Untersuche $ff$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot (1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}f\text{'}(x)=10\backslash cdot(1\backslash cdot\; e^\{-x\}+(x-1)\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash cdot\; (-1))=10\backslash cdot(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 0=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}f\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0\; =10\backslash cdot(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{-x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$2-x=0\Rightarrow x=22-x=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=2$

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}(x)\backslash neq\; 0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot ((-1)\cdot e^{-x}+(2-x)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (x-3)\cdot e^{-x}f\text{'}\text{'}(x)=10\backslash cdot\backslash left((-1)\backslash cdot\; e^\{-x\}+(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash cdot\; (-1)\backslash right)=10\backslash cdot(x-3)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Die Funktion $ff$ hat genau eine lokale Extremstelle.

Der Graph von $ff$ hat bei $x=2x=2$ ein lokales Maximum.

Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12\mathrm{\mid }2160)(12|2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $ff$ ist

Gegeben ist $f(x)=-\frac{5}{16}{x}^4+5x^{3}f(x)=-\backslash frac\{5\}\{16\}\; x^\{4\}+5\; x^\{3\}$.

Berechne $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{5}{4}{x}^3+15x^{2}f\text{'}(x)=-\backslash frac\{5\}\{4\}\; x^\{3\}+15\; x^\{2\}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{15}{4}{x}^2+30xf\text{'}\text{'}(x)=-\backslash frac\{15\}\{4\}\; x^\{2\}+30\; x$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$.

$\Rightarrow 0=-\frac{5}{4}{x}^3+15x^2=5x^2\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+3)\backslash Rightarrow\backslash ;0=-\backslash frac\{5\}\{4\}\; x^\{3\}+15\; x^\{2\}=5x^2\backslash cdot\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{4\}x+3\backslash right)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee -{\displaystyle \frac{1}{4}}x+3=0\Rightarrow x=12x=0\backslash vee\; -\backslash dfrac\{1\}\{4\}x+3=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=12$

Lokale Extremstellen sind also $x=0x=0$ oder $x=12x=12$.

Nach Aufgabenstellung muss nur $x=12x=12$ beachtet werden.

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}(x)\backslash neq\; 0$.

Maximum

Berechne $f(12)=-\frac{5}{16}\cdot {12}^4+5\cdot {12}^3=2160f(12)=-\backslash frac\{5\}\{16\}\; \backslash cdot\; 12^\{4\}+5\backslash cdot\; 12^\{3\}=2160$.

Der Punkt $(12\mathrm{\mid }2160)(12|2160)$ ist ein Hochpunkt des Graphen von $ff$.

Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von $ff$ im Punkt $(0\mid 0)(0\; \backslash mid\; 0)$ parallel zur $xx$-Achse verläuft

Es ist $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0f\text{'}(0)=0$ und $f(0)=0f(0)=0$.

Im Punkt $(0\mid 0)(0\backslash mid\; 0)$ verläuft die Tangente an den Graphen von $ff$ parallel zur $xx$-Achse.

Bestimme eine Gleichung der Geraden $gg$, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $ff$ verläuft

Berechne die Wendepunkte:

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}\text{'}(x)=0$.

$\Rightarrow 0=-\frac{15}{4}{x}^2+30x=15\cdot x(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot x+2)\backslash Rightarrow\backslash ;0=-\backslash frac\{15\}\{4\}\; x^\{2\}+30\; x=15\backslash cdot\; x\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; x\; +2\backslash right)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee -{\displaystyle \frac{1}{4}}x+2=0\Rightarrow x=8x=0\backslash vee\; -\backslash dfrac\{1\}\{4\}x+2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=8$

Wendestellen liegen bei $x=0x=0$ oder $x=8x=8$ vor, wenn die hinreichende Bedingung $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}\text{'}(x)\backslash neq\; 0$ erfüllt ist.

Berechne $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{15}{2}x+30\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=30\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}\text{'}(x)=-\backslash frac\{15\}\{2\}\; x+30\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f\text{'}\text{'}(0)=30\backslash neq\; 0$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(8)=-\frac{15}{2}\cdot 8+30=-30\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}\text{'}(8)=-\backslash frac\{15\}\{2\}\; \backslash cdot\; 8+30=-30\backslash neq\; 0$

Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei $x=0x=0$ oder $x=8x=8$ vor.

