Aufgaben - lernen mit Serlo!

Aufgabe 8.1

$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+⋯+x_n\cdot P(X=x_n)$

$E(X)=30000\cdot \dfrac{10}{10000}+10000\cdot \dfrac{50}{10000}+2000\cdot \dfrac{250}{10000}=30+50+50=130$

Der Jahresbeitrag pro Kunde berechnet sich als Summe der mittleren Schadensfälle $E (X)$ und dem zu erwirtschafteten Gewinn $G= 100\;€$ .

Jahresbeitag $=130\;€+100\;€=230\;€$

Antwort: Pro Versicherungskunde muss ein Jahresbeitrag von $230 \;€$ verlangt werden.

Aufgabe 8.2

Lösung zu a)

Treffer= $T$ ; kein Treffer (Niete)= $N$ ; $P (T) = 0, 8$ und $P (N) = 1 - P (T) = 1 - 0, 8 = 0, 2$

Er trifft nur mit dem ersten Schuss: $P(TNN)=0{,}8\cdot 0{,}2\cdot 0{,}2=0{,}032$

Mindestens $1$ Schuss trifft:

$P(\text{mindestens 1 Treffer})=1-P(\text{kein Treffer})=1-0{,}2^3=1-0{,}008=0{,}992$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit nur mit dem $1.$ Schuss zu treffen beträgt $0, 032$ und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $1$ Schuss trifft, beträgt $0, 992$ .

Lösung zu b)

Willst du die Wahrscheinlichkeit von $k$ Treffern eines Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit $p$ in einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ berechnen, dann benutzt du den Binomialkoeffizienten: $B(n,p,k)=\binom nk\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Vergleichst du die gegebene Wahrscheinlichkeit $P(A)=\binom {10} a\cdot b^7\cdot0{,}2^c$ für das Ereignis $A$ mit dem Binomialkoeffizienten $B (n, p, k)$ , dann ist $n = 10$ , $a = k = 7$ und $b = p = 0, 8$ .

Antwort: Das Ereignis $A$ lautet demnach: Bei $10$ Schussversuchen werden genau $7$ Treffer erzielt.

Aufgabe 8.3

Lösung zu a)

Wird keine $6$ gewürfelt, verliert der Spieler seinen Einsatz $1$ $ $\; \Rightarrow\; x_1=-1$

Wird eine $6$ gewürfelt, gewinnt der Spieler seinen Einsatz $1$ $ $\; \Rightarrow\; x_2=0$

Werden zwei $6$ er gewürfelt, gewinnt der Spieler $1$ $ $\; \Rightarrow\; x_3=1$

Werden drei $6$ er gewürfelt, gewinnt der Spieler $2$ $ $\; \Rightarrow\; x_4=2$

Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind in der Tabelle angegeben.

Zufallsvariable $x_{i}$	-1	0	1	2
$P (X = x_{i})$	$\left(\frac{5}{6}\right)^3=\frac{125}{216}$	$\binom 3 1\cdot\frac{1}{6}\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{75}{216}$	$\binom 3 2\cdot\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^1=\frac{15}{216}$	$\left(\frac{1}{6}\right)^3=\frac{1}{216}$

Lösung zu b)

Berechne den Erwartungswert:

$E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+⋯+x_n\cdot P(X=x_n)$

$E(X)=(-1)\cdot \dfrac{125}{216}+0\cdot \dfrac{75}{216}+1\cdot \dfrac{15}{216}+2\cdot \dfrac{1}{216}=- \dfrac{108}{216}=-0{,}5$

Antwort: Der Spieler verliert im Mittel $0, 5$ $ pro Spiel. Es ist kein faires Spiel.

Aufgabe 8.4

Es werden zwei Karten umgedreht. Dabei soll gelten: $P(1\;\text{Herz})=\dfrac{8}{15}$

Erstelle ein Baumdiagramm.

