Beispiel:

Geben sind die beiden Ebenen:

$E_1:x_1+2x_2+2x_3=3$

$E_2:x_1+2x_2+2x_3=6$

Der Normalenvektor der Ebene ist $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$.

Die Lotgerade durch den Koordinatenursprung hat dann die Gleichung: $g_{Lot}:\overrightarrow{x}=r\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Man berechnet den Schnittpunkt von $g_{Lot}$ mit $E_1$:

$g_{Lot}\cap E_1:r+2\cdot 2r+2\cdot 2r=3\Rightarrow 9r=3$ mit der Lösung $r=\frac{1}{3}$.

Man setzt $r=\frac{1}{3}$ in $g_{Lot}$ ein und erhält den ersten Schnittpunkt:

${\overrightarrow{x}}_{S1}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right)\Rightarrow S_1\left(\frac{1}{3}|\frac{2}{3}|\frac{2}{3}\right)$

Man berechnet den Schnittpunkt von $g_{Lot}$ mit $E_2$:

$g_{Lot}\cap E_2:r+2\cdot 2r+2\cdot 2r=6\Rightarrow 9r=6$ mit der Lösung $r=\frac{2}{3}$.

Man setzt $r=\frac{2}{3}$ in $g_{Lot}$ ein und erhält den zweiten Schnittpunkt:

${\overrightarrow{x}}_{S2}=\frac{2}{3}\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ \frac{4}{3}\\ \frac{4}{3}\end{array}\right)\Rightarrow S_2\left(\frac{2}{3}|\frac{4}{3}|\frac{4}{3}\right)$

Man berechnet den Vektor $\overrightarrow{S_1{S}_2}$=$\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3}\\ \frac{4}{3}\\ \frac{4}{3}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}\\ \frac{2}{3}\end{array}\right)$.

Man berechnet den Betrag des Vektors $\overrightarrow{S_1{S}_2}$ und erhält den Abstand der beiden Ebenen.

$d(E_1,E_2)=\left|\overrightarrow{S_1{S}_2}\right|=\sqrt{(\frac{1}{3}{)}^2+(\frac{2}{3}{)}^2+(\frac{2}{3}{)}^2}=\sqrt{\frac{9}{9}}=1$

Der Abstand der beiden Ebenen beträgt $1\text{LE}$.