Lineare Funktion

Eine Funktion $ff$ mit $y=f(x)=mx+by=f(x)=mx+b$ heißt lineare Funktion. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.

Die Zahl $mm$ gibt die Steigung der Geraden an.

$m>0m>0$: Gerade ist streng monoton steigend.

: Gerade ist streng monoton fallend.

$m={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}=\tan \phi m=\backslash dfrac\{\backslash Delta\; y\}\{\backslash Delta\; x\}=\backslash dfrac\{y\_2-y\_1\}\{x\_2-x\_1\}=\backslash tan\backslash varphi$

Die Zahl $bb$ ist der y-Achsenabschnitt.

Die y-Achse wird bei $bb$ geschnitten: $x=0\Rightarrow S_y(0\mathrm{\mid }b)x=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;S\_y(0|b)$

Nullstelle: $y=0\Rightarrow N(-{\displaystyle \frac{n}{m}}\mid 0)y=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;N\backslash left(-\backslash dfrac\{n\}\{m\}\backslash Big\backslash vert0\backslash right)$

Zweipunkteform der Geradengleichung

Gegeben sind die Punkte $P_1(x_1\mathrm{\mid }{y}_1),P_2(x_2\mathrm{\mid }{y}_2)P\_1(x\_1|y\_1),\; P\_2(x\_2|y\_2)$:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_{1}y\; =\; \backslash dfrac\{\; y\_2\; -\; y\_1\; \}\{\; x\_2\; -\; x\_1\; \}\backslash cdot(x\; -\; x\_1)\; +\; y\_1$

Gilt für die Steigungen $m_{g}m\_g$ und $m_{h}m\_h$ von zwei Geraden $gg$ und $hh$, dass $m_g\cdot m_h=-1m\_g\; \backslash cdot\; m\_h\; =-1$ ist, dann stehen die Geraden senkrecht aufeinander.

Quadratische Funktion

Normalform

Eine Funktion $ff$ mit $y=f(x)=x^2+px+qy=f(x)=x^2+px+q$ und $(p,q\in \mathbb{R})(p,\; q\; \backslash in\backslash mathbb\{R\})$ heißt quadratische Funktion. $$

Definitionsmenge: $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

Wertemenge: $y\in \mathbb{R};y\ge q-{\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)}^{2}y\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\};\; \backslash ;y\backslash geq\; q-\backslash left(\backslash dfrac\{p\}\{2\}\backslash right)^2$

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt

$S(-{\displaystyle \frac{p}{2}}\mid q-{\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)}^2)S\backslash left(-\backslash dfrac\{p\}\{2\}\backslash Big\backslash vert\; q-\backslash left(\backslash dfrac\{p\}\{2\}\backslash right)^2\backslash right)$.

Nullstellen: $x_{1,2}=-{\displaystyle \frac{p}{2}}\pm \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)}^2-q}x\_\{1\{,\}2\}=-\backslash dfrac\{p\}\{2\}\backslash pm\backslash sqrt\{\backslash left(\backslash dfrac\{p\}\{2\}\backslash right)^2-q\}$

Schnittpunkt mit y-Achse: $S_y(0\mathrm{\mid }q)S\_y(0|q)$

Allgemeine Form

$y=f(x)=a{x}^2+bx+cy=f(x)=ax^2+bx+c$

$(a,b,c\in \mathbb{R}(\text{konst.});a\mathrm{\ne }0)(a,\; b,\; c\backslash in\backslash mathbb\{R\}\backslash ;(\; \backslash text\{konst.\});a\backslash neq\; 0)$

Definitionsmenge: $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

Wertemenge:

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt

$S(-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\mid c-{\displaystyle \frac{b^2}{4a}})S\backslash left(-\backslash dfrac\{b\}\{2a\}\backslash Big\backslash vert\; c-\backslash dfrac\{b^2\}\{4a\}\backslash right)$.

