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Analysis, Teil B, Aufgabengruppe 1

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

  1. 1

    Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion f:x  e12x+e12xf: x \mapsto \; e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

    1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von GfG_f mit der yy-Achse und begründen Sie, dass GfG_f oberhalb der xx-Achse verläuft. (2 BE)

    2. Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von GfG_f sowie das Verhalten von ff für xx \to -\infty und für xx \to \infty. (3 BE)

    3. Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung ff'' von ff die Beziehung f(x)=14f(x)f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x) für xRx\in \mathbb{R} gilt. Weisen Sie nach, dass GfG_f linksgekrümmt ist. (4 BE)

    4. Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von GfG_f. (3 BE)

    5. Berechnen Sie die Steigung der Tangente gg an GfG_f im Punkt P(2f(2))P(2|f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt PP und die Gerade gg in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: 4x4-4\leq x\leq4, 1y9-1 \leq y \leq 9). (3 BE)

    6. Berechnen Sie f(4)f(4), im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse GfG_f im Bereich 4x4-4 \leq x \leq 4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

    7. Zeigen Sie durch Rechnung, dass für xRx \in \mathbb{R} die Beziehung 14[f(x)]2[f(x)]2=1\quad \frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2=1 gilt. (3 BE)

      Die als Kurvenlänge La;bL_{a;b} bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von ff zwischen den Punkten (af(a))(a|f(a)) und (bf(b))(b|f(b)) mit a<ba<b lässt sich mithilfe der Formel La;b=ab1+[f(x)]2dxL_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x berechnen.

    8. Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g1g die Kurvenlänge L0;bL_{0;b} des Graphen von ff zwischen den Punkten (0f(0))(0|f(0)) und (bf(b))(b|f(b)) mit b>0b>0. (4 BE)

  2. 2

    Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,0 m8{,}0\ m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph GfG_f aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich 4x4-4\leq x\leq4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1F_1 und F2F_2 der Masten durch die Punkte (40)(-4|0) bzw. (40)(4|0) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

    Abbildung zu Aufg.2 - Abitur 2016, Teil B, Aufgabengruppe 1
    1. Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau. (2 BE)

    2. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau. (5 BE)

      Der Graph von ff soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in R\mathbb{R} definierte quadratische Funktion qq betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt (02)(0|2) hat und durch den Punkt (4f(4))(4|f(4)) verläuft.

    3. Ermitteln Sie den Term q(x)q(x) der Funktion qq, ohne dabei zu runden. (4 BE)

    4. Für jedes x]0;4[x\in ]0;4[ wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte (xq(x))(x|q(x)) und (xf(x))(x|f(x)) der Graphen von qq bzw ff betrachtet, wobei in diesem Bereich q(x)>f(x)q(x) > f(x) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen GfG_f im Bereich 0<x<40<x<4 annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann. (3 BE)


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