Aufgabe 8.1

Berechne den Erwartungswert:

$E(X)\text{}=\text{}{x}_1\cdot P(X=x_1\text{})+x_2\cdot P(X=x_2\text{})+\cdots +x_n\text{}\cdot P(X=x_n)E(X)=x\_1\backslash cdot\; P(X=x\_1)+x\_2\backslash cdot\; P(X=x\_2)+\cdots +x\_n\backslash cdot\; P(X=x\_n)$

$E(X)\text{}=30000\cdot {\displaystyle \frac{10}{10000}}+10000\cdot {\displaystyle \frac{50}{10000}}+2000\cdot {\displaystyle \frac{250}{10000}}=30+50+50=130E(X)=30000\backslash cdot\; \backslash dfrac\{10\}\{10000\}+10000\backslash cdot\; \backslash dfrac\{50\}\{10000\}+2000\backslash cdot\; \backslash dfrac\{250\}\{10000\}=30+50+50=130$

Der Jahresbeitrag pro Kunde berechnet sich als Summe der mittleren Schadensfälle $E(X)E(X)$ und dem zu erwirtschafteten Gewinn $G=100\text{€}G=\; 100\backslash ;€$.

Jahresbeitag $=130\text{€}+100\text{€}=230\text{€}=130\backslash ;€+100\backslash ;€=230\backslash ;€$

Antwort: Pro Versicherungskunde muss ein Jahresbeitrag von $230\text{€}230\; \backslash ;€$ verlangt werden.

Aufgabe 8.2

Lösung zu a)

Treffer= $TT$; kein Treffer (Niete)= $NN$; $P(T)=\mathrm{0,8}P(T)=0\{,\}8$ und $P(N)=1-P(T)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}P(N)=1-P(T)=1-0\{,\}8=0\{,\}2$

Er trifft nur mit dem ersten Schuss: $P(TNN)=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,2}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,032}P(TNN)=0\{,\}8\backslash cdot\; 0\{,\}2\backslash cdot\; 0\{,\}2=0\{,\}032$

Mindestens $11$ Schuss trifft:

$P(\text{mindestens 1 Treffer})=1-P(\text{kein Treffer})=1-{\mathrm{0,2}}^3=1-\mathrm{0,008}=\mathrm{0,992}P(\backslash text\{mindestens\; 1\; Treffer\})=1-P(\backslash text\{kein\; Treffer\})=1-0\{,\}2^3=1-0\{,\}008=0\{,\}992$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit nur mit dem $1.1.$ Schuss zu treffen beträgt $\mathrm{0,032}0\{,\}032$ und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $11$ Schuss trifft, beträgt $\mathrm{0,992}0\{,\}992$.

Lösung zu b)

Willst du die Wahrscheinlichkeit von $kk$ Treffern eines Ereignisses mit der Wahrscheinlichkeit $pp$ in einer Bernoulli-Kette der Länge $nn$ berechnen, dann benutzt du den Binomialkoeffizienten: $B(n,p,k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}B(n,p,k)=\backslash binom\; nk\backslash cdot\; p^k\backslash cdot\; (1-p)^\{n-k\}$

Vergleichst du die gegebene Wahrscheinlichkeit $P(A)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{a}\right)\cdot b^7\cdot {\mathrm{0,2}}^{c}P(A)=\backslash binom\; \{10\}\; a\backslash cdot\; b^7\backslash cdot0\{,\}2^c$ für das Ereignis $AA$ mit dem Binomialkoeffizienten $B(n,p,k)B(n,p,k)$, dann ist $n=10n=10$, $a=k=7a=k=7$ und $b=p=\mathrm{0,8}b=p=0\{,\}8$.

Antwort: Das Ereignis $AA$ lautet demnach: Bei $1010$ Schussversuchen werden genau $77$ Treffer erzielt.

Aufgabe 8.3

Lösung zu a)

Wird keine $66$ gewürfelt, verliert der Spieler seinen Einsatz $11$ $ $\Rightarrow x_1=-1\backslash ;\; \backslash Rightarrow\backslash ;\; x\_1=-1$

Wird eine $66$ gewürfelt, gewinnt der Spieler seinen Einsatz $11$ $ $\Rightarrow x_2=0\backslash ;\; \backslash Rightarrow\backslash ;\; x\_2=0$

Werden zwei $66$er gewürfelt, gewinnt der Spieler $11$ $ $\Rightarrow x_3=1\backslash ;\; \backslash Rightarrow\backslash ;\; x\_3=1$

Werden drei $66$er gewürfelt, gewinnt der Spieler $22$ $ $\Rightarrow x_4=2\backslash ;\; \backslash Rightarrow\backslash ;\; x\_4=2$

Die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind in der Tabelle angegeben.

