Begründe, dass die einzige Nullstelle von ist
Gegeben ist .
Für die Nullstellen löse die Gleichung .
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Demnach ist die einzige Nullstelle.
Untersuche rechnerisch auf lokale Extremstellen
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:
Weil für alle folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:
Die Funktion hat genau eine lokale Extremstelle.
Der Graph von hat bei ein lokales Maximum.
Zeige rechnerisch, dass der Punkt ein Hochpunkt des Graphen von ist
Gegeben ist .
Berechne und :
Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist .
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
Lokale Extremstellen sind also oder .
Nach Aufgabenstellung muss nur beachtet werden.
Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist .
Maximum
Berechne .
Der Punkt ist ein Hochpunkt des Graphen von .
Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von im Punkt parallel zur -Achse verläuft
Es ist und .
Im Punkt verläuft die Tangente an den Graphen von parallel zur -Achse.
Bestimme eine Gleichung der Geraden , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von verläuft
Berechne die Wendepunkte:
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist .
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:
Wendestellen liegen bei oder vor, wenn die hinreichende Bedingung erfüllt ist.
Berechne und
Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei oder vor.
Berechne und .
Die Wendepunkte haben die Koordinaten und .
Für die Geradengleichung benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:
Die Gleichung der Geraden , die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von verläuft, lautet .
Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu ist und für mit dem Graphen von genau einen Punkt gemeinsam hat
Berechne alle Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen
Gegeben ist .
Schnittpunkte mit der x-Achse:
Die Nullstelle der Funktion ist bekannt .
Führe eine Polynomdivision durch.
Löse nun die Gleichung mit der pq-Formel:
↓ Setze und ein.
Somit lauten die Schnittpunkte von mit der x-Achse und .
Schnittpunkt mit der y-Achse:
Setze in ein .
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist .
Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von
Aufg. 1 Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
a) Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten von und die Nullstelle von an.
(2 BE)
b) Weisen Sie nach, dass die Funktion in ihrer Definitionsmenge umkehrbar ist, und ermitteln Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion von . (6 BE)
c) Der Graph von und die zur x-Achse senkrechte Gerade bei schließen zusammen mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück ein.
Berechnen Sie die exakte Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)
d) Gegeben ist nun die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge . Ermitteln Sie die Definitionsmenge und die exakte Nullstelle von . (5 BE)
Aufg. 2 Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis
Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer in stetigen Funktion . Die x-Achse ist Asymptote . Außerdem gilt: für .
Zudem ist die Funktion mit der Definitionsmenge gegeben.
Entscheiden Sie für die beiden folgenden Aussagen jeweils, ob die Aussage wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
A: „Der Graph von besitzt bei einen Extrempunkt.“
B: „Der Graph von hat bei eine Tangente mit einem positiven y-Achsenabschnitt.“
(5 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I
1 Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge.
Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
a) Berechnen Sie die Nullstelle von . Bestimmen Sie außerdem das Verhalten der
Funktionswerte von an den Rändern der Definitionsmenge und geben Sie die Gleichung der Asymptote von an. (7 BE)
b) Ermitteln Sie das Steigungsverhalten von und geben Sie die Wertemenge von an. (5 BE)
c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts von .
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I
2 Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
a) Zeigen Sie, dass der Graph der Funktion u streng monoton fallend ist. (4 BE)
b) Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Ermitteln Sie einen Term der Umkehrfunktion von . (3 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I
3 Gegeben sind die Funktionen und mit den jeweils maximalen Definitionsmengen und .
a) Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von , sowie jeweils Art und
x-Koordinaten aller Extrempunkte des Graphen von . (7 BE)
b) Zeigen Sie, dass auch in der Form dargestellt werden kann. Ermitteln Sie anschließend eine integralfreie Darstellung von . (8 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I
4 Weinkenner sind davon überzeugt, dass je nach Weinsorte die passende Weintemperatur wichtig für den Genuss des Weins ist. So soll zum Beispiel Rotwein bei Raumtemperatur genossen werden. Mit einem Wein-Thermometer wird in einem Raum die Temperatur des Weins gemessen, die niedriger als die Raumtemperatur ist. In dieser Aufgabe zeigt das Wein-Thermometer unmittelbar vor dem Eintauchen in den Wein die Raumtemperatur von an. Nach dem Eintauchen in den Wein wird es erst allmählich die Weintemperatur anzeigen. Sowohl die Raumtemperatur als auch die Weintemperatur sind während der Messung als konstant zu betrachten.
Die vom Wein-Thermometer in der Einheit angezeigte Temperatur in Abhängigkeit von der Zeit (gemessen in Sekunden ab dem Zeitpunkt des Eintauchens) lässt sich durch die Differenzialgleichung beschreiben, wobei ein reeller Parameter ist. Auf das Mitführen der Einheiten wird im Folgenden verzichtet.
Zeigen Sie, dass die Funktion für jeden Wert von eine Lösung der obigen Differenzialgleichung ist, und begründen Sie, warum in der vorliegenden Situation gelten muss. (4 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II
1 Gegeben ist die Funktion mit der maximalen Definitionsmenge .
Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
a) Zeigen Sie, dass ist, und berechnen Sie die Nullstellen von auf eine
Nachkommastelle genau. (6 BE)
b) Ermitteln Sie die Gleichungen aller Asymptoten von . (5 BE)
c) Ermitteln Sie die maximalen Monotonieintervalle von und bestimmen Sie damit Art und Koordinaten des Extrempunkts von .