Die Zahl der Herzkarten ist gleich $n .$

Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit: $P(1\;\text{Herz})=P(\text{K H})+P(\text{H K})=\dfrac{8}{15}$

Aus dem Baumdiagramm können die Wahrscheinlichkeiten für die zwei Pfade $P(\text{K H})$ und $P(\text{H K}$ ) abgelesen werden.

$\displaystyle \dfrac{4}{4+n}\cdot\dfrac{n}{3+n}+\dfrac{n}{4+n}\cdot\dfrac{4}{3+n}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8}{15}$
	↓	Addiere die Brüche.
$\displaystyle \dfrac{8n}{(4+n)\cdot(3+n)}$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8}{15}$	$\displaystyle \cdot \dfrac{15}{8}$
$\displaystyle \dfrac{15n}{(4+n)\cdot(3+n)}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \cdot (4+n)\cdot(3+n)$
$\displaystyle 15n$	$=$	$\displaystyle (4+n)\cdot(3+n)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle 15n$	$=$	$\displaystyle 12+4n+3n+n^2$	$\displaystyle -15n$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle n^2-8n+12$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Lies die Werte für $p$ und $q$ ab: $p = - 8$ und $q = 12$

$\displaystyle n_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p = - 8$ und $q = 12$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-8)}{2}\pm\sqrt{\left(d\frac{-8}{2}\right)^2-12}$
	↓	Vereinfache
	$=$	$\displaystyle 4\pm\sqrt{16-12}$
	$=$	$\displaystyle 4\pm\sqrt{4}$
	$=$	$\displaystyle 4\pm2$
$\displaystyle n_1$	$=$	$\displaystyle 2$
$\displaystyle n_2$	$=$	$\displaystyle 6$

Antwort: Befinden sich entweder $2$ oder $6$ Herzkarten im Stapel, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den zwei aufgedeckten Karten genau eine Herzkarte ist, gleich $\dfrac{8}{15}$ .

Aufgabe 8.5

Lösung zu a)

Ziehen mit Zurücklegen.

Weiße Kugel: $w$

Schwarze Kugel: $s$

$P(\text{mindestens 1}\; w)=1-P(\text{kein}\;w)=1-P(ss)=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=\dfrac{16}{25}=0{,}64$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel weiß ist, beträgt $64$ %.

Lösung zu b)

Es befinden sich $3$ schwarze und $n$ weiße Kugeln im Behälter.

Ziehen mit Zurücklegen.

$P(\text{mindestens 1}\; w)=1-P(\text{kein}\;w)=1-P(ss)=0{,}91\;\Rightarrow\;P(ss)=1-0{,}91=0{,}09$

$P(ss)=\left(\dfrac{3}{n+3}\right)^2=0{,}09\;\Rightarrow\;\dfrac{9}{(n+3)^2}=0{,}09\;\Rightarrow\;100=(n+3)^2$

$\displaystyle (n+3)^2$	$=$	$\displaystyle 100$	$\displaystyle \sqrt{}$
	↓	Löse nach $n$ auf.
$\displaystyle n+3$	$=$	$\displaystyle \pm10$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle n$	$=$	$\displaystyle \pm 10-3$
$\displaystyle n_1$	$=$	$\displaystyle -13$
	↓	Die negative Lösung entfällt.
$\displaystyle n_2$	$=$	$\displaystyle 7$

Antwort: Befinden sich $3$ schwarze und $7$ weiße Kugeln im Behälter, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens eine weiße Kugel zu ziehen $0, 91$ .

Aufgabe 8.6

Lösung zu a)

Der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung ist $E(X)=n\cdot p=8\cdot0{,}75=6$

Das Maximum der Verteilung muss also bei $6$ liegen. Es kommen nur die Abbildungen $1$ und $3$ infrage.

Die Abbildung $3$ entfällt, da $n = 8$ und hier die Versuchsanzahl $n = 10$ ist.

