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Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist

Gegeben ist $f(x)=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ .

Für die Nullstellen löse die Gleichung $f (x) = 0$ .

$0=10 \cdot(x-1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$

Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$\Rightarrow\;x-1=0\;\Rightarrow\;x=1$

Demnach ist $x = 1$ die einzige Nullstelle.

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
$f'(x)=10\cdot(1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$
$f'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =10\cdot(2-x)\cdot e^{-x}$
Weil $\mathrm{e}^{-x}\neq 0$ für alle $x \in \mathbb{R}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
$2-x=0\;\Rightarrow\;x=2$
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
$f''(x)=10\cdot\left((-1)\cdot e^{-x}+(2-x)\cdot e^{-x}\cdot (-1)\right)=10\cdot(x-3)\cdot e^{-x}$
$f''(2)=10\cdot(2-3)\cdot e^{-2}=-10\cdot e^{-2}<0$
Die Funktion $f$ hat genau eine lokale Extremstelle.
Der Graph von $f$ hat bei $x = 2$ ein lokales Maximum.
Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12 ∣ 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist
Gegeben ist $f(x)=-\frac{5}{16} x^{4}+5 x^{3}$ .
Berechne $f^{'} (x)$ und $f^{''} (x)$ :
$f'(x)=-\frac{5}{4} x^{3}+15 x^{2}$
$f''(x)=-\frac{15}{4} x^{2}+30 x$
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .
$\Rightarrow\;0=-\frac{5}{4} x^{3}+15 x^{2}=5x^2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}x+3\right)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
$x=0\vee -\dfrac{1}{4}x+3=0\;\Rightarrow\;x=12$
Lokale Extremstellen sind also $x = 0$ oder $x = 12$ .
Nach Aufgabenstellung muss nur $x = 12$ beachtet werden.
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f''(x)\neq 0$ .
$\Rightarrow\;f''(12)=-\frac{15}{4}\cdot 12^{2}+30 \cdot 12=-180<0\;\Rightarrow\;$ Maximum
Berechne $f(12)=-\frac{5}{16} \cdot 12^{4}+5\cdot 12^{3}=2160$ .
Der Punkt $(12 ∣ 2160)$ ist ein Hochpunkt des Graphen von $f$ .
Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0 \mid 0)$ parallel zur $x$ -Achse verläuft
Es ist $f^{'} (0) = 0$ und $f (0) = 0$ .
Im Punkt $(0\mid 0)$ verläuft die Tangente an den Graphen von $f$ parallel zur $x$ -Achse.
Bestimme eine Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft
Berechne die Wendepunkte:
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{''} (x) = 0$ .
$\Rightarrow\;0=-\frac{15}{4} x^{2}+30 x=15\cdot x\left(-\dfrac{1}{4}\cdot x +2\right)$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
$x=0\vee -\dfrac{1}{4}x+2=0\;\Rightarrow\;x=8$
Wendestellen liegen bei $x = 0$ oder $x = 8$ vor, wenn die hinreichende Bedingung $f'''(x)\neq 0$ erfüllt ist.
Berechne $f'''(x)=-\frac{15}{2} x+30 \;\Rightarrow\;f''(0)=30\neq 0$ und $f'''(8)=-\frac{15}{2} \cdot 8+30=-30\neq 0$
Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei $x = 0$ oder $x = 8$ vor.
Berechne $f (0) = 0$ und $f(8)=-\frac{5}{16}\cdot 8^{4}+5\cdot 8^{3}=1280$ .
Die Wendepunkte haben die Koordinaten $WP_1(0\mid 0)$ und $WP_2(8\mid 1280)$ .
Für die Geradengleichung $g$ benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:
$y=\dfrac{ y_2 - y_1 }{ x_2 - x_1 }\cdot(x - x_1) + y_1\;\Rightarrow\;y=\dfrac{1280-0}{8-0}\cdot(x - 0) + 0$
$\Rightarrow\;g: y=160\cdot x$
Die Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, lautet $y=160\cdot x$ .
Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat

Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_{f}$ mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist $f(x)=\dfrac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)$ .

Schnittpunkte mit der x-Achse:

$f(x)=0\;\Rightarrow\;\dfrac{1}{10}(-x^3+15x^2-56x+12)=0\;\Rightarrow\;-x^3+15x^2-56x+12=0$

Die Nullstelle der Funktion $g (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 56 x + 12$ ist bekannt $x_{N} = 6$ .