(8 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II
2 Nun wird die Funktion mit der Definitionsmenge betrachtet.
a) Ermitteln Sie ohne Verwendung einer integralfreien Darstellung von die Anzahl und die Lage der Nullstellen von . (3 BE)
b) Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von h. (6 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II
3.0 Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
a) Begründen Sie für die folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind.
A: „Der Graph von hat bei einen absoluten Extrempunkt.“
B: „Die Gerade mit der Gleichung ist Asymptote von .“
(6 BE)
b) Die Funktion ist umkehrbar (Nachweis ist nicht erforderlich). Die Tangente berührt den Graphen der Umkehrfunktion von im Punkt . Ermitteln Sie die Steigung der Tangente . (5 BE)
Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis II
4 Auf einen bestimmten Körper wirkt zu jedem Zeitpunkt seit Beobachtungsbeginn eine konstante Kraft. Außerdem wirkt auf den Körper eine Reibungskraft, die proportional zum Quadrat der Momentangeschwindigkeit des Körpers ist. Es gilt modellhaft die Differenzialgleichung . Die Geschwindigkeit wird in , die Zeit in angegeben. Bei den folgenden Berechnungen darf auf das Mitführen der Einheiten verzichtet werden.
Untersuchen Sie, ob die Funktion v mit der Gleichung eine spezielle
Lösung der Differenzialgleichung ist. (4 BE)
Abitur Bayern 2025 Analysis m.H.
Gegeben ist die Funktion mit ihrer Definitionsmenge
Der Graph der Funktion wird mit bezeichnet.
a) Untersuchen Sie, ob eine Symmetrie zum Koordinatensystem besitzt. (3 BE)
b) Ermitteln Sie die exakten Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion mit der Definitionsmenge .
c) Die nachfolgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphens von der Funktion . Alle Nullstellen und Definitionslücken sind in der Abbildung ersichtlich. Geben Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie jeweils die Art aller Extremstellen von an.
Hinweis: Anstelle der exakten Zahlenwerte können bei der Angabe der Intervalle die in der Abbildung ersichtlichen Bezeichnungen und verwendet werden.
Pol ohne
VZW
Pol ohne
VZW
Pol ohne
VZW
x
x_3
x_1
0
x_2
x_4
+
f'(x)
+
Def. lücke
+
0
-
Def. lücke
0
+
Def. lücke
G_f
HP
TP
d) Zeigen Sie, dass die Funktion auch durch die Gleichung dargestellt werden kann und berechnen Sie das bestimmte Integral . (7 BE)
2. Bei der Milchsäuregärung wandeln Bakterien die in der Milch befindliche Laktose in Milchsäure um. Die Funktion mit und gibt die Milchsäurekonzentration in Abhängigkeit von der Zeit an. Dabei wird in Gramm pro Liter gemessen und gibt die Zeit in Stunden an, die seit Beobachtungsbeginn vergangen ist. Bei Rechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden. Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.
a) In einem Laborversuch wird die Milchsäurekonzentration von einem Liter Milch stündlich gemessen. Zu Beobachtungsbeginn beträgt die Milchsäurekonzentration Gramm pro Liter und Stunden nach Beobachtungsbeginn Gramm pro Liter. Berechnen Sie die Werte der Parameter und so, dass die Modellfunktion mit diesen beiden Messwerten in Einklang steht. (3 BE)
b) Im Folgenden gilt und . Somit ergibt sich mit . Der Graph von wird mit bezeichnet.
1. Zeigen Sie, dass die Milchsäurekonzentration nach diesem Modell stetig zunimmt.
[ Mögliches Teilergebnis ] (4 BE)
2. Für die zweite Ableitungsfunktion gilt mit . (Nachweis nicht erforderlich.)
Ermitteln Sie den Zeitpunkt , zu dem die erste Ableitungsfunktion ein absolutes Maximum besitzt. Berechnen Sie die Differenz und interpretieren Sie diesen Wert im Sachzusammenhang. (6 BE)
3. Zeichne Sie im Bereich in ein Koordinatensystem. Wählen Sie auf beiden Achsen einen geeigneten Maßstab. Kennzeichnen Sie auch die Differenz in Ihrer Abbildung. (4 BE)
4. Weisen Sie nach, dass die Funktion mit der Definitionsmenge eine Stammfunktion von ist. (3 BE)
5. Die durchschnittliche Milchsäurekonzentration in über einen Zeitraum in Stunden beträgt .
Berechnen Sie die Milchsäurekonzentration in dieser Milchprobe in den ersten sechs Beobachtungsstunden. (3 BE)
aus
Analytische Geometrie
1 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte , und gegeben.
Runden Sie Ihre Endergebnisse gegebenenfalls auf eine Nachkommastelle.
a) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung mit und interpretieren Sie Ihr Ergebnis geometrisch. (6 BE)
b) Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes des Dreiecks . (3 BE)
c) Die Gerade verläuft durch die Punkte und .
Es gilt: . (Nachweis nicht erforderlich!)
Berechnen Sie den Abstand der Geraden zum Punkt . (5 BE)
2
Zu FOS 2022 Aufg.2 Alternative
Nach Aufgabe b) gilt: Der Nenner der 1. Ableitung ist die Gleichung einer nach oben geöffneten Parabel mit Scheitelpunkt .
Da ist, hat die 1. Ableitung bei einen Hochpunkt bei ist dann Wendepunkt.
Die Koordinaten des Wendepunkts von sind .
Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?