Zeige, dass der Graph der Funktion $f$ punktsymmetrisch ist

Möglichkeit 1

Der Funktionsterm enthält nur ungerade Exponenten. Der Graph der Funktion ist demnach punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Möglichkeit 2

Wenn $f(-x)=-f(x)$ ist, dann ist der Graph der Funktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

$f(-x)=(-x{)}^3-3b(-x)=-x^3+3bx=-(x^3-3bx)=-f(x)$

Also gilt $f(-x)=-f(x)$.

Für welchen Parameterwert $b$ ergibt sich ein Quadrat?

Berechne die Koordinaten des Hoch- und Tiefpunktes.

$f^{\prime }(x)=3x^2-3b$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=3x^2-3b\Rightarrow x=\pm \sqrt{b}$

$f(-\sqrt{b})=-b\sqrt{b}-3b(-\sqrt{b})=2b\sqrt{b}$

$f(\sqrt{b})=b\sqrt{b}-3b(\sqrt{b})=-2b\sqrt{b}$

Ein Quadrat liegt vor, wenn $\mathrm{\Delta }x=\mathrm{\Delta }y$

$\mathrm{\Delta }x=\sqrt{b}-(-\sqrt{b})=2\sqrt{b}$

$\mathrm{\Delta }y=2b\sqrt{b}-(-2b\sqrt{b})=4b\sqrt{b}$

$\Rightarrow 2\sqrt{b}=4b\sqrt{b}\Rightarrow b={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Für $b={\displaystyle \frac{1}{2}}$ ergibt sich ein Quadrat.

Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.