Gemischte Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit

Thomas geht aufs Oktoberfest. Er möchte sich dort am Schießstand einen Teddy schießen. Nüchtern hat er eine Treffsicherheit von $60\ \%$ , nach jeder Maß Bier sinkt seine Treffsicherheit um ein Drittel.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er mindestens einmal treffen,

wenn er dreimal schießt, und zwar einmal nüchtern, einmal nach der 1. und einmal nach der 2. Maß?
wenn er sechsmal schießt, und zwar einmal nüchtern, zweimal nach der 1. Maß und dreimal nach der 2. Maß?

Unteraufgabe 1

Wahrscheinlichkeit für Treffer:

Nüchtern: $0{,}6$

Nach 1 Maß: $0{,}6-\left(\frac13\cdot0{,}6\right)=0{,}4$

Nach 2 Maß: $0{,}4-\left(\frac13\cdot0{,}4\right)=\frac4{15}$

Da er mindestens einmal treffen muss, kann man die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Gegenereignisses berechnen.

$\displaystyle \mathrm{P\left("mindestens\;1\;Treffer"\right)}$	$=$	$\displaystyle 1-\mathrm{P\left("kein\;Treffer"\right)}$
	$=$	$\displaystyle 1-\left[\left(1-0{,}6\right)\cdot \left(1-0{,}4\right)\cdot \left(1-\frac{4}{15}\right)\right]$
	$=$	$\displaystyle 1-\left[0{,}4\cdot 0{,}6\cdot \frac{11}{15}\right]$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}824$
	$=$	$\displaystyle 82{,}4\ \%$

Unteraufgabe 2:

Wahrscheinlichkeit für Treffer:

Nüchtern: $0{,}6$

Nach 1 Maß: $0{,}6-\left(\frac13\cdot0{,}6\right)=0{,}4$

Nach 2 Maß: $0{,}4-\left(\frac13\cdot0{,}4\right)=\frac4{15}$

Da er mindestens einmal treffen muss, kann man die Wahrscheinlichkeit mithilfe des Gegenereignisses berechnen.

$\displaystyle \mathrm{P\left("mindestens\;1\;Treffer"\right)}$	$=$	$\displaystyle \mathrm{1-P\left("kein\;Treffer"\right)}$
	$=$	$\displaystyle 1-\left[\left(1-0{,}6\right)\cdot \left(1-0{,}4\right)\cdot \left(1-0{,}4\right)\cdot \left(1-\frac{4}{15}\right)\cdot \left(1-\frac{4}{15}\right)\cdot \left(1-\frac{4}{15}\right)\right]$
	$=$	$\displaystyle 1-\left[0{,}4\cdot 0{,}6\cdot 0{,}6\cdot \frac{11}{15}\cdot \frac{11}{15}\cdot \frac{11}{15}\right]$
	$≈$	$\displaystyle 0{,}943$
	$=$	$\displaystyle 94{,}3\ \%$

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Wie oft muss er mindestens schießen, um mit mindestens $99\ \%$ iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal zu treffen,

wenn er noch nüchtern ist?
wenn er eine Maß getrunken hat?
wenn er zwei Maß getrunken hat?

Wir bestimmen die kleinste natürliche Zahl n, sodass Thomas nach n Schüssen mit mindestens $99\ \%$ iger Wahrscheinlichkeit trifft. Wie in Teilaufgabe a) verwenden wir dazu das Gegenereignis, d.h. wir berechnen diejenige kleinste natürliche Zahl n, sodass Thomas nach n Schüssen mit höchstens $1\ \%\ iger$ Wahrscheinlichkeit noch nicht getroffen hat.

Unteraufgabe 1

Thomas ist nüchtern, d.h.

$\mathrm{P\left("Thomas\;trifft"\right)=0{,}6}$

Stelle die Behauptung auf.

$\mathrm{P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;mind.\;einmal\;getroffen"\right)\geq0{,}99}$

Formuliere das Ereignis um.

