Gemischte Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

1

Zwei gleich gute Fußballvereine treten gegeneinander an. Sieg und Niederlage sind daher gleich wahrscheinlich. Ein Unentschieden führt zu einer Verlängerung, bei der eine Entscheidung höchstwahrscheinlich eintritt. Ein Unentschieden tritt nur in 110\frac1{10} aller Spiele auf.

  1. Wie heißt ein Ergebnisraum Ω\operatorname{\Omega} ?

  2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein Unentschieden?

  3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Verein A gewinnt?

  4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Verein A nicht verliert?

2

Aus einem Skat Blatt (32 Karten) werden an drei Spieler je zehn Karten ausgegeben.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler die folgenden Karten hat:

  1. 3 bestimmte Buben, aber nicht den vierten?

  2. genau drei Buben?

  3. höchstens drei Buben?

3

Ein „Teekenner“ behauptet, er könne die Teesorten First Flush (Begriff für Darjeeling- und Assam-Tees der ersten Pflückung nach dem Winter) und Second Flush (zweite Pflückung) am Geschmack unterscheiden. Er bekommt dazu einige Tassen vorgesetzt, wobei jede entweder First Flush oder Second Flush enthält. Äußerlich sind die verschiedenen Sorten nicht zu unterscheiden.

  1. Der „Teekenner“ bekommt zwei Tassen vorgesetzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit benennt er den Inhalt der beiden Tassen richtig, wenn er rät? Zeichne zunächst ein Baumdiagramm (RR steht für "rät richtig", Rn=RRn=\overline R steht für "rät falsch")

  2. Der Test wird nun so abgeändert, dass der „Teekenner“ vier Tassen vorgesetzt bekommt. Er soll jeweils den Inhalt bestimmen. Erläutere, ob ihm deiner Meinung nach das Prädikat „Teekenner“ zu Recht zusteht, wenn er den Inhalt bei allen vier Tassen richtig zuordnet.

  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tippt der „Teekenner“ mindestens bei einer der vier Tassen daneben, falls er eine Treffsicherheit von 70 % hat?

4

In den Spielregeln für ein Würfelspiel steht: „Man werfe beide Würfel und bilde aus den beiden oben liegenden Augenzahlen die größtmögliche Zahl.“ (Beispiel: Bei den Augenzahlen „1“ und „5“ ist das die Zahl „51“.)

  1. Gib einen Ergebnisraum für dieses Spiel an und bestimme seine Mächtigkeit.

  2. Gib folgende Ereignisse in Mengenschreibweise an und bestimme jeweils ihre Wahrscheinlichkeit:

a) Die gebildete Zahl besteht aus zwei gleichen Ziffern. b) Die Zahl enthält mindestens eine 4. c) Die Einerziffer ist halb so groß wie die Zehnerziffer d) Die Quersumme der Zahl ist 6. e) Die Zahl ist größer als 10. f) Die Zahl ist eine Primzahl.

5

Thomas geht aufs Oktoberfest. Er möchte sich dort am Schießstand einen Teddy schießen. Nüchtern hat er eine Treffsicherheit von 60%, nach jeder Maß Bier sinkt seine Treffsicherheit um ein Drittel.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er mindestens einmal treffen,

  1. wenn er dreimal schießt, und zwar einmal nüchtern, einmal nach der 1. und einmal nach der 2. Maß?

  2. wenn er sechsmal schießt, und zwar einmal nüchtern, zweimal nach der 1. Maß und dreimal nach der 2. Maß?

b) Wie oft muss er mindestens schießen, um mit mindestens 99%iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu treffen,

  1. wenn er noch nüchtern ist?

  2. wenn er eine Maß getrunken hat?

  3. wenn er zwei Maß getrunken hat?

6

Malte hat drei Freunde, Andreas, Benjamin und Clemens. Andreas besucht Malte doppelt so oft wie Benjamin. Clemens dagegen besucht ihn nur halb so oft wie Benjamin. Es kommen nie zwei seiner Freunde gleichzeitig. Malte hört es an der Tür klingeln.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es

  1. Andreas

  2. Benjamin

  3. Clemens

  4. Andreas oder Benjamin?

7

In einer Urne sind eine schwarze und drei weiße Kugeln; in einer anderen zwei schwarze und zwei weiße Kugeln. Ein Münzwurf entscheidet darüber, aus welcher der beiden Urnen eine Kugel gezogen werden muss. Ist die gezogene Kugel schwarz, so erhält man einen Gewinn.

  1. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?

  2. Nun erhält man die Erlaubnis, die 8 Kugeln vor Spielbeginn so auf die zwei Urnen zu verteilen, dass in jeder 4 Kugeln sind – für die Aufteilung der Farben gibt es dabei keinerlei Einschränkungen. Anschließend entscheidet wieder ein Münzwurf darüber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Gibt es unter diesen Bedingungen eine optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen, sodass die Gewinnwahrscheinlichkeit möglichst groß wird? Begründe.

  3. Nun erhält man die Erlaubnis, die 8 Kugeln vor Spielbeginn nach Belieben auf die zwei Urnen zu verteilen. Anschließend entscheidet wieder ein Münzwurf darüber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Wie sieht die optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen aus?

