Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

$f^{\prime }(x)=10\cdot (1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}$

$f^{\prime }(x)=0\Rightarrow 0=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x}\ne 0$ für alle $x\in ℝ$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$2-x=0\Rightarrow x=2$

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:

$f^{\prime \prime }(x)=10\cdot ((-1)\cdot e^{-x}+(2-x)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (x-3)\cdot e^{-x}$

$f^{\prime \prime }(2)=10\cdot (2-3)\cdot e^{-2}=-10\cdot e^{-2}<0$

Die Funktion $f$ hat genau eine lokale Extremstelle.

Der Graph von $f$ hat bei $x=2$ ein lokales Maximum.

Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12|2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist

Gegeben ist $f(x)=-\frac{5}{16}{x}^4+5x^3$.

Berechne $f^{\prime }(x)$ und $f^{\prime \prime }(x)$:

$f^{\prime }(x)=-\frac{5}{4}{x}^3+15x^2$

$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{15}{4}{x}^2+30x$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime }(x)=0$.

$\Rightarrow 0=-\frac{5}{4}{x}^3+15x^2=5x^2\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+3)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee -{\displaystyle \frac{1}{4}}x+3=0\Rightarrow x=12$

Lokale Extremstellen sind also $x=0$ oder $x=12$.

Nach Aufgabenstellung muss nur $x=12$ beachtet werden.

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\prime \prime }(x)\ne 0$.

$\Rightarrow f^{\prime \prime }(12)=-\frac{15}{4}\cdot {12}^2+30\cdot 12=-180<0\Rightarrow$ Maximum

Berechne $f(12)=-\frac{5}{16}\cdot {12}^4+5\cdot {12}^3=2160$.

Der Punkt $(12|2160)$ ist ein Hochpunkt des Graphen von $f$.

Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0|0)$ parallel zur $x$-Achse verläuft

Es ist $f^{\prime }(0)=0$ und $f(0)=0$.

Im Punkt $(0|0)$ verläuft die Tangente an den Graphen von $f$ parallel zur $x$-Achse.

Bestimme eine Gleichung der Geraden $g$, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft

Berechne die Wendepunkte:

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\prime \prime }(x)=0$.

$\Rightarrow 0=-\frac{15}{4}{x}^2+30x=15\cdot x(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot x+2)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee -{\displaystyle \frac{1}{4}}x+2=0\Rightarrow x=8$

Wendestellen liegen bei $x=0$ oder $x=8$ vor, wenn die hinreichende Bedingung $f^{\prime \prime \prime }(x)\ne 0$ erfüllt ist.

Berechne $f^{\prime \prime \prime }(x)=-\frac{15}{2}x+30\Rightarrow f^{\prime \prime }(0)=30\ne 0$ und $f^{\prime \prime \prime }(8)=-\frac{15}{2}\cdot 8+30=-30\ne 0$

Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei $x=0$ oder $x=8$ vor.

Berechne $f(0)=0$ und $f(8)=-\frac{5}{16}\cdot 8^4+5\cdot 8^3=1280$.

Die Wendepunkte haben die Koordinaten $W{P}_1(0|0)$ und $W{P}_2(8|1280)$.

Für die Geradengleichung $g$ benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1280-0}{8-0}}\cdot (x-0)+0$

$\Rightarrow g:y=160\cdot x$

Die Gleichung der Geraden $g$, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, lautet $y=160\cdot x$.

Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0\le x\le 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat

Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_f$ mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}(-x^3+15x^2-56x+12)$.

Schnittpunkte mit der x-Achse:

$f(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{10}}(-x^3+15x^2-56x+12)=0\Rightarrow -x^3+15x^2-56x+12=0$

Die Nullstelle der Funktion $g(x)=-x^3+15x^2-56x+12$ ist bekannt $x_N=6$.

Führe eine Polynomdivision durch.

$\begin{array}{l}\phantom{-}(-x^3+15x^2-56x+12):(x-6)=-x^2+9x-2\\ -\underline{(-x^3+6x^2)}\\ \phantom{-(x^3-1}9x^2-56x\\ \phantom{(x^3+}-\underline{(9x^2-54x)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-}-2x+12\\ \phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(-2x+12)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}$

Löse nun die Gleichung $-x^2+9x-2=0\Rightarrow x^2-9x+2=0$ mit der pq-Formel:

Somit lauten die Schnittpunkte von $G_f$ mit der x-Achse $N_1(6|0),N_2(\mathrm{4,5}-\sqrt{\mathrm{18,25}}|0)\approx$$N_2(\mathrm{0,23}|0)$ und $N_3(\mathrm{4,5}+\sqrt{\mathrm{18,25}}|0)\approx N_3(\mathrm{8,77}|0)$.

