Analysis I

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Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

Gegeben ist die Funktion $g:x\mapsto\sqrt{3x+9}$ mit maximaler Definitionsmenge D.

Bestimmen Sie $D$ und geben Sie die Nullstelle von $g$ an.

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von $g$ im Punkt $P(0|3)$ .

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Geben Sie jeweils den Term einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion an, die die angegebene Wertemenge $\mathbb{W}$ hat.
1. $\mathbb{W}=\lbrack2;+\infty\lbrack$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen aufstellen
  $\mathbb{W}=\lbrack2;+\infty\lbrack$
  Für diese Aufgabe gibt es keine eindeutig bestimmte Lösung, sondern etliche mögliche Lösungen. Hilfreich ist die Kenntnis über die Bedeutung der Wertemenge und die Eigenschaften der verschiedenen Typen von Funktionen.
  Hier ist eine Funktion gesucht, für die alle Werte größer oder gleich 2 als y-Werte herauskommen.
  Dies erfüllt zum Beispiel eine nach oben geöffnete verschobene Parabel.
  $f\left(x\right)=x^2+2$
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2. $\mathbb{W}=\lbrack-2;+2\rbrack$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionen aufstellen
  $\mathbb{W}=\lbrack-2;+2\rbrack$
  Die Sinus- oder Kosinusfunktionen besitzen zum Beispiel solche Wertemengen.
  $f\left(x\right)=2\sin \left(x\right)$
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.

Hier fehtl noch eine Lösung. Füge sie gern selbst hinzu. Mehr Informationen dazu findest du auf der Startseite für Autor*innen.

Teil 2

Teilaufgabe a)

Wir untersuchen die Symmetrie des Graphen auf Punktsymmetrie, indem wir für $x$ , $-x$ einsetzen.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot e^{-0{,}5x^2}$
$\displaystyle f\left(-x\right)$	$=$	$\displaystyle 2(-x)\cdot e^{-0{,}5(-x)^2}$
	↓	Beim Quadrieren bleibt der Term immer Positiv.
	$=$	$\displaystyle 2(-x)\cdot e^{-0{,}5x^2}$
	$=$	$\displaystyle -2x\cdot e^{-0{,}5x^2}$
	$=$	$\displaystyle -f\left(x\right)$

Außerdem bestimmen wir den Grenzwert gegen $+\infty$ :

$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\;2x\cdot e^{-0{,}5x^2}$
	↓	Forme die Potenz um.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{2x}{e^{0{,}5x^2}}$
	↓	Zähler und Nenner gehen jeweils gegen $+\infty$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{\overbrace{\;2x\;}^{+\infty}}{\underbrace{e^{0{,}5x^2}}_{+\infty}}$
	↓	Wegen der e-Funktion wächst der Nenner jedoch viel schneller und somit geht die Funktion insgesamt gegen null.
	$=$	$\displaystyle 0$

Teilaufgabe b)

Die Extrema der Funktion werden durch das Bilden und Nullsetzen der 1. Ableitung bestimmt.

$\displaystyle f'\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(2x\cdot e^{-0{,}5x^2}\right)'$
	↓	Wende dafür die Produktregel an. Achte dabei darauf, bei der e-Funktion die Kettenregel anzuwenden.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-0{,}5x^2}+2x\cdot e^{-0{,}5x^2}\cdot(-x)$
	↓	Faktorisiere, um auf das Zwischenergebnis zu kommen.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-0{,}5x^2}\cdot(1-x^2)$
	↓	Setze die Ableitungsfunktion Null um die Extrema zu berechnen.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-0{,}5x^2}\cdot(1-x^2)$
	↓	Da die e-Funktion keine Nullstellen hat, muss nur der zweite Faktor null werden.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 1-x^2$	$\displaystyle +x^2$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle x_{1/2}$	$=$	$\displaystyle \pm 1$

Setze in $f(x)$ ein, um die dazugehörigen Funktionswerte zu erhalten: $f(1)=2\cdot e^{-0{,}5}=\frac{2}{\sqrt{e}}$

Nach Aufgabenstellung ist dies der Punkt des Hochpunkts: $H(1|\frac{2}{\sqrt{e}})$

Auf dieselbe Weise erhalten wir: $T\left(-1\vert-\frac2{\sqrt e}\right)$

Teilaufgabe c)

