Untersuche $ff$ rechnerisch auf lokale Extremstellen

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 1. Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot (1\cdot e^{-x}+(x-1)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}f\text{'}(x)=10\backslash cdot(1\backslash cdot\; e^\{-x\}+(x-1)\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash cdot\; (-1))=10\backslash cdot(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 0=10\cdot (2-x)\cdot e^{-x}f\text{'}(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0\; =10\backslash cdot(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Weil ${\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{\ne }0\backslash mathrm\{e\}^\{-x\}\backslash neq\; 0$ für alle $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$ folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:

$2-x=0\Rightarrow x=22-x=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=2$

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}(x)\backslash neq\; 0$.

Bilde mithilfe der Produkt- und Kettenregel die 2. Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=10\cdot ((-1)\cdot e^{-x}+(2-x)\cdot e^{-x}\cdot (-1))=10\cdot (x-3)\cdot e^{-x}f\text{'}\text{'}(x)=10\backslash cdot\backslash left((-1)\backslash cdot\; e^\{-x\}+(2-x)\backslash cdot\; e^\{-x\}\backslash cdot\; (-1)\backslash right)=10\backslash cdot(x-3)\backslash cdot\; e^\{-x\}$

Die Funktion $ff$ hat genau eine lokale Extremstelle.

Der Graph von $ff$ hat bei $x=2x=2$ ein lokales Maximum.

Zeige rechnerisch, dass der Punkt $(12\mathrm{\mid }2160)(12|2160)$ ein Hochpunkt des Graphen von $ff$ ist

Gegeben ist $f(x)=-\frac{5}{16}{x}^4+5x^{3}f(x)=-\backslash frac\{5\}\{16\}\; x^\{4\}+5\; x^\{3\}$.

Berechne $f^{\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}(x)$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)f\text{'}\text{'}(x)$:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{5}{4}{x}^3+15x^{2}f\text{'}(x)=-\backslash frac\{5\}\{4\}\; x^\{3\}+15\; x^\{2\}$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{15}{4}{x}^2+30xf\text{'}\text{'}(x)=-\backslash frac\{15\}\{4\}\; x^\{2\}+30\; x$

Die notwendige Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}(x)=0$.

$\Rightarrow 0=-\frac{5}{4}{x}^3+15x^2=5x^2\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{4}}x+3)\backslash Rightarrow\backslash ;0=-\backslash frac\{5\}\{4\}\; x^\{3\}+15\; x^\{2\}=5x^2\backslash cdot\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{4\}x+3\backslash right)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee -{\displaystyle \frac{1}{4}}x+3=0\Rightarrow x=12x=0\backslash vee\; -\backslash dfrac\{1\}\{4\}x+3=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=12$

Lokale Extremstellen sind also $x=0x=0$ oder $x=12x=12$.

Nach Aufgabenstellung muss nur $x=12x=12$ beachtet werden.

Die hinreichende Bedingung für ein Extremum ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}(x)\backslash neq\; 0$.

Maximum

Berechne $f(12)=-\frac{5}{16}\cdot {12}^4+5\cdot {12}^3=2160f(12)=-\backslash frac\{5\}\{16\}\; \backslash cdot\; 12^\{4\}+5\backslash cdot\; 12^\{3\}=2160$.

Der Punkt $(12\mathrm{\mid }2160)(12|2160)$ ist ein Hochpunkt des Graphen von $ff$.

Zeige rechnerisch, dass die Tangente an den Graphen von $ff$ im Punkt $(0\mid 0)(0\; \backslash mid\; 0)$ parallel zur $xx$-Achse verläuft

Es ist $f^{\mathrm{\prime }}(0)=0f\text{'}(0)=0$ und $f(0)=0f(0)=0$.

Im Punkt $(0\mid 0)(0\backslash mid\; 0)$ verläuft die Tangente an den Graphen von $ff$ parallel zur $xx$-Achse.

Bestimme eine Gleichung der Geraden $gg$, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $ff$ verläuft

Berechne die Wendepunkte:

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=0f\text{'}\text{'}(x)=0$.

$\Rightarrow 0=-\frac{15}{4}{x}^2+30x=15\cdot x(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot x+2)\backslash Rightarrow\backslash ;0=-\backslash frac\{15\}\{4\}\; x^\{2\}+30\; x=15\backslash cdot\; x\backslash left(-\backslash dfrac\{1\}\{4\}\backslash cdot\; x\; +2\backslash right)$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt:

$x=0\vee -{\displaystyle \frac{1}{4}}x+2=0\Rightarrow x=8x=0\backslash vee\; -\backslash dfrac\{1\}\{4\}x+2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=8$

Wendestellen liegen bei $x=0x=0$ oder $x=8x=8$ vor, wenn die hinreichende Bedingung $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}\text{'}(x)\backslash neq\; 0$ erfüllt ist.