Lösung zu b)

Berechne den Erwartungswert:

$E(X)\text{}=\text{}{x}_1\cdot P(X=x_1\text{})+x_2\cdot P(X=x_2\text{})+\cdots +x_n\text{}\cdot P(X=x_n)E(X)=x\_1\backslash cdot\; P(X=x\_1)+x\_2\backslash cdot\; P(X=x\_2)+\cdots +x\_n\backslash cdot\; P(X=x\_n)$

$E(X)\text{}=(-1)\cdot {\displaystyle \frac{125}{216}}+0\cdot {\displaystyle \frac{75}{216}}+1\cdot {\displaystyle \frac{15}{216}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{216}}=-{\displaystyle \frac{108}{216}}=-\mathrm{0,5}E(X)=(-1)\backslash cdot\; \backslash dfrac\{125\}\{216\}+0\backslash cdot\; \backslash dfrac\{75\}\{216\}+1\backslash cdot\; \backslash dfrac\{15\}\{216\}+2\backslash cdot\; \backslash dfrac\{1\}\{216\}=-\; \backslash dfrac\{108\}\{216\}=-0\{,\}5$

Antwort: Der Spieler verliert im Mittel $\mathrm{0,5}0\{,\}5$ $ pro Spiel. Es ist kein faires Spiel.

Aufgabe 8.4

Es werden zwei Karten umgedreht. Dabei soll gelten: $P(1\text{Herz})={\displaystyle \frac{8}{15}}P(1\backslash ;\backslash text\{Herz\})=\backslash dfrac\{8\}\{15\}$

Erstelle ein Baumdiagramm.

Die Zahl der Herzkarten ist gleich $n\mathrm{.}n.$

Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit: $P(1\text{Herz})=P(\text{K H})+P(\text{H K})={\displaystyle \frac{8}{15}}P(1\backslash ;\backslash text\{Herz\})=P(\backslash text\{K\; H\})+P(\backslash text\{H\; K\})=\backslash dfrac\{8\}\{15\}$

Aus dem Baumdiagramm können die Wahrscheinlichkeiten für die zwei Pfade $P(\text{K H})P(\backslash text\{K\; H\})$ und $P(\text{H K}P(\backslash text\{H\; K\}$) abgelesen werden.

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.

Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Lies die Werte für $pp$ und $qq$ ab: $p=-8p=-8$ und $q=12q=12$

Antwort: Befinden sich entweder $22$ oder $66$ Herzkarten im Stapel, so ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den zwei aufgedeckten Karten genau eine Herzkarte ist, gleich ${\displaystyle \frac{8}{15}}\backslash dfrac\{8\}\{15\}$.

Aufgabe 8.5

Lösung zu a)

Ziehen mit Zurücklegen.

Weiße Kugel: $ww$

Schwarze Kugel: $ss$

$P(\text{mindestens 1}w)=1-P(\text{kein}w)=1-P(ss)=1-{\left({\displaystyle \frac{3}{5}}\right)}^2={\displaystyle \frac{16}{25}}=\mathrm{0,64}P(\backslash text\{mindestens\; 1\}\backslash ;\; w)=1-P(\backslash text\{kein\}\backslash ;w)=1-P(ss)=1-\backslash left(\backslash dfrac\{3\}\{5\}\backslash right)^2=\backslash dfrac\{16\}\{25\}=0\{,\}64$

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel weiß ist, beträgt $6464$ %.

Lösung zu b)

Es befinden sich $33$ schwarze und $nn$ weiße Kugeln im Behälter.

Ziehen mit Zurücklegen.

$P(\text{mindestens 1}w)=1-P(\text{kein}w)=1-P(ss)=\mathrm{0,91}\Rightarrow P(ss)=1-\mathrm{0,91}=\mathrm{0,09}P(\backslash text\{mindestens\; 1\}\backslash ;\; w)=1-P(\backslash text\{kein\}\backslash ;w)=1-P(ss)=0\{,\}91\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;P(ss)=1-0\{,\}91=0\{,\}09$

$P(ss)={\left({\displaystyle \frac{3}{n+3}}\right)}^2=\mathrm{0,09}\Rightarrow {\displaystyle \frac{9}{(n+3{)}^2}}=\mathrm{0,09}\Rightarrow 100=(n+3{)}^{2}P(ss)=\backslash left(\backslash dfrac\{3\}\{n+3\}\backslash right)^2=0\{,\}09\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{9\}\{(n+3)^2\}=0\{,\}09\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;100=(n+3)^2$

Antwort: Befinden sich $33$ schwarze und $77$ weiße Kugeln im Behälter, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit mindestens eine weiße Kugel zu ziehen $\mathrm{0,91}0\{,\}91$.

Aufgabe 8.6

Lösung zu a)

Der Erwartungswert bei einer Binomialverteilung ist $E(X)=n\cdot p=8\cdot \mathrm{0,75}=6E(X)=n\backslash cdot\; p=8\backslash cdot0\{,\}75=6$

Das Maximum der Verteilung muss also bei $66$ liegen. Es kommen nur die Abbildungen $11$ und $33$ infrage.

Die Abbildung $33$ entfällt, da $n=8n=\; 8$ und hier die Versuchsanzahl $n=10n=10$ ist.

Antwort: Die Abbildung $11$ ist die gesuchte Abbildung.

