Ein beliebiger Punkt $PP$ auf der Geraden $gg$ hat die Koordinaten: $P(5-4r\mathrm{\mid }r\mathrm{\mid }1+r)P\backslash left(5-4r\backslash vert\; r\backslash vert1+r\backslash right)$

Ein beliebiger Punkt $QQ$ auf der Geraden $hh$ hat die Koordinaten: $Q(5+2s\mathrm{\mid }3+s\mathrm{\mid }7-2s)Q\backslash left(5+2s\backslash vert\; 3+s\backslash vert\; 7-2s\backslash right)$

Schritt 1

Der Punkt $Q\in hQ\; \backslash in\; h$ ist beliebig, aber mit konstantem $ss$. Der Punkt $P\in gP\backslash in\; g$ ist beliebig und variabel mit dem Parameter r. Der Abstand $d=\mid \overrightarrow{PQ}\mid d=\backslash left|\backslash overrightarrow\{PQ\}\backslash right|$ ist dann eine Funktion von $rr$ $\text{}\Rightarrow d=d(r)\backslash Rightarrow\; d\; =d(r)$.

Berechne den Vektor $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}5+2s-(5-4r)\\ 3+s-r\\ 7-2s-(1+r)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2s+4r\\ 3+s-r\\ 6-2s-r\end{array}\right)\backslash overrightarrow\{PQ\}=\; \backslash overrightarrow\{OQ\}-\; \backslash overrightarrow\{OP\}=\backslash begin\{pmatrix\}5+2s-(5-4r)\backslash \backslash 3+s-r\backslash \backslash 7-2s-(1+r)\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}2s+4r\backslash \backslash 3+s\; -r\backslash \backslash 6-2s-r\backslash end\{pmatrix\}$

$\left(\text{I}\right)d=\mid \overrightarrow{PQ}\mid =\sqrt{(2s+4r{)}^2+(3+s-r{)}^2+(6-2s-r{)}^2}\backslash left(\backslash text\{I\}\backslash right)\backslash ;\backslash ;d=\backslash left|\backslash overrightarrow\{PQ\}\backslash right|=\backslash sqrt\{(2s+4r)^2+(3+s-r)^2+(6-2s-r)^2\}$

Der Abstand $dd$ zwischen $PP$ und Q soll minimal werden.

Die Bedingung für ein Minimum lautet dann: $d(r{)}^{\mathrm{\prime }}=0d(r)\text{'}=0$ und $d(r{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}>0d(r)\text{'}\text{'}>0$.

Zur Vereinfachung wird nicht die Funktion $d(r)d(r)$ abgeleitet sondern die Funktion $d^{\ast }(r)=(d(r){)}^{2}d^*(r)=(d(r))^2$.

Damit entfällt die Ableitung der Wurzel. Wenn die Funktion $d^{\ast }(r)d^*(r)$ minimal ist, dann ist auch die Funktion $d(r)d(r)$ minimal.

$\left(\text{II}\right)d^{\ast }(r)=(d(r){)}^2=(2s+4r{)}^2+(3+s-r{)}^2+(6-2s-r{)}^2\backslash left(\backslash text\{II\}\backslash right)\backslash ;\backslash ;d^*(r)=(d(r))^2=(2s+4r)^2+(3+s-r)^2+(6-2s-r)^2$

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion $d^{\ast }(r)d^*(r)$.

$d^{\ast }(r{)}^{\mathrm{\prime }}=2\cdot (2s+4r)\cdot 4+2\cdot (3+s-r)\cdot (-1)+2\cdot (6-2s-r)\cdot (-1)d^*(r)\text{'}=2\backslash cdot(2s+4r)\backslash cdot\; 4+2\backslash cdot(3+s-r)\backslash cdot(-1)+2\backslash cdot(6-2s-r)\backslash cdot(-1)$

Beachte beim Ableiten die Kettenregel. Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$d^{\ast }(r{)}^{\mathrm{\prime }}=16s+32r-6-2s+2r-12+4s+2r=-18+18s+36rd^*(r)\text{'}=16s+32r-6-2s+2r-12+4s+2r=-18+18s+36r$

$d^{\ast }(r{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=36>0d^*(r)\text{'}\text{'}=36>0$ Damit ist die Bedingung für ein Minimum erfüllt.

$d^{\ast }(r{)}^{\mathrm{\prime }}=0\Rightarrow -18+18s+36r=0d^*(r)\text{'}=0\backslash ;\backslash ;\; \backslash Rightarrow\; -18+18s+36r=0$ nach $rr$ aufgelöst folgt: $r=0,5-0,5sr=0\{,\}5-0\{,\}5s$

Schritt 2

Der Punkt $P_{F}P\_F$ wird nun als konstant betrachtet und der Punkt $QQ$ ist variabel in Abhängigkeit von $ss$.