Berechne $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{15}{2}x+30\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=30\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}\text{'}(x)=-\backslash frac\{15\}\{2\}\; x+30\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f\text{'}\text{'}(0)=30\backslash neq\; 0$ und $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(8)=-\frac{15}{2}\cdot 8+30=-30\mathrm{\ne }0f\text{'}\text{'}\text{'}(8)=-\backslash frac\{15\}\{2\}\; \backslash cdot\; 8+30=-30\backslash neq\; 0$

Die Bedingung ist erfüllt, d.h. Wendestellen liegen bei $x=0x=0$ oder $x=8x=8$ vor.

Berechne $f(0)=0f(0)=0$ und $f(8)=-\frac{5}{16}\cdot 8^4+5\cdot 8^3=1280f(8)=-\backslash frac\{5\}\{16\}\backslash cdot\; 8^\{4\}+5\backslash cdot\; 8^\{3\}=1280$.

Die Wendepunkte haben die Koordinaten $W{P}_1(0\mid 0)WP\_1(0\backslash mid\; 0)$ und $W{P}_2(8\mid 1280)WP\_2(8\backslash mid\; 1280)$.

Für die Geradengleichung $gg$ benutze die Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1280-0}{8-0}}\cdot (x-0)+0y=\backslash dfrac\{\; y\_2\; -\; y\_1\; \}\{\; x\_2\; -\; x\_1\; \}\backslash cdot(x\; -\; x\_1)\; +\; y\_1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;y=\backslash dfrac\{1280-0\}\{8-0\}\backslash cdot(x\; -\; 0)\; +\; 0$

$\Rightarrow g:y=160\cdot x\backslash Rightarrow\backslash ;g:\; y=160\backslash cdot\; x$

Die Gleichung der Geraden $gg$, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $ff$ verläuft, lautet $y=160\cdot xy=160\backslash cdot\; x$.

Zeichne in die Abbildung eine Gerade ein, die parallel zu $gg$ ist und für $0\le x\le 80\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 8$ mit dem Graphen von $ff$ genau einen Punkt gemeinsam hat

Berechne alle Schnittpunkte des Graphen $G_{f}G\_f$ mit den Koordinatenachsen

Gegeben ist $f(x)={\displaystyle \frac{1}{10}}(-x^3+15x^2-56x+12)f(x)=\backslash dfrac\{1\}\{10\}(-x^3+15x^2-56x+12)$.

Schnittpunkte mit der x-Achse:

$f(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{10}}(-x^3+15x^2-56x+12)=0\Rightarrow -x^3+15x^2-56x+12=0f(x)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{1\}\{10\}(-x^3+15x^2-56x+12)=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-x^3+15x^2-56x+12=0$

Die Nullstelle der Funktion $g(x)=-x^3+15x^2-56x+12g(x)=-x^3+15x^2-56x+12$ ist bekannt $x_N=6x\_N=6$.

Führe eine Polynomdivision durch.

$\begin{array}{c}\phantom{-}(-x^3+15x^2-56x+12):(x-6)=-x^2+9x-2\\ -\underset{‾}{(-x^3+6x^2)}\\ \phantom{-(x^3-1}9x^2-56x\\ \phantom{(x^3+}-\underset{‾}{(9x^2-54x)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-}-2x+12\\ \phantom{(x3+3x^2-}-\underset{‾}{(-2x+12)}\\ \phantom{-(x^3+3x^2-4x-12}0\end{array}\backslash def\backslash arraystretch\{1.25\}\; \backslash begin\{array\}\{l\}\backslash phantom\{-\}\backslash \; (-x^3+15x^2-56x+12):(x-6)=-x^2+9x-2\; \backslash \backslash -\backslash underline\{(-x^3+6x^2)\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3-1\}9x^2-56x\backslash \backslash \backslash phantom\{(x^3+\}-\backslash underline\{(9x^2-54x)\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3+3x^2-\}-2x+12\backslash \backslash \backslash phantom\{(x3+3x^2-\}-\backslash underline\{(-2x+12)\}\backslash \backslash \backslash phantom\{-(x^3+3x^2-4x-12\}0\backslash end\{array\}$

Löse nun die Gleichung $-x^2+9x-2=0\Rightarrow x^2-9x+2=0-x^2+9x-2=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x^2-9x+2=0$ mit der pq-Formel:

