Lösung zu 1

Die $yy$-Achse wird für $x=0x=0$ geschnitten.

Setze $x=0x=0$ in die Funktionsgleichung ein:

$f_a(0)=0\cdot e^{a\cdot 0}+\frac{3}{a}=0\cdot 1+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}f\_a(0)=0\backslash cdot\; e^\{a\backslash cdot\; 0\}+\backslash frac\{3\}\{a\}=0\backslash cdot\; 1+\backslash frac\{3\}\{a\}=\backslash frac\{3\}\{a\}$

Antwort: Der Schnittpunkt der Scharkurven mit der $yy$-Achse hat die Koordinaten $S_y(0\mid \frac{3}{a})S\_y\backslash left(0\backslash Big\backslash vert\backslash frac\{3\}\{a\}\backslash right)$.

Lösung zu 2

Die notwendige Bedingung für ein Extremum lautet: $f_a^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\_a\text{'}(x)=0$

Berechne die 1. Ableitung, beachte dabei die Produktregel und die Kettenregel:

$f_a^{\mathrm{\prime }}(x)=1\cdot e^{ax}+x\cdot e^{ax}\cdot a=(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}f\_a\text{'}(x)=1\backslash cdot\; e^\{ax\}+x\backslash cdot\; e^\{ax\}\backslash cdot\; a=(1+a\backslash cdot\; x)\backslash cdot\; e^\{ax\}$

Setze $f_a^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\_a\text{'}(x)=0$

$\Rightarrow 0=\underset{=0}{\underbrace{(1+a\cdot x)}}\cdot \underset{\text{immer}>0}{\underbrace{e^{a\cdot x}}}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=\backslash underbrace\{(1+a\backslash cdot\; x)\}\_\{=0\}\backslash cdot\; \backslash underbrace\{e^\{a\backslash cdot\; x\}\}\_\{\backslash text\{immer\}\backslash ;>\; 0\}$

Nur die Klammer kann null werden:

$0=1+a\cdot x\Rightarrow x=-\frac{1}{a}0=1+a\backslash cdot\; x\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;x=-\backslash frac\{1\}\{a\}$

Die Feststellung, ob sich an der Stelle $x=-\frac{1}{a}x=-\backslash frac\{1\}\{a\}$ ein Extremum befindet, kann mit einer Monotonietabelle oder der 2. Ableitung erfolgen. Hier erfolgt die Überprüfung mit der 2. Ableitung:

Ist $f_a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)>0f\_a\text{'}\text{'}(x)>0$, dann hat die Scharkurve $K_{a}K\_a$ an der Stelle $xx$ einen Tiefpunkt.

Ist , dann hat die Scharkurve $K_{a}K\_a$ an der Stelle $xx$ einen Hochpunkt.

Berechne die 2. Ableitung, beachte dabei wieder die Produktregel und die Kettenregel:

$f_a^{\mathrm{\prime }}(x)=(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}f\_a\text{'}(x)=(1+a\backslash cdot\; x)\backslash cdot\; e^\{ax\}$

$f_a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=a\cdot e^{ax}+(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}\cdot a=(a^2\cdot x+2a)\cdot e^{ax}f\_a\text{'}\text{'}(x)=a\backslash cdot\; e^\{ax\}+(1+a\backslash cdot\; x)\backslash cdot\; e^\{ax\}\backslash cdot\; a=(a^2\backslash cdot\; x+2a)\backslash cdot\; e^\{ax\}$

Setze $x=-\frac{1}{a}x=-\backslash frac\{1\}\{a\}$ in $f_a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=(a^2\cdot x+2a)\cdot e^{ax}f\_a\text{'}\text{'}(x)=(a^2\backslash cdot\; x+2a)\backslash cdot\; e^\{ax\}$ ein:

$f_a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-\frac{1}{a})=(a^2\cdot (-\frac{1}{a})+2a)\cdot e^{a\cdot (-\frac{1}{a})}=(-a+2a)\cdot e^{-1}=a\cdot e^{-1}f\_a\text{'}\text{'}\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash right)=\backslash left(a^2\backslash cdot\; (-\backslash frac\{1\}\{a\})+2a\backslash right)\backslash cdot\; e^\{a\backslash cdot(-\backslash frac\{1\}\{a\})\}=(-a+2a)\backslash cdot\; e^\{-1\}=a\backslash cdot\; e^\{-1\}$

Das Ergebnis ist vom Scharparameter $aa$ abhängig, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $aa$ erforderlich.

