Überprüfung mit Skizze

Wähle jeweils einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. die y-Achsenabschnitte $(0\mathrm{\mid }-3)(0|-3)$ und $(0\mathrm{\mid }3)(0|3)$. Gehe von dort $11$ nach rechts und entsprechen der Steigungen $m_g=2m\_g=2$ nach oben und $m_h=-\mathrm{0,5}m\_h=-0\{,\}5$ nach unten. Verbinde jeweils die beiden Punkte zu einer Geraden.

Wenn du den Verlauf der Geraden betrachtest und beispielsweise die Lage des Punktes $AA$, so siehst du, dass dieser kaum auf der Geraden h, wahrscheinlich aber auf $gg$ liegen wird. Ähnlich kannst du bei anderen Punkten entscheiden, ob sich eine rechnerische Überprüfung lohnt: Punkt $D(-102\mathrm{/}55)D(-102/55)$ kann z. B. nur auf $hh$ liegen.

Rechnerische Überprüfung

$A(1\mathrm{\mid }-1)A(1|-1)$ in $gg$ einsetzen:

Setze die Koordinaten der Punkte in die fragliche Gleichung ein. Also setze $y=-1y=-1$ und $x=1x=1$ ein.

$-1=2\cdot 1-3-1=2\backslash cdot1-3$

Das ist eine wahre Aussage.

⇒ $AA$ liegt auf $gg$.

$BB$ liegt auf keiner der Geraden. Das kann eindeutig der Skizze entnommen werden.

$CC$ in $hh$ einsetzen:

$5=-\mathrm{0,5}\cdot (-6)+35=-0\{,\}5\backslash cdot(-6)+3$

⇒ $5=3+35=3+3$

Diese Aussage ist falsch, also liegt $CC$ nicht auf $h\mathrm{.}h.$

$DD$ in $hh$ einsetzen:

$55=-\mathrm{0,5}\cdot (-102)+355=-0\{,\}5\backslash cdot\backslash left(-102\backslash right)+3$

⇒ $55=51+355=51+3$

Diese Aussage ist falsch, also liegt $DD$ nicht auf $hh$.

$EE$ in $gg$ einsetzen:

$87=2\cdot 45-387=2\backslash cdot45-3$

Diese Aussage ist richtig, also liegt $EE$ auf $gg$.

Koordinaten ergänzen

$h:y=-\mathrm{0,5}x+3h:\backslash ;y=-0\{,\}5x+3$ ; P(5|?)

Die gegebene Koordinate des Punktes (die x-Koordinate) wird in die Funktionsgleichung eingesetzt und daraus die fehlende y-Koordinate berechnet.

$y=-\mathrm{0,5}\cdot 5+3=-\mathrm{2,5}+3=\mathrm{0,5}y=-0\{,\}5\backslash cdot5+3=-2\{,\}5+3=0\{,\}5$

⇒ P(5|0,5)

Q: $y=-\mathrm{0,5}\cdot (-\mathrm{3,5})+3=\mathrm{1,75}+3=\mathrm{4,75}y=-0\{,\}5\backslash cdot(-3\{,\}5)+3=1\{,\}75+3=4\{,\}75$ $\Rightarrow \backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;$ Q(-3,5|4,75)

R: $12=-\mathrm{0,5}x+3\Rightarrow \mathrm{0,5}x=-9\Rightarrow x=-1812=-0\{,\}5x+3\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;0\{,\}5x=-9\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;x=-18$ $\Rightarrow \backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;$ R(-18|12)

S: $-\mathrm{7,5}=-\mathrm{0,5}x+3\Rightarrow \mathrm{0,5}x=\mathrm{10,5}\Rightarrow x=21-7\{,\}5=-0\{,\}5x+3\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;0\{,\}5x=10\{,\}5\backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;x=21$ $\Rightarrow \backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;$ S(2 1|-7,5).

Beweis für T

T(2,4|1,8)

Die Koordinaten von T in beide Geradengleichungen einsetzen. Wenn die Aussagen wahr sind, liegt T auf den Geraden.

in g:

in h:

$\Rightarrow \backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;$ Beide Gleichungen ergeben richtige Aussagen, also liegt der Punkt T auf beiden Geraden.

$\Rightarrow \backslash ;\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;\backslash ;$ T Ist der Schnittpunkt der Geraden