Aufgaben - lernen mit Serlo!

Kowalskys Testaufgabe

$\cos (α) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

Lösung von Gleichungen-Übersicht

a)
Berechnen Sie die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes.
Zeichne den Graphen von $f (x) = 5 \cdot (e^{- 0,3 x} - e^{- 4 x})$ .
Finde mit TRACE den y-Wert zu $x = 1 \Rightarrow y \approx 3,6$
Somit beträgt die Konzentration nach einer Stunde noch rund $3,6 \frac{mg}{l}$
Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert $2,8 \frac{mg}{l}$ annimmt.
Zeichne zu dem Graphen von $f (x)$ den Graphen von $y = 2,8$ .
Finde den ersten Schnittpunkt der beiden Graphen:
$\Rightarrow x_{1} \approx 0,25$
Dabei ist $x$ in Stunden angegeben.
$0,25$ Stunden sind $0,25 \cdot 60 = 15$ Minuten.
Also wird der Wert erstmals nach ca. 15 Minuten überschritten.
Bestimmen Sie, wie lange die Konzentration mindestens $0,5 \frac{mg}{l}$ beträgt.
Zeichne zu dem Graphen von $f (x)$ den Graphen von $y = 0,5$ .
Finde die Schnittpunkte der beiden Graphen:
$\Rightarrow x_{1} \approx 0,029$ und $x_{2} \approx 7,675$ (erneut in Stunden)
Um herauszufinden, wie lange die Konzentration im Blut mindestens $0,5 \frac{mg}{l}$ beträgt, subtrahierst du die beiden Zeitpunkte voneinander:
$Δ x = 7,68 - 0,03 = 7,65$ .
Da $f (x) > 0,5$ für $x_{1} < x < x_{2}$ gilt, ist die Konzentration ungefähr $7,6$ Stunden mindestens $0,5 \frac{mg}{l}$ groß.
b)
Die Gleichung $f^{'} (x) = 0$ hat für $0 \leq x \leq 12$ nur die Lösung $x_{H} \approx 0,7$ .
Betrachte für das Vorzeichenwechselkriterium Ableitungswerte in der Nähe von $x_{H}$ , z.B. ist $f^{'} (0,5) \approx 1,4 > 0$ und $f^{'} (0,9) \approx - 0,6$ . Es findet also ein VZW von $+ \mapsto -$ statt. Also liegt ein Hochpunkt vor.
e) Für $x \geq 6$ wird die Konzentration durch die Tangente $t$ an den Graphen von $f$
im Punkt $(6 | f (6))$ beschrieben:
$t (x) = m \cdot x + b$ mit $m \approx - 0,248$ und $b \approx 2,314$ .
Die Nullstelle der Tangente entspricht dem gesuchten Zeitpunkt in Stunden.
$𝑡$ hat die Nullstelle $x_{N}$ mit $x_{N} \approx 9,3$ .
Also sinkt die Konzentration 9,3 Stunden nach der Einnahme auf $0 \frac{mg}{l}$ .
g)
$f_{a}$ hat nur die Nullstelle $0$ .