Lösung zu b)

Es gilt:

$P(X\mathrm{\ne }8)=1-P(X=8)\approx 1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}P(X\backslash neq\; 8)=1-P(X=8)\backslash approx\; 1-0\{,\}1=0\{,\}9$

Antwort: und $P(X\mathrm{\ne }8)=\mathrm{0,9}P(X\backslash neq\; 8)=0\{,\}9$.

Aufgabe $A1.1A1.1$

Lösung zu a)

Zum Schaubild $C_{1}C\_1$ gehört die Funktion $f_1(x)=\frac{1}{2}\cdot (e^x+e^{-x})f\_1(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(e^x+e^\{-x\})$.

Bei Achsensymmetrie zur $yy$-Achse gilt: $f_1(-x)=f_1(x)f\_1(-x)=f\_1(x)$

$\Rightarrow f_1(-x)=\frac{1}{2}\cdot (e^{-x}+e^{-(-x}))=\frac{1}{2}\cdot (e^{-x}+e^x)=f_1(x)\backslash Rightarrow\backslash ;f\_1(-x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(e^\{-x\}+e^\{-(-x\}))=\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(e^\{-x\}+e^x)=f\_1(x)$

Tiefpunkt von $C_{1}C\_1$: $f_1^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\_1\text{'}(x)=0$

$f_1^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2}\cdot (e^x+e^{-x}\cdot (-1))=\frac{1}{2}\cdot (e^x-e^{-x})f\_1\text{'}(x)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(e^x+e^\{-x\}\backslash cdot(-1))=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(e^x-e^\{-x\})$

An der Stelle $x=0x=0$ liegt ein Extremum vor. Da im Aufgabentext von einem Tiefpunkt die Rede ist, muss die hinreichende Bedingung nicht überprüft werden.

Berechne $f(0)f(0)$: $f(0)=\frac{1}{2}\cdot (e^0+e^{-0})=\frac{1}{2}\cdot 2=1f(0)=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot(e^0+e^\{-0\})=\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash cdot\; 2=1$

Der Tiefpunkt hat die Koordinaten $TP(0\mathrm{\mid }1)TP(0|1)$.

Lösung zu b)

Lösung zu c)

Lege das Koordinatensystem symmetrisch zur Hängebrücke, d.h. die $xx$-Achse ist der Boden und die $yy$-Achse geht durch die Brückenmitte.

Gegeben ist die Funktion $g(x)=a\cdot {\displaystyle \frac{e^{kx}+e^{-kx}}{2k}}g(x)=a\backslash cdot\backslash dfrac\{e^\{kx\}+e^\{-kx\}\}\{2k\}$

Da die Hängebrücke für $x=0x=0$ eine Höhe von $5\mathrm{m}5\backslash ;\backslash mathrm\{m\}$ hat, gilt $g(0)=5g(0)=5$

$\Rightarrow g(0)=a\cdot {\displaystyle \frac{e^{k\cdot 0}+e^{-k\cdot 0}}{2k}}=a\cdot {\displaystyle \frac{1+1}{2k}}=a\cdot {\displaystyle \frac{2}{2k}}={\displaystyle \frac{a}{k}}=5\backslash Rightarrow\backslash ;\; g(0)=a\backslash cdot\backslash dfrac\{e^\{k\backslash cdot0\}+e^\{-k\backslash cdot0\}\}\{2k\}=a\backslash cdot\backslash dfrac\{1+1\}\{2k\}=a\backslash cdot\backslash dfrac\{2\}\{2k\}=\backslash dfrac\{a\}\{k\}=5$

Andererseits gilt $g(10)=8g(10)=8$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{}{}}a\cdot {\displaystyle \frac{e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}}{2k}}=8\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{\}\{\}a\backslash cdot\backslash dfrac\{e^\{k\backslash cdot\; 10\}+e^\{-k\backslash cdot\; 10\}\}\{2k\}=8$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{a}{k}}\cdot {\displaystyle \frac{e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}}{2}}=8\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{a\}\{k\}\backslash cdot\backslash dfrac\{e^\{k\backslash cdot\; 10\}+e^\{-k\backslash cdot\; 10\}\}\{2\}=8$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{a}{k}}\cdot (e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10})=16\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{a\}\{k\}\backslash cdot(e^\{k\backslash cdot\; 10\}+e^\{-k\backslash cdot\; 10\})=16$

Mit ${\displaystyle \frac{a}{k}}=5\backslash dfrac\{a\}\{k\}=5$ folgt dann: $5\cdot (e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10})=165\backslash cdot(e^\{k\backslash cdot\; 10\}+e^\{-k\backslash cdot\; 10\})=16$ bzw. $e^{k\cdot 10}+e^{-k\cdot 10}={\displaystyle \frac{16}{5}}e^\{k\backslash cdot\; 10\}+e^\{-k\backslash cdot\; 10\}=\backslash dfrac\{16\}\{5\}$

Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.

