Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$ . Der Graph von $f$ wird mit $G_f$ bezeichnet.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$ -Achse und begründen Sie, dass $G_f$ oberhalb der $x$ -Achse verläuft. (2 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkt mit der y-Achse
Schnittpunkt mit der $y$ -Achse
Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse, indem du $x=0$ in die Funktion einsetzt.
$f(0)=e^{\frac{1}{2}\cdot 0}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 0}$
Überlege, welche Auswirkungen der Exponent $0$ hat.
$f(0)=1+1=2$
Der $y$ -Achsenabschnitt ist also $2$ .
Achte aber genau auf die Fragestellung! Gesucht ist der Schnittpunkt, diesen musst du noch mit seinen Koordinaten angeben.
$SP=(0|2)$
Begründung des Verlaufes oberhalb der $x$ -Achse
Die Exponentialfunktion verläuft immer oberhalb der $x$ -Achse. Dies gilt auch wenn man eine negative Zahl für $x$ einsetzt. So verlaufen auch $e^{\frac{1}{2}x}$ und $e^{-\frac{1}{2}x}$ oberhalb der $x%$ -Achse. Dies gilt folglich auch für die Summe $e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$ .
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Tipp: Insgesamt hast du für den Prüfungsteil B 180 Minuten Zeit. Da der Analysis Teil die Hälfte der Punkte gibt, kannst du auch ungefähr die Hälfte der Zeit für diesen Teil einplanen. Aufgabe 1 umfasst ungefähr $\frac{2}{3}$ der Punkte, also hast du ungefähr 60 Minuten Zeit für 26 Punkte, d.h. ungefähr 2 Minuten für einen Punkt. Mach dir keine Sorgen, lies vor allem genau und beachte genau, welche Informationen du benötigst und welche nicht.
Probiere es doch erst einmal selbst. Die Lösungen findest du dann Schritt für Schritt auf den nächsten Seiten.
Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_f$ sowie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und für $x \to \infty$ . (3 BE)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrieverhalten
Erinnere dich an das Vorgehen zur Bestimmung von Symmetrieverhalten. Setze für alle $x$ nun $\color{red}{-x}$ ein und überprüfe, ob eine der folgenden Gleichheiten gilt.
Achsensymmetrie (zur $y$ -Achse): $f({\color{red}-x})=f(x)$
Punktsymmetrie (zum Ursprung): $f({\color{red}-x})=-f(x)$
$f({\color{red}-x})=e^{\frac{1}{2}\cdot ({\color{red}-x})}+e^{-\frac{1}{2}\cdot({\color{red}-x})}$
$f({\color{red}-x})=e^{-\frac{1}{2}x}+e^{\frac{1}{2}x}$
Du musst nur noch die Summanden vertauschen…
$f({\color{red}-x})=e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$
… und schon bist du wieder bei der Ausgangsfunktion. Daraus folgt:
$f({\color{red}-x})=f(x)$
Verhalten minus unendlich
Beachte, dass du Unendlich nicht wirklich in die Funktion einsetzen darfst, da dies keine offizielle Schreibweise ist. Benutze einfach Anführungszeichen, damit bist du auf der sicheren Seite.
Was macht das minus Unendlich im Exponenten? Achte auf die Vorzeichen.
Verhalten plus unendlich
Was macht das Unendlich im Exponenten? Achte auf die Vorzeichen.
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Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung $f''$ von $f$ die Beziehung $f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)$ für $x\in \mathbb{R}$ gilt. Weisen Sie nach, dass $G_f$ linksgekrümmt ist. (4 BE)

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ableitung

Zweite Ableitung von $f$

Um die zweite Ableitung zu bestimmen, benötigst du zunächst die erste Ableitung. Beachte dazu die Ableitungsregeln.

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle e^{\frac{1}{2}x}\cdot\frac{1}{2}+e^{-\frac{1}{2}x}\cdot(-\frac{1}{2})$
	↓	Fasse so weit wie möglich zusammen.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot e^{\frac{1}{2}x}-\frac{1}{2}\cdot e^{-\frac{1}{2}x}$
	↓	Kannst du noch etwas ausklammern?
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$
	↓	Damit bist du beim Kontrollergebnis.