$\mathrm{\Leftrightarrow\;P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;noch\;nicht\;getroffen"\right)\leq 0{,}01}$

Thomas schießt n-mal unabhängig hintereinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

$\mathrm{\Leftrightarrow P\left("Thomas\;trifft\;nicht"\right)^n\leq0{,}01}$

Setze den Wert ein (Gegenereignis!).
	↓
$\displaystyle \left(1-0{,}6\right)^n$	$≤$	$\displaystyle 0{,}01$
$\displaystyle \left(0{,}4\right)^n$	$≤$	$\displaystyle 0{,}01$
	↓	Löse nach n auf.
$\displaystyle \ln \left(0{,}4\right)^n$	$≤$	$\displaystyle \ln \left(0{,}01\right)$
	↓	Wende die Rechenregeln für die ln-Funktion an.
$\displaystyle n\cdot \ln \left(0{,}4\right)$	$≤$	$\displaystyle \ln \left(0{,}01\right)$
	↓	Da $\ln\left(0{,}4\right)<0$ ändert sich das Ungleichheitszeichen.
$\displaystyle n$	$≥$	$\displaystyle \frac{\ln \left(0{,}01\right)}{\ln \left(0{,}4\right)}$
$\displaystyle n$	$≈$	$\displaystyle 5{,}03$

Wähle die kleinste natürliche Zahl, die größer als $5{,}03$ ist.

$\Rightarrow n=6$

Thomas muss also mindestens 6-mal schießen.

Unteraufgabe 2:

Thomas hat 1 Maß getrunken,

d.h. $\mathrm{P\left("Thomas\;trifft"\right)=0{,}4}$

Stelle die Behauptung auf.

$\mathrm{P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;mind.\;einmal\;getroffen"\right)\geq0{,}99}$

Wir formulieren das Ereignis um.

$\mathrm{\Leftrightarrow\;P\left("Th.\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;noch\;nicht\;getr."\right)\leq0{,}01}$

Thomas schießt n-mal unabhängig hintereinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

$\mathrm{\Leftrightarrow P\left("Th.\;trifft\;nicht"\right)^n\leq0{,}01}$

Setze den Wert ein (Gegenereignis!).

$\displaystyle \left(1-0{,}4\right)^n$	$≤$	$\displaystyle 0{,}01$
	↓	Löse nach n auf.
$\displaystyle \left(0{,}6\right)^n$	$≤$	$\displaystyle 0{,}01$
$\displaystyle \ln \left(0{,}6\right)^n$	$≤$	$\displaystyle \ln \left(0{,}01\right)$
$\displaystyle n\cdot \ln \left(0{,}6\right)$	$≤$	$\displaystyle \ln \left(0{,}01\right)$
$\displaystyle n$	$≥$	$\displaystyle \frac{\ln \left(0{,}01\right)}{\ln \left(0{,}6\right)}$
$\displaystyle n$	$≈$	$\displaystyle 9{,}02$

Wähle die kleinste natürliche Zahl, die größer als $9{,}02$ ist.

$\Rightarrow n=10$

Thomas muss also mindestens 10-mal schießen.

Unteraufgabe 3

Thomas hat zwei Maß getrunken,

d.h. $\mathrm{P\left("Thomas\;trifft"\right)=\frac4{15}}$

$\mathrm{P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;mind.\;einmal\;getroffen"\right)\geq0{,}99}$

Formuliere das Ereignis um.

$\mathrm{\Leftrightarrow\;P\left("Thomas\;hat\;nach\;n\;Schüssen\;noch\;nicht\;getroffen"\right)\leq0{,}01}$

Thomas schießt n-mal unabhängig hintereinander mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

$\mathrm{\Leftrightarrow P\left("Thomas\;trifft\;nicht"\right)^n\leq0{,}01}$

Setze den Wert ein (Gegenereignis!).

$\displaystyle \left(1-\frac{4}{15}\right)^n$	$≤$	$\displaystyle 0{,}01$
$\displaystyle \left(\frac{11}{15}\right)^n$	$≤$	$\displaystyle 0{,}01$
	↓	Löse nach n auf.
$\displaystyle \ln \left(\frac{11}{15}\right)^n$	$≤$	$\displaystyle \ln \left(0{,}01\right)$
	↓	Wende die Rechenregeln für die ln-Funktion an.
$\displaystyle n\cdot \ln \left(\frac{11}{15}\right)$	$≤$	$\displaystyle \ln \left(0{,}01\right)$
	↓	Da $\ln\left(\frac{11}{15}\right)<0$ ändert sich das Ungleichheitszeichen.
$\displaystyle n$	$≥$	$\displaystyle \dfrac{\ln\left(0{,}01\right)}{\ln\left({\displaystyle\frac{11}{15}}\right)}$
$\displaystyle n$	$≈$	$\displaystyle 14{,}85$

Wähle die kleinste natürliche Zahl, die größer als $14{,}85$ ist.

$\Rightarrow n=15$

Thomas muss also mindestens 15-mal schießen.

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