Antwort: Die Abbildung $1$ ist die gesuchte Abbildung.

Lösung zu b)

Es gilt: $P(3<X<6)=P(x=4)+P(x=5)\approx 0{,}08+0{,}21=0{,}29$

$P(X\neq 8)=1-P(X=8)\approx 1-0{,}1=0{,}9$

Antwort: $P (3 < X < 6) = 0, 29$ und $P(X\neq 8)=0{,}9$ .

Aufgabe $A 1.1$

Lösung zu a)

Zum Schaubild $C_{1}$ gehört die Funktion $f_1(x)=\frac{1}{2}\cdot(e^x+e^{-x})$ .

Bei Achsensymmetrie zur $y$ -Achse gilt: $f_{1} (- x) = f_{1} (x)$

$\Rightarrow\;f_1(-x)=\frac{1}{2}\cdot(e^{-x}+e^{-(-x}))= \frac{1}{2}\cdot(e^{-x}+e^x)=f_1(x)$

Tiefpunkt von $C_{1}$ : $f_{1}^{'} (x) = 0$

$f_1'(x)=\frac{1}{2}\cdot(e^x+e^{-x}\cdot(-1))=\frac{1}{2}\cdot(e^x-e^{-x})$

$\displaystyle f_1'(x)$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot(e^x-e^{-x})$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle e^x-e^{-x}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot e^x$
	↓	Beseitige den negativen Exponenten.
$\displaystyle e^{2x}-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle e^{2x}$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \ln$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle \ln(1)$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

An der Stelle $x = 0$ liegt ein Extremum vor. Da im Aufgabentext von einem Tiefpunkt die Rede ist, muss die hinreichende Bedingung nicht überprüft werden.

Berechne $f (0)$ : $f(0)=\frac{1}{2}\cdot(e^0+e^{-0})=\frac{1}{2}\cdot 2=1$

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $T P (0 ∣ 1)$ .

Lösung zu b)

$A_k=\int_{0}^{\frac{1}{k}}\frac{1}{2k}\cdot(e^{kx}+e^{-kx}) \mathrm{d}x$

$=\dfrac{1}{2k}\cdot\left[\dfrac{e^{kx}}{k}-\dfrac{e^{-kx}}{k}\right]_0^{\frac{1}{k}}$

$=\dfrac{1}{2k^2}\cdot\left[e^{kx}-e^{-kx}\right]_0^{\frac{1}{k}}$

$=\dfrac{1}{2k^2}\cdot\left[(e^1-e^{-1})-(1-1)\right]$

$=\dfrac{1}{2k^2}\cdot (e^1-e^{-1})$

Der Inhalt der eingeschlossenen Fläche beträgt $A_k=\dfrac{1}{2k^2}\cdot (e^1-e^{-1})$ .

Lösung zu c)

Lege das Koordinatensystem symmetrisch zur Hängebrücke, d.h. die $x$ -Achse ist der Boden und die $y$ -Achse geht durch die Brückenmitte.

Gegeben ist die Funktion $g(x)=a\cdot\dfrac{e^{kx}+e^{-kx}}{2k}$

Da die Hängebrücke für $x = 0$ eine Höhe von $5\;\mathrm{m}$ hat, gilt $g (0) = 5$

$\Rightarrow\; g(0)=a\cdot\dfrac{e^{k\cdot0}+e^{-k\cdot0}}{2k}=a\cdot\dfrac{1+1}{2k}=a\cdot\dfrac{2}{2k}=\dfrac{a}{k}=5$

Andererseits gilt $g (10) = 8$

$\Rightarrow\;\dfrac{}{}a\cdot\dfrac{e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}}{2k}=8$

$\Rightarrow\;\dfrac{a}{k}\cdot\dfrac{e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}}{2}=8$

$\Rightarrow\;\dfrac{a}{k}\cdot(e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10})=16$