Leite die Ableitung noch einmal ab. Beachte wieder die Ableitungsregeln.

$\displaystyle f´´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}\cdot\frac{1}{2}-e^{-\frac{1}{2}x}\cdot(-\frac{1}{2})\right)$
	↓	Kannst du noch etwas ausklammern? Achte auf die Vorzeichen.
$\displaystyle f´´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right)$
$\displaystyle f´´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right)$
	↓	In der Klammer steht die Funktionsgleichung von $f(x)$ . Daraus folgt:
$\displaystyle f´´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot f(x)$
	↓	Linkskrümmung nachweisen. Damit eine Linkskrümmung vorliegt, muss die zweite Ableitung immer positiv sein.
$\displaystyle f´´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\cdot f(x)$
	↓	Du hast schon gezeigt, dass die Funktion $f(x)$ immer oberhalb der $x$ -Achse verläuft, also gilt immer:
$\displaystyle f\left(x\right)$	$>$	$\displaystyle 0$

Daraus folgt:

$f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)>0$

Und damit gilt dann auch:

$\Rightarrow$ $f$ ist linksgekrümmt

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Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von $G_f$ . (3 BE)

Berechnen Sie die Steigung der Tangente $g$ an $G_f$ im Punkt $P(2|f(2))$ auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt $P$ und die Gerade $g$ in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: $-4\leq x\leq4$ , $-1 \leq y \leq 9$ ). (3 BE)

Berechnen der Tangentensteigung
Die Steigung der Tangente ist per Definition gleich zur Ableitung in einem Punkt. Setze also $x=2$ in die erste Ableitung ein.
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}&f'(2)&=&\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}\cdot2}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\right)\\&&=& \frac{1}{2}\cdot\left(e^1-e^{-1}\right)\\&&\approx& 1{,}2\end{array}$
Die Steigung ist also $1{,}2$
Zeichnen des Punktes und der Tangente
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(2)&=& e^{\frac{1}{2}\cdot 2}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\\&=& e^1 + e^{-1}\\&\approx & 3{,}1\end{array}$
Die Koordinaten des Punktes sind also $P(2∣3{,}1)$ .
Du zeichnest den Punkt Punkt $P$ in ein Koordinatensystem und bestimmst mit Hilfe eines Steigungsdreiecks einen weiteren Punkt $Q$ . Diese beiden Punkte verbindest du zu der Geraden $g$ .
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Berechnen Sie $f(4)$ , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse $G_f$ im Bereich $-4 \leq x \leq 4$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für $x \in \mathbb{R}$ die Beziehung $\quad \frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2=1$ gilt. (3 BE)

Die als Kurvenlänge $L_{a;b}$ bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von $f$ zwischen den Punkten $(a|f(a))$ und $(b|f(b))$ mit $a<b$ lässt sich mithilfe der Formel $L_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x$ berechnen.

Rechnung: Setze ein und vereinfache.
	↓
$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}&& \frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2\end{array}$	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}\frac{1}{4}\cdot \left[e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}\right]^2-\left[\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)\right]^2\end{array}$
	↓	Beachte, dass du jetzt die binomischen Formeln anwenden musst!
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}\\\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[(\frac{1}{2})^2\cdot (e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x})^2\right]\end{array}$
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x}\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+(e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot\left((e^{\frac{1}{2}x})^2-2\cdot e^{\frac{1}{2}x}\cdot e^{-\frac{1}{2}x}+(e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right)\right]\end{array}$
	↓	Überlege jetzt, wie sich die Exponenten zusammen addieren bzw. multiplizieren. Die Potenzgesetze helfen dir dabei.
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}\frac{1}{4}\cdot\left[(e^{\frac{1}{2}x})^2+2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot \left((e^{\frac{1}{2}x})^2-2\cdot e^{\frac{1}{2}x} \cdot e^{-\frac{1}{2}x} + (e^{-\frac{1}{2}x} )^2\right)\right]\end{array}$
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}\frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0}+e^{-x}\right]-\left[\frac{1}{4}\cdot \left(e^{x}-2\cdot e^{0}+e^{-x} \right)\right]\end{array}$
	↓	Spätestens jetzt kannst du die $\frac{1}{4}$ aus der zweiten Klammer herausziehen und ganz ausklammern.
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}\frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0} + e^{-x} -\left(e^{x}-2\cdot e^{0} + e^{-x} \right)\right]\end{array}$
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}\frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot e^{0}+e^{-x}-e^{x}+2\cdot e^{0}-e^{-x} \right]\end{array}$
	↓	Spätestens jetzt kannst du wiederum die $e^0$ durch $1$ ersetzen. Vereinfache außerdem so weit wie möglich.
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}\frac{1}{4}\cdot\left[e^{x}+2\cdot 1 + e^{-x} -e^{x}+2\cdot 1 - e^{-x} \right]\end{array}$
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}\frac{1}{4}\cdot\left[2+2\right]\end{array}$
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}\frac{1}{4}\cdot 4\end{array}$
	$=$	$\def\arraystretch{1.25} \displaystyle \begin{array}{ll}1\end{array}$

