Ein beliebiger Punkt $P$ auf der Geraden $g$ hat die Koordinaten: $P(5-4r|r|1+r)$

Ein beliebiger Punkt $Q$ auf der Geraden $h$ hat die Koordinaten: $Q(5+2s|3+s|7-2s)$

Schritt 1

Der Punkt $Q\in h$ ist beliebig, aber mit konstantem $s$. Der Punkt $P\in g$ ist beliebig und variabel mit dem Parameter r. Der Abstand $d=\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ ist dann eine Funktion von $r$ $\text{}\Rightarrow d=d(r)$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}5+2s-(5-4r)\\ 3+s-r\\ 7-2s-(1+r)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2s+4r\\ 3+s-r\\ 6-2s-r\end{array}\right)$

$\left(\text{I}\right)d=\left|\overrightarrow{PQ}\right|=\sqrt{(2s+4r{)}^2+(3+s-r{)}^2+(6-2s-r{)}^2}$

Der Abstand $d$ zwischen $P$ und Q soll minimal werden.

Die Bedingung für ein Minimum lautet dann: $d(r{)}^{\prime }=0$ und $d(r{)}^{\prime \prime }>0$.

Zur Vereinfachung wird nicht die Funktion $d(r)$ abgeleitet sondern die Funktion $d^{\ast }(r)=(d(r){)}^2$.

Damit entfällt die Ableitung der Wurzel. Wenn die Funktion $d^{\ast }(r)$ minimal ist, dann ist auch die Funktion $d(r)$ minimal.

$\left(\text{II}\right)d^{\ast }(r)=(d(r){)}^2=(2s+4r{)}^2+(3+s-r{)}^2+(6-2s-r{)}^2$

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion $d^{\ast }(r)$.

$d^{\ast }(r{)}^{\prime }=2\cdot (2s+4r)\cdot 4+2\cdot (3+s-r)\cdot (-1)+2\cdot (6-2s-r)\cdot (-1)$

Beachte beim Ableiten die Kettenregel. Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$d^{\ast }(r{)}^{\prime }=16s+32r-6-2s+2r-12+4s+2r=-18+18s+36r$

$d^{\ast }(r{)}^{\prime \prime }=36>0$ Damit ist die Bedingung für ein Minimum erfüllt.

$d^{\ast }(r{)}^{\prime }=0\Rightarrow -18+18s+36r=0$ nach $r$ aufgelöst folgt: $r=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}s$

Schritt 2

Der Punkt $P_F$ wird nun als konstant betrachtet und der Punkt $Q$ ist variabel in Abhängigkeit von $s$.

Der Abstand $d=\left|\overrightarrow{PQ}\right|$ ist dann eine Funktion von $s$ $\text{}\Rightarrow d=d(s)$.

Setze das berechnete $r=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}s$ in Gleichung $\left(\text{II}\right)$ ein $\Rightarrow$

$d^{\ast }(s)=(2s+4\cdot (\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}s){)}^2+(3+s-(\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}s){)}^2+(6-2s-(\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}s){)}^2$

zusammengefasst erhältst du: $d^{\ast }(s)==4+(\mathrm{2,5}+\mathrm{1,5}s{)}^2+(\mathrm{5,5}-\mathrm{1,5}s{)}^2$

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion $d^{\ast }(s)$.

$d^{\ast }(s{)}^{\prime }=0+2\cdot (\mathrm{2,5}+\mathrm{1,5}s)\cdot \mathrm{1,5}+2\cdot (\mathrm{5,5}-\mathrm{1,5}s)\cdot (-\mathrm{1,5})$

Beachte beim Ableiten die Kettenregel. Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$d^{\ast }(s{)}^{\prime }=\mathrm{7,5}+\mathrm{4,5}s-\mathrm{16,5}+\mathrm{4,5}s=-9+9s$

$d^{\ast }(s{)}^{\prime \prime }=9>0$ Damit ist die Bedingung für ein Minimum erfüllt.

$d^{\ast }(s{)}^{\prime }=0\Rightarrow -9+9s=0$ mit der Lösung $s=1$.

Setze $s=1$ in $r=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,5}s$ ein, dann erhältst du für $r$ den Wert: $r=0$

Setze $r$ und $s$ in Gleichung $\left(\text{I}\right)$ ein, dann gilt für den Abstand der beiden Geraden:

$d=\sqrt{(2\cdot 1+4\cdot 0{)}^2+(3+1-0{)}^2+(6-2\cdot 1-0{)}^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6$

Setze $r$ und $s$ in $P$ und $Q$ ein, dann erhältst du die beiden Lotfußpunkte:

$P_F(5-4\cdot 0|0|1+0)\Rightarrow P_F\left(5|0|1\right)$ und $Q_F(5+2\cdot 1|3+1|7-2\cdot 1)\Rightarrow Q_F\left(7|4|5\right)$

Antwort: Die beiden windschiefen Geraden haben einen Abstand von $6\text{LE}$ und die beiden Lotfußpunkte lauten $P_F\left(5|0|1\right)$ und $Q_F\left(7|4|5\right)$.