Berechne $f(0)=0f(0)=0$ und $f(8)=-\frac{5}{16}\cdot 8^4+5\cdot 8^3=1280f(8)=-\backslash frac\{5\}\{16\}\backslash cdot\; 8^\{4\}+5\backslash cdot\; 8^\{3\}=1280$.

Die Wendepunkte haben die Koordinaten $W{P}_1(0\mid 0)WP\_1(0\backslash mid\; 0)$ und $W{P}_2(8\mid 1280)WP\_2(8\backslash mid\; 1280)$.

Für die Geradengleichung $gg$ benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1280-0}{8-0}}\cdot (x-0)+0y=\backslash dfrac\{\; y\_2\; -\; y\_1\; \}\{\; x\_2\; -\; x\_1\; \}\backslash cdot(x\; -\; x\_1)\; +\; y\_1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;y=\backslash dfrac\{1280-0\}\{8-0\}\backslash cdot(x\; -\; 0)\; +\; 0$

$\Rightarrow g:y=160\cdot x\backslash Rightarrow\backslash ;g:\; y=160\backslash cdot\; x$

Die Gleichung der Geraden $gg$, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $ff$ verläuft, lautet $y=160\cdot xy=160\backslash cdot\; x$.

Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $gg$ ist und für $0\le x\le 80\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 8$ mit dem Graphen von $ff$ genau einen Punkt gemeinsam hat

Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_{f}G\_f$ mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}(-x^3+15x^2-56x+12)f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{10\}(-x^3+15x^2-56x+12)$.

Schnittpunkte mit der x-Achse:

$f(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{10}}(-x^3+15x^2-56x+12)=0\Rightarrow -x^3+15x^2-56x+12=0f(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{1\}\{10\}(-x^3+15x^2-56x+12)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-x^3+15x^2-56x+12=0$

Die Nullstelle der Funktion $g(x)=-x^3+15x^2-56x+12g(x)=-x^3+15x^2-56x+12$ ist bekannt $x_N=6x\_N=6$.

Führe eine Polynomdivision durch.

$\begin{array}{c}\phantom{-}(-x^3+15x^2-56x+12):(x-6)=-x^2+9x-2\\ -\underset{‾}{(-x^3+6x^2)}\\ \phantom{-(x^3-1}9x^2-56x\\ \phantom{(x^3+}-\underset{‾}{(9x^2-54x)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-}-2x+12\\ \phantom{(x3+3x^2-}-\underset{‾}{(-2x+12)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}\backslash phantom\{-\}\backslash \; (-x^3+15x^2-56x+12):(x-6)=-x^2+9x-2\; \backslash \backslash -\backslash underline\{(-x^3+6x^2)\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3-1\}9x^2-56x\backslash \backslash \backslash phantom\{(x^3+\}-\backslash underline\{(9x^2-54x)\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3+3x^2-\}-2x+12\backslash \backslash \backslash phantom\{(x3+3x^2-\}-\backslash underline\{(-2x+12)\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3+3x^2-4x-12\}0\backslash end\{array\}$

Löse nun die Gleichung $-x^2+9x-2=0\Rightarrow x^2-9x+2=0-x^2+9x-2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2-9x+2=0$ mit der pq-Formel:

Somit lauten die Schnittpunkte von $G_{f}G\_f$ mit der x-Achse $N_1(6\mid 0),N_2(\mathrm{4,5}-\sqrt{\mathrm{18,25}}\mid 0)\approx N\_1(6\backslash mid\; 0),\; N\_2(4\{,\}5\; -\backslash sqrt\{18\{,\}25\}\backslash mid\; 0)\backslash approx$$N_2(\mathrm{0,23}\mid 0)N\_2(0\{,\}23\backslash mid\; 0)$ und $N_3(\mathrm{4,5}+\sqrt{\mathrm{18,25}}\mid 0)\approx N_3(\mathrm{8,77}\mid 0)N\_3(4\{,\}5\; +\backslash sqrt\{18\{,\}25\}\backslash mid\; 0)\backslash approx\; N\_3(8\{,\}77\backslash mid\; 0)$.

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Setze $x=0x=0$ in $f(x)f(x)$ ein $\Rightarrow f(0)=12\Rightarrow S_y(0\mid 12)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f(0)=12\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;S\_y(0\backslash mid\; 12)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0\mid 12)S\_y(0\backslash mid\; 12)$.

