Aufgaben - lernen mit Serlo!

Kowalskys Testaufgabe

$\cos(\alpha)=\dfrac{\vec a \circ\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}$

Lösung von Gleichungen-Übersicht

Lineare Gleichung $\;\Rightarrow\;$ direkt auflösen Gleichung vom Typ $x\cdot(x-a)=0\;\Rightarrow\;$ Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Quadratische Gleichung $\;\Rightarrow\;$ pq-Formel oder Mitternachtsformel anwenden Biquadratische Gleichung $\;\Rightarrow\;$ Substitution $x^{2} = z$ und dann Lösung der erhaltenen quadratischen Gleichung mit anschließender Rücksubstitution $x=\pm\sqrt{z}$

Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $2 x^{2} - 28 x + 98 = 0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a = 2$ , $b = - 28$ und $c = 98$

$\displaystyle x_{1 , 2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze $a = 2$ , $b = - 28$ und $ c = 98$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-28)\pm \sqrt{(-28)^{2}-4\cdot2 \cdot98}}{2\cdot 2}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{28\pm \sqrt{784-784}}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{28\pm 0}{4}$
	$=$	$\displaystyle 7$

Quadratische Gleichung lösen

Löse die quadratische Gleichung $- 3 x^{2} - 4 x + 5 = 0$ .

Du kannst die Mitternachtsformel oder die pq-Formel verwenden. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:

$a = - 3$ , $b = - 4$ und $c = 5$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
	↓	Setze $a = - 3$ , $b = - 4$ und $ c = 5$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-(-4)\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot(-3) \cdot5}}{2\cdot (-3)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{16+60}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{76}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm \sqrt{4\cdot19}}{(-6)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4\pm2 \cdot\sqrt{19}}{(-6)}$
	↓	Klammere $2$ aus und kürze.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{2\pm \sqrt{19}}{3}$

