Aufgaben zu linearen Funktionen, Nullstellen, Achsenschnittpunkten u.a.

Lerne mit diesen Übungsaufgaben lineare Funktionen zu skizzieren und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen zu bestimmen!

1
Lies aus dem Graphen den y-Achsenabschnitt ab.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|0)$ , also $y=0$ .
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  Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|3)$ , also $y=3$ .
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  Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-4)$ , also $y=-4$ .
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  Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-3)$ , also $y=-3$ .
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  Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
5. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|4)$ , also $y=4$ .
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  Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
6. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|5)$ , also $y=5$ .
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  Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
7. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|2)$ , also $y=2$ .
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  Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
8. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|3)$ , also $y=3$ .
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  Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
9. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-1)$ , also $y=-1$ .
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  Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
10. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: y-Achsenabschnitt
  Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunkts mit der y-Achse $S(0|-4)$ , also $y=-4$ .
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  Den y-Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse betrachtest.
2
Lies aus dem Graphen die Nullstelle ab.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N(0|0)$ , also $x=0$ .
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  Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N(1|0)$ , also $x=1$ .
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  Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $(2\vert 0)$ , also $x=2$ .
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  Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N(4|0)$ , also $x=4$ .
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  Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
5. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N(3|0)$ , also $x=3$ .
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  Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
6. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstelle
  Die Nullstelle ist der x-Wert des Schnittpunkts der Geraden mit der x-Achse $N(7|0)$ , also $x=7$ .
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  Die Nullstelle bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse betrachtest.
3
Betrachte die Graphen der Funktionen $a(x)$ und $c(x)$ . Lies den $y$ -Achsenabschnitt und die Steigung der Geraden ab und trage sie in die Felder ein! Kannst du daraus den Funktionsterm aufstellen?
1. Welchen $y$ -Achsenabschnitt hat $a(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
  $y$ -Achsenabschnitt bestimmen
  Den $y$ -Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Gerade mit der $y$ -Achse betrachtest.
  In diesem Fall:
  Der $y$ -Achsenabschnitt ist der $y$ -Wert des Schnittpunkts $(0/4)$ , also $4$ .
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  Achte darauf, wo die Gerade $G_a$ die y-Achse schneidet.
  Bestimme dann den Schnittpunkt!
2. Welche Steigung hat $a(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Geraden
  Steigung bestimmen
  Die Steigung einer Geraden bestimmt man am einfachsten mithilfe eines Steigungsdreiecks.
  Im Fall von $G_a$ :
  Du kannst ablesen, dass du eine Längeneinheit nach unten und eine Längeneinheit nach rechts gehst.
  Du erhältst für die Steigung: $m=-1$
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  Kreiere dafür ein Steigungsdreieck (siehe unten).
  Bestimme dann die Steigung.
3. Welchen Funktionsterm hat $a(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Funktionsterm aufstellen
  Der Funktionsterm einer linearen Funktion hat die Form:
  Dabei steht $m$ für die Steigung und $t$ für den $y$ -Achsenabschnitt.
  Setzt du die Werte aus den vorigen Teilaufgaben ein erhältst du:
  Vereinfacht ist das:
  Die Funktionsgleichung von $G_a$ ist also:
  .
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  Schau dir das Grundwissen zu der linearen Funktion an.
  Setze deine bisherigen Werte in die Funktion ein (siehe unten für eine ausführlichere Erklärung).
4. Welchen $y$ -Achsenabschnitt hat $c(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geraden
  $y$ -Achsenabschnitt bestimmen
  Den $y$ -Achsenabschnitt bestimmst du, indem du den Schnittpunkt der Gerade mit der $y$ -Achse betrachtest.
  In diesem Fall:
  Der $y$ -Achsenabschnitt von $G_c$ ist also $-3$ .
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  Achte darauf, wo die Gerade $G_c$ die y-Achse schneidet.
  Bestimme dann den Schnittpunkt!
5. Welche Steigung hat $c(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steigung der Geraden
  Steigung bestimmen
  Die Steigung einer Geraden bestimmt man am einfachsten mithilfe eines Steigungsdreiecks.
  Im Fall von $G_c$ :
  Du kannst ablesen, dass du eine Längeneinheit nach rechts und zwei Längeneinheiten nach oben gehst.
  Du erhältst für die Steigung: $m=2$
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  Kreiere dafür ein Steigungsdreieck (siehe unten).
  Bestimme dann die Steigung.
6. Welchen Funktionsterm hat $c(x)$ ?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktion
  Funktionsterm aufstellen
  Der Funktionsterm einer linearen Funktion hat die Form:
  Dabei steht $m$ für die Steigung und $t$ für den $y$ -Achsenabschnitt.
  Setzt du die Werte aus den vorigen Teilaufgaben ein erhältst du:
  Die Funktionsgleichung von $G_c$ ist also:
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  Schau dir das Grundwissen zur linearen Funktion an.
  Setze deine bisherigen Werte in die Funktion ein (siehe unten für eine ausführlichere Erklärung).