Nullstellen: $x_{1,2}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}x\_\{1\; ,\; 2\}=\backslash dfrac\{-b\; \backslash pm\; \backslash sqrt\{b^\{2\}-4\; a\; c\}\}\{2\; a\}$

Schnittpunkt mit y-Achse: $S_y(0\mathrm{\mid }c)S\_y(0|c)$

Scheitelpunktform

$y=f(x)=a(x-d{)}^2+ey=f(x)=a(x-d)^2+e$

Definitionsmenge: $x\in \mathbb{R}x\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}$

Wertemenge: $y\in \mathbb{R};y\ge ey\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\};\; \backslash ;y\backslash geq\; e$

Nullstellen: $x_{1,2}=d\pm \sqrt{-e}x\_\{1,\; 2\}=d\backslash pm\backslash sqrt\{-e\}$

Schnittpunkt mit y-Achse: $S_y(0\mathrm{\mid }{d}^2+e)S\_y(0|d^2+e)$

Scheitelpunkt: $S(d\mathrm{\mid }e)S(d|e)$

..

Die Zweipunkteform der Geradengleichung lautet:

$y={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot (x-x_1)+y_{1}y=\backslash dfrac\{y\_2-y\_1\}\{x\_2-x\_1\}\backslash cdot\; (x-x\_1)+y\_1$ oder mit $m={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}m=\backslash dfrac\{y\_2-y\_1\}\{x\_2-x\_1\}$ folgt:

$y=m\cdot (x-x_1)+y_1=m\cdot x-m\cdot x_1+y_{1}y=m\backslash cdot(x-x\_1)+y\_1=m\backslash cdot\; x-m\backslash cdot\; x\_1+y\_1$

Die Koordinatenform $ax+by=cax+by=c$ der Geradengleichung wird nach y aufgelöst:

Vergleiche nun die beiden Geradengleichungen:

$y=m\cdot x-m\cdot x_1+y_{1}y=m\backslash cdot\; x-m\backslash cdot\; x\_1+y\_1$ und $y=-{\displaystyle \frac{a}{b}}\cdot x+{\displaystyle \frac{c}{b}}y=-\backslash dfrac\{a\}\{b\}\backslash cdot\; x+\backslash dfrac\{c\}\{b\}$

Es ist $m=-{\displaystyle \frac{a}{b}}m=-\backslash dfrac\{a\}\{b\}$ und $-m\cdot x_1+y_1={\displaystyle \frac{c}{b}}-m\backslash cdot\; x\_1+y\_1=\backslash dfrac\{c\}\{b\}$

Mit $m={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\Rightarrow (\mathrm{I}){\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}=-{\displaystyle \frac{a}{b}}m=\backslash dfrac\{y\_2-y\_1\}\{x\_2-x\_1\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash mathrm\{(I)\}\backslash ;\backslash dfrac\{y\_2-y\_1\}\{x\_2-x\_1\}=-\backslash dfrac\{a\}\{b\}$ und $(\mathrm{I}\mathrm{I})-{\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}\cdot x_1+y_1={\displaystyle \frac{c}{b}}\backslash mathrm\{(II)\}\backslash ;-\backslash dfrac\{y\_2-y\_1\}\{x\_2-x\_1\}\backslash cdot\; x\_1+y\_1=\backslash dfrac\{c\}\{b\}$

Aus $(I)\backslash mathrm(I)$ folgt: $-a=y_2-y_1\Rightarrow a=y_1-y_2-a=y\_2-y\_1\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=y\_1-y\_2$ und $b=x_2-x_{1}b=x\_2-x\_1$.

Es fehlt noch der Parameter $cc$.

Setze $b=x_2-x_{1}b=x\_2-x\_1$ in Gleichung $(\mathrm{I}\mathrm{I})\backslash mathrm\{(II)\}$ ein:

Es ist also $c=-y_2\cdot x_1+y_1\cdot x_2\Rightarrow c=x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_{2}c=-y\_2\backslash cdot\; x\_1+y\_1\backslash cdot\; x\_2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;c=x\_2\backslash cdot\; y\_1-x\_1\backslash cdot\; y\_2$.