Geschafft! :) Damit ist die Gleichung gezeigt.

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Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe $1g$ die Kurvenlänge $L_{0;b}$ des Graphen von $f$ zwischen den Punkten $(0|f(0))$ und $(b|f(b))$ mit $b>0$ . (4 BE)

Umformung der Beziehung aus $1g)$

$\begin {array}{rrllll}\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&-&[f'(x)]^2&=&1\quad &|+[f'(x)]^2\\\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&&&=&1+[f'(x)]^2\end{array}$

Jetzt kannst du anstatt der rechten Seite, die unter der Wurzel im Integral steht, auch die linke Seite benutzen, da diese äquivalent sind.

Bestimmung des Integrals

Erinnere dich, auf was du bei der Berechnung eines Integrals alles achten musst. In dem Text über der Aufgabenstellung steht $L_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x$ . In der Aufgabenstellung heißt es aber, du sollst $L_{0;b}$ ausrechnen. Die Grenzen des Integrals sind also nicht die gleichen.

$\displaystyle L_{a;b}$	$=$	$\displaystyle \int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x$
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle \int_0^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x$
	↓	Verändere jetzt die Wurzel mit der Beziehung aus $1g$ die du gerade ausgerechnet hast.
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle \int_0^b\sqrt{\frac{1}{4}\cdot[f(x)]^2}\text{d}x$
	↓	Schau genau hin! Die Wurzel und das Quadrat kürzen sich und $\frac{1}{4}$ kannst du ebenfalls aus der Wurzel ziehen.
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle \int_0^b\frac{1}{2}\cdot[f(x)]\text{d}x$
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle \int_0^b\frac{1}{2}\cdot(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x})\text{d}x$
	↓	Das $\frac{1}{2}$ kannst du als Vorfaktor aus dem Integral heraus ziehen.
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\int_0^b(e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x})\text{d}x$
	↓	Berechne das Integral. Erinnere dich, wie du die Exponentialfunktion aufleitest und wie du beim Integrieren "nachdifferenzierst".
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left[(2\cdot e^{\frac{1}{2}x}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}x})\right]_0^b$
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left[(2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot b}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot b})-(2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot0}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot0})\right]$
	↓	Beachte: $e^0=1$
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left[2\cdot e^{\frac{1}{2}\cdot b}-2\cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot b}\right]$
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\left[2\cdot(e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b})\right]$
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot2\cdot(e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b})$
$\displaystyle L_{0;b}$	$=$	$\displaystyle e^{\frac{1}{2}\cdot b}-e^{-\frac{1}{2}\cdot b}$

Und schon bist du beim richtigen Ergebnis. Super gemacht! :)