Mit $\dfrac{a}{k}=5$ folgt dann: $5\cdot(e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10})=16$ bzw. $e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}=\dfrac{16}{5}$

$\displaystyle e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}$	$=$	$\displaystyle \frac{16}{5}$	$\displaystyle \cdot e^{k\cdot 10}$
	↓	Beseitige den negativen Exponenten.
$\displaystyle e^{20\cdot k}+1$	$=$	$\displaystyle \frac{16}{5}\cdot e^{10\cdot k}$	$\displaystyle -\frac{16}{5}\cdot e^{10\cdot k}$
	↓	Bringe die Terme auf eine Seite.
$\displaystyle e^{20\cdot k}-\frac{16}{5}\cdot e^{10\cdot k}+1$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $z= e^{10\cdot k}$ .
$\displaystyle z^2-\frac{16}{5}z+1$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies dazu die Werte von p und q ab: $p=-\dfrac{16}{5}$ und $q = 1$

$\displaystyle z_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{(-\frac{16}{5})}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-\frac{16}{5}}{2}\right)^2-1}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8}{5}\pm\sqrt{\left(\dfrac{8}{5}\right)^2-1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8}{5}\pm\sqrt{\dfrac{64}{25}-1}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8}{5}\pm\sqrt{\dfrac{39}{25}}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{8\pm\sqrt{39}}{5}$
$\displaystyle z_1$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8-\sqrt{39}}{5}$
$\displaystyle z_1$	$\approx ≈$	$\displaystyle 0{,}351$
$\displaystyle z_2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{8+\sqrt{39}}{5}$
$\displaystyle z_2$	$\approx ≈$	$\displaystyle 2{,}849$

Rücksubstitution ergibt: $0{,}351=e^{10k}$ $\;\Rightarrow\;k_1=0{,}1\cdot \ln(0{,}351)\approx -0{,}105$

Die Lösung $k_1=-0{,}105$ entfällt, da $k$ laut Aufgabenstellung $> 0$ sein soll.

Damit folgt aus der zweiten Lösung $2{,}849=e^{10k} \;\Rightarrow\;k=0{,}1\cdot \ln(2{,}849)\approx 0{,}105$

Mit der am Anfang ermittelten Beziehung $\dfrac{a}{k}=5\;\Rightarrow\;a=5\cdot k \;\Rightarrow\;a=5\cdot0{,}105=0{,}525$

Antwort: Die gesuchten Parameter lauten $k = 0, 105$ und $a = 0, 525$ .

Lösung zu d)

Der Punkt $A$ hat die Koordinaten $A (10 ∣ 8)$ .

Die Funktion $g (x)$ lautet: $g(x)=\dfrac{0{,}525}{2\cdot0{,}105}\cdot (e^{0{,}105\cdot x}+e^{-0{,}105\cdot x})=2{,}5\cdot (e^{0{,}105\cdot x}+e^{-0{,}105\cdot x})$

Berechne die Ableitung, beachte dabei die Kettenregel: $g'(x)=2{,}5\cdot0{,}105\cdot (e^{0{,}105\cdot x}-e^{-0{,}105\cdot x})$

$g'(x)=0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot x}-e^{-0{,}105\cdot x})$

An der Stelle $x = 10$ erhältst du für die Ableitung:

$g'(10)=0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot 10}-e^{-0{,}105\cdot10})=0{,}2625\cdot (e^{1{,}05}-e^{-1{,}05})\approx 0{,}658$

Um den Winkel zu berechnen, setze $\tan(\alpha)=g'(10)=0{,}658\;\Rightarrow\;\alpha \approx 33{,}3^\circ$

Antwort: Die Brücke trifft unter einem Winkel von etwa $33{,}3^\circ$ im Punkt $A$ auf die waagrechte Plattform.

Lösung zu e)

Gesucht ist zunächst die Gleichung der Normalen vom Punkt $B (10 ∣ 0)$ an den Graphen von $g (x)$ .

