Berechne den Ergebnisraum:

Definiere die in der Aufgabe benannten Ereignisse:

G:= "Man erhält ein Getränk"

E:= "Man erhält den Euro wieder zurück"

Es gibt vier verschiedene Möglichkeiten, dafür, was passieren kann:

• Der Automat gibt ein Getränk und den Euro wieder aus.

• Der Automat gibt kein Getränk, aber den Euro aus.

• Der Automat gibt ein Getränk, aber den Euro nicht aus.

• Der Automat gibt weder das Getränk noch den Euro aus.

In einem Ergebnisraum $\Omega$ dargestellt ergibt dies:

$\Omega=\left\{\begin{pmatrix}E&G\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}\overline{G}&E\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}G&\overline{E}\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}\overline{G}&\overline{E}\end{pmatrix}\right\}$

Alternative Lösung:

$\Omega=\left\{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix};\;\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\right\}$

Eine $1$ bzw. $0$ an erster Stelle bedeutet, dass der Verbraucher das Getränk erhält bzw. nicht erhält.

Eine $1$ bzw. $0$ an zweiter Stelle steht für den Betrag, den der Verbraucher zahlen muss.

$\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}$ Bedeutet also z.B., dass der Verbraucher ein Getränk erhält und der Automat den Euro wieder auswirft.

Schreibe die Wahrscheinlickeiten aus der Angabe auf:

$P(G)=\frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man ein Getränk erhält.

$P(G\cap E)=\frac{1}{3}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man das Getränk und auch wieder den Euro bekommt.

$P(\overline{G}\cap E)=\frac{1}{6}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man kein Getränk bekommt und den Euro zurückerhält.

Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit: $P(G\cap\overline E)$

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränk bekommt und dafür bezahlen muss, man das Geld also nicht wieder zurückbekommt.

Stelle die Vierfeldertafel auf:

Vervollständige die Vierfeldertafel:

Lese die gesuchte Wahrscheinlichkeit ab:

$P(G\cap \overline{E})=\frac{1}{6}$

Gib die gesuchte Wahrscheinlichkeit an:

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit: $P(\overline G\cap\overline E)$

Die Wahrscheinlichkeit, dass man kein Getränk bekommt und der Automat den Euro behält.

Betrachte die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 2 und lese den gesuchten Wert ab.

$P(\overline{G}\cap \overline{E})=\frac{1}{3}$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit: $P(G\cap E)$

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränkt bekommt und den Euro zurückerhält.

Dieses Ergebnis ist bereits in der Angabe enthalten (siehe Teilaufgabe 2):

$P(G\cap E)=\frac{1}{3}$

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit: $P\left[(G\cap \overline{E})\cup (\overline{G}\cap E)\right]$

Die Wahrscheinlichkeit, dass man ein Getränk erhält und dafür gezahlt hat oder kein Getränk erhält und man den Euro wieder bekommt.

Formuliere die Wahrscheinlichkeit um:

$P\left[(G\cap\overline{E})\cup(\overline{G}\cap E)\right]$$=P( G\cap\overline E)+ P( \overline G\cap E )$

Dies ist so möglich, weil die Mengen $( G\cap\overline E)$ und $( \overline G\cap E )$ disjunkt sind.

Betrachte die Vierfeldertafel aus Teilaufgabe 2 und lese die gesuchten Werte ab.

$P\left[(G\cap \overline{E})\cup (\overline{G}\cap E)\right]=P(G\cap \overline{E})+P(\overline{G}\cap E)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$