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Gemischte Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Wiederhole wichtige Grundlagen und vertiefe dein Wissen zur Wahrscheinlichkeit mit diesen gemischten √úbungsaufgaben!

  1. 1

    Zwei gleich gute Fu√üballvereine treten gegeneinander an. Sieg und Niederlage sind daher gleich wahrscheinlich. Ein Unentschieden f√ľhrt zu einer Verl√§ngerung, bei der eine Entscheidung h√∂chstwahrscheinlich eintritt. Ein Unentschieden tritt nur in 110\frac1{10} aller Spiele auf.

    1. Wie hei√üt ein Ergebnisraum ő©‚Ā°\operatorname{\Omega} ?

    2. Wie gro√ü ist die Wahrscheinlichkeit f√ľr ein Unentschieden?

    3. Wie gro√ü ist die Wahrscheinlichkeit daf√ľr, dass Verein A gewinnt?

    4. Wie gro√ü ist die Wahrscheinlichkeit daf√ľr, dass Verein A nicht verliert?

  2. 2

    Malte hat drei Freunde, Andreas, Benjamin und Clemens. Andreas besucht Malte doppelt so oft wie Benjamin. Clemens dagegen besucht ihn nur halb so oft wie Benjamin. Es kommen nie zwei seiner Freunde gleichzeitig. Malte h√∂rt es an der T√ľr klingeln.

    Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es

    1. Andreas

    2. Benjamin

    3. Clemens

    4. Andreas oder Benjamin?

  3. 3

    Im Jahr 200X waren in Deutschland ungef√§hr 0,1 % der Bev√∂lkerung mit HIV infiziert. Mit Hilfe eines HIV-Tests kann festgestellt werden, ob eine Infektion vorliegt. Wenn ein Test eine Erkrankung anzeigt, nennt man das Ergebnis ‚Äěpositiv‚Äú, unabh√§ngig davon, ob die Krankheit tats√§chlich vorhanden ist oder nicht. Bei einer mit HIV infizierten Person betr√§gt die Wahrscheinlichkeit 99,9 %, dass der Test positiv ausf√§llt.¬†Wenn eine Person nicht infiziert ist, dann betr√§gt die Wahrscheinlichkeit 99,7 %, dass der Test ‚Äěnegativ‚Äú ausf√§llt.

    1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit daf√ľr, dass das Ergebnis eines HIV-Tests ‚Äěpositiv‚Äú ausf√§llt.

    2. Der Arzt teilt ein positives Testergebnis mit. Wie gro√ü ist die Wahrscheinlichkeit daf√ľr, dass die Person tats√§chlich infiziert ist?

  4. 4

    Die Beliebtheit einer neuen Fernsehsendung wird untersucht. Folgende Ergebnisse der Umfrage werden ver√∂ffentlicht: 25 % der Zuschauer sind j√ľnger als 20 Jahre; von diesen haben 70 % eine positive Meinung zur Sendung. Von den restlichen Zuschauern haben immerhin 40 % eine positive Meinung.

    1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zuf√§llig ausgew√§hlter Zuschauer j√ľnger als 20 Jahre und hat eine positive Meinung zur Sendung?

    2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein zufällig ausgewählter Zuschauer keine positive Meinung zur Sendung?

  5. 5

    Susi und Max werfen gleichzeitig je einen Stein auf eine 10 m entfernte Pf√ľtze. Susis Treffsicherheit betr√§gt 30 %, die von Max 40%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft mindestens ein Stein sein Ziel?

  6. 6

    Ein Affe sitzt vor einem Laptop, dessen Tastatur nur die 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets enthält. Er schlägt wahllos 10 mal auf eine beliebige Taste. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tippt er das Wort MATHEMATIK?

  7. 7

    Es soll zufällig eine vierstellige Zahl aus den Ziffern 1, 2, 3 und 4 gebildet werden, bei der jede der Ziffern mehrmals vorkommen darf.

    1. Beschreibe den Ablauf eines geeigneten Zufallsexperiments.

    2. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich?

    3. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

      A: Die Zahl enthält mindestens eine 2. B: Die gebildete Zahl endet auf 2.

  8. 8

    Ein W√ľrfel wird dreimal nacheinander geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint

    1. keine Sechs ?

    2. genau eine Sechs ?

    3. höchstens eine Sechs ?

    4. mindestens eine Sechs ?

  9. 9

    In einer Urne sind eine schwarze und drei wei√üe Kugeln; in einer anderen zwei schwarze und zwei wei√üe Kugeln. Ein M√ľnzwurf entscheidet dar√ľber, aus welcher der beiden Urnen eine Kugel gezogen werden muss. Ist die gezogene Kugel schwarz, so erh√§lt man einen Gewinn.

    1. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?