Fallunterscheidung

Fall 1: $a>0a>0$

$f_a^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(-\frac{1}{a})=a\cdot e^{-1}>0\Rightarrow \text{TP}f\_a\text{'}\text{'}(-\backslash frac\{1\}\{a\})=a\backslash cdot\; e^\{-1\}>0\; \backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash text\{TP\}$

Fall 2:

Setze $x=-\frac{1}{a}x=-\backslash frac\{1\}\{a\}$ in $f_a(x)f\_a(x)$ ein, um die $yy$-Koordinate der Extrema zu berechnen.

$f_a(-\frac{1}{a})=(-\frac{1}{a})\cdot e^{a\cdot (-\frac{1}{a})}+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}-\frac{1}{a}\cdot e^{-1}=\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1})f\_a(-\backslash frac\{1\}\{a\})=(-\backslash frac\{1\}\{a\})\backslash cdot\; e^\{a\backslash cdot(-\backslash frac\{1\}\{a\})\}+\backslash frac\{3\}\{a\}=\backslash frac\{3\}\{a\}-\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash cdot\; e^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash cdot(3-e^\{-1\})$

Antwort: Für $a>0a>0$ hat der Tiefpunkt die Koordinaten $TP(-\frac{1}{a}\mid \frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1}))TP\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash Big\backslash vert\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash cdot(3-e^\{-1\})\backslash right)$ und für hat der Hochpunkt die Koordinaten $HP(-\frac{1}{a}\mid \frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1}))HP\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash Big\backslash vert\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash cdot(3-e^\{-1\})\backslash right)$.

Lösung zu 3

Betrachte zunächst ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a})}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow+\backslash infty\}(x\backslash cdot\; e^\{ax\}+\backslash frac\{3\}\{a\})$. Wie verhält sich der Ausdruck $x\cdot e^{ax}x\backslash cdot\; e^\{ax\}$, wenn $xx$ sehr groß wird? Das Verhalten hängt vom Vorzeichen des Scharparameters $aa$ ab, d.h. es ist eine Fallunterscheidung bzgl. des Vorzeichens von $aa$ erforderlich.

Fallunterscheidung

Fall 1: $a>0a>0$

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a})=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\to +\mathrm{\infty }}{\underbrace{x\cdot e^{ax}}}+\frac{3}{a}=+\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow+\backslash infty\}(x\backslash cdot\; e^\{ax\}+\backslash frac\{3\}\{a\})=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow+\backslash infty\}\backslash underbrace\{x\backslash cdot\; e^\{ax\}\}\_\{\backslash rightarrow\; +\backslash infty\}+\backslash frac\{3\}\{a\}=+\backslash infty$

Für $a>0a>0$ wächst $e^{ax}e^\{ax\}$ für $x\to +\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow+\backslash infty$ stärker als jede Potenz von $xx$. Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}x\backslash cdot\; e^\{ax\}$ geht somit gegen $+\mathrm{\infty }+\backslash infty$.

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a})=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\to 0}{\underbrace{x\cdot e^{ax}}}+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}(x\backslash cdot\; e^\{ax\}+\backslash frac\{3\}\{a\})=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\backslash underbrace\{x\backslash cdot\; e^\{ax\}\}\_\{\backslash rightarrow\; 0\}+\backslash frac\{3\}\{a\}=\backslash frac\{3\}\{a\}$

Für $a>0a>0$ geht $e^{ax}e^\{ax\}$ für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow-\backslash infty$ stärker gegen $00$ als $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow-\backslash infty$. Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}x\backslash cdot\; e^\{ax\}$ geht somit gegen $00$.