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a)
Berechnen Sie die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes.
Zeichne den Graphen von $f(x)=5 \cdot\left(e^{-0{,}3 x}-e^{-4 x}\right)$ .
Finde mit TRACE den y-Wert zu $x=1\;\Rightarrow\;y\approx3{,}6$
Somit beträgt die Konzentration nach einer Stunde noch rund $3{,}6\;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$
Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert $2{,}8\;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ annimmt.
Zeichne zu dem Graphen von $f (x)$ den Graphen von $y = 2, 8$ .
Finde den ersten Schnittpunkt der beiden Graphen:
$\Rightarrow\;x_1\approx0{,}25$
Dabei ist $x$ in Stunden angegeben.
$0, 25$ Stunden sind $0{,}25\cdot60=15$ Minuten.
Also wird der Wert erstmals nach ca. 15 Minuten überschritten.
Bestimmen Sie, wie lange die Konzentration mindestens $0{,}5\;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ beträgt.
Zeichne zu dem Graphen von $f (x)$ den Graphen von $y = 0, 5$ .
Finde die Schnittpunkte der beiden Graphen:
$\Rightarrow\;x_1\approx0{,}029$ und $x_2\approx7{,}675$ (erneut in Stunden)
Um herauszufinden, wie lange die Konzentration im Blut mindestens $0{,}5\;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ beträgt, subtrahierst du die beiden Zeitpunkte voneinander:
$\Delta x=7{,}68-0{,}03=7{,}65$ .
Da $f (x) > 0, 5$ für $x_{1} < x < x_{2}$ gilt, ist die Konzentration ungefähr $7, 6$ Stunden mindestens $0{,}5\;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ groß.
b)
Die Gleichung $f^{'} (x) = 0$ hat für $0\leq x\leq 12$ nur die Lösung $x_H\approx0{,}7$ .
Betrachte für das Vorzeichenwechselkriterium Ableitungswerte in der Nähe von $x_{H}$ , z.B. ist $f'(0{,}5)\approx1{,}4>0$ und $f'(0{,}9)\approx-0{,}6$ . Es findet also ein VZW von $+\mapsto -$ statt. Also liegt ein Hochpunkt vor.
e) Für $x \geq 6 x ≥ 6$ wird die Konzentration durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$
im Punkt $(6 ∣ f (6))$ beschrieben:
$t(x)=m\cdot x+b$ mit $m\approx -0{,}248$ und $b\approx 2{,}314$ .
Die Nullstelle der Tangente entspricht dem gesuchten Zeitpunkt in Stunden.
$𝑡$ hat die Nullstelle $x_{N}$ mit $x_N \approx 9{,}3$ .
Also sinkt die Konzentration 9,3 Stunden nach der Einnahme auf $0\;\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{l}}$ .
g)
$f_{a}$ hat nur die Nullstelle $0$ .
Du suchst die Werte von $a,$ für die der Wert des Integrals gleich $0, 2$ oder $- 0, 2$ ist.
Fall 1
Dann ist $\displaystyle \int_0^1 f(x)\;dx=F_a(1)-F_a(0)=0{,}2$
Gegeben ist $F_{a}(x)=-\frac{1}{a} \cdot e^{-a \cdot x}+\frac{1}{4} e^{-4 x}$ .
Dann ist $F_a(1)=-\frac{1}{a} \cdot e^{-a }+\frac{1}{4} e^{-4 }$ und $F_a(0)=-\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{4}$ .
Definiere die Funktionen $g(x)=-\frac{1}{x} \cdot e^{-x }+\frac{1}{4} e^{-4 }$ und $h(x)=\frac{1}{4} e^{-4 }$ .
Es gilt dann: $\displaystyle \int_0^1 f(x)\;dx=g(x)-h(x)=0{,}2$ oder $g(x)=h(x)+0{,}2=-\dfrac{1}{x}+0{,}45$
Bestimme die Schnittstelle von $g (x)$ mit $-\dfrac{1}{x}+0{,}45$ .
Du erhältst $x_1\approx1{,}91$ , d.h. $a_1\approx1{,}9$ .
Fall 2
Nun gilt: $\displaystyle \int_0^1 f(x)\;dx=g(x)-h(x)=-0{,}2$ .
Verfahre wie im Fall 1:
Nun gilt $g(x)=h(x)-0{,}2=-\dfrac{1}{x}+0{,}05$ .
Bestimme die Schnittstelle von $g (x)$ mit $-\dfrac{1}{x}+0{,}05$ .
Du erhältst $x_2\approx22{,}016$ , d.h. $a_2\approx22{,}0$ .
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In einem Multiple-Choice-Test gibt es $20$ Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt:
$n=20,\;p=\frac13,\;k=10$
Berechnet werden muss: $P(X=10)=B(20,\frac13{,}10)$
Die Lösung erfolgt mit dem TR CASIO fx-991 DE PLUS:
Drücke die Taste MODE. Es erscheint folgende Auswahl:
Wähle 4: DIST
Wähle 4: Binomial PD
Wähle 2: Var
Gib hier den Wert $k = 10$ ein.
Gib hier den Wert $n = 20$ ein.
Gib hier den Wert $p=\frac13$ ein.
Nach Druck der "="-Taste erscheint das Ergebnis:
p=0,054259....
Zu $5, 4 %$ beantwortet er genau die Hälfte der Fragen richtig.
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Gegeben ist der Kreis $k : x^{2} + y^{2} = 16$ . Durch den Punkt $P (- 8 ∣ 0)$ verläuft eine Gerade $g$ , die Tangente an den Kreis sein soll. Berechne die Funktionsgleichung der Geraden und den Berührpunkt $B$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Tangentengleichung

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$g:\;y=m\cdot x+t$

Setze die Koordinaten des Punktes $P$ ein.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle m\cdot x+t$
	↓	Setze $P (- 8 ∣ 0)$ ein.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle m\cdot(-8)+t$	$\displaystyle +8m$
$\displaystyle 8m$	$=$	$\displaystyle t$

Damit lautet die Geradengleichung $g:\;y=m\cdot x+8m=m(x+8)$

Zur Berechnung des Schnittpunktes zwischen der Geraden und dem Kreis setze $y$ in die Kreisgleichung ein.

$\displaystyle x^2+y^2$	$=$	$\displaystyle 16$
	↓	Setze $y = m (x + 8)$ ein.
$\displaystyle x^2+(m(x+8))^2$	$=$	$\displaystyle 16$
$\displaystyle x^2+m^2x^2+16m^2x+64m^2$	$=$	$\displaystyle 16$	$\displaystyle -16$
$\displaystyle (1+m^2)x^2+16m^2x+64m^2-16$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle (1+m^2)x^2+16m^2x+16(4m^2-1)$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du

nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) lösen.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab.