    2. Nun erh√§lt man die Erlaubnis, die 88 Kugeln vor Spielbeginn so auf die zwei Urnen zu verteilen, dass in jeder 44 Kugeln sind ‚Äď f√ľr die Aufteilung der Farben gibt es dabei keinerlei Einschr√§nkungen. Anschlie√üend entscheidet wieder ein M√ľnzwurf dar√ľber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Gibt es unter diesen Bedingungen eine optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen, sodass die Gewinnwahrscheinlichkeit m√∂glichst gro√ü wird? Begr√ľnde.

    3. Nun erh√§lt man die Erlaubnis, die 88 Kugeln vor Spielbeginn nach Belieben auf die zwei Urnen zu verteilen. Anschlie√üend entscheidet wieder ein M√ľnzwurf dar√ľber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Wie sieht die optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen aus?

  10. 10

    Ein ‚ÄěTeekenner‚Äú behauptet, er k√∂nne die Teesorten First Flush (Begriff f√ľr Darjeeling- und Assam-Tees der ersten Pfl√ľckung nach dem Winter) und Second Flush (zweite Pfl√ľckung) am Geschmack unterscheiden. Er bekommt dazu einige Tassen vorgesetzt, wobei jede entweder First Flush oder Second Flush enth√§lt. √Ąu√üerlich sind die verschiedenen Sorten nicht zu unterscheiden

    1. Der ‚ÄěTeekenner‚Äú bekommt zwei Tassen vorgesetzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit benennt er den Inhalt der beiden Tassen richtig, wenn er r√§t? Zeichne zun√§chst ein Baumdiagramm (RR steht f√ľr "r√§t richtig", Rn=R‚ÄĺRn=\overline R steht f√ľr "r√§t falsch)

    2. Der Test wird nun so abge√§ndert, dass der ‚ÄěTeekenner‚Äú vier Tassen vorgesetzt bekommt. Er soll jeweils den Inhalt bestimmen. Erl√§utere, ob ihm deiner Meinung nach das Pr√§dikat ‚ÄěTeekenner‚Äú zu Recht zusteht, wenn er den Inhalt bei allen vier Tassen richtig zuordnet.

    3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tippt der ‚ÄěTeekenner‚Äú mindestens bei einer der vier Tassen daneben, falls er eine Treffsicherheit von 70¬†%70\ \% hat?

  11. 11

    Aus einem Skat Blatt (3232 Karten) werden an drei Spieler je zehn Karten ausgegeben.

    Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler die folgenden Karten hat:

    Wir modellieren das Problem als¬†Laplace-Experiment. Es gibt¬† (3210)\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix} M√∂glichkeiten, 1010 aus 3232 Karten auszuw√§hlen, d.h.¬† ‚ą£ő©‚ą£=(3210)\left|\Omega\right|=\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}. Au√üerdem wissen wir, dass es 44 Buben gibt und 2828 restliche Karten, die keine Buben sind.

    1. 33 bestimmte Buben, aber nicht den vierten?

    2. genau drei Buben?

    3. höchstens drei Buben?

  12. 12

    Thomas geht aufs Oktoberfest. Er m√∂chte sich dort am Schie√üstand einen Teddy schie√üen. N√ľchtern hat er eine Treffsicherheit von 60¬†%60\ \%, nach jeder Ma√ü Bier sinkt seine Treffsicherheit um ein Drittel.

    1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er mindestens einmal treffen,

      1. wenn er dreimal schie√üt, und zwar einmal n√ľchtern, einmal nach der 1. und einmal nach der 2. Ma√ü?

      2. wenn er sechsmal schie√üt, und zwar einmal n√ľchtern, zweimal nach der 1. Ma√ü und dreimal nach der 2. Ma√ü?

    2. Wie oft muss er mindestens schießen, um mit mindestens 99 %99\ \% iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu treffen,

      1. wenn er noch n√ľchtern ist?

      2. wenn er eine Maß getrunken hat?

      3. wenn er zwei Maß getrunken hat?

  13. 13

    In den Spielregeln f√ľr ein W√ľrfelspiel steht: ‚ÄěMan werfe beide W√ľrfel und bilde aus den beiden oben liegenden Augenzahlen die gr√∂√ütm√∂gliche Zahl.‚Äú (Beispiel: Bei den Augenzahlen ‚Äě1‚Äú und ‚Äě5‚Äú ist das die Zahl ‚Äě51‚Äú.)

    1. Gib einen Ergebnisraum f√ľr dieses Spiel an und bestimme seine M√§chtigkeit.

    2. Gib folgende Ereignisse in Mengenschreibweise an und bestimme jeweils ihre Wahrscheinlichkeit:

      1. Die gebildete Zahl besteht aus zwei gleichen Ziffern.

      2. Die Zahl enthält mindestens eine 4.

      3. Die Einerziffer ist halb so groß wie die Zehnerziffer.

      4. Die Quersumme der Zahl ist 6.

      5. Die Zahl ist größer als 10.

      6. Die Zahl ist eine Primzahl.


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