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}G\_f$

Gegeben ist die Funktion $h:x\mapsto \arctan (1-x{)}^{2}h:x\backslash mapsto\; \backslash arctan(\; 1-\; x)^2$ in der Definitionsmenge $D_h=\mathbb{R}D\_h=\backslash mathbb\{R\}$. Ihr Graph wird mit $G_{h}G\_h$ bezeichnet.

a) Legen Sie jeweils mittels aussagekräftiger Rechnung für die Aussagen A, B und C dar, weshalb diese falsch sind:

A: „Der Graph $G_{h}G\_h$ ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.“

B: „Der Graph $G_{h}G\_h$ weist den Tiefpunkt $T\left(0\mathrm{\mid }{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)T\backslash left(0|\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right)$ auf.“

C: „Für die Wertemenge der Funktion $hh$ gilt $W_h=]-2;{\displaystyle \frac{\pi }{4}}]W\_h=\backslash left]\; -2;\backslash dfrac\{\backslash pi\}\{4\}\backslash right]$. “

b) Zeichnen Sie den Graphen G_h der Funktion h unter Verwendung der Erkenntnisse aus Teilaufgabe a) und weiterer geeigneter Funktionswerte für $-3\le x\le 3-3\backslash leq\; x\; \backslash leq\; 3$ in ein kartesisches Koordinatensystem.

c) Die Funktion $gg$ mit $g(x)=h(x)g(x)=h(x)$ und $D_g=[0;2]D\_g=\; [0;2]$ ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Ihre Umkehrfunktion wird mit $g^{-1}g^\{-1\}$ bezeichnet. Ermitteln Sie eine mögliche Funktionsgleichung von $g^{-1}g^\{-1\}$. Bestimmen Sie außerdem die Definitionsmenge und die Wertemenge von $g^{-1}g^\{-1\}$.

3.0 Eine spezielle Rakete mit der Masse m=500 Tonnen befindet sich in Ruhe in einem Bezugssystem, in welchem sie keine Kraft von einem anderen Körper erfährt. Ab dem Zeitpunkt t=0 wird die Rakete nach dem Rückstoßprinzip in Flugrichtung beschleunigt, indem kontinuierlich ein Teil ihrer Masse in Form von Treibstoff mit einer Ausströmgeschwindigkeit $\mathrm{4,0}{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}4\{,\}0\; \backslash mathrm\{\backslash dfrac\{km\}\{s\}\}$ relativ zur Rakete nach hinten ausgestoßen wird. Folglich hängt die Geschwindigkeit $uu$ der Rakete von der abnehmenden Masse $mm$ der Rakete ab und kann also durch einen Term $u(m)u(m)$ beschrieben werden.

Unter Berücksichtigung, dass $mm$ in Tonnen, $u(m)u(m)$ in Kilometern pro Sekunde und $tt$ in

Sekunden gemessen wird, wird im Folgenden auf das Mitführen der Einheiten verzichtet.

a) Aus dem Impulserhaltungssatz kann man die Differenzialgleichung $m\cdot u^{\mathrm{\prime }}(m)=-4m\backslash cdot\; u\text{'}(m)=-4$ folgern.

Ermitteln Sie die spezielle Lösung dieser Differenzialgleichung für das vorliegende

Anfangswertproblem.

$[\text{M}\ddot{\text{o}}\text{gliches Ergebnis}:u(m)=4\cdot \ln \left({\displaystyle \frac{500}{m}}\right)]\backslash left[\backslash text\{Mögliches\; Ergebnis\}:\; u(m)=4\backslash cdot\; \backslash ln\backslash left(\backslash dfrac\{500\}\{m\}\backslash right)\backslash right]$

b) Die Masse $mm$ der Rakete hängt von der Beschleunigungszeit $tt$ ab und wird deshalb durch den Term $m(t)m(t)$ beschrieben. Während der ersten $900900$ Sekunden nimmt die Masse der Rakete pro Sekunde um $\mathrm{0,5}0\{,\}5$ Tonnen ab, also gilt:

$m(t)=500-\mathrm{0,5}\cdot tm(t)=500-\; 0\{,\}5\backslash cdot\; t$ für $0\le t\le 9000\backslash leq\; t\; \backslash leq\; 900$.

