Aufgaben - lernen mit Serlo!

Bestimme den Abstand zweier Ebenen mit Hilfe einer Lotgeraden.

Geben sind die beiden Ebenen:

$E_{1} : a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = d_{1}$

$E_{2} : a x_{1} + b x_{2} + c x_{3} = d_{2}$

Man erstellt die Gleichung einer Lotgeraden durch den Koordinatenursprung.

Der Richtungsvektor der Lotgeraden ist der Normalenvektor $\vec{n} = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ der Ebene.

$g_{Lot}:\ \vec x=r \cdot \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$

Man berechnet die beiden Schnittpunkte $S_{1}$ und $S_{2}$ der Lotgeraden mit den Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$ .

Der Abstand der beiden Ebenen ist dann der Betrag des Vektors $\left|\overrightarrow{S_1S_2}\right|$

Zwei Ebenen Abstandsberechnung über Lotgerade

Beispiel:

Geben sind die beiden Ebenen:

$E_{1} : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 3$

$E_{2} : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 6$

Der Normalenvektor der Ebene ist $\vec{n} = \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ .

Die Lotgerade durch den Koordinatenursprung hat dann die Gleichung: $g_{Lot}:\ \vec x=r \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$

Man berechnet den Schnittpunkt von $g_{Lot}$ mit $E_{1}$ :

$g_{Lot}\cap E_1: \;r+2\cdot 2r+2\cdot 2r=3 \Rightarrow \; 9r=3$ mit der Lösung $r=\frac{1}{3}$ .

Man setzt $r=\frac{1}{3}$ in $g_{Lot}$ ein und erhält den ersten Schnittpunkt:

$\vec x_{S1}=\frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix} \Rightarrow \; S_1\left(\frac{1}{3}\vert \frac{2}{3}\vert \frac{2}{3}\right)$

Man berechnet den Schnittpunkt von $g_{Lot}$ mit $E_{2}$ :

$g_{Lot}\cap E_2: \;r+2\cdot 2r+2\cdot 2r=6 \Rightarrow \; 9r=6$ mit der Lösung $r=\frac{2}{3}$ .

Man setzt $r=\frac{2}{3}$ in $g_{Lot}$ ein und erhält den zweiten Schnittpunkt:

$\vec x_{S2}=\frac{2}{3} \cdot \begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\\\frac{4}{3}\end{pmatrix} \Rightarrow \; S_2\left(\frac{2}{3}\vert \frac{4}{3}\vert \frac{4}{3}\right)$

Man berechnet den Vektor $\overrightarrow{S_1S_2}$ = $\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\\\frac{4}{3}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix}$ .

Man berechnet den Betrag des Vektors $\overrightarrow{S_1S_2}$ und erhält den Abstand der beiden Ebenen.

$d\left(E_1,E_2\right)=\left|\overrightarrow{S_1S_2}\right|=\sqrt{(\frac{1}{3})^2+(\frac{2}{3})^2+(\frac{2}{3})^2}=\sqrt{\frac{9}{9}}=1$

Der Abstand der beiden Ebenen beträgt $1\;\text{LE}$ .

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