

Setzt man den Koordinatenursprung in die Hessesche Normalenform der Ebene ein, so erhält man den Abstand der Ebene vom Ursprung.

$E_{HNF}:{\displaystyle \frac{a_1{x}_1+b_1{x}_2+c_1{x}_3-d_1}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_E\mathrm{\mid }}}=0E\_\{HNF\}:\; \backslash dfrac\{a\_1x\_1+b\_1x\_2+c\_1x\_3-d\_1\}\{|\backslash vec\; n\_E|\}=0$

$d(O,E)=\mid {\displaystyle \frac{a_1\cdot 0+b_1\cdot 0+c_1\cdot 0-d_1}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_E\mathrm{\mid }}}\mid ={\displaystyle \frac{d_1}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_E\mathrm{\mid }}}d(O,E)=\backslash left|\backslash dfrac\{a\_1\backslash cdot\; 0+b\_1\backslash cdot\; 0+c\_1\backslash cdot\; 0-d\_1\}\{|\backslash vec\; n\_E|\}\backslash right|=\backslash dfrac\{d\_1\}\{|\backslash vec\; n\_E|\}$

Entsprechend für die Ebene $HH$:

$d(O,H)=\mid {\displaystyle \frac{a_1\cdot 0+b_1\cdot 0+c_1\cdot 0-d_2}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_H\mathrm{\mid }}}\mid ={\displaystyle \frac{d_2}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_H\mathrm{\mid }}}d(O,H)=\backslash left|\backslash dfrac\{a\_1\backslash cdot\; 0+b\_1\backslash cdot\; 0+c\_1\backslash cdot\; 0-d\_2\}\{|\backslash vec\; n\_H|\}\backslash right|=\backslash dfrac\{d\_2\}\{|\backslash vec\; n\_H|\}$

Für den Abstand der Spiegelebene $E^{\mathrm{\prime }}E\text{'}$ vom Koordinatenursprung gilt:

$d(O,E^{\mathrm{\prime }})=d(O,H)+d(E,H)=d(O,H)+(d(OH)-d(O,E))=2\cdot d(O,H)-d(O,E)d(O,E\text{'})=d(O,H)+d(E,H)=d(O,H)+(d(OH)-d(O,E))=2\backslash cdot\; d(O,H)-d(O,E)$

Da $\mathrm{\mid }{\vec{n}}_E\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\vec{n}}_H\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{\vec{n}}_E^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }|\backslash vec\; n\_E|=|\backslash vec\; n\_H|=|\backslash vec\; n\_E\text{'}|$ gilt: $d(O,E^{\mathrm{\prime }})={\displaystyle \frac{d_3}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_E\mathrm{\mid }}}=2\cdot {\displaystyle \frac{d_2}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_E\mathrm{\mid }}}-{\displaystyle \frac{d_1}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_E\mathrm{\mid }}}d(O,E\text{'})=\backslash dfrac\{d\_3\}\{|\backslash vec\; n\_E|\}=2\backslash cdot\; \backslash dfrac\{d\_2\}\{|\backslash vec\; n\_E|\}-\backslash dfrac\{d\_1\}\{|\backslash vec\; n\_E|\}$

Für $d_{3}d\_3$ der Spiegelebene $E^{\mathrm{\prime }}E\text{'}$ ergibt sich somit die Gleichung: $d_3=2\cdot d_2-d_{1}d\_3=2\backslash cdot\; d\_2-d\_1$

Beispiel zu Fall 1

Gegeben sind die beiden (echt) parallelen Ebenen

$E:5\cdot x_1-x_2+2\cdot x_3=-3E:\backslash ;\; 5\backslash cdot\; x\_1-\; x\_2+2\backslash cdot\; x\_3=-3$ und $H:5\cdot x_1-x_2+2\cdot x_3=-30H:\backslash ;\; 5\backslash cdot\; x\_1-\; x\_2+2\backslash cdot\; x\_3=-30$.

Die Ebene $EE$ wird an der Ebene $HH$ gespiegelt.

$d_3=2\cdot d_2-d_{1}d\_3=2\backslash cdot\; d\_2-d\_1$

Setze $d_1=-3d\_1=-3$ und $d_2=-30d\_2=-30$ ein:

$d_3=2\cdot (-30)-(-3)=-60+3=-57d\_3=2\backslash cdot(-30)-(-3)=-60+3=-57$

Antwort: Die Gleichung der Spiegelebene $E^{\mathrm{\prime }}E\text{'}$ lautet: $5\cdot x_1-x_2+2\cdot x_3=-575\backslash cdot\; x\_1-\; x\_2+2\backslash cdot\; x\_3=-57$

Alternative Berechnung der Spiegelung eines Punktes $PP$ an einer Ebene $EE$

Die Ebene ist durch $\vec{x}\circ \vec{n}=d\backslash vec\; x\backslash circ\; \backslash vec\; n=d$ gegeben.

