Setze die Funktion gleich Null: $e^x-3=0$.

Addiere 3 auf beiden Seiten der Gleichung: $e^x=3$.

Wende den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten an: $x=\ln (3)$.

Bilde die erste Ableitung der Funktion: $f^{\prime }(x)=2\cdot 0.5\cdot e^{-0.5x}$.

Setze die erste Ableitung gleich Null: $2\cdot 0.5\cdot e^{-0.5x}=0$.

Da $e^{-0.5x}$ niemals Null wird, ist das Extremum bei $x=0$.

Bilde die erste Ableitung: $f^{\prime }(x)=2e^{2x}-1$.

Bilde die zweite Ableitung: $f^{\prime \prime }(x)=4e^{2x}$.

Setze die zweite Ableitung gleich Null: $4e^{2x}=0$, was keine Lösung hat.

Da die zweite Ableitung immer positiv ist, gibt es keinen Wendepunkt.

Betrachte den Nenner $x^2+1$, der schneller wächst als der Zähler $e^x$, wenn $x\to \infty$.

Daher nähert sich der Quotient Null, wenn $x$ gegen Unendlich geht.

Da der Koeffizient vor $e^x$ negativ ist, wird der Graph im Unendlichen immer weiter fallen.

Somit nähert sich der Graph der x-Achse von unten an.