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Setze $x=0$ in $f(x)$ ein $\Rightarrow f(0)=12\Rightarrow S_y(0|12)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0|12)$.

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_f$

Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis

1.0 Gegeben ist die Funktion f mit der

Definitionsmenge $D_f=[-1;+\infty [$. Der

Graph von $f$ schneidet die x-Achse genau

einmal, ist im Intervall $[4;+\infty [$ streng

monoton fallend und wird mit $G_f$

bezeichnet. Ein Ausschnitt von $G_f$ ist in

der nebenstehenden Abbildung zu sehen.

Betrachtet wird nun die Funktion

$$F:x\mapsto {\displaystyle \int f(t)\mathrm{d}t}$$ mit der Definitionsmenge $D_F[-1;\infty [$.

a) Geben Sie die Nullstellen von $F$ an. Runden Sie auf eine Nachkommastelle, sofern nötig.

b) Bestimmen Sie mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von $G_F$.

c) Begründen Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:

„$G_F$ ist im Intervall $[4;+\infty [$ rechtsgekrümmt.“

2.0 Gegeben ist die streng monotone Funktion $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{2e^x}{e^x+4}}$ mit der Definitionsmenge $D_g=ℝ$.

Die Umkehrfunktion von $g$ wird $g^{-1}$ bezeichnet.

a) Geben Sie die Wertemenge von $g^{-1}$ an und ermitteln Sie die Definitionsmenge von $g^{-1}$, ohne dabei einen Funktionsterm von $g^{-1}$ zu verwenden.

b) Bestimmen Sie nun einen Funktionsterm von $g^{-1}$.

c) Die Funktion $G$ mit der Definitionsmenge $D_G=ℝ$ ist eine Stammfunktion von $g$. Der Graph der Funktion $G$ schneidet die y-Achse bei $y_0=\ln (10)$. Ermitteln Sie einen

möglichen Term der Funktion $G$.

b) Die durchgeführte Umfrage hat ebenfalls ergeben, dass $80\%$ aller Befragten beim

Einkaufen im Supermarkt eine eigene Einkaufstasche dabei haben. Betrachtet werden nun hintereinander anstehende Kunden an einer Supermarktkasse.

Geben Sie für die nachfolgenden Ereignisse jeweils einen Term an, der die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das beschriebene Ereignis ermöglicht.

$E_1$: „Von zehn Kunden haben genau vier eine eigene Einkaufstasche mitgebracht.“

$E_2$: „Von acht Kunden kaufen nur genau die ersten zwei und der letzte Kunde ohne eigene Einkaufstasche ein.“

c) Ein zufällig ausgewählter Kunde nutzt unabhängig davon, ob er eine Einkaufstasche dabei hat oder nicht, mit der Wahrscheinlichkeit $p$ einen Einkaufswagen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von zwei Kunden, die nacheinander den Supermarkt betreten, genau einer einen Einkaufswagen nutzt, beträgt $32\%$.

Geben Sie den Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit $p$ an.

Die Berechnung von $p$ ist nicht erforderlich.

d) Im Supermarkt befinden sich insgesamt drei Kassen. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der gleichzeitig besetzten Kassen während der Öffnungszeiten. Die folgende Tabelle zeigt die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$:

1. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $X$ und interpretieren Sie den Wert im beschriebenen Sachzusammenhang.

Die Varianz der Zufallsgröße $X$ hat den Wert $\mathrm{0,64}$.

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Werte der Zufallsgröße $X$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um ihren Erwartungswert liegen.

Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I 2024

1.0 Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{x^2+6x+12}{(x+2)\cdot (x+4)}}$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_f=ℝ\backslash \{-4;-2\}$. Der Graph von $f$ in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_f$ bezeichnet.

a) Zeigen Sie, dass $f$ keine Nullstellen besitzt, und geben Sie für jede Asymptote von $G_f$ jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an. (4 BE)

b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von $f$.

$[\text{Mögliches Teilergebnis:}{f}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-8\cdot (x+3)}{(x+2{)}^2\cdot (x+4{)}^2}}]$ (7 BE)

c) Zeichnen Sie den Graphen von $f$ zusammen mit seinen Asymptoten für $-7\le x\le 3$ unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. (1 LE = 1 cm) (4 BE)

d) Gegeben ist die Funktion $$F:x\mapsto {\displaystyle {\int }_{-1}^{x}f(t)\mathrm{d}t}$$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_F\subset D_f$.