Änderungsrate

Für die mittlere Änderungsrate musst du die Steigung zwischen den beiden Punkten der Intervalle berechnen:

$m_s$ von $f$ im Intervall $[-0{,}5;0{,}5]$

$\displaystyle m_s$	$=$	$\displaystyle \frac{f\left(0{,}5\right)-f(-0{,}5)}{0{,}5-(-0{,}5)}$
	↓	Setze die Werte in die Funktion ein und fasse zusammen.
	$≈$	$\displaystyle 1{,}76$

Um die lokale Änderungsrate an der Stelle $x_0=0$ zu berechnen, setze $0$ in die Ableitung $f'$ ein:

$\displaystyle f'\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot e^{-0{,}5\cdot0^2}\cdot(1-0^2)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2$
	$=$	$\displaystyle m_T$

Berechne den prozentualen Anteil:

\displaystyle \frac{m_S}{m_T}=\frac{1{,}765}2=0{,}882\;\;\widehat{=\;}\;88{,}2\%

Daher ist die prozentuale Abweichung $100\%-88{,}2\%=11{,}8\%$ .

Teilaufgabe d)

Wir überprüfen die Integralfunktion:

\displaystyle \frac{m_S}{m_T}=\frac{1{,}765}2=0{,}882\;\;\widehat{=\;}\;88{,}2\%

\displaystyle \frac{m_S}{m_T}=\frac{1{,}765}2=0{,}882\;\;\widehat{=\;}\;88{,}2\%

Das Integral beschreibt die Fläche zwischen der x-Achse und einem Graphen. Du müsstest das bestimmte Integral im Intervall $[0;u]$ berechnen und hierfür die Stammfunktion von $f(x)$ herausfinden. Da jedoch in der Aufgabenstellung nur verlangt ist, dass man zeigt, ob $A(u)$ diese Fläche beschreibt, ist es ausreichend nachzuweisen, ob die angegebene Funktion $A(u)$ tatsächlich die Stammfunktion $F(u)$ von der Funktion $f(u)$ ist.

Leite die Funktion $A(u)$ ab.

$\displaystyle A(u)'$	$=$	$\displaystyle \left(2-2e^{-0{,}5\cdot u^2}\right)'$
	↓	Wende die Kettenregel an
	$=$	$\displaystyle -2e^{-0{,}5\cdot u^2}\cdot(-u)$
	$=$	$\displaystyle 2u\cdot e^{-0{,}5\cdot u^2}$
	$=$	$\displaystyle f(u)$

Bestimmte den Grenzwert gegen $+\infty$ .

$\displaystyle \displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty}\;A(u)$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-2\cdot e^{-0{,}5u^2}$
	↓	Forme die Potenz um.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-\frac{2}{e^{0{,}5u^2}}$
	↓	Der Bruch geht gegen $0$ .
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\lim_{u\rightarrow\infty}\;2-\frac{2}{\underbrace{e^{0{,}5u^2}}_{+\infty}}$
	↓	Somit geht die Funktion gegen 2.
	$=$	$\displaystyle 2$

Die Fläche unterhalb des Graphen nimmt immer zu, wird jedoch nie größer oder gleich $2\;\text{FE}$ .

Teilaufgabe e)

Gefragt ist nach der Fläche zwischen den beiden Graphen. Zunächst benötigt man die Grenzen der Integration, welche durch die Schnittpunkte der Funktionen gegeben sind.

\displaystyle \frac{m_S}{m_T}=\frac{1{,}765}2=0{,}882\;\;\widehat{=\;}\;88{,}2\%

\displaystyle \frac{m_S}{m_T}=\frac{1{,}765}2=0{,}882\;\;\widehat{=\;}\;88{,}2\%

Berechne die Schnittpunkte der Funktionen:

$\displaystyle \dfrac2{e^2}\cdot x$	$=$	$\displaystyle 2x\cdot e^{-0{,}5x^2}$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle \dfrac1{e^2}\cdot x$	$=$	$\displaystyle x\cdot e^{-0{,}5x^2}$	$\displaystyle -\dfrac x{e^2}$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x\cdot e^{-0{,}5x^2}-\dfrac x{e^2}$
	↓	Faktorisiere die Gleichung.
	$=$	$\displaystyle x\cdot\left(e^{-0{,}5x^2}-\dfrac1{e^2}\right)$
	↓	Der erste Faktor wird für $x=0$ null.
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$