Zeichne die Graphen folgender Geraden mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse und dem Steigungsdreieck. Berechne den Schnittpunkt mit der x-Achse und überprüfe das Ergebnis anhand des Graphen.

$f(x)\;=\;2x-5$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$\mathrm{f}(\mathrm{x})=2\mathrm{x}-5$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-5\right.\right)$
$\Rightarrow\;m_f=2$
Berechne nun den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setze dazu den Funktionsterm mit 0 gleich.
$\displaystyle 2x-5$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle + 5$
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 5$ $\displaystyle \colon 2$
$\displaystyle x_0$ $=$ $\displaystyle 2{,}5$
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(2{,}5\;\left|\;0\right.\right)$
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$f(x)=-x-3$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gerade im Koordinatensystem
$\mathrm f(\mathrm x)=-\mathrm x-3$
Lies zunächst den y-Achsenabschnitt und die Steigung aus der Funktionsgleichung ab.
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm y\;\left(0\;\left|\;-3\right.\right)$
$\Rightarrow\;m_f=-1$
$\displaystyle -x - 3$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle + x$
$\displaystyle -3$ $=$ $\displaystyle x_0$
$\Rightarrow\;{\mathrm P}_\mathrm x\;\left(-3\;\left|\;0\right.\right)$
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$f\left(x\right)=\frac12x+1$

$f\left(x\right)=-\frac12x-2$

$f\left(x\right)=\frac13x-\frac12$

$f\left(x\right)=-\frac14x+\frac32$

$f\left(x\right)=\frac23x+2$

$f\left(x\right)=-\frac34x-1$

$f\left(x\right)=-3x+\frac5{10}$

$f\left(x\right)=\frac57x-\frac{12}4$

Zeichne die Geraden $\mathrm y=3\mathrm x-2$ und $\mathrm y=-\frac34\mathrm x+1$ in ein Koordinatensystem. Bestimme die Nullstellen und den Schnittpunkt der Geraden.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: lineare Funktionen

Zeichne die Graphen

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/4905_6fWpNpSnfx.xml

Bestimmung der Nullstellen

$\mathrm y=3\mathrm x-2$

Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen. Denn an der Stelle, an der y=0, schneidet die Gerade die x-Achse.

$\displaystyle 3x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N1}}$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}$
	↓	Die erste Gerade hat bei $\mathrm{x}_{\mathrm{N}}=\frac{2}{3}$ eine Nullstelle.

Gehe für die zweite Gerade genauso vor.

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$
	↓	Setze y=0 um die Nullstelle zu bestimmen.
$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -\frac{3}{4}x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :\left(-\frac{3}{4}\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{\frac{3}{4}}$
	↓	Du dividierst durch einen Bruch $\rightarrow$ Multipliziere mit dem Kehrwert
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{N2}}$	$=$	$\displaystyle \frac{4}{3}$
	↓	Die zweite Gerade hat bei $\mathrm x_\mathrm N=\frac43$ eine Nullstelle.

Bestimmung des Schnittpunkts

Setze die beiden Funktionsgleichungen gleich. Die Geraden schneiden sich dort, wo beide an der gleichen x-Stelle denselben y-Wert haben.

$\displaystyle 3\mathrm{x}-2$	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{4}\mathrm{x}+1$	$\displaystyle +\frac{3}{4}x\ +2$
$\displaystyle 3\mathrm{x}+\frac{3}{4}\mathrm{x}$	$=$	$\displaystyle 1+2$
$\displaystyle 3{,}75x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :3{,}75$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{3{,}75}$
$\displaystyle \mathrm{x}_{\mathrm{S}}$	$=$	$\displaystyle 0{,}8$
	↓	Setze $x_S$ in eine der beiden Funktionen ein.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\cdot0{,}8-2$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2{,}4-2$
$\displaystyle \mathrm{y}_{\mathrm{S}}$	$=$	$\displaystyle 0{,}4$

$\;\;\Rightarrow\;\;S\left(0{,}8\vert0{,}4\right)$

Der Schnittpunkt liegt bei $S\left(0{,}8\vert0{,}4\right)$ .