Lies dazu die Werte von p und q ab: $p=-{\displaystyle \frac{16}{5}}p=-\backslash dfrac\{16\}\{5\}$ und $q=1q=1$

Rücksubstitution ergibt: $\mathrm{0,351}=e^{10k}0\{,\}351=e^\{10k\}$$\Rightarrow k_1=\mathrm{0,1}\cdot \ln (\mathrm{0,351})\approx -\mathrm{0,105}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;k\_1=0\{,\}1\backslash cdot\; \backslash ln(0\{,\}351)\backslash approx\; -0\{,\}105$

Die Lösung $k_1=-\mathrm{0,105}k\_1=-0\{,\}105$ entfällt, da $kk$ laut Aufgabenstellung $>0>0$ sein soll.

Damit folgt aus der zweiten Lösung $\mathrm{2,849}=e^{10k}\Rightarrow k=\mathrm{0,1}\cdot \ln (\mathrm{2,849})\approx \mathrm{0,105}2\{,\}849=e^\{10k\}\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;k=0\{,\}1\backslash cdot\; \backslash ln(2\{,\}849)\backslash approx\; 0\{,\}105$

Mit der am Anfang ermittelten Beziehung ${\displaystyle \frac{a}{k}}=5\Rightarrow a=5\cdot k\Rightarrow a=5\cdot \mathrm{0,105}=\mathrm{0,525}\backslash dfrac\{a\}\{k\}=5\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=5\backslash cdot\; k\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=5\backslash cdot0\{,\}105=0\{,\}525$

Antwort: Die gesuchten Parameter lauten $k=\mathrm{0,105}k=0\{,\}105$ und $a=\mathrm{0,525}a=0\{,\}525$.

Lösung zu d)

Der Punkt $AA$ hat die Koordinaten $A(10\mathrm{\mid }8)A(10|8)$.

Die Funktion $g(x)g(x)$ lautet: $g(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,525}}{2\cdot \mathrm{0,105}}}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot x})=\mathrm{2,5}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot x})g(x)=\backslash dfrac\{0\{,\}525\}\{2\backslash cdot0\{,\}105\}\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\}+e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\})=2\{,\}5\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\}+e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\})$

Berechne die Ableitung, beachte dabei die Kettenregel: $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{2,5}\cdot \mathrm{0,105}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x})g\text{'}(x)=2\{,\}5\backslash cdot0\{,\}105\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\}-e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\})$

$g^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x})g\text{'}(x)=0\{,\}2625\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\}-e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\})$

An der Stelle $x=10x=10$ erhältst du für die Ableitung:

$g^{\mathrm{\prime }}(10)=\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot 10}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot 10})=\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{1,05}}-e^{-\mathrm{1,05}})\approx \mathrm{0,658}g\text{'}(10)=0\{,\}2625\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; 10\}-e^\{-0\{,\}105\backslash cdot10\})=0\{,\}2625\backslash cdot\; (e^\{1\{,\}05\}-e^\{-1\{,\}05\})\backslash approx\; 0\{,\}658$

Um den Winkel zu berechnen, setze $\tan (\alpha )=g^{\mathrm{\prime }}(10)=\mathrm{0,658}\Rightarrow \alpha \approx {\mathrm{33,3}}^{\circ }\backslash tan(\backslash alpha)=g\text{'}(10)=0\{,\}658\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash alpha\; \backslash approx\; 33\{,\}3^\backslash circ$

Antwort: Die Brücke trifft unter einem Winkel von etwa ${\mathrm{33,3}}^{\circ }33\{,\}3^\backslash circ$ im Punkt $AA$ auf die waagrechte Plattform.

Lösung zu e)

Gesucht ist zunächst die Gleichung der Normalen vom Punkt $B(10\mathrm{\mid }0)B(10|0)$ an den Graphen von $g(x)g(x)$.

Allgemein lautet die Normalengleichung im Punkt $P(x_0\mathrm{\mid }g(x_0)P(x\_0|g(x\_0)$:

$n(x)=-{\displaystyle \frac{1}{g^{\mathrm{\prime }}(x_0)}}\cdot (x-x_0)+g(x_0)n(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{g\text{'}(x\_0)\}\backslash cdot(x-x\_0)+g(x\_0)$

Setze $g^{\mathrm{\prime }}(x_0)g\text{'}(x\_0)$ in $n(x)n(x)$ ein $\Rightarrow n(x)=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})}}\cdot (x-x_0)+g(x_0)\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;n(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{0\{,\}2625\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\}-e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\})\}\backslash cdot(x-x\_0)+g(x\_0)$

$\Rightarrow n(x)=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})}}\cdot (x-x_0)+\mathrm{2,5}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;n(x)=-\backslash dfrac\{1\}\{0\{,\}2625\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\}-e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\})\}\backslash cdot(x-x\_0)+2\{,\}5\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\}+e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\})$

Der Punkt $B(10\mathrm{\mid }0)B(10|0)$ muss die Normalengleichung erfüllen. $BB$ eingesetzt ergibt die folgende Gleichung:

$0=-{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})}}\cdot (10-x_0)+\mathrm{2,5}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})0=-\backslash dfrac\{1\}\{0\{,\}2625\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\}-e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\})\}\backslash cdot(10-x\_0)+2\{,\}5\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\}+e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\})$

Umgeformt erhältst du:

$10-x_0=\mathrm{2,5}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})\cdot \mathrm{0,2625}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot x_0}-e^{-\mathrm{0,105}\cdot x_0})10-x\_0=2\{,\}5\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\}+e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\})\backslash cdot\; 0\{,\}2625\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\}-e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; x\_0\})$

Beachte die $33$. binomische Formel:

$10-x_0=\mathrm{0,65625}\cdot (e^{\mathrm{0,21}\cdot x_0}-e^{-\mathrm{0,21}\cdot x_0})10-x\_0=0\{,\}65625\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}21\backslash cdot\; x\_0\}-e^\{-0\{,\}21\backslash cdot\; x\_0\})$

Die Gleichung kannst du mit der SOLVE - Funktion deines Taschenrechners lösen.