Fall 2:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a})=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\to 0}{\underbrace{x\cdot e^{ax}}}+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow+\backslash infty\}(x\backslash cdot\; e^\{ax\}+\backslash frac\{3\}\{a\})=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow+\backslash infty\}\backslash underbrace\{x\backslash cdot\; e^\{ax\}\}\_\{\backslash rightarrow\; 0\}+\backslash frac\{3\}\{a\}=\backslash frac\{3\}\{a\}$

Für geht $e^{ax}e^\{ax\}$ für $x\to +\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow+\backslash infty$ stärker gegen $00$ als $x\to +\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow+\backslash infty$. Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}x\backslash cdot\; e^\{ax\}$ geht somit gegen $00$.

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }(x\cdot e^{ax}+\frac{3}{a})=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\to -\mathrm{\infty }}{\underbrace{x\cdot e^{ax}}}+\frac{3}{a}=-\mathrm{\infty }}\backslash displaystyle\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}(x\backslash cdot\; e^\{ax\}+\backslash frac\{3\}\{a\})=\backslash lim\_\{x\backslash rightarrow-\backslash infty\}\backslash underbrace\{x\backslash cdot\; e^\{ax\}\}\_\{\backslash rightarrow\; -\backslash infty\}+\backslash frac\{3\}\{a\}=-\backslash infty$

Für wächst $e^{ax}e^\{ax\}$ für $x\to -\mathrm{\infty }x\backslash rightarrow-\backslash infty$ stärker als jede Potenz von $xx$. Der Ausdruck $x\cdot e^{ax}x\backslash cdot\; e^\{ax\}$ geht somit gegen $-\mathrm{\infty }-\backslash infty$.

Alle Scharkurven haben eine waagrechte Asymptote $y_A=\frac{3}{a}y\_A=\backslash frac\{3\}\{a\}$.

Lösung zu 4

Für $a=-3a=-3$ lautet $f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1f\_\{-3\}(x)=x\backslash cdot\; e^\{-3x\}-1$ und für $a=1a=1$ ist $f_1=x\cdot e^x+3f\_\{1\}=x\backslash cdot\; e^\{x\}+3$. Bekannt sind weiterhin der Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0\mid \frac{3}{a})S\_y\backslash left(0\backslash Big\backslash vert\backslash frac\{3\}\{a\}\backslash right)$, der Extrempunkt $E(-\frac{1}{a}\mid \frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1}))E\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash Big\backslash vert\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash cdot(3-e^\{-1\})\backslash right)$ und die waagrechte Asymptote $y_A=\frac{3}{a}y\_A=\backslash frac\{3\}\{a\}$. Zum Skizzieren der beiden Graphen ist es sinnvoll, noch einige Funktionswerte zu berechnen. Sie sind in den beiden folgenden Tabellen aufgelistet.

Tabelle für $f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1f\_\{-3\}(x)=x\backslash cdot\; e^\{-3x\}-1$:

Die Funktion $f_{-3}(x)=x\cdot e^{-3x}-1f\_\{-3\}(x)=x\backslash cdot\; e^\{-3x\}-1$ hat die waagrechte Asymptote $y_A=-1y\_A=-1$.

Tabelle für $f_1=x\cdot e^x+3f\_\{1\}=x\backslash cdot\; e^\{x\}+3$:

Die Funktion $f_1(x)=x\cdot e^x+3f\_\{1\}(x)=x\backslash cdot\; e^\{x\}+3$ hat die waagrechte Asymptote $y_A=3y\_A=3$.

Darstellung der Graphen von $K_{-3}K\_\{-3\}$ und von $K_{1}K\_1$.