Der Abstand $d=\mid \overrightarrow{PQ}\mid d=\backslash left|\backslash overrightarrow\{PQ\}\backslash right|$ ist dann eine Funktion von $ss$ $\text{}\Rightarrow d=d(s)\backslash Rightarrow\; d\; =d(s)$.

Setze das berechnete $r=0,5-0,5sr=0\{,\}5-0\{,\}5s$ in Gleichung $\left(\text{II}\right)\backslash left(\backslash text\{II\}\backslash right)$ ein $\Rightarrow \backslash ;\backslash ;\; \backslash Rightarrow$

$d^{\ast }(s)=(2s+4\cdot (0,5-0,5s){)}^2+(3+s-(0,5-0,5s){)}^2+(6-2s-(0,5-0,5s){)}^{2}d^*(s)=(2s+4\backslash cdot\; (0\{,\}5-0\{,\}5s))^2+(3+s-(0\{,\}5-0\{,\}5s))^2+(6-2s-(0\{,\}5-0\{,\}5s))^2$

zusammengefasst erhältst du: $d^{\ast }(s)==4+(2,5+1,5s{)}^2+(5,5-1,5s{)}^{2}d^*(s)==4+(2\{,\}5+1\{,\}5s)^2+(5\{,\}5-1\{,\}5s)^2$

Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion $d^{\ast }(s)d^*(s)$.

$d^{\ast }(s{)}^{\mathrm{\prime }}=0+2\cdot (2,5+1,5s)\cdot 1,5+2\cdot (5,5-1,5s)\cdot (-1,5)d^*(s)\text{'}=0+2\; \backslash cdot(2\{,\}5+1\{,\}5s)\backslash cdot\; 1\{,\}5+2\backslash cdot\; (5\{,\}5-1\{,\}5s)\backslash cdot(-1\{,\}5)$

Beachte beim Ableiten die Kettenregel. Löse die Klammern auf und fasse zusammen:

$d^{\ast }(s{)}^{\mathrm{\prime }}=7,5+4,5s-16,5+4,5s=-9+9sd^*(s)\text{'}=7\{,\}5+4\{,\}5s-16\{,\}5+4\{,\}5s=-9+9s$

$d^{\ast }(s{)}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=9>0d^*(s)\text{'}\text{'}=9>0$ Damit ist die Bedingung für ein Minimum erfüllt.

$d^{\ast }(s{)}^{\mathrm{\prime }}=0\Rightarrow -9+9s=0d^*(s)\text{'}=0\backslash ;\backslash ;\; \backslash Rightarrow\; -9+9s=0$ mit der Lösung $s=1s=1$.

Setze $s=1s=1$ in $r=0,5-0,5sr=0\{,\}5-0\{,\}5s$ ein, dann erhältst du für $rr$ den Wert: $r=0r=0$

Setze $rr$ und $ss$ in Gleichung $\left(\text{I}\right)\backslash left(\backslash text\{I\}\backslash right)$ ein, dann gilt für den Abstand der beiden Geraden:

$d=\sqrt{(2\cdot 1+4\cdot 0{)}^2+(3+1-0{)}^2+(6-2\cdot 1-0{)}^2}=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6d=\backslash sqrt\{(2\backslash cdot\; 1+4\backslash cdot\; 0)^2+(3+1-0)^2+(6-2\backslash cdot\; 1-0)^2\}=\backslash sqrt\{4+16+16\}=\backslash sqrt\{36\}=6$

Setze $rr$ und $ss$ in $PP$ und $QQ$ ein, dann erhältst du die beiden Lotfußpunkte:

$P_F(5-4\cdot 0\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }1+0)\Rightarrow P_F\left(5\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }1\right)P\_F\backslash left(5-4\backslash cdot\; 0\backslash vert\; 0\backslash vert1+0\backslash right)\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\; P\_F\backslash left(5\backslash vert\; 0\backslash vert\; 1\backslash right)$ und $Q_F(5+2\cdot 1\mathrm{\mid }3+1\mathrm{\mid }7-2\cdot 1)\Rightarrow Q_F\left(7\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }5\right)Q\_F\backslash left(5+2\backslash cdot\; 1\backslash vert\; 3+1\backslash vert\; 7-2\backslash cdot1\backslash right)\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\; Q\_F\backslash left(7\backslash vert\; 4\backslash vert\; 5\backslash right)$

Antwort: Die beiden windschiefen Geraden haben einen Abstand von $6\text{LE}6\; \backslash ;\backslash text\{LE\}$ und die beiden Lotfußpunkte lauten $P_F\left(5\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }1\right)P\_F\backslash left(5\backslash vert\; 0\backslash vert\; 1\backslash right)$ und $Q_F\left(7\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }5\right)Q\_F\backslash left(7\backslash vert\; 4\backslash vert\; 5\backslash right)$.