Allgemein lautet die Normalengleichung im Punkt $P (x_{0} ∣ g (x_{0})$ :

$n(x)=-\dfrac{1}{g'(x_0)}\cdot(x-x_0)+g(x_0)$

Setze $g^{'} (x_{0})$ in $n (x)$ ein $\;\Rightarrow\;n(x)=-\dfrac{1}{0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}-e^{-0{,}105\cdot x_0})}\cdot(x-x_0)+g(x_0)$

$\;\Rightarrow\;n(x)=-\dfrac{1}{0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}-e^{-0{,}105\cdot x_0})}\cdot(x-x_0)+2{,}5\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}+e^{-0{,}105\cdot x_0})$

Der Punkt $B (10 ∣ 0)$ muss die Normalengleichung erfüllen. $B$ eingesetzt ergibt die folgende Gleichung:

$0=-\dfrac{1}{0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}-e^{-0{,}105\cdot x_0})}\cdot(10-x_0)+2{,}5\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}+e^{-0{,}105\cdot x_0})$

Umgeformt erhältst du:

$10-x_0=2{,}5\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}+e^{-0{,}105\cdot x_0})\cdot 0{,}2625\cdot (e^{0{,}105\cdot x_0}-e^{-0{,}105\cdot x_0})$

Beachte die $3$ . binomische Formel:

$10-x_0=0{,}65625\cdot (e^{0{,}21\cdot x_0}-e^{-0{,}21\cdot x_0})$

Die Gleichung kannst du mit der SOLVE - Funktion deines Taschenrechners lösen.

Du erhältst: $x_0\approx 7{,}18$

Eingesetz in $g (x)$ folgt: $g(7{,}18)=2{,}5\cdot (e^{0{,}105\cdot 7{,}18}+e^{-0{,}105\cdot 7{,}18})\approx 6{,}49$

Antwort: Der Befestigungspunkt $P$ hat die Koordinaten $P (7, 18 ∣ 6, 49)$ .

Aufgabe $A 1.2$

Lösung

Die Funktion $k (x)$ ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung $m=\dfrac{r}{h}$ .

Damit gilt: $k(x)=\dfrac{r}{h}\cdot x$

Das Rotationsvolumen berechnest du mit der Formel

$V=\pi\cdot\int_{0}^{h}\left(k(x)\right)^2 \mathrm{d}x\;\Rightarrow\;$

$V=\pi\cdot\int_{0}^{h}\left(\dfrac{r}{h}\cdot x\right)^2 \mathrm{d}x\;\Rightarrow\;$

$V=\dfrac{\pi\cdot r^2}{h^2}\cdot\int_{0}^{h}x^2 \mathrm{d}x=\dfrac{\pi\cdot r^2}{h^2}\cdot\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_0^{h}\;\Rightarrow\;$

$V=\dfrac{\pi\cdot r^2}{h^2}\cdot\left(\dfrac{1}{3}h^3-0\right)=\dfrac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h$

Antwort: Für das Kegelvolumen gilt die Formel $V_K=\dfrac{1}{3}\pi\cdot r^2\cdot h$

Aufgabe $B 1$

Lösung zu a)

Die Ebene $E_{1}$ hat die Gleichung $E_1:\;x_1+x_2=2\;\Rightarrow\;\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_2}{2}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) abgelesen werden:

$S_{x_1}(2|0|0)$ (Punkt $A$ in der Zeichnung) und $S_{x_2}(0|2|0)$ (Punkt $P$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_{3}$ -Achse, d. h. die Ebene $E_{1}$ verläuft parallel zur $x_{3}$ -Achse.