Somit lauten die Schnittpunkte von $G_{f}G\_f$ mit der x-Achse $N_1(6\mid 0),N_2(\mathrm{4,5}-\sqrt{\mathrm{18,25}}\mid 0)\approx N\_1(6\backslash mid\; 0),\; N\_2(4\{,\}5\; -\backslash sqrt\{18\{,\}25\}\backslash mid\; 0)\backslash approx$$N_2(\mathrm{0,23}\mid 0)N\_2(0\{,\}23\backslash mid\; 0)$ und $N_3(\mathrm{4,5}+\sqrt{\mathrm{18,25}}\mid 0)\approx N_3(\mathrm{8,77}\mid 0)N\_3(4\{,\}5\; +\backslash sqrt\{18\{,\}25\}\backslash mid\; 0)\backslash approx\; N\_3(8\{,\}77\backslash mid\; 0)$.

Schnittpunkt mit der y-Achse:

Setze $x=0x=0$ in $f(x)f(x)$ ein $\Rightarrow f(0)=12\Rightarrow S_y(0\mid 12)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;f(0)=12\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;S\_y(0\backslash mid\; 12)$.

Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $S_y(0\mid 12)S\_y(0\backslash mid\; 12)$.

Ermittle Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von $G_{f}G\_f$

Teil 1: ohne Hilfsmittel – Analysis

1.0 Gegeben ist die Funktion f mit der

Definitionsmenge $D_f=[-1;+\mathrm{\infty }[D\_f=\; [\; -1;\; +\backslash infty[$. Der

Graph von $ff$ schneidet die x-Achse genau

einmal, ist im Intervall $[4;+\mathrm{\infty }[[4;\; +\backslash infty[$ streng

monoton fallend und wird mit $G_{f}G\_f$

bezeichnet. Ein Ausschnitt von $G_{f}G\_f$ ist in

der nebenstehenden Abbildung zu sehen.

Betrachtet wird nun die Funktion

$F:x\mapsto {\displaystyle \int f(t)\mathrm{d}t}F\; :\; x\backslash mapsto\; \backslash displaystyle\backslash int\; f(t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$ mit der Definitionsmenge $D_F[-1;\mathrm{\infty }[D\_F\; [\; -1;\; \backslash infty[$.

a) Geben Sie die Nullstellen von $FF$ an. Runden Sie auf eine Nachkommastelle, sofern nötig.

b) Bestimmen Sie mithilfe des abgebildeten Graphen jeweils die x-Koordinate und die Art der Extrempunkte von $G_{F}G\_F$.

c) Begründen Sie, ob folgende Aussage wahr oder falsch ist:

„$G_{F}G\_F$ ist im Intervall $[4;+\mathrm{\infty }[[4;\; +\backslash infty[$ rechtsgekrümmt.“

2.0 Gegeben ist die streng monotone Funktion $g:x\mapsto {\displaystyle \frac{2e^x}{e^x+4}}g:\; x\backslash mapsto\; \backslash dfrac\{2e^x\}\{e^x+4\}$ mit der Definitionsmenge $D_g=\mathbb{R}D\_g=\backslash mathbb\{R\}$.

Die Umkehrfunktion von $gg$ wird $g^{-1}g^\{-1\}$ bezeichnet.

a) Geben Sie die Wertemenge von $g^{-1}g^\{-1\}$ an und ermitteln Sie die Definitionsmenge von $g^{-1}g^\{-1\}$, ohne dabei einen Funktionsterm von $g^{-1}g^\{-1\}$ zu verwenden.

b) Bestimmen Sie nun einen Funktionsterm von $g^{-1}g^\{-1\}$.

c) Die Funktion $GG$ mit der Definitionsmenge $D_G=\mathbb{R}D\_G=\backslash mathbb\{R\}$ ist eine Stammfunktion von $gg$. Der Graph der Funktion $GG$ schneidet die y-Achse bei $y_0=\ln (10)y\_0=\backslash ln(10)$. Ermitteln Sie einen

möglichen Term der Funktion $GG$.

b) Die durchgeführte Umfrage hat ebenfalls ergeben, dass $80\mathrm{\%}80\backslash ;\backslash \%$ aller Befragten beim

Einkaufen im Supermarkt eine eigene Einkaufstasche dabei haben. Betrachtet werden nun hintereinander anstehende Kunden an einer Supermarktkasse.

Geben Sie für die nachfolgenden Ereignisse jeweils einen Term an, der die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das beschriebene Ereignis ermöglicht.