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6
Bestimme von folgenden Geraden die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
1. $y=-2x+3{,}5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-2x+3{,}5&|+2x\\ 2x&=&3{,}5&|:2\\x&=&1{,}75\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(1{,}75|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-2\cdot0+3{,}5$
  $y=3{,}5$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|3{,}5)$ .
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2. $y=5x-7$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&5x-7&|+7\\5x&=&7&|:5\\x&=&\frac 7 5 = 1{,}4 \end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(1{,}4|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=5\cdot0-7$
  $y=-7$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|-7)$ .
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3. $y=\frac32x+2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&\frac32x+2&|-2\\\frac 3 2x&=&-2&|\cdot \frac 2 3\\x&=&-\frac 43\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(-\frac{4}{3}|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=\frac32\cdot0+2$
  $y=2$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|2)$ .
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4. $y=-\frac25x+\frac52$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-\frac25x+\frac52&|+\frac 25 x\\\frac25x&=&\frac 52&|\cdot \frac 52\\x&=&\frac{25}{4}=6{,}25\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x(6{,}25|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-\frac25\cdot0+\frac52$
  $y=\frac 5 2 = 2{,}5$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0|2{,}5)$ .
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5. $y=2(x-\frac23)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Klammer auflösen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y=m \cdot x+t$ zu erhalten, multipliziere die Klammer aus.
  $y=2(x-\frac23)$
  $y=2x-\frac43$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&2x-\frac43&|+\frac 43\\2x&=&\frac 43&|:2\\x&=&\frac 23\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x( \frac23|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein und löse nach $x$ auf.
  $y=2\cdot0-\frac43$
  $y=-\frac 4 3$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0| -\frac43)$ .
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6. $y=-\frac43-\frac12x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
  Gleichung umstellen
  Um eine allgemeine Geradengleichung $y=m\cdot x+t$ zu erhalten, vertausche auf der rechten Seite beide Elemente.
  $y=-\frac43-\frac12x$
  $\phantom{y}=-\frac12x-\frac43$
  Schnittpunkt mit der x-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse.
  Setze dazu den Ausdruck für die Geradengleichung gleich 0 und löse nach $x$ auf.
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}0&=&-\frac43-\frac12x&|+\frac 12 x\\\frac 12 x &=& -\frac 43 &|\cdot 2\\x&=&-\frac 83 = -2\frac 23\end{array}$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die x-Achse bei $S_x( -\frac83|0)$ .
  Schnittpunkt mit der y-Achse
  Berechne den Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse.
  Setze dazu in den Ausdruck für die Geradengleichung den Wert $x=0$ ein.
  $y=-\frac12\cdot0-\frac43$
  $y=-\frac 4 3$
  $\;\;\Rightarrow\;\;$ Die Gerade schneidet die y-Achse bei $S_y(0| -\frac43)$ .
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Stelle die Funktionsgleichung für die Gerade durch die Punkte P(-25|30) und Q(55|-30) auf und berechne den Schnittpunkt der Gerade mit der x-Achse.

Forme die Gleichung so um, dass sie die Form $y=\mathrm{ax}+b$ hat.

$2x-y=6$

$x=\frac12(y+1)$

$\frac25y=2x-1$

$y=3(2x-1)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung umformen
$\displaystyle y$ $=$ $\displaystyle 3\left(2x-1\right)$
↓
Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle y$ $=$ $\displaystyle 6x-3$
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9
123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
Zwei Geraden $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ und $\mathrm g\left(\mathrm x\right)$ schneiden sich auf der x-Achse in x=4.
Bestimmen Sie mögliche Funktionsterme.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lineare Funktionen
Für diese Aufgabe gibt es keine eindeutige Lösung. Gesucht sind zwei verschiedenen lineare Funktionen, die beide durch den Punkt (4|0) laufen.
Ein sehr einfaches Beispiel wäre $f(x) = 0$ , also die x-Achse und $g(x) = x-4$ . $f(x)$ läuft offensichtlich durch (4|0). Für g(x) lässt sich das auch sehr einfach überprüfen: $g(4) = 4 - 4 = 0$ .
Andere mögliche Funktionen sind: $y= -x+4$ , $y= 2x-8$ (allgemein $y=ax-4a$ für beliebige a)
Überlege durch welchen Punkt beide Geraden gehen müssen.
Bestimme zwei verschiedene Funktionen, die durch diesen Punkt gehen.

Gegeben ist die lineare Funktion $\mathrm f\left(\mathrm x\right)=3-\frac{12}7\mathrm x$ .