1. Begründen Sie, dass gilt: $D_F=]2;+\infty [$. Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der

Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion. (4 BE)

2. Berechnen Sie den exakten Wert von $F(2)$.

$$\left[\text{Mögliches Teilergebnis:}{\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x=x+2\cdot \ln \left(\left|{\displaystyle \frac{x+2}{x+4}}\right|\right)}\right]+C$$ (7 BE)

2.0 Gegeben ist die Funktion $g:x\mapsto \arctan \left({\displaystyle \frac{x^2-9}{x-5}}\right)$ mit der Definitionsmenge $D_g=]-\infty ;1[$.

Der Graph von $g$ in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_g$ bezeichnet.

a) Ermitteln Sie die Nullstelle von $g$ und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von g für x → $-\infty$. (4 BE)

b) Die Funktion $g$ ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie einen Term der Umkehrfunktion von $g$. (5 BE)

Aufgrund von Beobachtungen in dem heißen und trockenen Jahr 2003 in einem süddeutschen Untersuchungsgebiet vermuteten Biologen, dass die Entwicklung der

Populationsdichte $a(t)$ der Gammaeule der Differenzialgleichung $-10\dot{a}=(2t-11)\cdot (a-2)$ gerecht wird. Dabei gibt $t\in [0;11]$ den Messzeitpunkt im Jahr 2003 (in Monaten ab dem 1. Januar) und $a(t)$ die Anzahl der gezählten Gammaeulen pro Hektar an. Auf das Mitführen von Einheiten wird verzichtet.

a) Im Jahr 2003 wurden durchgehend mehr als $5$ Gammaeulen pro Hektar beobachtet.

Folgern Sie unmittelbar aus der Differenzialgleichung den Zeitpunkt $t_{max}$ im Beobachtungszeitraum, an dem die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet maximal war. (4 BE)

b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung $a(t)$ der obigen Differenzialgleichung für $a(t)>2$. (4 BE)

a) Außerdem ist die Funktion $q:x\mapsto g(x)$ mit der Definitionsmenge $D_q=[-3;1]$

gegeben. Weisen Sie nach, dass die Funktion $q$ umkehrbar ist.

$[\text{Mögliches Teilergebnis:}{g}^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{-6(x^2+2x-3)}{(x^2+3{)}^2}}]$ (7 BE)

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $t$, die den Graphen der Umkehrfunktion von $q$ in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt. (4 BE)

c) Betrachtet wird die Funktion $$G:x\mapsto {\displaystyle {\int }_{-3}^{x}g(t)\mathrm{d}t}$$ mit der Definitionsmenge $G_G=D_g$. Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von $G(x)$.

$$\left[\text{Mögliches Teilergebnis:}{\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x=x+3\cdot \ln (x^2+3)+{\displaystyle \frac{6}{\sqrt{3}}}\cdot \arctan \left({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}\right)+C,\text{mit}C\in ℝ}\right]$$(6 BE)

d) Gegeben ist nun die Funktion $h:x\mapsto \ln (g(x))$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_h\subset D_g$.

Ermitteln Sie $D_h$, die Nullstelle von $h$ und das Verhalten der Funktionswerte von $h$ für $x\to +\infty$. (7 BE)

Die x- und y-Koordinaten stellen Längenangaben in der Einheit Zentimeter dar. Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

a) Berechnen Sie den Durchmesser $d_0$, den die zylindrische Welle mindestens haben muss. (5 BE)

b) Bestimmen Sie die Masse $m$ eines Knaufs (auf ganze Gramm gerundet), wenn das verwendete Messing die Dichte $\rho =\mathrm{8,50}{\displaystyle \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}$ besitzt. (6 BE)

Auf der Abszisse sind die vergangenen Tage ab dem Beobachtungsstart am 1. April angegeben, auf der Ordinate ist der entsprechend gemessene Zuwachs des Durchmessers in $\mathrm{mm}$ vermerkt.

Die Ergebnisse können mithilfe einer mathematischen Funktion $d$ mit der Funktionsgleichung $d(t)={\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}}$ mit $t\in ]0;180]$ modelliert werden.