$E_{1}E\_1$: „Von zehn Kunden haben genau vier eine eigene Einkaufstasche mitgebracht.“

$E_{2}E\_2$: „Von acht Kunden kaufen nur genau die ersten zwei und der letzte Kunde ohne eigene Einkaufstasche ein.“

c) Ein zufällig ausgewählter Kunde nutzt unabhängig davon, ob er eine Einkaufstasche dabei hat oder nicht, mit der Wahrscheinlichkeit $pp$ einen Einkaufswagen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von zwei Kunden, die nacheinander den Supermarkt betreten, genau einer einen Einkaufswagen nutzt, beträgt $32\mathrm{\%}32\backslash ;\backslash \%$.

Geben Sie den Ansatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit $pp$ an.

Die Berechnung von $pp$ ist nicht erforderlich.

d) Im Supermarkt befinden sich insgesamt drei Kassen. Die Zufallsgröße $XX$ beschreibt die Anzahl der gleichzeitig besetzten Kassen während der Öffnungszeiten. Die folgende Tabelle zeigt die vollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung von $XX$:

1. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsgröße $XX$ und interpretieren Sie den Wert im beschriebenen Sachzusammenhang.

Die Varianz der Zufallsgröße $XX$ hat den Wert $\mathrm{0,64}0\{,\}64$.

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Werte der Zufallsgröße $XX$ innerhalb der einfachen Standardabweichung um ihren Erwartungswert liegen.

Teil 2: mit Hilfsmitteln – Analysis I 2024

1.0 Gegeben ist die Funktion $f:x\mapsto {\displaystyle \frac{x^2+6x+12}{(x+2)\cdot (x+4)}}f:\; x\backslash mapsto\; \backslash dfrac\{x^2+6x+12\}\{(x+2)\backslash cdot\; (x+4)\}$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_f=\mathbb{R}\mathrm{\backslash }\{-4;-2\}D\_f=\backslash mathbb\{R\}\backslash backslash\backslash \{\; -4;\; -2\backslash \}$. Der Graph von $ff$ in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{f}G\_f$ bezeichnet.

a) Zeigen Sie, dass $ff$ keine Nullstellen besitzt, und geben Sie für jede Asymptote von $G_{f}G\_f$ jeweils ihre Art und eine passende Gleichung an. (4 BE)

b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von $ff$.

$[\text{M}\ddot{\text{o}}\text{gliches Teilergebnis:}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-8\cdot (x+3)}{(x+2{)}^2\cdot (x+4{)}^2}}]\backslash left[\backslash text\{Mögliches\; Teilergebnis:\}\backslash ;f\text{'}(x)=\backslash dfrac\{-8\backslash cdot(x+3)\}\{(x+2)^2\backslash cdot\; (x+4)^2\}\backslash right]$ (7 BE)

c) Zeichnen Sie den Graphen von $ff$ zusammen mit seinen Asymptoten für $-7\le x\le 3-7\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; 3$ unter Verwendung bisheriger Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. (1 LE = 1 cm) (4 BE)

d) Gegeben ist die Funktion $F:x\mapsto {\displaystyle {\int }_{-1}^{x}f(t)\mathrm{d}t}F\; :\; x\backslash mapsto\backslash displaystyle\backslash int\_\{-1\}^x\; f(t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_F\subset D_{f}D\_F\; \backslash subset\; D\_f$.

1. Begründen Sie, dass gilt: $D_F=]2;+\mathrm{\infty }[D\_F=\; ]\; 2;+\backslash infty\; [$. Bestimmen Sie außerdem die Anzahl der

Extremstellen und die Anzahl der Nullstellen der Funktion. (4 BE)

2. Berechnen Sie den exakten Wert von $F(2)F(2)$.

$\left[\text{M}\ddot{\text{o}}\text{gliches Teilergebnis:}{\displaystyle \int f(x)\mathrm{d}x=x+2\cdot \ln \left(\mid \frac{x+2}{x+4}\mid \right)}\right]+C\backslash left[\; \backslash text\{Mögliches\; Teilergebnis:\}\backslash ;\backslash displaystyle\backslash int\; f(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=x+2\backslash cdot\; \backslash ln\backslash left(\backslash left|\backslash dfrac\{x+2\}\{x+4\}\backslash right|\backslash right)\backslash right]+C$ (7 BE)

2.0 Gegeben ist die Funktion $g:x\mapsto \arctan \left({\displaystyle \frac{x^2-9}{x-5}}\right)g\; :\; x\; \backslash mapsto\; \backslash arctan\backslash left(\backslash dfrac\{x^2-9\}\{x-5\}\backslash right)$ mit der Definitionsmenge $D_g=]-\mathrm{\infty };1[D\_g=\; ]-\backslash infty;\; 1[$.

