Berechnung des Durchhangs

In der Abbildung kann man erkennen, dass der tiefste Punkt des Seils bei $x=0$ liegt. Du musst also die Differenz $f(4) - f(0)$ berechnen. Aus Aufgabe 1 weißt du bereits:

• $f(4)\approx7{,}52$

• $f(0)=2$

Beachte hierbei, dass du auf zwei Dezimalen runden musst, wenn du eine Länge in Meter auf Zentimeter genau angeben sollst.

Länge des Durchhangs:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_d&=&f(4)-f(0)\\&\approx&7{,}52-2\\&\approx&5{,}52\end{array}$

Die Länge des Durchhangs beträgt also $5\ m$ und $52\ cm$.

Berechnung des Winkels

Um den Winkel zwischen dem Seil und dem Mast 2 auszurechnen, benötigst du zunächst die Tangente im Aufhängepunkt $F_2$. Daraufhin kannst du im Steigungsdreieck mithilfe von trigonometrischen Funktionen den Winkel berechnen (siehe Abbildung). Da wir nur das Steigungsdreieck betrachten genügt es die Steigung der Tangente (also den Wert der Ableitung in dem Aufhängepunkt) zu bestimmen. Die Ableitungsfunktion hast du bereits in Aufgabe 1c bestimmt:

$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$

Bestimmung der Tangentensteigung im Aufhängepunkt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}f'(4)&=&\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2} \cdot 4}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}\right)\\&\approx& 3{,}63 \end{array}$

Rechne aber am besten mit dem ungerundeten Ergebnis weiter!

Du siehst nun in der Abbildung, dass du mit dem Steigungsdreieck ein rechtwinkliges Dreieck hast. Von diesem kennst du bereits zwei Seiten, die Gegenkathete und die Ankathete des gesuchten Winkels. Mithilfe der Formel $tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{Ankathete}$ kannst du zunächst den Tangens der Winkels und dann über die Umkehrfunktion des Tangens den gesuchten Winkel berechnen.

Die Umkehrfunktion des Tangens kannst du bei deinem Taschenrechner mit der Taste $tan^{-1}$ aufrufen.

Achte hierbei auch darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß und nicht auf Bogenmaß eingestellt ist!

Im Folgenden werden wir den gesuchten Winkel mit $\alpha$ bezeichnen.

Die Formel für den Tangens:

$tan(\alpha)=\frac{1}{f'(4)}$

Berechnung des Winkels mithilfe der Umkehrfunktion des Tangens:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcllc} \alpha&=&\tan^{-1}(\frac{1}{f'(4)})&=&\tan^{-1}(\frac{1}{{\frac{1}{2}}\cdot(e^{\frac{1}{2} \cdot 4}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 4})}) \\&\approx& 15°\end{array}$

Das Seil schließt mit dem Mast im Aufhängepunkt 2 einen Winkel von ca. $15°$ ein.

Berechnung der Seillänge

Aus Aufgabe 1h hast du bereits die Formel $L_{0;b}=e^{\frac{1}{2}b}-e^{-\frac{1}{2}b}$. Außerdem siehst du, dass der Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist. Also kannst du statt der Länge zwischen den beiden Masten auch die Länge von einem Mast bis zum Tiefpunkt berechnen und diese dann verdoppeln:

Beachte, dass du wieder auf zwei Nachkommastellen runden musst.

Länge des Seils in Meter:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_{-4;4}&=&2\cdot L_{0;4}\\&=& 2 \cdot \left(e^{\frac{1}{2}\cdot 4}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}\right)\\&\approx& 14{,}51\end{array}$

Die Länge des Seils zwischen den beiden Masten beträgt $14\ m$ und $51\ cm$.

Quadratische Funktion erstellen

Wenn du dich noch an die Scheitelpunktform erinnerst, nimmst du bei einem angegebenen Scheitelpunkt am besten diese Form und setzt den Scheitel ein.

$q(x)=a(x-d)^2+e$

$q(x)=a(x-0)^2+2$

Du findest $a$ heraus, indem du den gegebenen Punkt berechnest, einsetzt und nach $a$ auflöst.

$f(4)=e^{\frac{1}{2}\cdot 4}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}=e^2+e^{-2}$

Also liegt der Punkt bei $(4|e^2+e^{-2})$.

$q(4)=a\cdot 4^2+2$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}e^2+e^{-2}&=&a\cdot 16+2\quad&|-2\\e^2+e^{-2}-2&=&a\cdot 16\quad&|:16\\\frac{e^2+e^{-2}-2}{16}&=&a\end{array}$

Setze alle Werte ein, damit du eine vollständige quadratische Funktion erhältst.

$q(x)=\frac{e^2+e^{-2}-2}{16}\cdot x^2+2$

Falls du dich nicht mehr an die Scheitelform erinnerst, könntest du auch die allgemeine quadratische Funktionsgleichung verwenden.

$q(x)=ax^2+bx+c$

Dann verwendest du die folgenden Informationen:

Die Funktion verläuft durch den Punkt $(4|f(4))$, also wie im ersten Lösungweg berechnet, durch $(4|e^2+e^{-2})$. Diese Information setzt du in die Funktionsgleichung ein:

$q(4)=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c=e^2+e^{-2}$

Außerdem weißt du, dass die Funktion durch den Scheitelpunkt $(0|2)$ läuft und setzt auch diese Info in $q$ ein:

$q(0)=a\cdot 0^2+b \cdot 0+c=2$

$c=2$

Das heißt, du kennst bereits eine der drei Unbekannten. Um die anderen beiden berechnen zu können, brauchst du noch eine weitere Gleichung. Dafür kannst du dir überlegen, welche besondere Eigenschaft die Ableitung hat.

Am Scheitel befindet sich eine waagrechte Tangente, also ist die erste Ableitung an dieser Stelle $0$. Leite also $q$ ab und setze für $x=0$ die Ableitung gleich $0$.

$q'(x)=2ax+b$

$q'(0)=2a\cdot 0+b$

$b=0$

Jetzt kannst du $b$ und $c$ in die erste Gleichung einsetzen und $a$ ausrechnen.

$a\cdot 4^2+0\cdot 4+2=e^2+e^{-2} |-2$

$a\cdot 16=e^2+e^{-2}-2 |:16$

$a=\frac{e^2+e^{-2}-2}{16}$

Schließlich kannst du alle Parameter in $q$ einsetzen:

$q(x)=\frac{e^2+e^{-2}-2}{16}\cdot x^2 + 2$

Den Abstand zwischen zwei Funktionen bestimmst du, indem du die beiden Funktionen ganz einfach voneinander abziehst. Anschließend bekommst du daraus eine neue Funktion. Diese Funktion kannst du ableiten und das Maximum berechnen, indem du die Ableitung Null setzt. (Hierbei musst du darauf achten, dass sich das Maximum in dem angegebenen Intervall $x\in ]0;4[$ liegt.) Wenn du dann noch die zweite Ableitung ausrechnest, hast du bewiesen, dass es sich bei dem Extrempunkt aus der ersten Ableitung auf jeden Fall um ein Maximum und nicht um ein Terrassenpunkt handelt.

Schritte:

• Funktionen voneinander abziehen. $f$ von $q$ abziehen, da in diesem Intervall $q(x)>f(x)$ gilt ($q(x)-f(x)$)

• Ableitung der neuen Funktion bilden und Null setzen

• Extrempunkt herausfinden (sollte im Intervall $]0;4[$ liegen)

• Zweite Ableitung bilden und Extrempunkt (Maximum) bestätigen