Führe eine Polynomdivision durch.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\phantom{-}\ (-x^3+15x^2-56x+12):(x-6)=-x^2+9x-2 \\-\underline{(-x^3+6x^2)}\\\phantom{-(x^3-1}9x^2-56x\\\phantom{(x^3+}-\underline{(9x^2-54x)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-}-2x+12\\\phantom{(x3+3x^2-}-\underline{(-2x+12)}\\\phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}$

Löse nun die Gleichung $-x^2+9x-2=0\;\Rightarrow\;x^2-9x+2=0$ mit der pq-Formel:

$\displaystyle x_{2{,}3}=$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 9$ und $q = 2$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-9)}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-9}{2}\right)^2-2}$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5 \pm\sqrt{20{,}25-2}$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5 \pm\sqrt{18{,}25}$

Somit lauten die Schnittpunkte von $G_{f}$ mit der x-Achse $N_1(6\mid 0), N_2(4{,}5 -\sqrt{18{,}25}\mid 0)\approx$ $N_2(0{,}23\mid 0)$ und $N_3(4{,}5 +\sqrt{18{,}25}\mid 0)\approx N_3(8{,}77\mid 0)$ .

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Setze $x = 0$ in $f (x)$ ein $\;\Rightarrow\;f(0)=12\;\Rightarrow\;S_y(0\mid 12)$ .

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0\mid 12)$ .

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{'} (x) = 0$ .

Bilde die 1. Ableitung:

$f'(x)=\dfrac{1}{10}(-3x^2+30x-56)$

$f'(x)=0\;\Rightarrow\;0 =-3x^2+30x-56$ (Nur die Klammer kann null werden.)

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = - 3, b = 30$ und $c = - 56$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{30^2-4\cdot(-3)\cdot(-56)}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{900-672}}{2\cdot (-3)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{228}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Schreibe $228$ als $4\cdot 57$ .
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm\sqrt{4\cdot 57}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Ziehe teilweise die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-30\pm2\cdot\sqrt{57}}{2\cdot (-3)}$
	↓	Klammere im Zähler $2$ aus und kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-15\pm\sqrt{57}}{(-3)}$
	↓	Klammere im Zähler $(- 1)$ aus und kürze
	$=$	$\displaystyle \dfrac{15\mp\sqrt{57}}{3}$

Mögliche Extremstellen sind $x_1=\dfrac{15-\sqrt{57}}{3}\approx2{,}5$ und $x_2=\dfrac{15+\sqrt{57}}{3}\approx7{,}5$ .

Die hinreichende Bedingung für eine Extremstelle lautet:

$f^{'} (x) = 0$ und $f''(x)\neq 0$

Bilde die 2. Ableitung:

$f''(x)=\dfrac{1}{10}(-6x^2+30)$

$f''(2{,}5)=\dfrac{1}{10}(-6\cdot 2{,}5^2+30)=1{,}5>0\;\Rightarrow\;$ rel. Min.

$f''(7{,}5)=\dfrac{1}{10}(-6\cdot 7{,}5^2+30)=-1{,}5<0\;\Rightarrow\;$ rel. Max.

Berechne die y-Werte der Extrema:

$f\left(\dfrac{15-\sqrt{57}}{3}\right)\approx -5$ und $f\left(\dfrac{15+\sqrt{57}}{3}\right)\approx 1{,}4$

Die Extrema lauten demnach:

$TP(2{,}5\mid -5)$ und $HP(7{,}5\mid 1{,}4)$

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Begründe, dass x=1x=1x=1 die einzige Nullstelle von fff ist

Untersuche fff rechnerisch auf lokale Extremstellen

Zeige rechnerisch, dass der Punkt (12∣2160)(12|2160)(12∣2160) ein Hochpunkt des Graphen von fff ist

Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von fff im Punkt (0∣0)(0 \mid 0)(0∣0) parallel zur xxx-Achse verläuft

Bestimme eine Gleichung der Geraden ggg, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von fff verläuft

Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu ggg ist und für 0≤x≤80 \leq x \leq 80≤x≤8 mit dem Graphen von fff genau einen Punkt gemeinsam hat

Berechne alle Schnittpunkte des Graphen GfG_fGf​ mit den Koordinatenachsen

Schnittpunkte mit der x-Achse:

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von GfG_fGf​

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von GfG_fGf​

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Begründe, dass $x = 1$ die einzige Nullstelle von $f$ ist

Untersuche $f$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12 ∣ 2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist

Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(0 \mid 0)$ parallel zur $x$ -Achse verläuft

Bestimme eine Gleichung der Geraden $g$ , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft

Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $g$ ist und für $0 \leq x \leq 8$ mit dem Graphen von $f$ genau einen Punkt gemeinsam hat

Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_{f}$ mit den Koordinatenachsen

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}$

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}$