$4!=24$

$6!=720$

Mit Fakultät gerechnet erhalten wir jedes Wort doppelt, da hier $\boxed{\;A_1\;}\;\boxed{\;A_2\;}\;\boxed{\;R\;}\;\boxed{\;T\;}$ und $\boxed{\;A_2\;}\;\boxed{\;A_1\;}\;\boxed{\;R\;}\;\boxed{\;T\;}$ als verschiedene Wörter aufgefasst werden. Da sie aber nicht unterscheidbar sind darf es nur einmal gezählt werden. Da dies bei jedem Wort passiert muss das Ergebnis halbiert werden.

$\Rightarrow \frac{4!}{2}=12$ Möglichkeiten

Mit Fakultät gerechnet erhalten wir jedes Wort mehrfach, da hier zum Beispiel $\boxed{\;A_1\;}\;\boxed{\;A_2\;}\;\boxed{\;T\;}\;\boxed{\;T\;}\;\boxed{\;T\;}$ und $\boxed{\;A_2\;}\;\boxed{\;A_1\;}\;\boxed{\;T\;}\;\boxed{\;T\;}\;\boxed{\;T\;}$ als verschiedene Wörter aufgefasst werden. Da sie aber nicht unterscheidbar sind, darf es nur einmal gezählt werden. Da dies bei jedem Wort passiert, muss das Ergebnis angepasst werden.

Da bei jedem Wort die beiden A-Steine vertauscht werden können, benötigen wir deshalb einen Faktor $\frac{1}{2}$. Zudem können auch die T-Steine vertauscht werden. Dafür gibt es $3!=6$ Möglichkeiten, die drei Steine auf die drei Positionen zu verteilen. Also ist hierfür ein Faktor $\frac{1}{6}$ nötig.

$\Rightarrow 5!\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}=120\cdot \frac{1}{12}=10$ Möglichkeiten