Du erhältst: $x_0\approx \mathrm{7,18}x\_0\backslash approx\; 7\{,\}18$

Eingesetz in $g(x)g(x)$ folgt: $g(\mathrm{7,18})=\mathrm{2,5}\cdot (e^{\mathrm{0,105}\cdot \mathrm{7,18}}+e^{-\mathrm{0,105}\cdot \mathrm{7,18}})\approx \mathrm{6,49}g(7\{,\}18)=2\{,\}5\backslash cdot\; (e^\{0\{,\}105\backslash cdot\; 7\{,\}18\}+e^\{-0\{,\}105\backslash cdot\; 7\{,\}18\})\backslash approx\; 6\{,\}49$

Antwort: Der Befestigungspunkt $PP$ hat die Koordinaten $P(\mathrm{7,18}\mathrm{\mid }\mathrm{6,49})P(7\{,\}18|6\{,\}49)$.

Aufgabe $A1.2A1.2$

Lösung

Aufgabe $B1B1$

Lösung zu a)

Die Ebene $E_{1}E\_1$ hat die Gleichung $E_1:x_1+x_2=2\Rightarrow {\displaystyle \frac{x_1}{2}}+{\displaystyle \frac{x_2}{2}}=1E\_1:\backslash ;x\_1+x\_2=2\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{x\_1\}\{2\}+\backslash dfrac\{x\_2\}\{2\}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) abgelesen werden:

$S_{x_1}(2\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)S\_\{x\_1\}(2|0|0)$ (Punkt $AA$ in der Zeichnung) und $S_{x_2}(0\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }0)S\_\{x\_2\}(0|2|0)$ (Punkt $PP$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_{3}x\_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_{1}E\_1$ verläuft parallel zur $x_{3}x\_3$-Achse.

Nachweis, dass der Spiegel in der Ebene $E_{1}E\_1$ liegt

Prüfe, ob die vier Punkte des Spiegels in der Ebene $E_{1}E\_1$ liegen:

$A=S_{x_1}A=S\_\{x\_1\}$, damit ist $A\in E_{1}A\backslash in\; E\_1$

$B(-2\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }0)\in E_1?\Rightarrow -2+4=2\mathrm{✓}B(-2|4|0)\; \backslash in\; E\_1?\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-2+4=2\backslash checkmark$

$C(-2\mathrm{\mid }4\mathrm{\mid }4)\in E_1?\Rightarrow -2+4=2\mathrm{✓}C(-2|4|4)\; \backslash in\; E\_1?\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;-2+4=2\backslash checkmark$

$D(2\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }4)\in E_1?\Rightarrow 2+0=2\mathrm{✓}D(2|0|4)\; \backslash in\; E\_1?\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;2+0=2\backslash checkmark$

Damit liegt der Spiegel in der Ebene $E_{1}E\_1$.

Die Ebene $E_{3}E\_3$ hat die Gleichung $E_3:x_1+3\cdot x_2=6\Rightarrow {\displaystyle \frac{x_1}{6}}+{\displaystyle \frac{x_2}{2}}=1E\_3:\backslash ;x\_1+3\backslash cdot\; x\_2=6\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash dfrac\{x\_1\}\{6\}+\backslash dfrac\{x\_2\}\{2\}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte abgelesen werden:

$S_{x_1}(6\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0)S\_\{x\_1\}(6|0|0)$ und $S_{x_2}(0\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }0)S\_\{x\_2\}(0|2|0)$ (Punkt $PP$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_{3}x\_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_{3}E\_3$ verläuft parallel zur $x_{3}x\_3$-Achse.

Darstellung des Spiegels $ABCDABCD$ in der Ebene $E_{1}E\_1$ (orange). Gedrehter Spiegel in der Ebene $E_{3}E\_3$ (grün). Drehachse [PQ].

Spiegeldrehung

Drehung des Spiegels um den Winkel $\alpha \backslash alpha$, um die Achse $[PQ][PQ]$. Der Winkel $\alpha \backslash alpha$ ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen $E_{1}E\_1$ und $E_{3}E\_3$.