Du suchst die Werte von $a,$ für die der Wert des Integrals gleich $0,2$ oder $- 0,2$ ist.
Fall 1
Dann ist $\int_{0}^{1} f (x) d x = F_{a} (1) - F_{a} (0) = 0,2$
Gegeben ist $F_{a} (x) = - \frac{1}{a} \cdot e^{- a \cdot x} + \frac{1}{4} e^{- 4 x}$ .
Dann ist $F_{a} (1) = - \frac{1}{a} \cdot e^{- a} + \frac{1}{4} e^{- 4}$ und $F_{a} (0) = - \frac{1}{a} + \frac{1}{4}$ .
Definiere die Funktionen $g (x) = - \frac{1}{x} \cdot e^{- x} + \frac{1}{4} e^{- 4}$ und $h (x) = \frac{1}{4} e^{- 4}$ .
Es gilt dann: $\int_{0}^{1} f (x) d x = g (x) - h (x) = 0,2$ oder $g (x) = h (x) + 0,2 = - \frac{1}{x} + 0,45$
Bestimme die Schnittstelle von $g (x)$ mit $- \frac{1}{x} + 0,45$ .
Du erhältst $x_{1} \approx 1,91$ , d.h. $a_{1} \approx 1,9$ .
Fall 2
Nun gilt: $\int_{0}^{1} f (x) d x = g (x) - h (x) = - 0,2$ .
Verfahre wie im Fall 1:
Nun gilt $g (x) = h (x) - 0,2 = - \frac{1}{x} + 0,05$ .
Bestimme die Schnittstelle von $g (x)$ mit $- \frac{1}{x} + 0,05$ .
Du erhältst $x_{2} \approx 22,016$ , d.h. $a_{2} \approx 22,0$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
In einem Multiple-Choice-Test gibt es $20$ Aufgaben, bei denen man aus drei möglichen Lösungen die richtige ankreuzen muss. Felix hat sich nicht auf den Test vorbereitet. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er trotzdem genau die Hälfte der Fragen richtig beantworten?
Berechne die Wahrscheinlichkeit, indem du die gegebenen Werte in die Formel der Binomialverteilung einsetzt:
$n = 20, p = \frac{1}{3}, k = 10$
Berechnet werden muss: $P (X = 10) = B (20, \frac{1}{3},10)$
Die Lösung erfolgt mit dem TR CASIO fx-991 DE PLUS:
Drücke die Taste MODE. Es erscheint folgende Auswahl:
Wähle 4: DIST
Wähle 4: Binomial PD
Wähle 2: Var
Gib hier den Wert $k = 10$ ein.
Gib hier den Wert $n = 20$ ein.
Gib hier den Wert $p = \frac{1}{3}$ ein.
Nach Druck der "="-Taste erscheint das Ergebnis:
p=0,054259....
Zu $5,4 %$ beantwortet er genau die Hälfte der Fragen richtig.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Gegeben ist der Kreis $k : x^{2} + y^{2} = 16$ . Durch den Punkt $P (- 8 | 0)$ verläuft eine Gerade $g$ , die Tangente an den Kreis sein soll. Berechne die Funktionsgleichung der Geraden und den Berührpunkt $B$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Tangente