Der Graph von $gg$ in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit $G_{g}G\_g$ bezeichnet.

a) Ermitteln Sie die Nullstelle von $gg$ und untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von g für x → $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$. (4 BE)

b) Die Funktion $gg$ ist umkehrbar (Nachweis nicht erforderlich). Bestimmen Sie einen Term der Umkehrfunktion von $gg$. (5 BE)

Aufgrund von Beobachtungen in dem heißen und trockenen Jahr 2003 in einem süddeutschen Untersuchungsgebiet vermuteten Biologen, dass die Entwicklung der

Populationsdichte $a(t)a(t)$ der Gammaeule der Differenzialgleichung $-10\dot{a}=(2t-11)\cdot (a-2)-10\backslash dot\; a=\; (2t-\; 11)\; \backslash cdot(a-\; 2)$ gerecht wird. Dabei gibt $t\in [0;11]t\backslash in[\; 0;\; 11]$ den Messzeitpunkt im Jahr 2003 (in Monaten ab dem 1. Januar) und $a(t)a(t)$ die Anzahl der gezählten Gammaeulen pro Hektar an. Auf das Mitführen von Einheiten wird verzichtet.

a) Im Jahr 2003 wurden durchgehend mehr als $55$ Gammaeulen pro Hektar beobachtet.

Folgern Sie unmittelbar aus der Differenzialgleichung den Zeitpunkt $t_{max}t\_\{max\}$ im Beobachtungszeitraum, an dem die Populationsdichte der Gammaeule im Untersuchungsgebiet maximal war. (4 BE)

b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung $a(t)a(t)$ der obigen Differenzialgleichung für $a(t)>2a(t)\; >2$. (4 BE)

a) Außerdem ist die Funktion $q:x\mapsto g(x)q:\; x\; \backslash mapsto\; g(x)$ mit der Definitionsmenge $D_q=[-3;1]D\_q=\; [\; -3;1]$

gegeben. Weisen Sie nach, dass die Funktion $qq$ umkehrbar ist.

$[\text{M}\ddot{\text{o}}\text{gliches Teilergebnis:}{g}^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-6(x^2+2x-3)}{(x^2+3{)}^2}}]\backslash left[\; \backslash text\{Mögliches\; Teilergebnis:\}\backslash ;g\text{'}(x)=\backslash dfrac\{-6(x^2+2x-3)\}\{(x^2+3)^2\}\backslash right]$ (7 BE)

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $tt$, die den Graphen der Umkehrfunktion von $qq$ in dessen Schnittpunkt mit der x-Achse berührt. (4 BE)

c) Betrachtet wird die Funktion $G:x\mapsto {\displaystyle {\int }_{-3}^{x}g(t)\mathrm{d}t}G:\; x\backslash mapsto\backslash displaystyle\backslash int\_\{-3\}^x\; g(t)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}t$ mit der Definitionsmenge $G_G=D_{g}G\_G=D\_g$. Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von $G(x)G(x)$.

$\left[\text{M}\ddot{\text{o}}\text{gliches Teilergebnis:}{\displaystyle \int g(x)\mathrm{d}x=x+3\cdot \ln (x^2+3)+\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+C,\text{mit}C\in \mathbb{R}}\right]\backslash left[\; \backslash text\{Mögliches\; Teilergebnis:\}\; \backslash ;\backslash displaystyle\backslash int\backslash ;\; g(x)\backslash ;\backslash mathrm\{d\}x=x+3\backslash cdot\; \backslash ln(x^2+3)+\backslash dfrac\{6\}\{\backslash sqrt\{3\}\}\backslash cdot\; \backslash arctan\backslash left(\backslash dfrac\{x\}\{\backslash sqrt\{3\}\}\backslash right)\; +C,\; \backslash text\{mit\}\backslash ;C\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\backslash right]$(6 BE)

d) Gegeben ist nun die Funktion $h:x\mapsto \ln (g(x))h:\; x\backslash mapsto\; \backslash ln(g(x))$ mit der maximalen Definitionsmenge $D_h\subset D_{g}D\_h\backslash subset\; D\_g$.

