Gemischte Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Aus einem Skat Blatt ( $32$ Karten) werden an drei Spieler je zehn Karten ausgegeben.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler die folgenden Karten hat:

Wir modellieren das Problem als Laplace-Experiment. Es gibt $(\begin{array}{c} 32 \\ 10 \end{array})$ Möglichkeiten, $10$ aus $32$ Karten auszuwählen, d.h. $| Ω | = (\begin{array}{c} 32 \\ 10 \end{array})$ . Außerdem wissen wir, dass es $4$ Buben gibt und $28$ restliche Karten, die keine Buben sind.

$3$ bestimmte Buben, aber nicht den vierten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
$ E : " 3 b e s t i m m t e B u b e n, a b e r n i c h t d e n v i e r t e n "$
Wähle die $3$ bestimmten Buben aus und $7$ der restlichen $28$ Karten.
Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse $| E | = (\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 28 \\ 7 \end{array})$ .
Für Laplace-Experimente gilt
$P (E)$ $=$ $\frac{| E |}{| Ω |}$
$=$ $\frac{(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 28 \\ 7 \end{array})}{(\begin{array}{c} 32 \\ 10 \end{array})}$
↓
Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.
$=$ $\frac{1 \cdot 1184040}{64512240}$
$=$ $\frac{21}{3596}$
$\approx$ $1,84 %$
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genau drei Buben?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment
$E : " G e n a u 3 B u b e n . "$
Wähle $3$ der $4$ Buben aus und $7$ der restlichen $28$ Karten.
Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse $| E | = (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 28 \\ 7 \end{array})$ .
Für Laplace-Experimente gilt $P (E) = \frac{| E |}{| Ω |}$
$P (" g e n a u 3 B u b e n ")$ $=$ $\frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 28 \\ 7 \end{array})}{(\begin{array}{c} 32 \\ 10 \end{array})}$
↓
Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.
$=$ $\frac{4 \cdot 1184040}{64512240}$
$=$ $\frac{66}{899}$
$\approx$ $7,34 %$
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höchstens drei Buben?

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$P (E)$	$=$	$\frac{\| E \|}{\| Ω \|}$
	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 28 \\ 7 \end{array})}{(\begin{array}{c} 32 \\ 10 \end{array})}$
	↓	Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.
	$=$	$\frac{1 \cdot 1184040}{64512240}$
	$=$	$\frac{21}{3596}$
	$\approx$	$1,84 %$

$P (" g e n a u 3 B u b e n ")$	$=$	$\frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 28 \\ 7 \end{array})}{(\begin{array}{c} 32 \\ 10 \end{array})}$
	↓	Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.
	$=$	$\frac{4 \cdot 1184040}{64512240}$
	$=$	$\frac{66}{899}$
	$\approx$	$7,34 %$

Der Einfachheit halber lösen wir diese Aufgabe mit Hilfe des Gegenereignisses.(Es gibt auch einen anderen Lösungsweg,der jedoch aufwändiger ist.)
	↓
$ P (" h \ddot{o} c h s t e n s 3 B u b e n ")$	$=$	$1 - P (" 4 B u b e n ") $
	$=$	$1 - \frac{(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} 28 \\ 6 \end{array})}{(\begin{array}{c} 32 \\ 10 \end{array})}$
	↓	Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.
	$=$	$1 - \frac{1 \cdot 376740}{64512240}$
	$=$	$1 - \frac{21}{3596}$
	$=$	$\frac{3575}{3596}$
	$\approx$	$99,41 %$

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