Nachweis, dass der Spiegel in der Ebene $E_{1}$ liegt

Prüfe, ob die vier Punkte des Spiegels in der Ebene $E_{1}$ liegen:

$A=S_{x_1}$ , damit ist $A\in E_1$

$B(-2|4|0) \in E_1?\;\Rightarrow\;-2+4=2\checkmark$

$C(-2|4|4) \in E_1?\;\Rightarrow\;-2+4=2\checkmark$

$D(2|0|4) \in E_1?\;\Rightarrow\;2+0=2\checkmark$

Damit liegt der Spiegel in der Ebene $E_{1}$ .

Die Ebene $E_{3}$ hat die Gleichung $E_3:\;x_1+3\cdot x_2=6\;\Rightarrow\;\dfrac{x_1}{6}+\dfrac{x_2}{2}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte abgelesen werden:

$S_{x_1}(6|0|0)$ und $S_{x_2}(0|2|0)$ (Punkt $P$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_{3}$ -Achse, d. h. die Ebene $E_{3}$ verläuft parallel zur $x_{3}$ -Achse.

Darstellung des Spiegels $A B C D$ in der Ebene $E_{1}$ (orange). Gedrehter Spiegel in der Ebene $E_{3}$ (grün). Drehachse [PQ].

Spiegeldrehung

Drehung des Spiegels um den Winkel $\alpha$ , um die Achse $[P Q]$ . Der Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen $E_{1}$ und $E_{3}$ .

Aus den Koordinatendarstellungen der beiden Ebenen kannst du die Normalenvektoren ablesen:

$\vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\vec n_{E_3}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}$

Damit gilt für den Winkel: $\cos \alpha=\dfrac{\vec n_{E_1}\circ\vec n_{E_3} }{|\vec n_{E_1}|\cdot|\vec n_{E_3}|}$

$\Rightarrow\;\cos \alpha=\dfrac{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix} }{\Big\vert\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\Big\vert\cdot\Big\vert\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\Big\vert}=\dfrac{1+3+0}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+3^2+0^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{10}}=\dfrac{4}{\sqrt{20}}$

$\alpha=\arccos(\dfrac{4}{\sqrt{20}}) \approx 26{,}57^\circ$

Antwort: Der Spiegel wurde um etwa $26{,}57^\circ$ gedreht.

Lage der Ebene $E_{t}$ in Abhängigkeit von $t$

$E_t:\;x_1+t\cdot x_2=2\cdot t$

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_{3}$ -Achse, d. h. die Ebene $E_{t}$ verläuft parallel zur $x_{3}$ -Achse.

Für $t = 0$ ist $x_{1} = 0$ , d.h. die Ebene $E_{0}$ liegt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene. Wenn der Betrag von $t$ größer wird, wird die $x_{1}$ -Achse bei größeren $x_{1}$ -Werten geschnitten $(S_{x_1}(2t|0|0))$ , während der Schnittpunkt mit der $x_{2}$ -Achse gleich bleibt $(S_{x_2}(0|2|0))$ . Die Ebene (und damit auch der Spiegel) dreht sich weiter um die Drehachse $[P Q]$ .

Liegt die Ebene (und damit auch der Spiegel) parallel zur $x_{1} x_{3}$ -Ebene, dann lautet die Ebenengleichung $x_{2} = 2$ . Für kein $t$ kann aber die Ebene $E_{t}$ die Gleichung $x_{2} = 2$ annehmen.

Lösung zu b)

$E_3:\;x_1+3\cdot x_2=6$

Dargestellt ist die Spiegellage in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene.

Gesucht sind die Spiegelkoordinaten $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ in der Ebene $E_{3}$ .

Der Spiegel ist $4$ Einheiten hoch und $\Big\vert \overrightarrow{AB}\Big \vert$ breit.

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$

$\Big\vert \overrightarrow{AB}\Big \vert=\sqrt{(-4)^2+4^2+0^2}=\sqrt{32}=2\cdot \sqrt{8}$

Demnach ist $\Big\vert \overrightarrow{PA'}\Big \vert=\dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert \overrightarrow{AB}\Big \vert=\sqrt{8}$ und mit dem Satz des Pythagoras findest du:

$\vert \overline{PS_{x_1}} \vert=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$

Der Punkt $A^{'}$ hat die Koordinaten $A^{'} (a ∣ b ∣ 0)$ .