Lösung zu 5

Ein Extremum liegt vor, wenn $f_a^{\mathrm{\prime }}(x)=0f\_a\text{'}(x)=0$ ist.

Setze in die unter Lösung $22$ berechnete Ableitung $f_a^{\mathrm{\prime }}(x)=(1+a\cdot x)\cdot e^{ax}f\_a\text{'}(x)=(1+a\backslash cdot\; x)\backslash cdot\; e^\{ax\}$ den Wert $x=\frac{1}{2}x=\backslash frac\{1\}\{2\}$ ein:

$f_a^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)=e^{a\cdot \frac{1}{2}}\cdot (1+a\cdot \frac{1}{2})f\_a\text{'}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)=e^\{a\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{2\}\}\backslash cdot(1+a\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{2\})$

Setze $f_a^{\mathrm{\prime }}\left(\frac{1}{2}\right)=0f\_a\text{'}\backslash left(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)=0$

$\Rightarrow 0=\underset{\text{immer}>0}{\underbrace{e^{a\cdot \frac{1}{2}}}}\cdot \underset{=0}{\underbrace{(1+a\cdot \frac{1}{2})}}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;0=\backslash underbrace\{e^\{a\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{2\}\}\}\_\{\backslash text\{immer\}\backslash ;>\; 0\}\backslash cdot\; \backslash underbrace\{\backslash left(1+a\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash right)\}\_\{=0\}$

Nur die Klammer kann null werden:

$0=1+a\cdot \frac{1}{2}\Rightarrow a=-20=1+a\backslash cdot\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=-2$

Antwort: Für $a=-2a=-2$ hat die Scharfunktion $f_{-2}(x)=x\cdot e^{-2x}-\frac{3}{2}f\_\{-2\}(x)=x\backslash cdot\; e^\{-2x\}-\backslash frac\{3\}\{2\}$ an der Stelle $x=\frac{1}{2}x=\backslash frac\{1\}\{2\}$ ein Extremum.

Lösung zu 6

Für die Ortskurve der Extrema benötigst du die Extrempunktkoordinaten.

Das Extremum hat die Koordinaten $E(-\frac{1}{a}\mid \frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1}))E\backslash left(-\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash Big\backslash vert\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash cdot(3-e^\{-1\})\backslash right)$.

Für die Berechnung der Ortskurve setzt du $x=-\frac{1}{a}x=-\backslash frac\{1\}\{a\}$ und $y=\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1})y=\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash cdot\; (3-e^\{-1\})$.

Löse dann $x=-\frac{1}{a}x=-\backslash frac\{1\}\{a\}$ nach $aa$ auf $\Rightarrow a=-\frac{1}{x}\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;a=-\backslash frac\{1\}\{x\}$.

Setze $a=-\frac{1}{x}a=-\backslash frac\{1\}\{x\}$ in $y=\frac{1}{a}\cdot (3-e^{-1})y=\backslash frac\{1\}\{a\}\backslash cdot\; (3-e^\{-1\})$ ein:

$y={\displaystyle \frac{1}{-\frac{1}{x}}}\cdot (3-e^{-1})=-x\cdot (3-e^{-1})=(e^{-1}-3)\cdot xy=\backslash dfrac\{1\}\{-\backslash frac\{1\}\{x\}\}\backslash cdot\; (3-e^\{-1\})=-x\backslash cdot(3-e^\{-1\})=(e^\{-1\}-3)\backslash cdot\; x$

Antwort: Die Gleichung der Ortskurve lautet $y=(e^{-1}-3)\cdot xy=(e^\{-1\}-3)\backslash cdot\; x$. Der Graph der Ortskurve ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung $m=e^{-1}-3\approx -2,63m=e^\{-1\}-3\backslash approx\; -2\{,\}63$.

Zur Veranschaulichung sind im folgenden Applet mehrere Scharkurven und die Ortskurve der Extrema dargestellt.