Lineare Funktion

Eine Funktion $f$ mit $y=f(x)=mx+b$ heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Die Zahl $m$ gibt die Steigung der Geraden an.

$m>0$: Gerade ist streng monoton steigend.

$m<0$: Gerade ist streng monoton fallend.

$m={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}=\tan \phi$

Die Zahl $b$ ist der y-Achsenabschnitt.

Die y-Achse wird bei $b$ geschnitten: $x=0\Rightarrow S_y(0|b)$

Nullstelle: $y=0\Rightarrow N(-{\displaystyle \frac{n}{m}}|0)$

Zweipunkteform der Geradengleichung

Gegeben sind die Punkte $P_1(x_1|y_1),P_2(x_2|y_2)$:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_1$

Gilt für die Steigungen $m_g$ und $m_h$ von zwei Geraden $g$ und $h$, dass $m_g\cdot m_h=-1$ ist, dann stehen die Geraden senkrecht aufeinander.

Quadratische Funktion

Normalform

Eine Funktion $f$ mit $y=f(x)=x^2+px+q$ und $(p,q\in ℝ)$ heißt quadratische Funktion. $$

Definitionsmenge: $x\in ℝ$

Wertemenge: $y\in ℝ;y\ge q-{\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)}^2$

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt

$S(-{\displaystyle \frac{p}{2}}|q-{\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)}^2)$.

Nullstellen: $x_{\mathrm{1,2}}=-{\displaystyle \frac{p}{2}}\pm \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)}^2-q}$

Schnittpunkt mit y-Achse: $S_y(0|q)$

Allgemeine Form

$y=f(x)=a{x}^2+bx+c$

$(a,b,c\in ℝ(\text{konst.});a\ne 0)$

Definitionsmenge: $x\in ℝ$

Wertemenge: $y\in ℝ;y\ge {\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}}\text{für}a>0;y<{\displaystyle \frac{4ac-b^2}{4a}}\text{für}a<0$

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt

$S(-{\displaystyle \frac{b}{2a}}|c-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}})$.

Nullstellen: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$

Schnittpunkt mit y-Achse: $S_y(0|c)$

Scheitelpunktform

$y=f(x)=a(x-d{)}^2+e$

Definitionsmenge: $x\in ℝ$

Wertemenge: $y\in ℝ;y\ge e$

Nullstellen: $x_{1,2}=d\pm \sqrt{-e}$

Schnittpunkt mit y-Achse: $S_y(0|d^2+e)$

Scheitelpunkt: $S(d|e)$

..

Die Zweipunkteform der Geradengleichung lautet:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_1$ oder mit $m={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$ folgt:

$y=m\cdot (x-x_1)+y_1=m\cdot x-m\cdot x_1+y_1$

Die Koordinatenform $ax+by=c$ der Geradengleichung wird nach y aufgelöst:

Vergleiche nun die beiden Geradengleichungen:

$y=m\cdot x-m\cdot x_1+y_1$ und $y=-{\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot x+{\displaystyle \frac{c}{b}}$

Es ist $m=-{\displaystyle \frac{a}{b}}$ und $-m\cdot x_1+y_1={\displaystyle \frac{c}{b}}$

Mit $m={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\Rightarrow (\mathrm{I}){\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}=-{\displaystyle \frac{a}{b}}$ und $(\mathrm{I}\mathrm{I})-{\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot x_1+y_1={\displaystyle \frac{c}{b}}$

Aus $(I)$ folgt: $-a=y_2-y_1\Rightarrow a=y_1-y_2$ und $b=x_2-x_1$.

Es fehlt noch der Parameter $c$.

Setze $b=x_2-x_1$ in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})$ ein:

Es ist also $c=-y_2\cdot x_1+y_1\cdot x_2\Rightarrow c=x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_2$.

Die drei Parameter $a,b$ und $c$ lauten also:

$a=y_1-y_2$, $b=x_2-x_1$ und $c=x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_2$.

Alternative zur Berechnung

Wenn du schon etwas über Vektorrechnung weißt, ist die Berechnung noch kürzer.

Eine vektorielle Darstellung der Geraden durch $P_1(x_1|y_1)$ und $P_2(x_2|y_2)$ erhältst du als

mit $t\in ℝ$.

Multipliziere jetzt skalar mit dem Vektor $\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}{y}_1-y_2\\ x_2-x_1\end{array}\right)$, der entsteht, wenn man im Richtungsvektor der Geraden die Komponenten vertauscht und dann der zweiten ein negatives Vorzeichen gibt. Weil Vektoren der Form $\left(\begin{array}{c}f\\ g\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}g\\ -f\end{array}\right)$ immer das Skalarprodukt Null haben, ist auch das Skalarprodukt von $\overrightarrow{w}$ und dem Richtungsvektor der Geraden Null.

Du erhältst dann

$\begin{array}{l}x\cdot (\underset{a}{\underbrace{x_2-x_1}})+y\cdot (\underset{b}{\underbrace{x_2-x_1}})=x_1\cdot (y_1-y_2)+y_1\cdot (x_2-x_1)\\ \phantom{x\cdot (\underset{a}{\underbrace{x_2-x_1}})+y\cdot (\underset{b}{\underbrace{x_2-x_1}})}=\underline{x_1\cdot y_1}-y_2\cdot x_1+y_1\cdot x_2-\underline{y_1\cdot x_1}\\ \phantom{x\cdot (\underset{a}{\underbrace{x_2-x_1}})+y\cdot (\underset{b}{\underbrace{x_2-x_1}})}=\underset{c}{\underbrace{x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_2}}\end{array}$