Dabei beschreibt $t$ die Zeit in Tagen ab dem 1. April und $d(t)$ den Zuwachs des Durch-

messers in $\mathrm{mm}$ ab Beobachtungsbeginn $(t=0)$.

a) Weisen Sie nach, dass die Funktion $d$ die Differenzialgleichung $\dot{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d$ erfüllt. (4 BE)

b) Ermitteln Sie mithilfe der Differenzialgleichung aus a) den maximalen Wert, $\dot{d}(t)$ annehmen kann, und erläutern Sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2024

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

1.0 Im Juni und Juli 2024 findet die Fußball-Europameisterschaft in Deutschland statt. Ein Tourismusunternehmen bietet für fußballbegeisterte Kunden diverse Möglichkeiten, an der Veranstaltung in Deutschland teilzunehmen. Im Nachfolgenden werden nur Kunden betrachtet, welche sich für die Fußball-Europameisterschaft interessieren.

Fußballbegeisterte Kunden können bei dem Tourismusunternehmen Anreise ($A$),

Unterkunft ($U$) und Eintritt zu einem Spiel ($S$) buchen. $50\%$ aller Fans buchen die Anreise. Von diesen buchen $80\%$ gleichzeitig eine Unterkunft. Von den Fans, die eigenständig anreisen, buchen $60\%$ eine Unterkunft. Unabhängig davon, ob die Anreise bzw. die Unterkunft beim Tourismusunternehmen gebucht oder nicht gebucht wurde, bucht ein fester Anteil aller Fans den Eintritt für den Besuch eines Spieles. Von allen Fans entscheiden sich $36\%$ für das Komplettangebot aus Anreise mit Unterkunft und Eintritt.

Das Buchungsverhalten eines beliebig herausgegriffenen fußballbegeisterten Kunden des Tourismusunternehmens wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

$[$ Teilergebnis: $P(\{(A;\overline{U};\overline{S})\})=\mathrm{0,01}]$ (5 BE)

b) Gegeben sind folgende Ereignisse:

$E_1$: „Ein zufällig ausgewählter Kunde bucht die Anreise oder den Eintritt zu einem Spiel.“

$E_2$: $\{(A;U;S);(A;\overline{U};\overline{S});(\overline{A};\overline{U};S)\}$

$E_3$: $\overline{\overline{E_1}\cup E_2}$

Ermitteln Sie eine aufzählende Mengenschreibweise für $E_3$. (3 BE)

2 Ein Hotel, welches zur Europameisterschaft ausschließlich mit Fans belegt ist, bietet neben den gewöhnlichen Services zwei zusätzliche Dienste an, welche die Gäste wählen können. Diese sind ein Fahrdienst zum Spiel im örtlichen Stadion ($F$) sowie ein Besuch des Trainingsgeländes der ansässigen Nationalmannschaft ($N$). Von früheren Großereignissen ist bekannt, dass drei von fünf Gästen den Fahrdienst wählen. Insgesamt entscheiden sich $50\%$ aller Gäste für genau einen der beiden zusätzlichen Dienste. Außerdem gilt: $P_F(N)=\mathrm{0,25}$.

Bestimmen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel, wie viele der insgesamt $400$ Gäste des

Hotels keinen der beiden zusätzlichen Dienste wünschen.

Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I

3 Bei der Zusammenstellung der sechs Gruppen für die Gruppenphase wurden zunächst die vermeintlich sechs stärksten Mannschaften zufällig per Los auf die sechs Gruppen verteilt.

Diese sechs Mannschaften werden als „Gruppenköpfe“ bezeichnet. Die

Wahrscheinlichkeit, dass ein Gruppenkopf unter den $16$ Mannschaften, die ins

Achtelfinale einziehen, vertreten ist, beträgt $p=\mathrm{0,8}$.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:

$E_4$: „Nicht alle Gruppenköpfe erreichen das Achtelfinale.“ (2 BE)

4 Ein Fanshop vor einem Stadion bietet den Fans genau die folgenden drei Artikel zum Kauf:

Bild

Im Folgenden werden nur Fans betrachtet, die mindestens einen der obigen drei Artikel kaufen, wobei kein Fan denselben Artikel mehrfach kauft.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Ausgaben in Euro eines Fans im Fanshop.

Die folgende Tabelle zeigt die unvollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung der

Zufallsgröße X.

Bild

a) Vervollständigen Sie die Tabelle, indem Sie die fehlenden Zufallswerte x von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile eintragen. Berechnen Sie anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich $250$ Fans an einem Spieltag zu rechnen ist. (3 BE)

b) Aufgrund der zunehmenden Anzahl an umweltbewussten Fans überlegt der Inhaber des Fanshops nur noch GREEN-Label zertifizierte Trikots und Hosen anzubieten. Er müsste dafür aber die Verkaufspreise dieser Artikel deutlich erhöhen. Ein befreundeter Geschäftsmann behauptet, dass erfahrungsgemäß mindestens $80\%$ der Fans den Preisanstieg akzeptieren würden und dadurch eine deutliche Gewinnsteigerung zu erwarten sei. Sollte dies der Fall sein, will der Inhaber des Fanshops die Umstellung wagen. Allerdings glaubt er, dass deren Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese).