Der zweite Faktor wird ebenfalls null gesetzt, um eine weitere Lösung zu finden:

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \dfrac1{e^{0{,}5x^2}}-\dfrac1{e^2}$
	↓	Dafür muss nur die Potenz des ersten Zählers $2$ werden, da $\dfrac1{e^2}-\dfrac1{e^2}=0$ .
$\displaystyle \textstyle0{,}5x^2$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :0{,}5$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 4$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\displaystyle \textstyle x_{2{,}3}$	$=$	$\displaystyle \pm2$

Zeichne die Gerade h.

Gesucht ist noch die Fläche $B$ . Dafür kannst du die Fläche, die die Gerade $h$ im Intervall $[0{,}2]$ mit der $x$ -Achse einschließt (die in der Zeichnung oben markierte Fläche) von der Fläche abziehen, die die Funktion $f$ im Intervall $[0{,}2]$ mit der $x$ -Achse einschließt ( $A(u)$ aus Teilaufgabe (d)).

\displaystyle \frac{m_S}{m_T}=\frac{1{,}765}2=0{,}882\;\;\widehat{=\;}\;88{,}2\%

Finde die Stammfunktion von $h{(x)}$ heraus.

$\displaystyle A{(2)}-\int_0^2(h{(x)})\;dx$	$=$	$\displaystyle 2-2e^{-0{,}5\cdot2^2}-\left[\dfrac{x^2}{e^2}\right]_0^2$
	$=$	$\displaystyle 2-2e^{-0{,}5\cdot2^2}-\left(\dfrac4{e^2}-\dfrac0{e^2}\right)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 2-\dfrac{6}{e^2}$
	$≈$	$\displaystyle 1{,}19~\mathrm{FE}$

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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Im Folgenden wird die Schar der $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $g_c:\ x\mapsto f\left(x\right)+c$ mit $c\in \mathbb{R}$ betrachtet.
1. Geben Sie in Abhängigkeit von c ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g_c$ sowie das Verhalten von $g_c$ für $x\ \longrightarrow+\infty$
  an.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Extrema
  Aus der Aufgabe 1:
  Teilaufgabe c hatten wir als Hochpunkt $H\left(1\vert\frac2{\sqrt e}\right)$ . Dieser wird in $g_c$ nur um die Konstante C nach oben oder nach unten verschoben. Somit ergibt sich als neuen Hochpunkt: $H\left(1\vert\frac2{\sqrt e}+c\right)$
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2. Die Anzahl der Nullstellen von $g_c$ hängt von $c$ ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von $c$ an, sodass gilt:
  a.) $g_c$ hat keine Nullstelle.
  b.) $g_c$ hat genau eine Nullstelle.
  c.) $g_c$ hat genau zwei Nullstellen.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
  α) $g_c$ hat keine Nullstelle.
  Der Graph muss so weit nach oben oder nach unten verschoben werden, sodass der Hochpunkt bzw. Tiefpunkt unterhalb oder oberhalb von der x-Achse liegt.
  Alle Werte größer $\frac2{\sqrt e}$ oder kleiner $-\frac2{\sqrt e}$ .
  Z. B für $c=3$ .
  b.) $g_c$ hat eine Nullstelle.
  Das wären die in der Zeichnung oben gezeigten Fälle wenn also $C=\pm\frac2{\sqrt e}$ oder $0$ ist.
  Mögliche Lösung:
  $c=\frac{2}{\sqrt{e}}$
  c.) $g_c$ hat zwei Nullstellen.
  Nehme eine Zahl zwischen $-\frac2{\sqrt e}$ und $\frac2{\sqrt e}$ außer die Null
  $c=1$
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3. Begründen Sie für $c>0$ anhand einer geeigneten Skizze, dass
  $\int_0^3g_c (x)dx=\int_0^3 (x)dx+3c$ gilt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
  Die schraffierte Fläche kann durch $\int_0^3f(x)\operatorname{d}x$ beschrieben werden und die untere Fläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $c$ und $3$ .
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Bayerisches Staatsministerium für Unterricht und Kultus (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk wurde vom Bayerischen Staatsministerium für Unterricht und Kultus zur Verfügung gestellt. --- Die Nutzung könnte vielleicht strengeren Regeln unterliegen als bei unseren anderen Inhalten.
Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird.
Die Funktion $g_{1{,}4}:x\mapsto2x\cdot e^{-0{,}5x^2}+1{,}4$ beschreibt für $x\geq0$ modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. $x=1$ entspricht dem Jahr 1965) und $g_{1{,}4}$ ( $x$ ) die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.
1. Zeichnen Sie den Graphen von $g_{1{,}4}$ in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Graphen zeichnen
  Verschiebe den Graphen $G_f$ um 1,4 nach oben.
  Schaue bei $y=2{,}1$ um den Zeitraum, in der die Geburtenrate mindestens 2,1 beträgt, herauszufinden.
  $x_1=0{,}4\;\rightarrow0{,}4\cdot10=4$ $\;\,\Rightarrow$ Ab dem Jahr 1959.
  $x_2=1{,}8\;\rightarrow1{,}8\cdot10=18$ $\;\,\Rightarrow$ Bis zum Jahr 1973.
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2. Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Grenzwertbestimmung
  Bestimmte den Grenzwert gegen $+\infty$
  $\lim_{x\rightarrow\infty}2xe^{-0{,}5x^2}+1{,}4=\lim_{x\rightarrow\infty}\;\frac{2x}{\underbrace{e^{0{,}5x^2}}_{+\infty}}+1{,}4$
  Der Bruch geht gegen $0$ .
  $\Rightarrow \lim_{x\rightarrow\infty}2xe^{-0{,}5x^2}+1{,}4=\lim_{x\rightarrow\infty}\;{\textstyle0}+1{,}4\\\phantom{\Rightarrow\lim_{x\rightarrow\infty}2xe^{-0{,}5x^2}+1{,}4}=1{,}4$
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3. Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Wendepunkt bestimmen
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle 3x+9$	$≥$	$\displaystyle 0$
	↓	Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\displaystyle 3x$	$≥$	$\displaystyle -9$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$≥$	$\displaystyle -3$
	↓	Der Definitionsbereich beinhaltet alle Zahlen, die größer oder gleich -3 sind.