$a = (1 + m^{2})$ , $b = 16 m^{2}$ und $c = 16 (4 m^{2} - 1)$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-16m^2 \pm \sqrt{(-16m^2)^{2}-4 \cdot(1+m^2) \cdot 16\cdot(4m^2-1)}}{2 \cdot (1+m^2)}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-16m^2 \pm \sqrt{256m^4-64 \cdot(1+m^2) \cdot(4m^2-1)}}{2 \cdot (1+m^2)}$

Für die Tangente muss gelten, dass sie nur einen Berührpunkt mit dem Kreis haben darf. Daher darf es nur eine Lösung der Mitternachtsformel geben.

Um nur eine Lösung für die Gleichung

\displaystyle x_{1{,}2}=\dfrac{-16m^2 \pm \sqrt{256m^4-64 \cdot(1+m^2) \cdot(4m^2-1)}}{2 \cdot (1+m^2)}

zu erhalten, muss die Diskriminante $D=256m^4-64 \cdot(1+m^2) \cdot(4m^2-1)$ gleich $0$ sein.

$\displaystyle 256m^4-64 \cdot(1+m^2) \cdot(4m^2-1)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 256m^4-64 \cdot(4m^2-1+4m^4-m^2)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 256m^4-64 \cdot(4m^4+3m^2-1)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 256m^4-256m^4+192m^2-64$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +64$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 192m^2$	$=$	$\displaystyle 64$	$\displaystyle :192$
	↓	Löse nach $m^{2}$ auf.
$\displaystyle m^2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{64}{192}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}$

Die Gleichung $m^2=\dfrac{1}{3}$ hat zwei Lösungen $m_1=\sqrt{\dfrac{1}{3}}$ und $m_2=-\sqrt{\dfrac{1}{3}}.$

Es gibt also zwei Geraden, die vom Punkt $P$ aus Tangenten an den Kreis sind:

$g_1:\;y=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\cdot x+8\cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}\approx 0{,}58x+4{,}62$

$g_2:\;y=-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\cdot x-8\cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}\approx -0{,}58x-4{,}62$

Berührpunkt

Wenn $D = 0$ ist, dann gilt:

$x_{1{,}2}=\dfrac{-16m^2 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot (1+m^2)}$

Setze $m^2=\dfrac{1}{3}$ ein:

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-16\cdot\dfrac{1}{3} }{2 \cdot \left(1+\dfrac{1}{3}\right)}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{-\frac{16}{3} }{\frac{8}{3}}$
	$=$	$\displaystyle -2$

Die $y$ -Werte der beiden Berührpunkte erhältst du, wenn $x = - 2$ in die Tangentengleichungen eingesetzt wird.

$y_1=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\cdot (-2)+8\cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}=6\cdot \sqrt{\dfrac{1}{3}}\approx 3{,}46$

$y_2=-\sqrt{\dfrac{1}{3}}\cdot (-2)-8\cdot\sqrt{\dfrac{1}{3}}=-6\cdot \sqrt{\dfrac{1}{3}}\approx -3{,}46$

Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten $B_1(-2|3{,}46)$ und $B_2(-2|-3{,}46)$ .

Graphische Darstellung

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

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Welche Punkte sind Berührpunkte (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)?
- B, D, F, G
- A, D, F, G
- B, C, D, E
- B, C, D, G
Punkt $A$ : Fall 1 transversales Schneiden
Punkt $B$ : Fall 3 Berührpunkt
Punkt $C$ : Fall 3 Berührpunkt
Punkt $D$ : Fall 3 Berührpunkt
Punkt $E$ : Fall 2 berührendes Schneiden
Punkt $F$ : Fall 1 transversales Schneiden
Punkt $G$ : Fall 3 Berührpunkt
Richtige Lösung: Berührpunkte sind die Punkte $B, C, D, G$ .
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Gegeben ist ein Quader mit den Seiten $a=8\;\text{cm}$ , $b=6\;\text{cm}$ und $c=4\;\text{cm}$ .

Aus einer Quaderecke wird eine Pyramide herausgeschnitten. Die Schnitte verlaufen längs der Diagonalen der Seitenflächen.

a) Berechne jeweils die Flächeninhalte der vier Dreiecke $\textcolor{660099}{A_1}$ , $\textcolor{006400}{A_2}$ , $\textcolor{ff6600}{A_3}$ und $\textcolor{009999}{A_4}$ .