Aus den Koordinatendarstellungen der beiden Ebenen kannst du die Normalenvektoren ablesen:

${\vec{n}}_{E_1}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\backslash vec\; n\_\{E\_1\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}$und ${\vec{n}}_{E_3}=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)\backslash vec\; n\_\{E\_3\}=\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 3\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}$

Damit gilt für den Winkel: $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{{\vec{n}}_{E_1}\circ {\vec{n}}_{E_3}}{\mathrm{\mid }{\vec{n}}_{E_1}\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }{\vec{n}}_{E_3}\mathrm{\mid }}}\backslash cos\; \backslash alpha=\backslash dfrac\{\backslash vec\; n\_\{E\_1\}\backslash circ\backslash vec\; n\_\{E\_3\}\; \}\{|\backslash vec\; n\_\{E\_1\}|\backslash cdot|\backslash vec\; n\_\{E\_3\}|\}$

$\Rightarrow \cos \alpha ={\displaystyle \frac{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)}{\mid \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\mid \cdot \mid \left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right)\mid }}={\displaystyle \frac{1+3+0}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{1^2+3^2+0^2}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{10}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{20}}}\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash cos\; \backslash alpha=\backslash dfrac\{\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}\backslash circ\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 3\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}\; \}\{\backslash Big\backslash vert\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 1\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}\backslash Big\backslash vert\backslash cdot\backslash Big\backslash vert\backslash begin\{pmatrix\}1\backslash \backslash 3\backslash \backslash 0\backslash end\{pmatrix\}\backslash Big\backslash vert\}=\backslash dfrac\{1+3+0\}\{\backslash sqrt\{1^2+1^2+0^2\}\backslash cdot\backslash sqrt\{1^2+3^2+0^2\}\}=\backslash dfrac\{4\}\{\backslash sqrt\{2\}\backslash cdot\backslash sqrt\{10\}\}=\backslash dfrac\{4\}\{\backslash sqrt\{20\}\}$

$\alpha =\arccos ({\displaystyle \frac{4}{\sqrt{20}}})\approx {\mathrm{26,57}}^{\circ }\backslash alpha=\backslash arccos(\backslash dfrac\{4\}\{\backslash sqrt\{20\}\})\; \backslash approx\; 26\{,\}57^\backslash circ$

Antwort: Der Spiegel wurde um etwa ${\mathrm{26,57}}^{\circ }26\{,\}57^\backslash circ$ gedreht.

Lage der Ebene $E_{t}E\_t$ in Abhängigkeit von $tt$

$E_t:x_1+t\cdot x_2=2\cdot tE\_t:\backslash ;x\_1+t\backslash cdot\; x\_2=2\backslash cdot\; t$

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_{3}x\_3$-Achse, d. h. die Ebene $E_{t}E\_t$ verläuft parallel zur $x_{3}x\_3$-Achse.

Für $t=0t=0$ ist $x_1=0x\_1=0$, d.h. die Ebene $E_{0}E\_0$ liegt in der $x_2{x}_{3}x\_2x\_3$-Ebene. Wenn der Betrag von $tt$ größer wird, wird die $x_{1}x\_1$-Achse bei größeren $x_{1}x\_1$-Werten geschnitten $(S_{x_1}(2t\mathrm{\mid }0\mathrm{\mid }0))(S\_\{x\_1\}(2t|0|0))$, während der Schnittpunkt mit der $x_{2}x\_2$-Achse gleich bleibt $(S_{x_2}(0\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }0))(S\_\{x\_2\}(0|2|0))$. Die Ebene (und damit auch der Spiegel) dreht sich weiter um die Drehachse $[PQ][PQ]$.

Liegt die Ebene (und damit auch der Spiegel) parallel zur $x_1{x}_{3}x\_1x\_3$-Ebene, dann lautet die Ebenengleichung $x_2=2x\_2=2$. Für kein $tt$ kann aber die Ebene $E_{t}E\_t$ die Gleichung $x_2=2x\_2=2$ annehmen.

Lösung zu b)

$E_3:x_1+3\cdot x_2=6E\_3:\backslash ;x\_1+3\backslash cdot\; x\_2=6$

Der Punkt $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$ hat die Koordinaten $A^{\mathrm{\prime }}(a\mathrm{\mid }b\mathrm{\mid }0)A\text{'}(a|b|0)$.

Im Dreieck $S_{x_1}OPS\_\{x\_1\}OP$ kann dann der Strahlensatz angewendet werden.

${\displaystyle \frac{b}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{40}-\sqrt{8}}{\sqrt{40}}}\Rightarrow b=2\cdot ((1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}})\approx \mathrm{1,11}\backslash dfrac\{b\}\{2\}=\backslash dfrac\{\backslash sqrt\{40\}-\backslash sqrt\{8\}\}\{\backslash sqrt\{40\}\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;b=2\backslash cdot\backslash left((1-\backslash dfrac\{1\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\backslash right)\backslash approx1\{,\}11$

Weiterhin gilt: ${\displaystyle \frac{a}{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{40}}}\Rightarrow a={\displaystyle \frac{6}{\sqrt{5}}}\approx \mathrm{2,68}\backslash dfrac\{a\}\{6\}=\backslash dfrac\{\backslash sqrt\{8\}\}\{\backslash sqrt\{40\}\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=\backslash dfrac\{6\}\{\backslash sqrt\{5\}\}\backslash approx2\{,\}68$

Der Punkt $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$ hat die Koordinaten $A^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{2,68}\mathrm{\mid }\mathrm{1,11}\mathrm{\mid }0)A\text{'}(2\{,\}68|1\{,\}11|0)$.