Setze den gegebenen Punkt $PP$ in die Ebenengleichung $EE$ ein und berechne die Zahl $d_{1}d\_1$:

$\Rightarrow (\mathrm{I})\vec{p}\circ \vec{n}=d_1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash mathrm\{(I)\}\backslash ;\backslash ;\backslash vec\; p\backslash circ\; \backslash vec\; n=d\_1$

Der Spiegelpunkt $P{}^{\mathrm{\prime }}P\{\}\text{'}$ liegt dann in der Ebene $\vec{x}\circ \vec{n}=2\cdot d-d_1\backslash vec\; x\backslash circ\; \backslash vec\; n=2\backslash cdot\; d\; -d\_1$ (siehe Spiegelung Ebene an Ebene)

$\Rightarrow (\mathrm{I}\mathrm{I})\vec{p}{}^{\mathrm{\prime }}\circ \vec{n}=2\cdot d-d_1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\; \backslash mathrm\{(II)\}\backslash ;\backslash ;\backslash vec\; p\backslash ;\{\text{'}\}\backslash circ\; \backslash vec\; n=2\backslash cdot\; d\; -d\_1$

Die Verbindung der Punkte $PP$ und $P{}^{\mathrm{\prime }}P\{\}\text{'}$ steht senkrecht auf der Ebene $EE$.

Damit ist $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})\vec{p}{}^{\mathrm{\prime }}=\vec{p}+t\cdot \vec{n}\backslash mathrm\{(III)\}\backslash ;\backslash ;\backslash vec\; p\backslash ;\{\text{'}\}=\backslash vec\; p+t\backslash cdot\backslash vec\; n$.

Zur Berechnung des Spiegelpunktes muss also der Parameter $tt$ berechnet werden:

Setze $(\mathrm{I}\mathrm{I}\mathrm{I})\backslash mathrm\{(III)\}\backslash ;$in $(\mathrm{I}\mathrm{I})\backslash mathrm\{(II)\}\backslash ;$ ein:

Die Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{V})\backslash mathrm\{(IV)\}\backslash ;$lautet: $\vec{p}\circ \vec{n}+t\cdot \vec{n}\circ \vec{n}=2\cdot d-d_1\backslash vec\; p\backslash circ\; \backslash vec\; n+t\backslash cdot\backslash vec\; n\backslash circ\; \backslash vec\; n=2\backslash cdot\; d\; -d\_1$

Setze $(\mathrm{I})\backslash mathrm\{(I)\}\backslash ;$ in $(\mathrm{I}\mathrm{V})\backslash mathrm\{(IV)\}\backslash ;$ ein:

Mit diesem Parameter $tt$ kann nun der Spiegelpunkt $P{}^{\mathrm{\prime }}P\{\}\text{'}$ berechnet werden:

Beispiel

Gegeben sind der Punkt $P(3\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }1)P(3|2|1)$ und die Ebene $E:\vec{x}\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=6E:\backslash ;\backslash vec\; x\backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}=6$. Spiegele den Punkt $PP$ an der Ebene $EE$.

Lösung

Gegeben sind der zu spiegelnde Punkt $P(3\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }1)P(3|2|1)$, der Normalenvektor $\vec{n}\backslash vec\; n$ der Ebene $EE$

$\vec{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\backslash vec\; n\; =\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}$ und $d=6d=6$.

1. Setze den gegebenen Punkt $PP$ in die Ebenengleichung $E:\vec{x}\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=6E:\backslash ;\backslash vec\; x\backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}=6$ ein und berechne die Zahl $d_{1}d\_1$:

$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=d_1\Rightarrow d_1=3\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot (-1)=3+0-1=2\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}=d\_1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;d\_1=3\backslash cdot\; 1+2\backslash cdot\; 0+1\backslash cdot(-1)=3+0-1=2$

2. Berechne $\vec{n}\circ \vec{n}\backslash vec\{n\}\backslash circ\backslash vec\{n\}$:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=1\cdot 1+0\cdot 0+(-1)\cdot (-1)=1+0+1=2\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}=1\backslash cdot\; 1+0\backslash cdot\; 0+(-1)\backslash cdot(-1)=1+0+1=2$

3. Berechne den Parameter $tt$ mit $d=6d=6$, $d_1=2d\_1=2$ und $\vec{n}\circ \vec{n}=2\backslash vec\{n\}\backslash circ\backslash vec\{n\}=2$:

$t={\displaystyle \frac{2\cdot (d-d_1)}{\vec{n}\circ \vec{n}}}={\displaystyle \frac{2\cdot (6-2)}{2}}=4t=\backslash dfrac\{2\backslash cdot(d-d\_1)\}\{\backslash vec\{n\}\backslash circ\backslash vec\{n\}\}=\backslash dfrac\{2\backslash cdot(6-2)\}\{2\}=4$

4. Berechne $\vec{p}{}^{\mathrm{\prime }}\backslash vec\; p\backslash ;\{\text{'}\}$:

$\vec{p}{}^{\mathrm{\prime }}=\vec{p}+t\cdot \vec{n}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)+4\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+4\\ 2+0\\ 1-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ 2\\ -3\end{array}\right)\backslash vec\; p\backslash ;\{\text{'}\}=\backslash vec\; p+t\backslash cdot\backslash vec\; n=\backslash begin\{pmatrix\}3\backslash \backslash 2\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+4\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 0\backslash \backslash -1\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}3+4\backslash \backslash 2+0\backslash \backslash 1-4\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}7\backslash \backslash 2\backslash \backslash -3\backslash end\{pmatrix\}$

Antwort: Der Spiegelpunkt hat die Koordinaten $P^{\mathrm{\prime }}(7\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }-3)P\text{'}(7|2|-3)$.