$\displaystyle \sqrt{3x+9}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Wurzel wird für Null wenn unter der Wurzel Null steht.
$\displaystyle 3x+9$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -9$
$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle -9$	$\displaystyle :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -3$

$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{3x+9}$
	↓	Wende zum Ableiten die Kettenregel an.
$\displaystyle f´\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot\sqrt{3x+9}}\cdot3$
	↓	Setze für $x$ Null ein, um die Steigung an der Stelle Null zu berechnen.
$\displaystyle f´\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot\sqrt{3\cdot0+9}}\cdot3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle f´\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2\cdot3}\cdot3$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle f´\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
$\displaystyle m$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}$
	↓	Setze die Steigung in die Geradengleichung von g ein.

$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot0+t$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle t$

$\displaystyle \left(\ln\left(x\right)-1\right)\cdot\left(e^x-2\right)\cdot\left(\frac{1}{x}-3\right)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Die Gleichung wird dann 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Setze zunächst den ersten Faktor gleich 0.
$\displaystyle \ln\left(x\right)-1$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle \ln\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle 1$
	↓	Kehre den Logarithmus um.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle e^1$
	↓	Damit erhältst du die erste Nullstelle $x_1$ :
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle e$
	↓	Um nach weiteren Nullstellen zu suchen, setze nun den zweiten Faktor Null.
$\displaystyle e^x-2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle e^x$	$=$	$\displaystyle 2$
	↓	Wende den Logarithmus an.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \ln\left(2\right)$
	↓	Damit erhältst du die weitere Nullstelle $x_2$ :
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle \ln\left(2\right)$
	↓	Setze dann noch den letzten Faktor gleich 0.
$\displaystyle \frac{1}{x}-3$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle +3$
$\displaystyle \frac{1}{x}$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle \cdot x\ :3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$
	↓	Damit hast du die dritte Nullstelle $x_3$ erhalten:
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}$

Analysis I

Definitionsbereich bestimmen

Nullstellen bestimmen

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Tangentengleichung aufstellen

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Teilaufgabe a)

Teilaufgabe b)

Teilaufgabe c)

Änderungsrate

Teilaufgabe d)

Teilaufgabe e)

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