Im Dreieck $S_{x_1}OP$ kann dann der Strahlensatz angewendet werden.

$\dfrac{b}{2}=\dfrac{\sqrt{40}-\sqrt{8}}{\sqrt{40}}\;\Rightarrow\;b=2\cdot\left((1-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\approx1{,}11$

Weiterhin gilt: $\dfrac{a}{6}=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{40}}\;\Rightarrow\;a=\dfrac{6}{\sqrt{5}}\approx2{,}68$

Der Punkt $A^{'}$ hat die Koordinaten $A^{'} (2, 68 ∣ 1, 11 ∣ 0)$ .

Durch Symmetrieüberlegungen findest du die anderen Koordinaten des gedrehten Spiegels.

Die $x_{1}$ -Koordinate vom Punkt $B^{'}$ ist die negative $x_{1}$ -Koordinate des Punktes $A^{'}$ .

Die $x_{2}$ -Koordinate von $A^{'}$ ist $1, 11$ . Aus der Zeichnung kannst du entnehmen, dass die $x_{2}$ -Koordinate vom Punkt $B^{'}$ gleich $2 + (2 - 1, 11) = 2, 89$ ist.

Der Punkt $B^{'}$ hat die Koordinaten $B^{'} (- 2, 68 ∣ 2, 89 ∣ 0)$ .

Der Punkt $C^{'}$ liegt $4$ Einheiten oberhalb des Punktes $B^{'}$ . Somit hat $C^{'}$ die Koordinaten $C^{'} (- 2, 68 ∣ 2, 89 ∣ 4)$ .

Der Punkt $D^{'}$ liegt $4$ Einheiten oberhalb des Punktes $A^{'}$ . Somit hat $D^{'}$ die Koordinaten $D^{'} (2, 68 ∣ 1, 11 ∣ 4)$ .

Antwort: $A'(2{,}68|1{,}11|0);\;B'(-2{,}68|2{,}89|0);\;C'(-2{,}68|2{,}89|4);\;D'(2{,}68|1{,}11|4)$

Lösung zu c)

Geradengleichung für den Lichtstrahl

$g_{Licht}:\;\vec x=\begin{pmatrix}6\\8\\1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-3\\-3\\1\end{pmatrix}$

Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g_{Licht}$ mit der Ebene $E_{t}$ :

$\displaystyle (6-3r)+t\cdot(8-3r)$	$=$	$\displaystyle 2t$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 6-3r+8t-3rt$	$=$	$\displaystyle 2t$	$\displaystyle -6-8t$
	↓	Sortiere die Terme.
$\displaystyle -3r-3rt$	$=$	$\displaystyle -6-6t$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle 3r+3rt$	$=$	$\displaystyle 6+6t$
	↓	Klammere $r$ aus.
$\displaystyle r(3+3t)$	$=$	$\displaystyle 6+6t$

Fallunterscheidung:

Fall 1: $t\neq-1$

Die letzte Gleichung kann nach r aufgelöst werden.

$\displaystyle r(3+3t)$	$=$	$\displaystyle 6+6t$	$\displaystyle :(3+3t)$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6+6t}{3+3t}$
	↓	Klammere im Zähler $2$ aus.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2(3+3t)}{3+3t}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 2$

Fall 2: $t = - 1$

Setzt du $t = - 1$ in die Gleichung $r (3 + 3 t) = 6 + 6 t$ ein, dann erhältst du eine wahre Aussage $0 = 0$ , d.h. die Gerade liegt für $t = - 1$ in der Ebene $E_{t}$ .