Die Geschwindigkeit der Rakete in Abhängigkeit von der Zeit $tt$ wird mit $v(t)v(t)$ bezeichnet, wobei für die ersten $900900$ Sekunden gilt: $v(t)=u(m(t))v(t)=\; u\; \backslash left(m(t)\backslash right)$.

c) Zeigen Sie, dass gilt: $v(t)=-4\cdot \ln (1-\mathrm{0,001}\cdot t)v(t)=-\; 4\backslash cdot\backslash ln(1-\; 0\{,\}001\; \backslash cdot\; t)$. Ermitteln Sie zudem den Zeitpunkt $t_{1}t\_1$, zu dem die Rakete eine Geschwindigkeit von $8{\displaystyle \frac{\mathrm{k}\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}8\; \backslash mathrm\{\backslash dfrac\{km\}\{s\}\}$ hat. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl.

d) Berechnen Sie das Integral ${\displaystyle {\int }_0^{900}v(t)\mathrm{d}t}\backslash displaystyle\; \backslash int\_0^\{900\}\; v(t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$ aus Teilaufgabe c) z. B. mithilfe einer

geeigneten Substitution. Runden Sie Ihr Ergebnis auf eine ganze Zahl und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang

Gegeben ist die Funktion $h:x\mapsto {\displaystyle \frac{4+4\cdot \ln (x+1)}{x+1}}h:x\backslash mapsto\; \backslash dfrac\{4+4\backslash cdot\; \backslash ln(x+1)\}\{x+1\}$ mit der Definitionsmenge $D_h=]-1;+\mathrm{\infty }[D\_h=\; ]-1;\; +\backslash infty[$.

a) Berechnen Sie die Nullstelle von $hh$. Bestimmen Sie außerdem das Verhalten der

Funktionswerte $h(x)h(x)$ für $x\to -1x\backslash ;\backslash rightarrow\backslash ;-1$.

b) Ermitteln Sie die Wertemenge von $hh$.

$[\text{M}\ddot{\text{o}}\text{gliches Teilergebnis}:h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-4\cdot \ln (x+1)}{(x+1{)}^2}}]\backslash left[\backslash text\{Mögliches\; Teilergebnis\}:\; h\text{'}(x)=\backslash dfrac\{-4\backslash cdot\; \backslash ln(x+1)\}\{(x+1)^2\}\backslash right]$

c) Gegeben ist nun die Funktion $H:x\mapsto {\displaystyle {\int }_0^{x}h(t)\mathrm{d}t}H:x\backslash mapsto\; \backslash displaystyle\; \backslash int\_0^\{x\}\; h(t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$ mit der Definitionsmenge $D_H=D_{h}D\_H=D\_h$.

Bestimmen Sie eine integralfreie Darstellung von $H(x)H(x)$.

Hinweis: Die Substitution $z=\ln (t+1)z=\backslash ln(t+1)$ kann hilfreich sein.

Die Funktion $SS$ sei eine Stammfunktion von $HH$ mit der Definitionsmenge $D_S=D_{H}D\_S=D\_H$.

Begründen Sie, dass der Graph von $SS$ einen Extrempunkt bei $x=0x=0$ besitzt.

neue Aufgabe 2

Nun wird die Funktion $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{x^2-1}{1-2x}}f:\; x\backslash mapsto\; \backslash dfrac\{x^2-1\}\{1-2x\}$ mit der Definitionsmenge $D_f=]-\mathrm{\infty };\mathrm{0,5}[D\_f=\; ]-\backslash infty;\; 0\{,\}5[$ betrachtet. Ein Ausschnitt des Graphen von $ff$ ist nebenstehend abgebildet.

a) Die Funktion $ff$ ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Ermitteln Sie eine Gleichung der Umkehrfunktion von $ff$.

b) Zeigen Sie, dass gilt: $f(x)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{4\cdot (-2x+1)}}f(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{2\}x-\backslash dfrac\{1\}\{4\}-\backslash dfrac\{3\}\{4\backslash cdot(-2x+1)\}$

c) Der Graph von $ff$ schließt zusammen mit den beiden Koordinatenachsen im

III. Quadranten des Koordinatensystems ein endliches Flächenstück ein. Ermitteln Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks.

neue Aufgabe 3

Bei der Erforschung von speziellen Zellen haben Untersuchungen gezeigt, dass sich das Zellvolumen $V(t)V(t)$ (in${\mathrm{m}\mathrm{m}}^3\backslash ;\backslash mathrm\{mm\}^3$) in Abhängigkeit von der seit Beobachtungsbeginn $(t=0)(t=0)$ verstrichenen Zeit t (in Tagen) mit der Differenzialgleichung $\dot{V}(t)=\mathrm{0,5}\cdot e^{-\mathrm{0,2}\cdot t}\cdot V(t)\backslash dot\; V(t)=0\{,\}5\backslash cdot\; e^\{-0\{,\}2\backslash cdot\; t\}\backslash cdot\; V(t)$ beschreiben lässt.