Tangentengleichung

Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$g : y = m \cdot x + t$

Setze die Koordinaten des Punktes $P$ ein.

$y$	$=$	$m \cdot x + t$
	↓	Setze $P (- 8 \| 0)$ ein.
$0$	$=$	$m \cdot (- 8) + t$	$+ 8 m$
$8 m$	$=$	$t$

Damit lautet die Geradengleichung $g : y = m \cdot x + 8 m = m (x + 8)$

Zur Berechnung des Schnittpunktes zwischen der Geraden und dem Kreis setze $y$ in die Kreisgleichung ein.

$x^{2} + y^{2}$	$=$	$16$
	↓	Setze $y = m (x + 8)$ ein.
$x^{2} + (m (x + 8))^{2}$	$=$	$16$
$x^{2} + m^{2} x^{2} + 16 m^{2} x + 64 m^{2}$	$=$	$16$	$- 16$
$(1 + m^{2}) x^{2} + 16 m^{2} x + 64 m^{2} - 16$	$=$	$0$
$(1 + m^{2}) x^{2} + 16 m^{2} x + 16 (4 m^{2} - 1)$	$=$	$0$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du

nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) lösen.

Lies die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ab.

$a = (1 + m^{2})$ , $b = 16 m^{2}$ und $c = 16 (4 m^{2} - 1)$

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
	↓	Setze die Werte für $a$ , $b$ und $c$ ein.
	$=$	$\frac{- 16 m^{2} \pm \sqrt{(- 16 m^{2})^{2} - 4 \cdot (1 + m^{2}) \cdot 16 \cdot (4 m^{2} - 1)}}{2 \cdot (1 + m^{2})}$
	$=$	$\frac{- 16 m^{2} \pm \sqrt{256 m^{4} - 64 \cdot (1 + m^{2}) \cdot (4 m^{2} - 1)}}{2 \cdot (1 + m^{2})}$

Für die Tangente muss gelten, dass sie nur einen Berührpunkt mit dem Kreis haben darf. Daher darf es nur eine Lösung der Mitternachtsformel geben.

Um nur eine Lösung für die Gleichung

x_{1,2} = \frac{- 16 m^{2} \pm \sqrt{256 m^{4} - 64 \cdot (1 + m^{2}) \cdot (4 m^{2} - 1)}}{2 \cdot (1 + m^{2})}

zu erhalten, muss die Diskriminante $D = 256 m^{4} - 64 \cdot (1 + m^{2}) \cdot (4 m^{2} - 1)$ gleich $0$ sein.

$256 m^{4} - 64 \cdot (1 + m^{2}) \cdot (4 m^{2} - 1)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammern auf.
$256 m^{4} - 64 \cdot (4 m^{2} - 1 + 4 m^{4} - m^{2})$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$256 m^{4} - 64 \cdot (4 m^{4} + 3 m^{2} - 1)$	$=$	$0$
	↓	Löse die Klammer auf.
$256 m^{4} - 256 m^{4} + 192 m^{2} - 64$	$=$	$0$	$+ 64$
	↓	Vereinfache.
$192 m^{2}$	$=$	$64$	$: 192$
	↓	Löse nach $m^{2}$ auf.
$m^{2}$	$=$	$\frac{64}{192}$
	↓	Kürze.
	$=$	$\frac{1}{3}$

Die Gleichung $m^{2} = \frac{1}{3}$ hat zwei Lösungen $m_{1} = \sqrt{\frac{1}{3}}$ und $m_{2} = - \sqrt{\frac{1}{3}} .$

Es gibt also zwei Geraden, die vom Punkt $P$ aus Tangenten an den Kreis sind:

$g_{1} : y = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot x + 8 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} \approx 0,58 x + 4,62$

$g_{2} : y = - \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot x - 8 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} \approx - 0,58 x - 4,62$

Berührpunkt

Wenn $D = 0$ ist, dann gilt:

$x_{1,2} = \frac{- 16 m^{2} \pm \sqrt{0}}{2 \cdot (1 + m^{2})}$

Setze $m^{2} = \frac{1}{3}$ ein:

$x_{1,2}$	$=$	$\frac{- 16 \cdot \frac{1}{3}}{2 \cdot (1 + \frac{1}{3})}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{- \frac{16}{3}}{\frac{8}{3}}$
	$=$	$- 2$

Die $y$ -Werte der beiden Berührpunkte erhältst du, wenn $x = - 2$ in die Tangentengleichungen eingesetzt wird.

$y_{1} = \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot (- 2) + 8 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = 6 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} \approx 3,46$

$y_{2} = - \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot (- 2) - 8 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} = - 6 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} \approx - 3,46$

Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten $B_{1} (- 2 | 3,46)$ und $B_{2} (- 2 | - 3,46)$ .

Graphische Darstellung

Die Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht verlangt worden.

Sie dient nur der Veranschaulichung.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Welche Punkte sind Berührpunkte (ein Schnittpunkt mit einer gemeinsamen Tangente und die beiden Graphen kreuzen sich nicht im Schnittpunkt)?
- B, D, F, G
- A, D, F, G
- B, C, D, E
- B, C, D, G
Punkt $A$ : Fall 1 transversales Schneiden
Punkt $B$ : Fall 3 Berührpunkt
Punkt $C$ : Fall 3 Berührpunkt
Punkt $D$ : Fall 3 Berührpunkt
Punkt $E$ : Fall 2 berührendes Schneiden
Punkt $F$ : Fall 1 transversales Schneiden
Punkt $G$ : Fall 3 Berührpunkt
Richtige Lösung: Berührpunkte sind die Punkte $B, C, D, G$ .
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

Gegeben ist ein Quader mit den Seiten $a = 8 cm$ , $b = 6 cm$ und $c = 4 cm$ .