Zeichne den Graphen und markiere den Funktionswert $\mathrm f\left(-1\right)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graph einer Funktion zeichnen
Zeichne den Graphen der Funktion und kennzeichne $f(-1)$ .
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Liegt der Punkt $\mathrm P\left(\sqrt7 \;| -1{,}54\right)$ auf dem Graphen von $\mathrm f\left(\mathrm x\right)$ ?

Ja der Punkt $P$ liegt auf dem Graphen von $f$ .
Nein der Punkt $P$ liegt nicht auf dem Graphen von $f$ .

Gegeben sind die Geraden $g:\;y=2x-3$ und $h:\;y=-0{,}5x+3$ .

Überprüfe, ob die Punkte $A(1|-1)$ , $B(0{,}5|1{,}5)$ , $C(-6|5)$ , $D(-102|55)$ und $E(45|87)$ auf einer der Geraden liegen.
- $A$ liegt auf einer der Geraden.
- $B$ liegt auf keiner der Geraden.
- $C$ liegt auf keiner der Geraden.
- $D$ liegt auf einer der Geraden.
- $E$ liegt auf einer der Geraden.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Überprüfung mit Skizze
Wähle jeweils einen beliebigen Punkt auf der Geraden, z. B. die y-Achsenabschnitte $(0|-3)$ und $(0|3)$ . Gehe von dort $1$ nach rechts und entsprechen der Steigungen $m_g=2$ nach oben und $m_h=-0{,}5$ nach unten. Verbinde jeweils die beiden Punkte zu einer Geraden.
Wenn du den Verlauf der Geraden betrachtest und beispielsweise die Lage des Punktes $A$ , so siehst du, dass dieser kaum auf der Geraden h, wahrscheinlich aber auf $g$ liegen wird. Ähnlich kannst du bei anderen Punkten entscheiden, ob sich eine rechnerische Überprüfung lohnt: Punkt $D(-102/55)$ kann z. B. nur auf $h$ liegen.
Rechnerische Überprüfung
$A(1|-1)$ in $g$ einsetzen:
Setze die Koordinaten der Punkte in die fragliche Gleichung ein. Also setze $y=-1$ und $x=1$ ein.
$-1=2\cdot1-3$
Das ist eine wahre Aussage.
⇒ $A$ liegt auf $g$ .
$B$ liegt auf keiner der Geraden. Das kann eindeutig der Skizze entnommen werden.
$C$ in $h$ einsetzen:
$5=-0{,}5\cdot(-6)+3$
⇒ $5=3+3$
Diese Aussage ist falsch, also liegt $C$ nicht auf $h.$
$D$ in $h$ einsetzen:
$55=-0{,}5\cdot\left(-102\right)+3$
⇒ $55=51+3$
Diese Aussage ist falsch, also liegt $D$ nicht auf $h$ .
$E$ in $g$ einsetzen:
$87=2\cdot45-3$
Diese Aussage ist richtig, also liegt $E$ auf $g$ .
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Ergänze die Koordinaten so, dass die Punkte auf h liegen: P(5 | ?) , Q(-3,5 | ?) , R(? | 12) , S(? | -7,5).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Koordinaten ergänzen
$h:\;y=-0{,}5x+3$ ; P(5|?)
Die gegebene Koordinate des Punktes (die x-Koordinate) wird in die Funktionsgleichung eingesetzt und daraus die fehlende y-Koordinate berechnet.
$y=-0{,}5\cdot5+3=-2{,}5+3=0{,}5$
⇒ P(5|0,5)
Q: $y=-0{,}5\cdot(-3{,}5)+3=1{,}75+3=4{,}75$ $\;\;\Rightarrow\;\;$ Q(-3,5|4,75)
R: $12=-0{,}5x+3\;\;\Rightarrow\;\;0{,}5x=-9\;\;\Rightarrow\;\;x=-18$ $\;\;\Rightarrow\;\;$ R(-18|12)
S: $-7{,}5=-0{,}5x+3\;\;\Rightarrow\;\;0{,}5x=10{,}5\;\;\Rightarrow\;\;x=21$ $\;\;\Rightarrow\;\;$ S(2 1|-7,5).
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Zeige, dass T(2,4|1,8) auf beiden Geraden liegt. Was bedeutet dies?

$T$ liegt auf beiden Geraden. Das hat nichts zu bedeuten.
$T$ liegt gar nicht auf beiden Geraden.
$T$ liegt auf beiden Geraden. Damit muss $T$ ein Schnittpunkt sein.