Hinweis: Verwende die Bezeichnungen von Bild 1 und Bild 3 und verwende für die Berechnung des Flächeninhalts von $\textcolor{009999}{A_4}$ den Kosinussatz.

b) Weise nach, dass $\textcolor{660099}{A_1}^2+\textcolor{006400}{A_2}^2+\textcolor{ff6600}{A_3}^2=\textcolor{009999}{A_4}^2$ gilt.

Lösung zu a)

Berechne die 4 Dreiecksflächen mit der Formel $A=\dfrac{g\cdot h}{2}$ (Bild 1).

$A_1=\dfrac{a\cdot b}{2}=\dfrac{8\;\text{cm}\cdot 6\;\text{cm}}{2}=24\;\text{cm}^2$

$A_2=\dfrac{b\cdot c}{2}=\dfrac{6\;\text{cm}\cdot 4\;\text{cm}}{2}=12\;\text{cm}^2$

$A_3=\dfrac{a\cdot c}{2}=\dfrac{8\;\text{cm}\cdot 4\;\text{cm}}{2}=16\;\text{cm}^2$

Für das $4$ . Dreieck müssen zuerst die Seiten berechnet werden (Bild 3)

$r=\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{(8\;\text{cm})^2+(4\;\text{cm})^2}=\sqrt{80}\;\text{cm}$

$s=\sqrt{b^2+c^2}=\sqrt{(6\;\text{cm})^2+(4\;\text{cm})^2}=\sqrt{52}\;\text{cm}$

$t=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(8\;\text{cm})^2+(6\;\text{cm})^2}=\sqrt{100\;\text{cm}^2}=10\;\text{cm}$

Weiterhin gilt: $t_1+t_2=t\;\Rightarrow\;t_2=t-t_1$

Bild 3:

rechtes Dreieck $\;\Rightarrow\;h^2=s^2-t_2^2$

linkes Dreieck $\;\Rightarrow\;h^2=r^2-t_1^2$

Gleichsetzen ergibt:

$\displaystyle s^2-t_2^2$	$=$	$\displaystyle r^2-t_1^2$
	↓	Setze $t_{2} = t - t_{1}$ ein.
$\displaystyle s^2-(t-t_1)^2$	$=$	$\displaystyle r^2-t_1^2$
	↓	Löse die Klammer auf, verwende eine binomische Formel.
$\displaystyle s^2-(t^2-2\cdot t\cdot t_1+t_1^2)$	$=$	$\displaystyle r^2-t_1^2$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle s^2-t^2+2\cdot t\cdot t_1-t_1^2$	$=$	$\displaystyle r^2-t_1^2$	$\displaystyle +t_1^2$
	↓	Löse nach $t_{1}$ auf.
$\displaystyle s^2-t^2+2\cdot t\cdot t_1$	$=$	$\displaystyle r^2$	$\displaystyle -s^2$
$\displaystyle -t^2+2\cdot t\cdot t_1$	$=$	$\displaystyle r^2-s^2$	$\displaystyle +t^2$
$\displaystyle 2\cdot t\cdot t_1$	$=$	$\displaystyle r^2-s^2+t^2$	$\displaystyle :2t$
$\displaystyle t_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{r^2-s^2+t^2}{2t}$

Setze die berechneten Werte in $t_1=\dfrac{r^2-s^2+t^2}{2t}$ ein:

$\displaystyle t_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{80-52+100}{2\cdot 10}$
$\displaystyle t_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{128}{20}$
$\displaystyle t_1$	$=$	$\displaystyle 6{,}4$

Die Strecke $t_{1}$ beträgt $6{,}4 \;\text{cm}$ . Damit kann die Höhe des Dreiecks $A_{4}$ berechnet werden.