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2
Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die $8{,}0\ m$ voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph $G_f$ aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich $-4\leq x\leq4$ modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte $F_1$ und $F_2$ der Masten durch die Punkte $(-4|0)$ bzw. $(4|0)$ dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
1. Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Runden
  Berechnung des Durchhangs
  In der Abbildung kann man erkennen, dass der tiefste Punkt des Seils bei $x=0$ liegt. Du musst also die Differenz $f(4) - f(0)$ berechnen. Aus Aufgabe 1 weißt du bereits:
  $f(4)\approx7{,}52$
  $f(0)=2$
  Beachte hierbei, dass du auf zwei Dezimalen runden musst, wenn du eine Länge in Meter auf Zentimeter genau angeben sollst.
  Länge des Durchhangs:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_d&=&f(4)-f(0)\\&\approx&7{,}52-2\\&\approx&5{,}52\end{array}$
  Die Länge des Durchhangs beträgt also $5\ m$ und $52\ cm$ .
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2. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE)
  Der Graph von $f$ soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in $\mathbb{R}$ definierte quadratische Funktion $q$ betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt $(0|2)$ hat und durch den Punkt $(4|f(4))$ verläuft.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: trigonometrische Funktionen
  Berechnung des Winkels
  Um den Winkel zwischen dem Seil und dem Mast 2 auszurechnen, benötigst du zunächst die Tangente im Aufhängepunkt $F_2$ . Daraufhin kannst du im Steigungsdreieck mithilfe von trigonometrischen Funktionen den Winkel berechnen (siehe Abbildung). Da wir nur das Steigungsdreieck betrachten genügt es die Steigung der Tangente (also den Wert der Ableitung in dem Aufhängepunkt) zu bestimmen. Die Ableitungsfunktion hast du bereits in Aufgabe 1c bestimmt:
  $f'(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2}x}-e^{-\frac{1}{2}x}\right)$
  Bestimmung der Tangentensteigung im Aufhängepunkt:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}f'(4)&=&\frac{1}{2}\cdot\left(e^{\frac{1}{2} \cdot 4}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}\right)\\&\approx& 3{,}63 \end{array}$
  Rechne aber am besten mit dem ungerundeten Ergebnis weiter!
  Du siehst nun in der Abbildung, dass du mit dem Steigungsdreieck ein rechtwinkliges Dreieck hast. Von diesem kennst du bereits zwei Seiten, die Gegenkathete und die Ankathete des gesuchten Winkels. Mithilfe der Formel $tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{Ankathete}$ kannst du zunächst den Tangens der Winkels und dann über die Umkehrfunktion des Tangens den gesuchten Winkel berechnen.
  Die Umkehrfunktion des Tangens kannst du bei deinem Taschenrechner mit der Taste $tan^{-1}$ aufrufen.
  Achte hierbei auch darauf, dass dein Taschenrechner auf Gradmaß und nicht auf Bogenmaß eingestellt ist!
  Im Folgenden werden wir den gesuchten Winkel mit $\alpha$ bezeichnen.
  Die Formel für den Tangens:
  $tan(\alpha)=\frac{1}{f'(4)}$
  Berechnung des Winkels mithilfe der Umkehrfunktion des Tangens:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcllc} \alpha&=&\tan^{-1}(\frac{1}{f'(4)})&=&\tan^{-1}(\frac{1}{{\frac{1}{2}}\cdot(e^{\frac{1}{2} \cdot 4}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 4})}) \\&\approx& 15°\end{array}$
  Das Seil schließt mit dem Mast im Aufhängepunkt 2 einen Winkel von ca. $15°$ ein.
  Berechnung der Seillänge
  Aus Aufgabe 1h hast du bereits die Formel $L_{0;b}=e^{\frac{1}{2}b}-e^{-\frac{1}{2}b}$ . Außerdem siehst du, dass der Graph achsensymmetrisch zur $y$ -Achse ist. Also kannst du statt der Länge zwischen den beiden Masten auch die Länge von einem Mast bis zum Tiefpunkt berechnen und diese dann verdoppeln:
  Beachte, dass du wieder auf zwei Nachkommastellen runden musst.
  Länge des Seils in Meter:
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}L_{-4;4}&=&2\cdot L_{0;4}\\&=& 2 \cdot \left(e^{\frac{1}{2}\cdot 4}-e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}\right)\\&\approx& 14{,}51\end{array}$