Aus einer Quaderecke wird eine Pyramide herausgeschnitten. Die Schnitte verlaufen längs der Diagonalen der Seitenflächen.

a) Berechne jeweils die Flächeninhalte der vier Dreiecke $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ und $A_{4}$ .

Hinweis: Verwende die Bezeichnungen von Bild 1 und Bild 3 und verwende für die Berechnung des Flächeninhalts von $A_{4}$ den Kosinussatz.

b) Weise nach, dass ${A_{1}}^{2} + {A_{2}}^{2} + {A_{3}}^{2} = {A_{4}}^{2}$ gilt.

Gegeben ist eine Ebenenschar $E_{a} : x_{1} + a \cdot x_{2} - x_{3} + 3 \cdot a = 0$ mit $a \in ℝ$ .

a) Die beiden Ebenen $E_{a_{1}}$ und $E_{a_{2}}$ sollen senkrecht aufeinander stehen.

Welche Beziehung besteht zwischen $a_{1}$ und $a_{2}$ ?

b) Zu welcher Ebene aus der oben angegebenen Schar gibt es keine dazu senkrechte Ebene aus dieser Schar?

c) Es ist $a \in ℝ^{+}$ . Berechne den Abstand $d (O, E_{a})$ des Koordinatenursprungs von der Scharebene $E_{a}$ und gib gegebenenfalls den Grenzwert $\lim_{a \to \infty} d (O, E_{a})$ an.

Lösung zu a)

Die beiden Ebenen haben folgende Gleichungen:

$E_{a_{1}} : x_{1} + a_{1} \cdot x_{2} - x_{3} + 3 \cdot a_{1} = 0$

$E_{a_{2}} : x_{1} + a_{2} \cdot x_{2} - x_{3} + 3 \cdot a_{2} = 0$

Lies die beiden Normalenvektoren ab:

${\vec{n}}_{a_{1}} = (\begin{array}{c} 1 \\ a_{1} \\ - 1 \end{array})$ und ${\vec{n}}_{a_{2}} = (\begin{array}{c} 1 \\ a_{2} \\ - 1 \end{array})$

Die beiden Ebenen $E_{a_{1}}$ und $E_{a_{2}}$ sollen senkrecht aufeinander stehen, dann muss das Skalarprodukt der beiden Normalenvektoren gleich null sein.

${\vec{n}}_{a_{1}} \circ {\vec{n}}_{a_{2}} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} 1 \\ a_{1} \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ a_{2} \\ - 1 \end{array}) = 0$

$(\begin{array}{c} 1 \\ a_{1} \\ - 1 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ a_{2} \\ - 1 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$1 \cdot 1 + a_{1} \cdot a_{2} + (- 1) \cdot (- 1)$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$2 + a_{1} \cdot a_{2}$	$=$	$0$	$- 2$
	↓	Löse nach $a_{1} \cdot a_{2}$ auf.
$a_{1} \cdot a_{2}$	$=$	$- 2$

Du hast die Gleichung $a_{1} \cdot a_{2} = - 2$ erhalten bzw. aufgelöst nach $a_{1}$ folgt:

a_{1} = - \frac{2}{a_{2}}

Wenn dieser Zusammenhang zwischen den beiden Scharparametern besteht, dann stehen die Scharebenen senkrecht aufeinander.

Lösung zu b)

Wenn $a_{2} = 0$ ist, dann müsste $a_{1} = - \frac{2}{0}$ sein. Das ist aber nicht möglich, da nicht durch $0$ geteilt werden darf.