12
Wo ist der y-Achsenabschnitt? Klicke drauf!
13
Hier geht es um: Nullstellen im Koordinatensystem erkennen!
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
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  Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, muss man die x-Werte finden, für die f(x)=0 ist, das heißt, die Stellen, an denen sich die Funktion mit der x-Achse schneidet.
2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen
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  Wähle die Stellen aus, an denen sich die Funktion f mit der x-Achse schneidet!

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle \frac13x -\frac12$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +\frac12$
$\displaystyle \frac13x$	$=$	$\displaystyle \frac12$	$\displaystyle \cdot3$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle \frac32$

$\displaystyle -\frac14 x + \frac32$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -\frac32$
$\displaystyle -\frac14x$	$=$	$\displaystyle -\frac32$	$\displaystyle \cdot (-4)$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle 6$

$\displaystyle -\frac34x - 1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle -\frac34x$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \colon (-\frac34)$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle -\frac43$

$\displaystyle -3x+\frac{5}{10}$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle - \frac{5}{10}$
$\displaystyle -3x$	$=$	$\displaystyle -\frac12$	$\displaystyle \colon (-3)$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{6}$

$\displaystyle 30$	$=$	$\displaystyle \frac{75}{4}+t$	$\displaystyle -\frac{75}{4}$
	↓	Löse nach t auf.
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle 30-\frac{75}{4}$
$\displaystyle t$	$=$	$\displaystyle \frac{45}{4}$
	↓	Setze m und t in die allgemeine Geradengleichung ein.

$\displaystyle 2x-5$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + 5$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle \colon 2$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$

$\displaystyle -x - 3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle + x$
$\displaystyle -3$	$=$	$\displaystyle x_0$

$\displaystyle \frac12x+1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \frac12x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle -2$

$\displaystyle -\frac12 x -2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle -\frac12x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle \cdot (-2)$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle -4$

$\displaystyle \frac23x + 2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle \frac23x$	$=$	$\displaystyle -2$	$\displaystyle \colon\frac23$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle -3$

$\displaystyle \frac57x - 3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle \frac57 x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \colon \frac57$
$\displaystyle x_0$	$=$	$\displaystyle \frac{21}{5}$

$\displaystyle 2x-y$	$=$	$\displaystyle 6$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle -y$	$=$	$\displaystyle 6-2x$	$\displaystyle \cdot\left(-1\right)$
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2x-6$

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\left(y+1\right)$	$\displaystyle \cdot2$
	↓	Der Bruch auf der rechten Seite fällt weg da $\frac12\cdot2=1$ .
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle y+1$	$\displaystyle -1$
	↓	Linke und rechte Seite vertauschen.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 2x-1$

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 3\left(2x-1\right)$
	↓	Die Klammer ausmultiplizieren.
$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle 6x-3$

$\displaystyle 3-\frac{12}{7}\cdot \sqrt{7}$	$≈$	$\displaystyle 3-\frac{12}{7}\cdot2{,}65$
	↓	Multipliziere.
	$≈$	$\displaystyle 3 -4{,}543$
	↓	Subtrahiere.
	$≈$	$\displaystyle - 1{,}543$

$\displaystyle 1{,}8$	$=$	$\displaystyle 2\cdot2{,}4-3$
$\displaystyle 1{,}8$	$=$	$\displaystyle 4{,}8-3$
$\displaystyle 1{,}8$	$=$	$\displaystyle 1{,}8$

$\displaystyle 1{,}8$	$=$	$\displaystyle -0{,}5\cdot2{,}4+3$
$\displaystyle 1{,}8$	$=$	$\displaystyle -1{,}2+3$
$\displaystyle 1{,}8$	$=$	$\displaystyle 1{,}8$

Aufgaben zu linearen Funktionen, Nullstellen, Achsenschnittpunkten u.a.

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yyy-Achsenabschnitt bestimmen

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Steigung bestimmen

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Funktionsterm aufstellen

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Steigung bestimmen

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Funktionsterm aufstellen

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Zeichne die Graphen

Bestimmung der Nullstellen

Bestimmung des Schnittpunkts

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Klammer auflösen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Gleichung umstellen

Schnittpunkt mit der x-Achse

Schnittpunkt mit der y-Achse

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Ergebnis

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Überprüfung mit Skizze

Rechnerische Überprüfung

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Koordinaten ergänzen

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Beweis für T

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$y$ -Achsenabschnitt bestimmen

$y$ -Achsenabschnitt bestimmen