  Die Länge des Seils zwischen den beiden Masten beträgt $14\ m$ und $51\ cm$ .
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3. Ermitteln Sie den Term $q(x)$ der Funktion $q$ , ohne dabei zu runden. (4 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Quadratische Funktionen
  Quadratische Funktion erstellen
  Wenn du dich noch an die Scheitelpunktform erinnerst, nimmst du bei einem angegebenen Scheitelpunkt am besten diese Form und setzt den Scheitel ein.
  $q(x)=a(x-d)^2+e$
  $q(x)=a(x-0)^2+2$
  Du findest $a$ heraus, indem du den gegebenen Punkt berechnest, einsetzt und nach $a$ auflöst.
  $f(4)=e^{\frac{1}{2}\cdot 4}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 4}=e^2+e^{-2}$
  Also liegt der Punkt bei $(4|e^2+e^{-2})$ .
  $q(4)=a\cdot 4^2+2$
  $\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrl}e^2+e^{-2}&=&a\cdot 16+2\quad&|-2\\e^2+e^{-2}-2&=&a\cdot 16\quad&|:16\\\frac{e^2+e^{-2}-2}{16}&=&a\end{array}$
  Setze alle Werte ein, damit du eine vollständige quadratische Funktion erhältst.
  $q(x)=\frac{e^2+e^{-2}-2}{16}\cdot x^2+2$
  Falls du dich nicht mehr an die Scheitelform erinnerst, könntest du auch die allgemeine quadratische Funktionsgleichung verwenden.
  $q(x)=ax^2+bx+c$
  Dann verwendest du die folgenden Informationen:
  Die Funktion verläuft durch den Punkt $(4|f(4))$ , also wie im ersten Lösungweg berechnet, durch $(4|e^2+e^{-2})$ . Diese Information setzt du in die Funktionsgleichung ein:
  $q(4)=a\cdot 4^2+b\cdot 4+c=e^2+e^{-2}$
  Außerdem weißt du, dass die Funktion durch den Scheitelpunkt $(0|2)$ läuft und setzt auch diese Info in $q$ ein:
  $q(0)=a\cdot 0^2+b \cdot 0+c=2$
  $c=2$
  Das heißt, du kennst bereits eine der drei Unbekannten. Um die anderen beiden berechnen zu können, brauchst du noch eine weitere Gleichung. Dafür kannst du dir überlegen, welche besondere Eigenschaft die Ableitung hat.
  Am Scheitel befindet sich eine waagrechte Tangente, also ist die erste Ableitung an dieser Stelle $0$ . Leite also $q$ ab und setze für $x=0$ die Ableitung gleich $0$ .
  $q'(x)=2ax+b$
  $q'(0)=2a\cdot 0+b$
  $b=0$
  Jetzt kannst du $b$ und $c$ in die erste Gleichung einsetzen und $a$ ausrechnen.
  $a\cdot 4^2+0\cdot 4+2=e^2+e^{-2} |-2$
  $a\cdot 16=e^2+e^{-2}-2 |:16$
  $a=\frac{e^2+e^{-2}-2}{16}$
  Schließlich kannst du alle Parameter in $q$ einsetzen:
  $q(x)=\frac{e^2+e^{-2}-2}{16}\cdot x^2 + 2$
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4. Für jedes $x\in ]0;4[$ wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte $(x|q(x))$ und $(x|f(x))$ der Graphen von $q$ bzw $f$ betrachtet, wobei in diesem Bereich $q(x) > f(x)$ gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen $G_f$ im Bereich $0<x<4$ annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann. (3 BE)
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrempunkte
  Den Abstand zwischen zwei Funktionen bestimmst du, indem du die beiden Funktionen ganz einfach voneinander abziehst. Anschließend bekommst du daraus eine neue Funktion. Diese Funktion kannst du ableiten und das Maximum berechnen, indem du die Ableitung Null setzt. (Hierbei musst du darauf achten, dass sich das Maximum in dem angegebenen Intervall $x\in ]0;4[$ liegt.) Wenn du dann noch die zweite Ableitung ausrechnest, hast du bewiesen, dass es sich bei dem Extrempunkt aus der ersten Ableitung auf jeden Fall um ein Maximum und nicht um ein Terrassenpunkt handelt.
  Schritte:
  Funktionen voneinander abziehen. $f$ von $q$ abziehen, da in diesem Intervall $q(x)>f(x)$ gilt ( $q(x)-f(x)$ )
  Ableitung der neuen Funktion bilden und Null setzen
  Extrempunkt herausfinden (sollte im Intervall $]0;4[$ liegen)
  Zweite Ableitung bilden und Extrempunkt (Maximum) bestätigen
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$\displaystyle e^{\frac{1}{2}x}$	$=$	$\displaystyle e^{-\frac{1}{2}x}$	$\displaystyle \ln\left(\right)$
$\displaystyle \frac{1}{2}x$	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}x$	$\displaystyle \cdot2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -x$