Ermitteln Sie $D_{h}D\_h$, die Nullstelle von $hh$ und das Verhalten der Funktionswerte von $hh$ für $x\to +\mathrm{\infty }x\; \to \; +\backslash infty$. (7 BE)

Die x- und y-Koordinaten stellen Längenangaben in der Einheit Zentimeter dar. Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.

a) Berechnen Sie den Durchmesser $d_{0}d\_0$, den die zylindrische Welle mindestens haben muss. (5 BE)

b) Bestimmen Sie die Masse $mm$ eines Knaufs (auf ganze Gramm gerundet), wenn das verwendete Messing die Dichte $\rho =\mathrm{8,50}{\displaystyle \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3}}\backslash rho=8\{,\}50\backslash ;\backslash mathrm\; \{\backslash dfrac\{g\}\{cm^3\}\}$ besitzt. (6 BE)

Auf der Abszisse sind die vergangenen Tage ab dem Beobachtungsstart am 1. April angegeben, auf der Ordinate ist der entsprechend gemessene Zuwachs des Durchmessers in $\mathrm{m}\mathrm{m}\backslash mathrm\{mm\}$ vermerkt.

Die Ergebnisse können mithilfe einer mathematischen Funktion $dd$ mit der Funktionsgleichung $d(t)={\displaystyle \frac{3}{1+e^{\mathrm{4,5}-\mathrm{0,05}\cdot t}}}d(t)=\backslash dfrac\{3\}\{1+e^\{4\{,\}5-0\{,\}05\backslash cdot\; t\}\}$ mit $t\in ]0;180]t\backslash in\; ]0;\; 180]$ modelliert werden.

Dabei beschreibt $tt$ die Zeit in Tagen ab dem 1. April und $d(t)d(t)$ den Zuwachs des Durch-

messers in $\mathrm{m}\mathrm{m}\backslash mathrm\{mm\}$ ab Beobachtungsbeginn $(t=0)(t\; =0)$.

a) Weisen Sie nach, dass die Funktion $dd$ die Differenzialgleichung $\dot{d}={\displaystyle \frac{1}{60}}(3-d)\cdot d\backslash dot\; d=\backslash dfrac\{1\}\{60\}\; (3-d)\backslash cdot\; d$ erfüllt. (4 BE)

b) Ermitteln Sie mithilfe der Differenzialgleichung aus a) den maximalen Wert, $\dot{d}(t)\backslash dot\; d(t)$ annehmen kann, und erläutern Sie dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I 2024

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

1.0 Im Juni und Juli 2024 findet die Fußball-Europameisterschaft in Deutschland statt. Ein Tourismusunternehmen bietet für fußballbegeisterte Kunden diverse Möglichkeiten, an der Veranstaltung in Deutschland teilzunehmen. Im Nachfolgenden werden nur Kunden betrachtet, welche sich für die Fußball-Europameisterschaft interessieren.

Fußballbegeisterte Kunden können bei dem Tourismusunternehmen Anreise ($AA$),

Unterkunft ($UU$) und Eintritt zu einem Spiel ($SS$) buchen. $50\mathrm{\%}50\backslash ;\backslash \%$ aller Fans buchen die Anreise. Von diesen buchen $80\mathrm{\%}80\backslash ;\backslash \%$ gleichzeitig eine Unterkunft. Von den Fans, die eigenständig anreisen, buchen $60\mathrm{\%}60\backslash ;\backslash \%$ eine Unterkunft. Unabhängig davon, ob die Anreise bzw. die Unterkunft beim Tourismusunternehmen gebucht oder nicht gebucht wurde, bucht ein fester Anteil aller Fans den Eintritt für den Besuch eines Spieles. Von allen Fans entscheiden sich $36\mathrm{\%}36\backslash ;\backslash \%$ für das Komplettangebot aus Anreise mit Unterkunft und Eintritt.

Das Buchungsverhalten eines beliebig herausgegriffenen fußballbegeisterten Kunden des Tourismusunternehmens wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des betrachteten Zufallsexperiments.

$[[$ Teilergebnis: $P(\{(A;\bar{U};\bar{S})\})=\mathrm{0,01}]P\backslash left(\backslash \{(A;\backslash overline\{U\};\backslash overline\{S\})\backslash \}\backslash right)=0\{,\}01]$ (5 BE)

b) Gegeben sind folgende Ereignisse:

$E_{1}E\_1$: „Ein zufällig ausgewählter Kunde bucht die Anreise oder den Eintritt zu einem Spiel.“

$E_{2}E\_2$: $\{(A;U;S);(A;\bar{U};\bar{S});(\bar{A};\bar{U};S)\}\backslash \{(A;\; U;\; S);\; (A;\backslash overline\{U\};\backslash overline\{S\});\; (\backslash overline\{A\};\backslash overline\{U\};S)\backslash \}$

$E_{3}E\_3$: $\overline{\stackrel{‾}{E_1}\cup E_2}\backslash overline\{\backslash overline\{E\_1\}\backslash cup\; E\_2\}$