Auf das Mitführen von Einheiten kann in den Rechnungen verzichtet werden.

a) Zeigen Sie, dass die Funktion $VV$ mit der Gleichung $V(t)=k\cdot e^{\mathrm{2,5}\cdot (1-e^{-\mathrm{0,2}\cdot t})}V(t)=k\backslash cdot\; e^\{2\{,\}5\backslash cdot\; (1-e^\{-0\{,\}2\backslash cdot\; t\})\; \}$ für beliebige Werte von $k\in {\mathbb{R}}^{+}k\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^+$ eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist. Erläutern Sie außerdem die Bedeutung des Parameters $kk$ im Sachzusammenhang.

b) Berechnen Sie unter Verwendung von $V(t)V(t)$ aus Teilaufgabe a), auf das Wievielfache das Volumen der Zellen auf lange Sicht anwächst, und ermitteln Sie den Zeitpunkt (auf $22$ Nachkommastellen gerundet), zu dem sich das Volumen der Zellen verdoppelt hat.

Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2023

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

1.0 Bei einem Hersteller von Elektroautos (E-Autos) können die Kunden beim Kauf eines Autos zwischen den Modellen $A,BA,\; B$ und $CC$ wählen. $30\mathrm{\%}30\backslash ;\backslash \%$ der Kunden entscheiden sich für Modell $CC$. Die restlichen Kunden wählen zu gleichen Teilen $AA$ bzw. $BB$.

Die Modelle $BB$ und $CC$ werden mit einer kleinen $(K)(K)$ oder einer großen $(G)(G)$ Batterie

angeboten. Das Modell $AA$ kann nur mit einer kleinen Batterie bestellt werden. Bei

Modell $BB$ entscheiden sich vier von zehn Kunden für die große Batterie, während sich beim Modell $CC$ nur $15\mathrm{\%}15\backslash ;\backslash \%$ der Kunden für die kleine Batterie entscheiden.

Zusätzlich können alle Modelle noch mit einem Autopilot $(P)(P)$ ausgestattet werden. Bei

Modell $BB$ und $CC$ erfolgt die Wahl unabhängig von der Batteriegröße. Dieses Zusatzangebot wählen beim Modell $AA$ $20\mathrm{\%}20\backslash ;\backslash \%$ der Kunden und beim Modell $BB$ jeweils $30\mathrm{\%}30\backslash ;\backslash \%$. Insgesamt werden $\mathrm{41,5}\mathrm{\%}41\{,\}5\backslash ;\backslash \%$ aller Fahrzeuge mit Autopilot gewünscht.

Die Wahl des Modells, der Batteriegröße und der Zusatzfunktion Autopilot eines beliebig herausgegriffenen Kunden wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

$[[$ Teilergebnis: $P(\{(C;K;P)\})=\mathrm{0,036}]P\backslash left(\backslash \{(C;K;P)\backslash \}\backslash right)=0\{,\}036]$

b) Gegeben sind folgende Ereignisse:

$E_{1}E\_1$: „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt Modell $AA$ oder $CC$ jeweils mit Autopilot.“

$E_{2}E\_2$: „Ein zufällig ausgewählter Kunde wählt entweder die kleine Batterie oder den

Autopilot.“

Berechnen Sie nachvollziehbar jeweils die Wahrscheinlichkeit für $E_{1}E\_1$ und für $E_{2}E\_2$.