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $r = 2$ in $g_{Licht}$ ein:

$\vec x_S=\begin{pmatrix}6\\8\\1\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-3\\-3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}$

Der Schnittpunkt $S$ ist unabhängig von $t$ , d.h. der Spiegel wird immer im gleichen Punkt $S$ getroffen.

Der Punkt $S (0 ∣ 2 ∣ 3)$ liegt auf der Drehachse [PQ] des Spiegels.

Aufgabe $C 1$

Lösung zu a)

$A:\; P(X=6)=\binom {10} 6\cdot 0{,}6^6\cdot (1-0{,}6)^{10-6}=\binom {10} 6\cdot 0{,}6^6\cdot 0{,}4^{4}\approx 0{,}2508$

$B:\; P(X\geq6)=1-P(x\leq5)=1-F(10;0{,}6;5)=1-0{,}3669=0{,}6331$

$C:\;p=0{,}4^3\cdot0{,}6^7\approx 0{,}0018$

Lösung zu b)

$P(X\geq50)=1-P(x\leq49)\geq0{,}95\;\Rightarrow\;F(100;p;49)\leq0{,}05$

Mithilfe des TR erhältst du $p\approx 0{,}577$ .

Lösung zu c)

Intervallbestimmung

$p_{Übergewicht}=0{,}54$ ; $n = 500$

Die Zufallsvariable $X$ ist $B_{500;0{,}54}$ verteilt.

Den Mittelwert berechnest du mit $\mu=n\cdot p=500\cdot 0{,}54=270$

Die Standardabweichung berechnest du mit $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}=\sqrt{500\cdot0{,}54\cdot0{,}46}\approx11{,}14$

Für ein Intervall mit $95$ %-iger Wahrscheinlichkeit gilt: $[\mu-1{,}96 \sigma;\; \mu+1{,}96 \sigma]$

$\Rightarrow\;[270-1{,}96\cdot11{,}14;\; \mu+1{,}96\cdot11{,}14]=[270-21{,}83;\; 270+21{,}83]=[248{,}17;\; 291{,}83]$

Antwort: Die Anzahl der Übergewichtigen in dem Dorf liegt mit $95$ %-iger Wahrscheinlichkeit zwischen $248$ und $292$ Personen.

Hypothesentest

Gegeben sind $H_0:\:p\geq0{,}54$ , $n = 90$ und das Signifikanzniveau $\alpha=10$ %

Es handelt sich um einen linksseitigen Test:

$\alpha\text{-Fehler}:\;P(X\leq k)\leq 0{,}1$

$\Rightarrow\;F(90;0{,}54;k)\leq0{,}1$

Mit dem TR findest du:

$F(90;0{,}54;43)\approx 0{,}1404 \geq 0{,}1\;\text{und}\;F(90;0{,}54;42)\approx 0{,}0986 \leq 0{,}1$

Also gilt $k = 42$ .

Antwort: Haben höchstens $42$ Mitglieder im Sportverein einen BMI $> 25$ , dann wird $H_{0}$ verworfen. Haben mehr als $42$ Mitglieder im Sportverein einen BMI $> 25$ , dann wird $H_{0}$ beibehalten.

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Lösung zu d)

Lösung zu e)

Lösung

Lösung zu a)

Nachweis, dass der Spiegel in der Ebene E1E_1 E1​ liegt

Spiegeldrehung

Lage der Ebene EtE_t Et​ in Abhängigkeit von ttt

Et: x1+t⋅x2=2⋅tE_t:\;x_1+t\cdot x_2=2\cdot tEt​:x1​+t⋅x2​=2⋅t

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Geradengleichung für den Lichtstrahl

Fallunterscheidung:

Lösung zu a)

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Intervallbestimmung

Hypothesentest

Nachweis, dass der Spiegel in der Ebene $E_{1}$ liegt

Lage der Ebene $E_{t}$ in Abhängigkeit von $t$

$E_t:\;x_1+t\cdot x_2=2\cdot t$