$h=\sqrt{r^2-t_1^2}=\sqrt{80-6{,}4^2}=\dfrac{\sqrt{976}}{5}\;\text{cm}$

$A_4=\dfrac{t\cdot h}{2}=\dfrac{10\;\text{cm}\cdot \dfrac{\sqrt{976}}{5}\;\text{cm}}{2}=\sqrt{976}\;\text{cm}^2$

Lösung zu b)

Setze die berechneten Werte in die Gleichung ein:

$\displaystyle A_1^2+A_2^2+A_3^2$	$=$	$\displaystyle A_4^2$
	↓	Setze die berechneten Werte ein.
$\displaystyle (24\;\text{cm}^2)^2+(12\;\text{cm}^2)^2+(16\;\text{cm}^2)^2$	$=$	$\displaystyle (\sqrt{976}\;\text{cm}^2)^2$
$\displaystyle 576\;\text{cm}^4+144\;\text{cm}^4+256\;\text{cm}^4$	$=$	$\displaystyle 976\;\text{cm}^4$
$\displaystyle 976\;\text{cm}^4$	$=$	$\displaystyle 976\;\text{cm}^4\;\checkmark$

Damit hast du gezeigt, dass $A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{3}^{2} = A_{4}^{2}$ ist.

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Gegeben ist eine Ebenenschar $E_a:\; x_1+a\cdot x_2-x_3+3\cdot a=0$ mit $a\in \mathbb{R}$ .

a) Die beiden Ebenen $E_{a_1}$ und $E_{a_2}$ sollen senkrecht aufeinander stehen.

Welche Beziehung besteht zwischen $a_{1}$ und $a_{2}$ ?

b) Zu welcher Ebene aus der oben angegebenen Schar gibt es keine dazu senkrechte Ebene aus dieser Schar?

c) Es ist $a\in \mathbb{R^+}$ . Berechne den Abstand $d (O, E_{a})$ des Koordinatenursprungs von der Scharebene $E_{a}$ und gib gegebenenfalls den Grenzwert $\displaystyle \lim_{a\to\infty}d(O,E_a)$ an.

Lösung zu a)

Die beiden Ebenen haben folgende Gleichungen:

$E_{a_1}:\; x_1+a_1\cdot x_2-x_3+3\cdot a_1=0$

$E_{a_2}:\; x_1+a_2\cdot x_2-x_3+3\cdot a_2=0$

Lies die beiden Normalenvektoren ab:

$\vec n_{a_1}=\begin{pmatrix}1\\a_1\\-1\end{pmatrix}$ und $\vec n_{a_2}=\begin{pmatrix}1\\a_2\\-1\end{pmatrix}$

Die beiden Ebenen $E_{a_1}$ und $E_{a_2}$ sollen senkrecht aufeinander stehen, dann muss das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren gleich null sein.

$\vec n_{a_1}\circ \vec n_{a_2}=0\;\Rightarrow\;\begin{pmatrix}1\\a_1\\-1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\a_2\\-1\end{pmatrix}=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\a_1\\-1\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}1\\a_2\\-1\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 1\cdot1+a_1\cdot a_2+(-1)\cdot(-1)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle 2+a_1\cdot a_2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
	↓	Löse nach $a_1\cdot a_2$ auf.
$\displaystyle a_1\cdot a_2$	$=$	$\displaystyle -2$

Du hast die Gleichung $a_1\cdot a_2=-2$ erhalten bzw. aufgelöst nach $a_{1}$ folgt:

\displaystyle x_{1{,}2}=\dfrac{-16m^2 \pm \sqrt{256m^4-64 \cdot(1+m^2) \cdot(4m^2-1)}}{2 \cdot (1+m^2)}

Wenn dieser Zusammenhang zwischen den beiden Scharparametern besteht, dann stehen die Scharebenen senkrecht aufeinander.

Lösung zu b)

Wenn $a_{2} = 0$ ist, dann müsste $a_1=-\dfrac{2}{0}$ sein. Das ist aber nicht möglich, da nicht durch $0$ geteilt werden darf.

Zu der Scharebene $E_0:\; x_1-x_3=0$ mit $a_{2} = 0$ gibt es keine dazu senkrechte Ebene.

Lösung zu c)

Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene:

Wegen $a\in \mathbb{R^+}$ muss $E_a:\; x_1+a\cdot x_2-x_3+3\cdot a=0$ mit $(- 1)$ multipliziert werden:

$\displaystyle x_1+a\cdot x_2-x_3+3\cdot a$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle - x_1-a\cdot x_2+x_3-3\cdot a$	$=$	$\displaystyle 0$

Erstelle nun die Gleichung der Hesseschen Normalenform:

$\displaystyle E_{HNF}:\dfrac{-x_1-a\cdot x_2+x_3-3\cdot a}{\|\vec{n}\|}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze den Normalenvektor ein.
$\displaystyle \dfrac{-x_1-a\cdot x_2+x_3-3\cdot a}{\sqrt{(-1)^2+(-a)^2+1^2}}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \dfrac{-x_1-a\cdot x_2+x_3-3\cdot a}{\sqrt{2+a^2}}$	$=$	$\displaystyle 0$