Zu der Scharebene $E_{0} : x_{1} - x_{3} = 0$ mit $a_{2} = 0$ gibt es keine dazu senkrechte Ebene.

Lösung zu c)

Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene:

Wegen $a \in ℝ^{+}$ muss $E_{a} : x_{1} + a \cdot x_{2} - x_{3} + 3 \cdot a = 0$ mit $(- 1)$ multipliziert werden:

$x_{1} + a \cdot x_{2} - x_{3} + 3 \cdot a$	$=$	$0$	$\cdot (- 1)$
$- x_{1} - a \cdot x_{2} + x_{3} - 3 \cdot a$	$=$	$0$

Erstelle nun die Gleichung der Hesseschen Normalenform:

$E_{H N F} : \frac{- x_{1} - a \cdot x_{2} + x_{3} - 3 \cdot a}{\| \vec{n} \|}$	$=$	$0$
	↓	Setze den Normalenvektor ein.
$\frac{- x_{1} - a \cdot x_{2} + x_{3} - 3 \cdot a}{\sqrt{(- 1)^{2} + (- a)^{2} + 1^{2}}}$	$=$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$\frac{- x_{1} - a \cdot x_{2} + x_{3} - 3 \cdot a}{\sqrt{2 + a^{2}}}$	$=$	$0$

Für die Berechnung des Abstandes $d$ der Ebene vom Koordinatenursprung setze in $E_{H N F}$ die Koordinaten des Ursprungs $O (0 | 0 | 0)$ ein:

$d (O, E)$	$=$	$\| \frac{- 0 - a \cdot 0 + 0 - 3 \cdot a}{\sqrt{2 + a^{2}}} \|$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\| \frac{- 3 \cdot a}{\sqrt{2 + a^{2}}} \|$

Es ist $d (O, E) = | \frac{- 3 \cdot a}{\sqrt{2 + a^{2}}} | .$ Wegen $a \in ℝ^{+}$ erhältst du für den Betrag:

d (O, E) = \frac{3 \cdot a}{\sqrt{2 + a^{2}}}

Die Scharebene $E_{a}$ hat vom Koordinatenursprung den Abstand $d = \frac{3 \cdot a}{\sqrt{2 + a^{2}}}$ .

Berechnung des Grenzwertes von d(O,E)

\lim_{a \to \infty} d (O, E_{a})

=

\lim_{a \to \infty} \frac{3 \cdot a}{\sqrt{2 + a^{2}}}

	$\lim_{a \to \infty} \frac{3 \cdot a}{\sqrt{2 + a^{2}}}$
	↓ Klammere in Nenner $a^{2}$ aus.
$=$	$\lim_{a \to \infty} \frac{3 \cdot a}{\sqrt{a^{2} (\frac{2}{a^{2}} + 1)}}$
	↓ Schreibe den Nenner als Produkt von zwei Wurzeln.
$=$	$\lim_{a \to \infty} \frac{3 \cdot a}{\sqrt{a^{2}} \cdot \sqrt{\frac{2}{a^{2}} + 1}}$
	↓ Berechne $\sqrt{a^{2}}$ . Wegen $a \in ℝ^{+}$ ist $\sqrt{a^{2}} = a$ .
$=$	$\lim_{a \to \infty} \frac{3 \cdot a}{a \cdot \sqrt{\frac{2}{a^{2}} + 1}}$
	↓ Kürze mit $a$ .
$=$	$\lim_{a \to \infty} \frac{3}{\sqrt{\frac{2}{a^{2}} + 1}}$

Berechne den Grenzwert:

$\lim_{a \to \infty} \frac{3}{\sqrt{\underset{\to 0}{\underset{⏟}{\frac{2}{a^{2}}}} + 1}} = \frac{3}{\sqrt{1}} = 3$

Der Grenzwert $\lim_{a \to \infty} d (O, E_{a}) = 3$ .

Hast du eine Frage oder Feedback?