Durch Symmetrieüberlegungen findest du die anderen Koordinaten des gedrehten Spiegels.

Die $x_{1}x\_1$-Koordinate vom Punkt $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$ ist die negative $x_{1}x\_1$-Koordinate des Punktes $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$.

Die $x_{2}x\_2$-Koordinate von $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$ ist $\mathrm{1,11}1\{,\}11$. Aus der Zeichnung kannst du entnehmen, dass die $x_{2}x\_2$-Koordinate vom Punkt $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$ gleich $2+(2-\mathrm{1,11})=\mathrm{2,89}2+(2-1\{,\}11)=2\{,\}89$ ist.

Der Punkt $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$ hat die Koordinaten $B^{\mathrm{\prime }}(-\mathrm{2,68}\mathrm{\mid }\mathrm{2,89}\mathrm{\mid }0)B\text{'}(-2\{,\}68|2\{,\}89|0)$.

Der Punkt $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ liegt $44$ Einheiten oberhalb des Punktes $B^{\mathrm{\prime }}B\text{'}$. Somit hat $C^{\mathrm{\prime }}C\text{'}$ die Koordinaten $C^{\mathrm{\prime }}(-\mathrm{2,68}\mathrm{\mid }\mathrm{2,89}\mathrm{\mid }4)C\text{'}(-2\{,\}68|2\{,\}89|4)$.

Der Punkt $D^{\mathrm{\prime }}D\text{'}$ liegt $44$ Einheiten oberhalb des Punktes $A^{\mathrm{\prime }}A\text{'}$. Somit hat $D^{\mathrm{\prime }}D\text{'}$ die Koordinaten $D^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{2,68}\mathrm{\mid }\mathrm{1,11}\mathrm{\mid }4)D\text{'}(2\{,\}68|1\{,\}11|4)$.

Antwort: $A^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{2,68}\mathrm{\mid }\mathrm{1,11}\mathrm{\mid }0);B^{\mathrm{\prime }}(-\mathrm{2,68}\mathrm{\mid }\mathrm{2,89}\mathrm{\mid }0);C^{\mathrm{\prime }}(-\mathrm{2,68}\mathrm{\mid }\mathrm{2,89}\mathrm{\mid }4);D^{\mathrm{\prime }}(\mathrm{2,68}\mathrm{\mid }\mathrm{1,11}\mathrm{\mid }4)A\text{'}(2\{,\}68|1\{,\}11|0);\backslash ;B\text{'}(-2\{,\}68|2\{,\}89|0);\backslash ;C\text{'}(-2\{,\}68|2\{,\}89|4);\backslash ;D\text{'}(2\{,\}68|1\{,\}11|4)$

Lösung zu c)

Geradengleichung für den Lichtstrahl

$g_{Licht}:\vec{x}=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 1\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 1\end{array}\right)g\_\{Licht\}:\backslash ;\backslash vec\; x=\backslash begin\{pmatrix\}6\backslash \backslash 8\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+r\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash -3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}$

Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g_{Licht}g\_\{Licht\}$ mit der Ebene $E_{t}E\_t$:

Fallunterscheidung:

Fall 1: $t\mathrm{\ne }-1t\backslash neq-1$

Die letzte Gleichung kann nach r aufgelöst werden.

Fall 2: $t=-1t=-1$

Setzt du $t=-1t=-1$ in die Gleichung $r(3+3t)=6+6tr(3+3t)=6+6t$ ein, dann erhältst du eine wahre Aussage $0=00=0$, d.h. die Gerade liegt für $t=-1t=-1$ in der Ebene $E_{t}E\_t$.

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $r=2r=2$ in $g_{Licht}g\_\{Licht\}$ ein:

${\vec{x}}_S=\left(\begin{array}{c}6\\ 8\\ 1\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -3\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 3\end{array}\right)\backslash vec\; x\_S=\backslash begin\{pmatrix\}6\backslash \backslash 8\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}+2\backslash cdot\; \backslash begin\{pmatrix\}-3\backslash \backslash -3\backslash \backslash 1\backslash end\{pmatrix\}=\backslash begin\{pmatrix\}0\backslash \backslash 2\backslash \backslash 3\backslash end\{pmatrix\}$

Der Schnittpunkt $SS$ ist unabhängig von $tt$, d.h. der Spiegel wird immer im gleichen Punkt $SS$ getroffen.

Der Punkt $S(0\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }3)S(0|2|3)$ liegt auf der Drehachse [PQ] des Spiegels.