Für die Berechnung des Abstandes $d$ der Ebene vom Koordinatenursprung setze in $E_{HNF}$ die Koordinaten des Ursprungs $O (0 ∣ 0 ∣ 0)$ ein:

$\displaystyle d(O,E)$	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{-0-a\cdot 0+0-3\cdot a}{\sqrt{2+a^2}}\right\|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{-3\cdot a}{\sqrt{2+a^2}}\right\|$

Es ist $d(O,E)=\left|\dfrac{-3\cdot a}{\sqrt{2+a^2}}\right|.$ Wegen $a\in \mathbb{R^+}$ erhältst du für den Betrag:

\displaystyle x_{1{,}2}=\dfrac{-16m^2 \pm \sqrt{256m^4-64 \cdot(1+m^2) \cdot(4m^2-1)}}{2 \cdot (1+m^2)}

Die Scharebene $E_{a}$ hat vom Koordinatenursprung den Abstand $d=\dfrac{3\cdot a}{\sqrt{2+a^2}}$ .

Berechnung des Grenzwertes von d(O,E)

\displaystyle \displaystyle \lim_{a\to\infty}d(O,E_a)

=

\displaystyle \displaystyle \lim_{a\to\infty}\dfrac{3\cdot a}{\sqrt{2+a^2}}

	$\displaystyle \displaystyle \lim_{a\to\infty}\dfrac{3\cdot a}{\sqrt{2+a^2}}$
	↓ Klammere in Nenner $a^{2}$ aus.
$=$	$\displaystyle \displaystyle \lim_{a\to\infty}\dfrac{3\cdot a}{\sqrt{a^2\left(\dfrac{2}{a^2}+1\right)}}$
	↓ Schreibe den Nenner als Produkt von zwei Wurzeln.
$=$	$\displaystyle \displaystyle \lim_{a\to\infty}\dfrac{3\cdot a}{\sqrt{a^2}\cdot\sqrt{\dfrac{2}{a^2}+1}}$
	↓ Berechne $\sqrt{a^2}$ . Wegen $a\in \mathbb{R^+}$ ist $\sqrt{a^2}=a$ .
$=$	$\displaystyle \displaystyle \lim_{a\to\infty}\dfrac{3\cdot a}{a\cdot\sqrt{\dfrac{2}{a^2}+1}}$
	↓ Kürze mit $a$ .
$=$	$\displaystyle \displaystyle \lim_{a\to\infty}\dfrac{3}{\sqrt{\dfrac{2}{a^2}+1}}$

Berechne den Grenzwert:

$\displaystyle \lim_{a\to\infty}\dfrac{3}{\sqrt{\underbrace{\dfrac{2}{a^2}}_{\rightarrow 0}+1}}=\dfrac{3}{\sqrt{1}}=3$

Der Grenzwert $\displaystyle \lim_{a\to\infty}d(O,E_a)=3$ .

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Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen

		$\tan\\\cot$

		gegeben	gegeben	gegeben $\cot \varphi$
				$\dfrac{1}{\pm\sqrt{1+\cot^2 \varphi}}$
				$\dfrac{\cot \varphi}{\sqrt{1+\cot^2 \varphi}}$
				$\dfrac{1}{\cot \varphi}$
$??\cot \varphi=$	$\dfrac{\pm\sqrt{1-\sin^2 \varphi}}{\sin \varphi}$	$\dfrac{\cos \varphi}{\pm\sqrt{1-\cos^2 \varphi}}$	$\dfrac{1}{\tan \varphi}$	$\cot \varphi$

Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

	$\tan \alpha\cdot \cot \alpha=1$	$\tan \alpha=\dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\dfrac{1}{\cot\alpha}$
$\cot \alpha=\dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{1}{\tan\alpha}$	$1+\tan ^2\alpha=\dfrac{1}{\cot^2 \alpha}$	$1+\cot^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2 \alpha}$

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.
Du kannst dann die vorhandene Zeichnung weiterer benutzen.
(Alternativ kannst du auch das Koordinatensystem (mit der Geraden) in dein Heft übertragen.)
Alternativ kannst du auch die Abbildung in dein Heft übertragen.
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