Kommentiere hier 👇

Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen
$\begin{array}{l} \tan \\ \cot \end{array}$
gegeben
gegeben
gegeben
$\cot φ$
$\frac{1}{\pm \sqrt{1 + \cot^{2} φ}}$
$\frac{\cot φ}{\sqrt{1 + \cot^{2} φ}}$
$\frac{1}{\cot φ}$
$? ? \cot φ =$
$\frac{\pm \sqrt{1 - \sin^{2} φ}}{\sin φ}$
$\frac{\cos φ}{\pm \sqrt{1 - \cos^{2} φ}}$
$\frac{1}{\tan φ}$
$\cot φ$
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens
$\tan α \cdot \cot α = 1$
$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{1}{\cot α}$
$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{1}{\tan α}$
$1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cot^{2} α}$
$1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α}$
Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.
Du kannst dann die vorhandene Zeichnung weiterer benutzen.
(Alternativ kannst du auch das Koordinatensystem (mit der Geraden) in dein Heft übertragen.)
Alternativ kannst du auch die Abbildung in dein Heft übertragen.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇
Hast du eine Frage oder Feedback?
Kommentiere hier 👇

	$\tan α \cdot \cot α = 1$	$\tan α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{1}{\cot α}$
$\cot α = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{1}{\tan α}$	$1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cot^{2} α}$	$1 + \cot^{2} α = \frac{1}{\sin^{2} α}$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$s^{2} - t_{2}^{2}$	$=$	$r^{2} - t_{1}^{2}$
	↓	Setze $t_{2} = t - t_{1}$ ein.
$s^{2} - (t - t_{1})^{2}$	$=$	$r^{2} - t_{1}^{2}$
	↓	Löse die Klammer auf, verwende eine binomische Formel.
$s^{2} - (t^{2} - 2 \cdot t \cdot t_{1} + t_{1}^{2})$	$=$	$r^{2} - t_{1}^{2}$
	↓	Löse die Klammer auf.
$s^{2} - t^{2} + 2 \cdot t \cdot t_{1} - t_{1}^{2}$	$=$	$r^{2} - t_{1}^{2}$	$+ t_{1}^{2}$
	↓	Löse nach $t_{1}$ auf.
$s^{2} - t^{2} + 2 \cdot t \cdot t_{1}$	$=$	$r^{2}$	$- s^{2}$
$- t^{2} + 2 \cdot t \cdot t_{1}$	$=$	$r^{2} - s^{2}$	$+ t^{2}$
$2 \cdot t \cdot t_{1}$	$=$	$r^{2} - s^{2} + t^{2}$	$: 2 t$
$t_{1}$	$=$	$\frac{r^{2} - s^{2} + t^{2}}{2 t}$

$t_{1}$	$=$	$\frac{80 - 52 + 100}{2 \cdot 10}$
$t_{1}$	$=$	$\frac{128}{20}$
$t_{1}$	$=$	$6,4$

$A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + A_{3}^{2}$	$=$	$A_{4}^{2}$
	↓	Setze die berechneten Werte ein.
$(24 {cm}^{2})^{2} + (12 {cm}^{2})^{2} + (16 {cm}^{2})^{2}$	$=$	$(\sqrt{976} {cm}^{2})^{2}$
$576 {cm}^{4} + 144 {cm}^{4} + 256 {cm}^{4}$	$=$	$976 {cm}^{4}$
$976 {cm}^{4}$	$=$	$976 {cm}^{4} ✓$

Quadratische Gleichung lösen

Quadratische Gleichung lösen

Hast du eine Frage oder Feedback?

Berechnen Sie die Konzentration eine Stunde nach der Einnahme des Medikamentes.

Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Konzentration erstmals den Wert $2,8 \frac{mg}{l}$ annimmt.

Bestimmen Sie, wie lange die Konzentration mindestens $0,5 \frac{mg}{l}$ beträgt.

Hast du eine Frage oder Feedback?