Gemischte Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

…

Aus einem Skat Blatt ( $32$ Karten) werden an drei Spieler je zehn Karten ausgegeben.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler die folgenden Karten hat:

Wir modellieren das Problem als Laplace-Experiment. Es gibt $\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}$ Möglichkeiten, $10$ aus $32$ Karten auszuwählen, d.h. $\left|\Omega\right|=\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}$ . Außerdem wissen wir, dass es $4$ Buben gibt und $28$ restliche Karten, die keine Buben sind.

$3$ bestimmte Buben, aber nicht den vierten?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

$\mathrm{E:"3\;bestimmte\;Buben,\;aber\;nicht\;den\;vierten"}$

Wähle die $3$ bestimmten Buben aus und $7$ der restlichen $28$ Karten.

Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse $\left|E\right|=\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}$ .

Für Laplace-Experimente gilt

$\displaystyle P\left(E\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{\left\|E\right\|}{\left\|\Omega\right\|}$
	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}}$
	↓	Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.
	$=$	$\displaystyle \frac{1\cdot 1184040}{64512240}$
	$=$	$\displaystyle \frac{21}{3596}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 1{,}84\%$

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genau drei Buben?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

$E:\mathrm{"Genau\ 3\ Buben."}$

Wähle $3$ der $4$ Buben aus und $7$ der restlichen $28$ Karten.

Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse $\left|E\right|=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}$ .

Für Laplace-Experimente gilt $P\left(E\right)=\frac{\left|E\right|}{\left|\Omega\right|}$

$\displaystyle \mathrm{P\left("genau\;3\;Buben"\right)}$	$=$	$\displaystyle \frac{\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}}$
	↓	Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.
	$=$	$\displaystyle \frac{4\cdot1184040}{64512240}$
	$=$	$\displaystyle \frac{66}{899}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 7{,}34\%$

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höchstens drei Buben?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Laplace-Experiment

$E: \mathrm{"höchstens\ drei\ Buben."}$

Wähle $4$ der $4$ Buben aus und $6$ der restlichen $28$ Karten.

Damit ist die Anzahl der Elementarereignisse $\left|E\right|=\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\6\end{pmatrix}$ .

Für Laplace-Experimente gilt $P\left(E\right)=\frac{\left|E\right|}{\left|\Omega\right|}$

Der Einfachheit halber lösen wir diese Aufgabe mit Hilfe des Gegenereignisses.(Es gibt auch einen anderen Lösungsweg,der jedoch aufwändiger ist.)
	↓
$\displaystyle \mathrm{P\left("höchstens\;3\;Buben"\right)}$	$=$	$\displaystyle 1−P("4Buben")$
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}28\\6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}}$
	↓	Rechne den Binomialkoeffizienten aus, multipliziere und kürze.
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{1\cdot376740}{64512240}$
	$=$	$\displaystyle 1-\frac{21}{3596}$
	$=$	$\displaystyle \frac{3575}{3596}$
	$\approx ≈$	$\displaystyle 99{,}41\%$

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