8

Im Jahr 200X waren in Deutschland ungefähr 0,1 % der Bevölkerung mit HIV infiziert. Mit Hilfe eines HIV-Tests kann festgestellt werden, ob eine Infektion vorliegt. Wenn ein Test eine Erkrankung anzeigt, nennt man das Ergebnis „positiv“, unabhängig davon, ob die Krankheit tatsächlich vorhanden ist oder nicht. Bei einer mit HIV infizierten Person beträgt die Wahrscheinlichkeit 99,9 %, dass der Test positiv ausfällt. Wenn eine Person nicht infiziert ist, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit 99,7 %, dass der Test „negativ“ ausfällt.

  1. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ergebnis eines HIV-Tests „positiv“ ausfällt.

  2. Der Arzt teilt ein positives Testergebnis mit. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person tatsächlich infiziert ist?

9

Die Beliebtheit einer neuen Fernsehsendung wird untersucht. Folgende Ergebnisse der Umfrage werden veröffentlicht: 25 % der Zuschauer sind jünger als 20 Jahre; von diesen haben 70 % eine positive Meinung zur Sendung. Von den restlichen Zuschauern haben immerhin 40 % eine positive Meinung.

  1. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Zuschauer jünger als 20 Jahre und hat eine positive Meinung zur Sendung?

  2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein zufällig ausgewählter Zuschauer keine positive Meinung zur Sendung?

10

Susi und Max werfen gleichzeitig je einen Stein auf eine 10 m entfernte Pfütze. Susis Treffsicherheit beträgt 30 %, die von Max 40%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft mindestens ein Stein sein Ziel?

11

Ein Affe sitzt vor einem Laptop, dessen Tastatur nur die 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets enthält. Er schlägt wahllos 10 mal auf eine beliebige Taste. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tippt er das Wort MATHEMATIK?

12

Es soll zufällig eine vierstellige Zahl aus den Ziffern 1, 2, 3 und 4 gebildet werden, bei der jede der Ziffern mehrmals vorkommen darf.

  1. Beschreibe den Ablauf eines geeigneten Zufallsexperiments.

  2. Wie viele verschiedene Ergebnisse sind möglich?

  3. Ermittle die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

    A: Die Zahl enthält mindestens eine 2. B: Die gebildete Zahl endet auf 2.

13

Ein Würfel wird dreimal nacheinander geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint

  1. keine Sechs ?

  2. genau eine Sechs ?

  3. höchstens eine Sechs ?

  4. mindestens eine Sechs ?

14

In einer Urne sind eine schwarze und drei weiße Kugeln; in einer anderen zwei schwarze und zwei weiße Kugeln. Ein Münzwurf entscheidet darüber, aus welcher der beiden Urnen eine Kugel gezogen werden muss. Ist die gezogene Kugel schwarz, so erhält man einen Gewinn.

  1. Wie groß ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?

  2. Nun erhält man die Erlaubnis, die 8 Kugeln vor Spielbeginn so auf die zwei Urnen zu verteilen, dass in jeder 4 Kugeln sind – für die Aufteilung der Farben gibt es dabei keinerlei Einschränkungen. Anschließend entscheidet wieder ein Münzwurf darüber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Gibt es unter diesen Bedingungen eine optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen, so dass die Gewinnwahrscheinlichkeit möglichst groß wird? Begründe.

  3. Nun erhält man die Erlaubnis, die 8 Kugeln vor Spielbeginn nach Belieben auf die zwei Urnen zu verteilen. Anschließend entscheidet wieder ein Münzwurf darüber, aus welcher Urne eine Kugel gezogen werden muss. Ist sie schwarz, so gewinnt man. Wie sieht die optimale Verteilung der Kugeln auf die Urnen aus?

15

Ein „Teekenner“ behauptet, er könne die Teesorten First Flush (Begriff für Darjeeling- und Assam-Tees der ersten Pflückung nach dem Winter) und Second Flush (zweite Pflückung) am Geschmack unterscheiden. Er bekommt dazu einige Tassen vorgesetzt, wobei jede entweder First Flush oder Second Flush enthält. Äußerlich sind die verschiedenen Sorten nicht zu unterscheiden

  1. Der „Teekenner“ bekommt zwei Tassen vorgesetzt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit benennt er den Inhalt der beiden Tassen richtig, wenn er rät? Zeichne zunächst ein Baumdiagramm (RR steht für "rät richtig", Rn=RRn=\overline R steht für "rät falsch)

  2. Der Test wird nun so abgeändert, dass der „Teekenner“ vier Tassen vorgesetzt bekommt. Er soll jeweils den Inhalt bestimmen. Erläutere, ob ihm deiner Meinung nach das Prädikat „Teekenner“ zu Recht zusteht, wenn er den Inhalt bei allen vier Tassen richtig zuordnet.

  3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tippt der „Teekenner“ mindestens bei einer der vier Tassen daneben, falls er eine Treffsicherheit von 70 % hat?

16

Aus einem Skat Blatt (32 Karten) werden an drei Spieler je zehn Karten ausgegeben.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler die folgenden Karten hat:

Wir modellieren das Problem als Laplace-Experiment. Es gibt  (3210)\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix} Möglichkeiten, 10 aus 32 Karten auszuwählen, d.h.  Ω=(3210)\left|\Omega\right|=\begin{pmatrix}32\\10\end{pmatrix}. Außerdem wissen wir, dass es 4 Buben gibt und 28 restliche Karten, die keine Buben sind.

  1. 3 bestimmte Buben, aber nicht den vierten?

  2. genau drei Buben?

  3. höchstens drei Buben?


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