Ermitteln Sie eine aufzählende Mengenschreibweise für $E_{3}E\_3$. (3 BE)

2 Ein Hotel, welches zur Europameisterschaft ausschließlich mit Fans belegt ist, bietet neben den gewöhnlichen Services zwei zusätzliche Dienste an, welche die Gäste wählen können. Diese sind ein Fahrdienst zum Spiel im örtlichen Stadion ($FF$) sowie ein Besuch des Trainingsgeländes der ansässigen Nationalmannschaft ($NN$). Von früheren Großereignissen ist bekannt, dass drei von fünf Gästen den Fahrdienst wählen. Insgesamt entscheiden sich $50\mathrm{\%}50\backslash ;\backslash \%$ aller Gäste für genau einen der beiden zusätzlichen Dienste. Außerdem gilt: $P_F(N)=\mathrm{0,25}P\_F(N)=0\{,\}25$.

Bestimmen Sie mithilfe einer Vierfeldertafel, wie viele der insgesamt $400400$ Gäste des

Hotels keinen der beiden zusätzlichen Dienste wünschen.

Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik I

3 Bei der Zusammenstellung der sechs Gruppen für die Gruppenphase wurden zunächst die vermeintlich sechs stärksten Mannschaften zufällig per Los auf die sechs Gruppen verteilt.

Diese sechs Mannschaften werden als „Gruppenköpfe“ bezeichnet. Die

Wahrscheinlichkeit, dass ein Gruppenkopf unter den $1616$ Mannschaften, die ins

Achtelfinale einziehen, vertreten ist, beträgt $p=\mathrm{0,8}p=0\{,\}8$.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:

$E_{4}E\_4$: „Nicht alle Gruppenköpfe erreichen das Achtelfinale.“ (2 BE)

4 Ein Fanshop vor einem Stadion bietet den Fans genau die folgenden drei Artikel zum Kauf:

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Im Folgenden werden nur Fans betrachtet, die mindestens einen der obigen drei Artikel kaufen, wobei kein Fan denselben Artikel mehrfach kauft.

Die Zufallsgröße X beschreibt die Ausgaben in Euro eines Fans im Fanshop.

Die folgende Tabelle zeigt die unvollständige Wahrscheinlichkeitsverteilung der

Zufallsgröße X.

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a) Vervollständigen Sie die Tabelle, indem Sie die fehlenden Zufallswerte x von links nach rechts der Größe nach aufsteigend in die obere Tabellenzeile eintragen. Berechnen Sie anschließend die durchschnittlichen Tageseinnahmen des Fanshops pro Spieltag, wenn im Fanshop mit durchschnittlich $250250$ Fans an einem Spieltag zu rechnen ist. (3 BE)

b) Aufgrund der zunehmenden Anzahl an umweltbewussten Fans überlegt der Inhaber des Fanshops nur noch GREEN-Label zertifizierte Trikots und Hosen anzubieten. Er müsste dafür aber die Verkaufspreise dieser Artikel deutlich erhöhen. Ein befreundeter Geschäftsmann behauptet, dass erfahrungsgemäß mindestens $80\mathrm{\%}80\; \backslash ;\backslash \%$ der Fans den Preisanstieg akzeptieren würden und dadurch eine deutliche Gewinnsteigerung zu erwarten sei. Sollte dies der Fall sein, will der Inhaber des Fanshops die Umstellung wagen. Allerdings glaubt er, dass deren Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese).

Um eine Entscheidung zu treffen, befragt er $100100$ zufällig ausgewählte Fans, ob diese

höhere Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte in Kauf nehmen würden.

Entwickeln Sie für den Inhaber des Fanshops einen geeigneten Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von $5\mathrm{\%}5\backslash ;\backslash \%$. Geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn $7575$ Kunden angeben, dass sie die höheren Preise für die GREEN-Label zertifizierten Produkte akzeptieren würden. (5 BE)

Teil 2: mit Hilfsmitteln – Stochastik II

Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert.