neue Aufgabe 2

In einer Kleinstadt sind $30\mathrm{\%}30\backslash ;\backslash \%$ aller zugelassenen Elektroautos der Oberklasse $(O)(O)$

zuzuordnen, die restlichen werden der Mittelklasse $(M)(M)$ zugeordnet. Die Akkus aller hier betrachteten Elektroautos werden zu $\mathrm{39,5}\mathrm{\%}39\{,\}5\backslash ;\backslash \%$ regelmäßig über eine Photovoltaik-Anlage $(V)(V)$ des jeweiligen Fahrzeugeigners geladen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig aus all diesen Fahrzeugen ausgewähltes Elektroauto ein Modell der Oberklasse ist und regelmäßig über eine Photovoltaik-Anlage aufgeladen wird, beträgt $\mathrm{25,5}\mathrm{\%}25\{,\}5\backslash ;\backslash \%$.

a) Erstellen Sie eine vollständig ausgefüllte Vierfeldertafel und berechnen Sie die

Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_3=\overline{M\cap V}E\_3=\backslash overline\{M\backslash cap\; V\}$.

b) Untersuchen Sie, ob der Anteil der Fahrzeuge, die über eine Photovoltaik-Anlage des Fahrzeugeigners geladen werden, bei den Oberklasse-Modellen höher ist als bei den Mittelklasse-Modellen. Entscheiden Sie anschließend, ob die Ereignisse $MM$ und $VV$stochastisch unabhängig sind.

Neue Aufgabe

T13 – Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I (Fortsetzung) 2023

Am Parkplatz eines großen Einkaufszentrums wurde im Rahmen einer Bachelor-Arbeit eine lang angelegte Studie zum Laden von E-Autos an den dort vorhandenen Ladesäulen durchgeführt. Diese lieferte folgende Ergebnisse: $80\mathrm{\%}80\backslash ;\backslash \%$ der Ladevorgänge erfolgen während der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen. Alle anderen Besitzer verbringen die Ladezeit in den umliegenden kleineren Geschäften, Bars, Cafés oder im Biergarten. Zudem wurde festgestellt, dass $5\mathrm{\%}5\backslash ;\backslash \%$ aller auf dem Parkplatz parkenden Pkw E-Autos sind.

Bestimmen Sie, basierend auf den Ergebnissen der Studie, die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$E_{4}E\_4$: „Unter elf Ladevorgängen erfolgen genau neun in der Zeit, in der die Besitzer der

Fahrzeuge im Einkaufszentrum verweilen.“

$E_{5}E\_5$: „Unter $5050$ Ladevorgängen erfolgen mehr als neun, aber weniger als $1818$ in der Zeit, in der die Besitzer der Fahrzeuge nicht im Einkaufszentrum verweilen.“

$E_{6}E\_6$: „Unter $100100$ auf dem Parkplatz parkenden Pkw sind mehr E-Autos als nach der Studie zu erwarten wären.“

T13 – Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik II 2023

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

Am Pausenverkauf einer großen Mädchenschule kaufen an einem Tag erfahrungsgemäß $30\mathrm{\%}30\backslash ;\backslash \%$ aller Schülerinnen eine Breze. Es werden 20 Schülerinnen an einem bestimmten Tag zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $XX$ gibt an, wie viele von diesen am betrachteten Tag eine Breze kaufen.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$E_{1}E\_1$: „Nur die letzten beiden Schülerinnen kaufen eine Breze.“

$E_{2}E\_2$: „Genau zehn der Schülerinnen kaufen keine Breze.“

b) Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $XX$ und interpretieren Sie diesen im Sachzusammenhang.

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallswerte von $XX$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegen.

d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses:

$E_{3}E\_3$: „Mehr als doppelt so viele Schülerinnen wie erwartet kaufen eine Breze.“

neue Aufgabe 2

In einer Urne befinden sich sechs grüne, eine rote und eine blaue Kugel. Ein

Zufallsexperiment besteht darin, nacheinander jeweils zufällig eine Kugel ohne

Zurücklegen zu ziehen und deren Farbe festzustellen. Es wird so lange gezogen, bis die blaue Kugel erscheint, höchstens jedoch dreimal.

a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zehn Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

b) Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet:

$AA$: „Es werden alle drei Farben gezogen.“

$BB$: „Das Zufallsexperiment endet mit der blauen Kugel.“

Berechnen Sie nachvollziehbar die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $AA$ und $BB$.

$[[$Teilergebnis: $P(B)=\frac{3}{8}]P(B)=\backslash frac\{3\}\{8\}]$

c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass insgesamt drei Kugeln gezogen werden unter der Bedingung, dass das Zufallsexperiment mit der blauen Kugel endet.