$\displaystyle f\left(4\right)$	$=$	$\displaystyle e^{\frac{1}{2}\cdot4}+e^{-\frac{1}{2}\cdot4}$
	$=$	$\displaystyle e^2+e^{-2}$
	$≈$	$\displaystyle 7{,}52$

Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Schnittpunkt mit der $y$ -Achse

Begründung des Verlaufes oberhalb der $x$ -Achse

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Verhalten minus unendlich

Verhalten plus unendlich

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Zweite Ableitung von $f$

Linkskrümmung nachweisen. Damit eine Linkskrümmung vorliegt, muss die zweite Ableitung immer positiv sein.

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Lage des Extrempunkts

Art des Extrempunkts

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Berechnen der Tangentensteigung

Zeichnen des Punktes und der Tangente

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(2)&=& e^{\frac{1}{2}\cdot 2}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\\&=& e^1 + e^{-1}\\&\approx & 3{,}1\end{array}$

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Berechnung von $f(4)$

Graph von $G_f$

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Umformung der Beziehung aus $1g)$

$\begin {array}{rrllll}\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&-&[f'(x)]^2&=&1\quad &|+[f'(x)]^2\\\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&&&=&1+[f'(x)]^2\end{array}$

Bestimmung des Integrals

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Berechnung des Durchhangs

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Berechnung des Winkels

Berechnung der Seillänge

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Quadratische Funktion erstellen

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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

Schnittpunkt mit der yyy-Achse

Begründung des Verlaufes oberhalb der xxx-Achse

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Verhalten minus unendlich

Verhalten plus unendlich

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Zweite Ableitung von fff

Linkskrümmung nachweisen. Damit eine Linkskrümmung vorliegt, muss die zweite Ableitung immer positiv sein.

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Lage des Extrempunkts

Art des Extrempunkts

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Berechnen der Tangentensteigung

Zeichnen des Punktes und der Tangente

f(2)=e12⋅2+e−12⋅2=e1+e−1≈3,1\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(2)&=& e^{\frac{1}{2}\cdot 2}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\\&=& e^1 + e^{-1}\\&\approx & 3{,}1\end{array}f(2)​==≈​e21​⋅2+e−21​⋅2e1+e−13,1​

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Berechnung von f(4)f(4)f(4)

Graph von GfG_fGf​

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Umformung der Beziehung aus 1g)1g)1g)

14⋅[f(x)]2−[f′(x)]2=1∣+[f′(x)]214⋅[f(x)]2=1+[f′(x)]2\begin {array}{rrllll}\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&-&[f'(x)]^2&=&1\quad &|+[f'(x)]^2\\\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&&&=&1+[f'(x)]^2\end{array}41​⋅[f(x)]241​⋅[f(x)]2​−​[f′(x)]2​==​11+[f′(x)]2​∣+[f′(x)]2

Bestimmung des Integrals

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Berechnung des Durchhangs

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Berechnung des Winkels

Berechnung der Seillänge

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Quadratische Funktion erstellen

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Schnittpunkt mit der $y$ -Achse

Begründung des Verlaufes oberhalb der $x$ -Achse

Zweite Ableitung von $f$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} f(2)&=& e^{\frac{1}{2}\cdot 2}+e^{-\frac{1}{2}\cdot 2}\\&=& e^1 + e^{-1}\\&\approx & 3{,}1\end{array}$

Berechnung von $f(4)$

Graph von $G_f$

Umformung der Beziehung aus $1g)$

$\begin {array}{rrllll}\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&-&[f'(x)]^2&=&1\quad &|+[f'(x)]^2\\\frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2&&&=&1+[f'(x)]^2\end{array}$