Setze die Funktion gleich Null: $e^x-3=0e^\{x\}\; -\; 3\; =\; 0$.

Addiere 3 auf beiden Seiten der Gleichung: $e^x=3e^\{x\}\; =\; 3$.

Wende den natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten an: $x=\ln (3)x\; =\; \backslash ln(3)$.

Bilde die erste Ableitung der Funktion: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2\cdot 0.5\cdot e^{-0.5x}f\text{'}(x)\; =\; 2\; \backslash cdot\; 0.5\; \backslash cdot\; e^\{-0.5x\}$.

Setze die erste Ableitung gleich Null: $2\cdot 0.5\cdot e^{-0.5x}=02\; \backslash cdot\; 0.5\; \backslash cdot\; e^\{-0.5x\}\; =\; 0$.

Da $e^{-0.5x}e^\{-0.5x\}$ niemals Null wird, ist das Extremum bei $x=0x\; =\; 0$.

Bilde die erste Ableitung: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2e^{2x}-1f\text{'}(x)\; =\; 2e^\{2x\}\; -\; 1$.

Bilde die zweite Ableitung: $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=4e^{2x}f\text{'}\text{'}(x)\; =\; 4e^\{2x\}$.

Setze die zweite Ableitung gleich Null: $4e^{2x}=04e^\{2x\}\; =\; 0$, was keine Lösung hat.

Da die zweite Ableitung immer positiv ist, gibt es keinen Wendepunkt.

Betrachte den Nenner $x^2+1x^2\; +\; 1$, der schneller wächst als der Zähler $e^{x}e^\{x\}$, wenn $x\to \mathrm{\infty }x\; \backslash to\; \backslash infty$.

Daher nähert sich der Quotient Null, wenn $xx$ gegen Unendlich geht.

Da der Koeffizient vor $e^{x}e^\{x\}$ negativ ist, wird der Graph im Unendlichen immer weiter fallen.

Somit nähert sich der Graph der x-Achse von unten an.