Analysis I - lernen mit Serlo!

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

$(\ln (x) - 1) \cdot (e^{x} - 2) \cdot (\frac{1}{x} - 3)$	$=$	$0$
	↓	Die Gleichung wird dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Setze zunächst den ersten Faktor gleich 0.
$\ln (x) - 1$	$=$	$0$	$+ 1$
$\ln (x)$	$=$	$1$
	↓	Kehre den Logarithmus um.
$x$	$=$	$e^{1}$
	↓	Damit erhältst du die erste Nullstelle $x_{1}$ :
$x_{1}$	$=$	$e$
	↓	Um nach weiteren Nullstellen zu suchen, setze nun den zweiten Faktor Null.
$e^{x} - 2$	$=$	$0$	$+ 2$
$e^{x}$	$=$	$2$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$x$	$=$	$\ln (2)$
	↓	Damit erhältst du die weitere Nullstelle $x_{2}$ :
$x_{2}$	$=$	$\ln (2)$
	↓	Setze dann noch den letzten Faktor gleich 0.
$\frac{1}{x} - 3$	$=$	$0$	$+ 3$
$\frac{1}{x}$	$=$	$3$	$\cdot x : 3$
$x$	$=$	$\frac{1}{3}$
	↓	Damit hast du die dritte Nullstelle $x_{3}$ erhalten:
$x_{3}$	$=$	$\frac{1}{3}$

Sind $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ die Lösungen?

Zuletzt musst du noch überprüfen, ob $x_{1}$ , $x_{2}$ und $x_{3}$ alle in der Definitionsmenge der Gleichung enthalten sind.

Dazu muss du dir die Definitionsmenge der Gleichung überlegen:

𝔻 = ℝ^{+}

Alle drei Lösungen sind in der Definitionsmenge $ℝ^{+}$

Die angegebene Gleichung hat die Lösungen

x_{1} = e

x_{2} = \ln (2)

x_{3} = \frac{1}{3}