Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $G_f$ mit der $y$-Achse und begründen Sie, dass $G_f$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. (2 BE)

Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von $G_f$ sowie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und für $x \to \infty$. (3 BE)

Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung $f''$ von $f$ die Beziehung $f''(x)=\frac{1}{4}\cdot f(x)$ für $x\in \mathbb{R}$ gilt. Weisen Sie nach, dass $G_f$ linksgekrümmt ist. (4 BE)

Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von $G_f$. (3 BE)

Berechnen Sie die Steigung der Tangente $g$ an $G_f$ im Punkt $P(2|f(2))$ auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt $P$ und die Gerade $g$ in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende: $-4\leq x\leq4$, $-1 \leq y \leq 9$). (3 BE)

Berechnen Sie $f(4)$, im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse $G_f$ im Bereich $-4 \leq x \leq 4$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein. (4 BE)

Zeigen Sie durch Rechnung, dass für $x \in \mathbb{R}$ die Beziehung $\quad \frac{1}{4}\cdot [f(x)]^2-[f'(x)]^2=1$ gilt. (3 BE)

Die als Kurvenlänge $L_{a;b}$ bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von $f$ zwischen den Punkten $(a|f(a))$ und $(b|f(b))$ mit $a<b$ lässt sich mithilfe der Formel $L_{a;b}=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x$ berechnen.

Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe $1g$ die Kurvenlänge $L_{0;b}$ des Graphen von $f$ zwischen den Punkten $(0|f(0))$ und $(b|f(b))$ mit $b>0$. (4 BE)