1 An einer Fachoberschule wird eine Umfrage zu den Zukunftsplänen der Schülerinnen und Schüler durchgeführt. Laut dieser Umfrage möchte nach dem Fachabitur ein Fünftel aller Befragten ein sogenanntes „Gap Year“ (G) machen. $70\mathrm{\%}70\; \backslash ;\backslash \%$ davon haben vor, in diesem Jahr ins Ausland zu gehen (D), alle anderen verbringen die Zeit lieber in Deutschland (D). Von denjenigen, die ins Ausland gehen, machen dort $35\mathrm{\%}35\backslash ;\backslash \%$ Work & Travel (W), $30\mathrm{\%}30\backslash ;\backslash \%$ ein Praktikum (P) und der Rest andere Tätigkeiten (T) wie zum Beispiel Sprachreisen, Urlaub oder arbeiten als Au-pair. Die Hälfte derer, die während ihres Gap Years in Deutschland bleiben, nutzt die Zeit für ein Praktikum und die andere Hälfte für einen Freiwilligendienst (F). Von den Befragten, die sich gegen eine Auszeit (G) nach dem Fachabitur entscheiden, planen $40\mathrm{\%}40\backslash ;\backslash \%$ zu studieren (S). Der Rest wird zu gleichen Teilen die dreizehnte Klasse (K) besuchen oder eine Ausbildung beginnen (A).

Die Befragung einer zufällig ausgewählten Schülerin oder eines zufällig ausgewählten Schülers nach den Zukunftsplänen wird als Zufallsexperiment aufgefasst.

a) Bestimmen Sie unter Verwendung eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller acht Elementarereignisse des Zufallsexperiments. (5 BE)

b) Gegeben sind die folgenden Ereignisse:

$E_{1}E\_1$: „Eine zufällig ausgewählte befragte Person plant ein Gap Year im Ausland.“

$E_2:\{(G;\bar{D};P);(G;D;P)\}E\_2:\; \backslash \{\; (G;\backslash overline\{D\};P);\; (G;\; D;\; P)\backslash \}$

$E_3=\overline{E_1\cap E_2}E\_3=\backslash overline\{E\_1\backslash cap\; E\_2\}$

Geben Sie $E_{1}E\_1$ in aufzählender Mengenschreibweise an und formulieren Sie $E_{2}E\_2$ möglichst einfach im Sachzusammenhang. Berechnen Sie anschließend $P(E_3)P(E\_3)$.

2 Die Schülerin Lena entscheidet sich für ein Gap Year mit Auslandsaufenthalt in Asien. Sie findet einen Job bei einer Auffangstation für Meerestiere. Im Durchschnitt sind 65 von 100 behandelten Tieren in der Station Meeresschildkröten (S). Insgesamt sind $60\mathrm{\%}60\backslash ;\backslash \%$ aller Verletzungen und Krankheiten bei Meerestieren die Folge von Plastikmüll (M) in den Ozeanen, zwei Drittel davon treten bei Meeresschildkröten auf.

Erstellen Sie für den beschriebenen Sachverhalt eine vollständig ausgefüllte

Vierfeldertafel. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_4=M\cup SE\_4=M\backslash cup\; S$ und interpretieren Sie Ihr Ergebnis im Sinne der vorliegenden Thematik. (5 BE)

3 Eine von Lenas Lieblingsaufgaben in der Auffangstation ist das Freilassen von Baby-Schildkröten an möglichst sicheren Stränden. Sie weiß jedoch, dass die Überlebenschance der Baby-Schildkröten in den ersten paar Tagen aufgrund der hohen Anzahl an Fressfeinden nur bei $10\mathrm{\%}10\backslash ;\backslash \%$ liegt.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 20 freigelassenen Schildkrötenbabys mindestens drei, aber höchstens sieben Tiere überleben. (2 BE)

4 Lena möchte die Reisezeit ihres Work & Travel Aufenthalts nutzen, um Tauchen zu

lernen. Eine Tauchschule in Thailand macht Werbung mit der Behauptung, dass bei

mindestens $70\mathrm{\%}70\backslash ;\backslash \%$ aller Tauchgänge Meeresschildkröten beobachtet werden können.

Lena vermutet allerdings, dass der Anteil deutlich geringer ist (Gegenhypothese). Um ihren Verdacht mit einem Hypothesentest zu überprüfen, befragt sie jeweils einen Teilnehmer bzw. eine Teilnehmerin von $5050$ verschiedenen Tauchgängen, ob Schildkröten gesehen wurden. Lena möchte sich bei der Annahme ihrer Vermutung mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens $3\mathrm{\%}3\backslash ;\backslash \%$ irren.

a) Geben Sie für diesen Test die Testgröße sowie die Nullhypothese an. Ermitteln Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese und geben Sie an, welche Entscheidung der Test nahelegt, wenn auf genau $2020$ Tauchgängen keine Meeresschildkröten gesehen werden. (5 BE)

b) Berechnen Sie für den in Teilaufgabe a) entwickelten Test die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art, wenn tatsächlich nur auf der Hälfte aller Tauchgänge mit der Tauchschule Meeresschildkröten gesehen werden. (2 BE)