Aufgabe $C1C1$

Lösung zu a)

$A:P(X=6)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{6}\right)\cdot {\mathrm{0,6}}^6\cdot (1-\mathrm{0,6}{)}^{10-6}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{10}{6}\right)\cdot {\mathrm{0,6}}^6\cdot {\mathrm{0,4}}^4\approx \mathrm{0,2508}A:\backslash ;\; P(X=6)=\backslash binom\; \{10\}\; 6\backslash cdot\; 0\{,\}6^6\backslash cdot\; (1-0\{,\}6)^\{10-6\}=\backslash binom\; \{10\}\; 6\backslash cdot\; 0\{,\}6^6\backslash cdot\; 0\{,\}4^\{4\}\backslash approx\; 0\{,\}2508$

$B:P(X\ge 6)=1-P(x\le 5)=1-F(10;\mathrm{0,6};5)=1-\mathrm{0,3669}=\mathrm{0,6331}B:\backslash ;\; P(X\backslash geq6)=1-P(x\backslash leq5)=1-F(10;0\{,\}6;5)=1-0\{,\}3669=0\{,\}6331$

$C:p={\mathrm{0,4}}^3\cdot {\mathrm{0,6}}^7\approx \mathrm{0,0018}C:\backslash ;p=0\{,\}4^3\backslash cdot0\{,\}6^7\backslash approx\; 0\{,\}0018$

Lösung zu b)

$P(X\ge 50)=1-P(x\le 49)\ge \mathrm{0,95}\Rightarrow F(100;p;49)\le \mathrm{0,05}P(X\backslash geq50)=1-P(x\backslash leq49)\backslash geq0\{,\}95\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;F(100;p;49)\backslash leq0\{,\}05$

Mithilfe des TR erhältst du $p\approx \mathrm{0,577}p\backslash approx\; 0\{,\}577$.

Lösung zu c)

Intervallbestimmung

$p_{\ddot{U}bergewicht}=\mathrm{0,54}p\_\{Übergewicht\}=0\{,\}54$; $n=500n=500$

Die Zufallsvariable $XX$ ist $B_{500;\mathrm{0,54}}B\_\{500;0\{,\}54\}$ verteilt.

Den Mittelwert berechnest du mit $\mu =n\cdot p=500\cdot \mathrm{0,54}=270\backslash mu=n\backslash cdot\; p=500\backslash cdot\; 0\{,\}54=270$

Die Standardabweichung berechnest du mit $\sigma =\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{500\cdot \mathrm{0,54}\cdot \mathrm{0,46}}\approx \mathrm{11,14}\backslash sigma=\backslash sqrt\{n\backslash cdot\; p\backslash cdot(1-p)\}=\backslash sqrt\{500\backslash cdot0\{,\}54\backslash cdot0\{,\}46\}\backslash approx11\{,\}14$

Für ein Intervall mit $9595$%-iger Wahrscheinlichkeit gilt: $[\mu -\mathrm{1,96}\sigma ;\mu +\mathrm{1,96}\sigma ][\backslash mu-1\{,\}96\; \backslash sigma;\backslash ;\; \backslash mu+1\{,\}96\; \backslash sigma]$

$\Rightarrow [270-\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{11,14};\mu +\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{11,14}]=[270-\mathrm{21,83};270+\mathrm{21,83}]=[\mathrm{248,17};\mathrm{291,83}]\backslash Rightarrow\backslash ;[270-1\{,\}96\backslash cdot11\{,\}14;\backslash ;\; \backslash mu+1\{,\}96\backslash cdot11\{,\}14]=[270-21\{,\}83;\backslash ;\; 270+21\{,\}83]=[248\{,\}17;\backslash ;\; 291\{,\}83]$

Antwort: Die Anzahl der Übergewichtigen in dem Dorf liegt mit $9595$%-iger Wahrscheinlichkeit zwischen $248248$ und $292292$ Personen.

Hypothesentest

Gegeben sind $H_0:p\ge \mathrm{0,54}H\_0:\backslash :p\backslash geq0\{,\}54$, $n=90n=90$ und das Signifikanzniveau $\alpha =10\backslash alpha=10$%

Es handelt sich um einen linksseitigen Test:

$\alpha \text{-Fehler}:P(X\le k)\le \mathrm{0,1}\backslash alpha\backslash text\{-Fehler\}:\backslash ;P(X\backslash leq\; k)\backslash leq\; 0\{,\}1$

$\Rightarrow F(90;\mathrm{0,54};k)\le \mathrm{0,1}\backslash Rightarrow\backslash ;F(90;0\{,\}54;k)\backslash leq0\{,\}1$

Mit dem TR findest du:

$F(90;\mathrm{0,54};43)\approx \mathrm{0,1404}\ge \mathrm{0,1}\text{und}F(90;\mathrm{0,54};42)\approx \mathrm{0,0986}\le \mathrm{0,1}F(90;0\{,\}54;43)\backslash approx\; 0\{,\}1404\; \backslash geq\; 0\{,\}1\backslash ;\backslash text\{und\}\backslash ;F(90;0\{,\}54;42)\backslash approx\; 0\{,\}0986\; \backslash leq\; 0\{,\}1$

Also gilt $k=42k=42$.

Antwort: Haben höchstens $4242$ Mitglieder im Sportverein einen BMI$>25\backslash ;>25$, dann wird $H_{0}H\_0$ verworfen. Haben mehr als $4242$ Mitglieder im Sportverein einen BMI$>25\backslash ;>25$, dann wird $H_{0}H\_0$ beibehalten.