Analysis I - lernen mit Serlo!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

$\displaystyle \left(\ln\left(x\right)-1\right)\cdot\left(e^x-2\right)\cdot\left(\frac{1}{x}-3\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Gleichung wird dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Setze zunächst den ersten Faktor gleich 0.
$\displaystyle \ln\left(x\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle \ln\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Kehre den Logarithmus um.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle e^1$
	↓	Damit erhältst du die erste Nullstelle $x_{1}$ :
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle e$
	↓	Um nach weiteren Nullstellen zu suchen, setze nun den zweiten Faktor Null.
$\displaystyle e^x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln\left(2\right)$
	↓	Damit erhältst du die weitere Nullstelle $x_{2}$ :
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \ln\left(2\right)$
	↓	Setze dann noch den letzten Faktor gleich 0.
$\displaystyle \frac{1}{x}-3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle \frac{1}{x}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot x\ :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$
	↓	Damit hast du die dritte Nullstelle $x_{3}$ erhalten:
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$

Sind $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ die Lösungen?

Zuletzt musst du noch überprüfen, ob $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ alle in der Definitionsmenge der Gleichung enthalten sind.

Dazu muss du dir die Definitionsmenge der Gleichung überlegen:

\displaystyle \mathbb D =\mathbb R^+

Alle drei Lösungen sind in der Definitionsmenge $\mathbb{R}^+$

Die angegebene Gleichung hat die Lösungen

\displaystyle x_1=e

\displaystyle x_2=\ln\left(2\right)

\displaystyle x_3=\frac13

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