Um eine Entscheidung zu treffen, befragt er $100$ zufällig ausgewählte Fans, ob diese

höhere Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte in Kauf nehmen würden.

Entwickeln Sie für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5\%$. Geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn $75$ Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden. (5 BE)

Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik II

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

1 An einer Fachoberschule wird eine Umfrage zu den Zukunftsplänen der Schülerinnen und Schüler durchgeführt. Laut dieser Umfrage möchte nach dem Fachabitur ein Fünftel aller Befragten ein sogenanntes „Gap Year“ (G) machen. $70\%$ davon haben vor, in diesem Jahr ins Ausland zu gehen (D), alle anderen verbringen die Zeit lieber in Deutschland (D). Von denjenigen, die ins Ausland gehen, machen dort $35\%$ Work & Travel (W), $30\%$ ein Praktikum (P) und der Rest andere Tätigkeiten (T) wie zum Beispiel Sprachreisen, Urlaub oder arbeiten als Au-pair. Die Hälfte derer, die während ihres Gap Years in Deutschland bleiben, nutzt die Zeit für ein Praktikum und die andere Hälfte für einen Freiwilligendienst (F). Von den Befragten, die sich gegen eine Auszeit (G) nach dem Fachabitur entscheiden, planen $40\%$ zu studieren (S). Der Rest wird zu gleichen Teilen die dreizehnte Klasse (K) besuchen oder eine Ausbildung beginnen (A).

Die Befragung einer zufällig ausgewählten Schülerin oder eines zufällig ausgewählten Schülers nach den Zukunftsplänen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des Zufallsexperiments. (5 BE)

b) Gegeben sind die folgenden Ereignisse:

$E_1$: „Eine zufällig ausgewählte befragte Person plant ein Gap Year im Ausland.“

$E_2:\{(G;\overline{D};P);(G;D;P)\}$

$E_3=\overline{E_1\cap E_2}$

Geben Sie $E_1$ in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie $E_2$ möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend $P(E_3)$.

2 Die Schülerin Lena entscheidet sich für ein Gap Year mit Auslandsaufenthalt in Asien. Sie findet einen Job bei einer Auffangstation für Meerestiere. Im Durchschnitt sind 65 von 100 behandelten Tieren in der Station Meeresschildkröten (S). Insgesamt sind $60\%$ aller Verletzungen und Krankheiten bei Meerestieren die Folge von Plastikmüll (M) in den Ozeanen, zwei Drittel davon treten bei Meeresschildkröten auf.

Erstellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständig ausgefüllte

Vierfeldertafel. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_4=M\cup S$ und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (5 BE)

3 Eine von Lenas Lieblingsaufgaben in der Auffangstation ist das Freilassen von Baby-Schildkröten an möglichst sicheren Stränden. Sie weiß jedoch, dass die Überlebenschance der Baby-Schildkröten in den ersten paar Tagen aufgrund der hohen Anzahl an Fressfeinden nur bei $10\%$ liegt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 20 freigelassenen Schildkrötenbabys mindestens drei, aber höchstens sieben Tiere überleben. (2 BE)

4 Lena möchte die Reisezeit ihres Work & Travel Aufenthalts nutzen, um Tauchen zu

lernen. Eine Tauchschule in Thailand macht Werbung mit der Behauptung, dass bei

mindestens $70\%$ aller Tauchgänge Meeresschildkröten beobachtet werden können.

Lena vermutet allerdings, dass der Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese). Um ihren Verdacht mit einem Hypothesentest zu überprüfen, befragt sie jeweils einen Teilnehmer bzw. eine Teilnehmerin von $50$ verschiedenen Tauchgängen, ob Schildkröten gesehen wurden. Lena möchte sich bei der Annahme ihrer Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $3\%$ irren.

a) Geben Sie für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an. Ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese und geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn auf genau $20$ Tauchgängen keine Meeresschildkröten gesehen werden. (5 BE)

b) Berechnen Sie für den in Teilaufgabe a) entwickelten Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich nur auf der Hälfte aller Tauchgänge mit der Tauchschule Meeresschildkröten gesehen werden. (2 BE)