Die drei Parameter $a,ba,\; b$ und $cc$ lauten also:

$a=y_1-y_{2}a=y\_1-y\_2$, $b=x_2-x_{1}b=x\_2-x\_1$ und $c=x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_{2}c=x\_2\backslash cdot\; y\_1-x\_1\backslash cdot\; y\_2$.

Alternative zur Berechnung

Wenn du schon etwas über Vektorrechnung weißt, ist die Berechnung noch kürzer.

Eine vektorielle Darstellung der Geraden durch $P_1(x_1\mathrm{\mid }{y}_1)P\_1(x\_1|y\_1)$ und $P_2(x_2\mathrm{\mid }{y}_2)P\_2(x\_2|y\_2)$ erhältst du als

mit $t\in \mathbb{R}t\backslash in\; \backslash R$.

Multipliziere jetzt skalar mit dem Vektor $\vec{w}=\left(\begin{array}{c}{y}_1-y_2\\ x_2-x_1\end{array}\right)\backslash vec\{w\}=\backslash begin\{pmatrix\}y\_1-y\_2\backslash \backslash x\_2-x\_1\; \backslash end\{pmatrix\}$, der entsteht, wenn man im Richtungsvektor der Geraden die Komponenten vertauscht und dann der zweiten ein negatives Vorzeichen gibt. Weil Vektoren der Form $\left(\begin{array}{c}f\\ g\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}\; f\backslash \backslash g\backslash end\{pmatrix\}$ und $\left(\begin{array}{c}g\\ -f\end{array}\right)\backslash begin\{pmatrix\}g\backslash \backslash -f\; \backslash end\{pmatrix\}$ immer das Skalarprodukt Null haben, ist auch das Skalarprodukt von $\vec{w}\backslash vec\{w\}$ und dem Richtungsvektor der Geraden Null.

Du erhältst dann

$x\cdot (\underset{a}{\underbrace{x_2-x_1}})+y\cdot (\underset{b}{\underbrace{x_2-x_1}})=x_1\cdot (y_1-y_2)+y_1\cdot (x_2-x_1)\phantom{x\cdot (\underset{a}{\underbrace{x_2-x_1}})+y\cdot (\underset{b}{\underbrace{x_2-x_1}})}=\underset{‾}{x_1\cdot y_1}-y_2\cdot x_1+y_1\cdot x_2-\underset{‾}{y_1\cdot x_1}\phantom{x\cdot (\underset{a}{\underbrace{x_2-x_1}})+y\cdot (\underset{b}{\underbrace{x_2-x_1}})}=\underset{c}{\underbrace{x_2\cdot y_1-x_1\cdot y_2}}x\backslash cdot(\backslash underbrace\{x\_2-x\_1\}\_a)+y\backslash cdot(\backslash underbrace\{x\_2-x\_1\}\_b)=\; x\_1\backslash cdot(y\_1-y\_2)+y\_1\backslash cdot(x\_2-x\_1)\backslash \backslash \; \backslash hphantom\{x\backslash cdot(\backslash underbrace\{x\_2-x\_1\}\_a)+y\backslash cdot(\backslash underbrace\{x\_2-x\_1\}\_b)\}=\backslash underline\{x\_1\backslash cdot\; y\_1\}-y\_2\backslash cdot\; x\_1+y\_1\backslash cdot\; x\_2-\backslash underline\{y\_1\backslash cdot\; x\_1\}\backslash \backslash \; \backslash hphantom\{x\backslash cdot(\backslash underbrace\{x\_2-x\_1\}\_a)+y\backslash cdot(\backslash underbrace\{x\_2-x\_1\}\_b)\}=\backslash underbrace\{x\_2\backslash cdot\; y\_1-x\_1\backslash cdot\; y\_2\}\_c$